人教版数学高二A版选修4-4复习巩固第二讲参数方程

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化参数方程与普通方程互程渐开线与摆线的参数方直线的参数方程圆锥曲线的参数方程特殊曲线的参数方程参数方程的定义参数方程

知识回顾

1.直线sin,cos00tyytxx(t是参数).

2.圆sin,cosRyRx(θ是参数).

3.椭圆中心在(0,0)tbytaxsin,cos(0≤t≤π)(t是参数).

中心在(x0,y0)tbyytaxxsin,cos00(0≤t≤π)(t是参数).

4.双曲线tan,secbyax(θ是参数).

5.抛物线ptyptx2,22(t是参数).

6.渐开线•)cos(sin),sin(costttaytttax(t是参数).

7.摆线)cos1(),sin(tayttax(t是参数).

典例精讲

【例1】 过点P(2,-2)作直线交椭圆162522yx=1于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程.

解:设M(x0,y0),直线的倾斜角为α,则直线的参数方程为sin,cos00tyytxx(t为参数).

代入椭圆方程16(x0+tcosα)2+25(y0+tsinα)2-16×25=0(16cos2α+25sin2α)t2+

(32cosα·x0+50sinα·y0)t+16x02+25y02-16×25=0,由于(x0,y0)为中点, 高中数学-打印版

精心校对完整版 ∴t1+t2=0,即32x0cosα+50y0sinα=032x0+50y0·cossin=0,

k=22cossin00xy.

代入32x0+50y0·2200xy=032(x-1)2+50(y+1)2=822541)1(1641)1(22yx=1.

各个击破

类题演练 1

过点P(1,1)作直线l交椭圆41622yx=1于A,B两点,若P为AB中点,求直线l的方程.

解:设直线l的倾斜角为α,则l的参数方程为sin1,cos1tytx(t为参数）.

将其代入椭圆方程（tcosα+1)2+4(tsinα+1)2-16=0,得(cos2α+4sin2α)t2+2(cosα+4sinα)t-11=0.

因为P（1,1）为AB的中点，

∴t1+t2=0，即cosα+4sinα=0.

∴cossin=tanα=k=-41.

则所求直线l的方程为x+4y-5=0.

变式提升 1

过点P（2，－1）作直线l交曲线xy=1于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程.

解:设AB中点M(x0,y0),l的倾斜角为α,则l的参数方程为

sin,cos00tyytxx(t为参数),

代入xy=1,即(tcosα+x0)(tsinα+y0)=1

t2sinαcosα+(y0cosα+x0sinα)t+x0y0-1=0.

由于M(x0,y0)为弦中点,则t1+t2=0.

∴y0cosα+x0sinα=0y0+x0cossin=0.

将cossin=tanα=k=2100xy代入,则y0+x02100xy=02xy+x-2y=0为所求.

【例2】 已知圆系的方程为x2+y2-2acosφ·x-2asinφ·y=0(a>0).

(1)求圆系圆心的轨迹方程;

(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.

解:(1)将圆系方程配方:(x-acosφ)2+(y-asinφ)2=a2.

所以圆心的轨迹的参数方程为sin,cosayax(φ为参数). 高中数学-打印版

精心校对完整版 消去φ,得x2+y2=a2.

(2)两圆公共弦所在直线方程由方程组.,0sin2cos222222ayxayaxyx

求得2axcosφ+2aysinφ-a2=0,圆x2+y2=a2圆心为(0,0),弦心距d=2sin4cos422222aaaa.

定圆的弦心距为定值,则弦长为定值,这个定值为d=34222aaa.

温馨提示

题干中的“圆系”的含义是指当参数φ变化时的一系列圆,这也是参数方程的一种形式.

类题演练 2

如图,圆x2+y2=r2的弦AB垂直于x轴,P为AB上一点,且|AP|·|PB|=a2(a≤r)为定值,求点P的轨迹方程.

解:设A(rcosφ,rsinφ),则点B(rcosφ,-rsinφ),P(x,y).

∵AB⊥x轴,∴x=rcosφ,|AP|=|rsinφ-y|,|PB|=|y+rsinφ|.

∵|AP|·|PB|=|(rsinφ-y)·(rsinφ+y)|=a2|y2-r2sin2φ|=a2,

∵|y|≤|rsinφ|,∴r2sin2φ-y2=a2.

∴y2+a2=r2sin2φ.又x=rcosφ,

∴x2+y2+a2=r2x2+y2=r2-a2.

变式提升 2

抛物线y2=2px,一组平行弦的斜率为k,求弦中点的轨迹方程.

解:设中点M(x0,y0),平行弦倾斜角为α,则平行弦所在直线的参数方程为sin,cos00tyytxx(t为参数,cossin=k).

代入抛物线方程有(tsinα+y0)2-2p(tcosα+x0)=0

t2sin2α+2(y0sinα-pcosα)t+y02-2px0=0.

∵M(x0,y0)为弦中点,

∴t1+t2=0,即y0sinα-pcosα=0.

∴y=kp,将y=kp代入y2=2px,得22kp=2px,x=22kp.

∴y=kp且x>22kp为一条射线. 高中数学-打印版

精心校对完整版 【例3】 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点(AB不与对称轴垂直),AB的垂直平分线交对称轴于S,求证:|FS|=21|AB|.

解:设抛物线方程为y2=2px(p>0),AB的倾斜角为α(α≠2),

则直线AB的参数方程是sin,cos2tytpx(t为参数).

代入抛物线方程:t2sin2α-2p(2p+tcosα)=0t2sin2α-2ptcosα-p2=0.

|AB|=|t1-t2|=22242221221sin2sin4sincos44)(ppptttt.

又如图,|FP|=21|t1+t2|=2sin|cos|p,

在Rt△PSF中,|FS|=2sin|cos|||pPF,

∴|FS|=21|AB|.

类题演练 3

点A,B在椭圆2222byax=1上,O为原点,OA⊥OB,求证:2211OBOA为定值.

解:设∠AOx=α,OA=t,则∠BOx=α+2,

设OB=t′,则OA,OB所在直线方程分别为),2sin(),2cos(,sin,costytxtytx即.cos,sintytx

分别代入椭圆方程中,得222222sincosbtat=1.

∴222222sincos11batOA, 高中数学-打印版

精心校对完整版 同理,222222cossin11batOB.

∴222222222222cossinsincos1111bbaattOBOA

2211ba=定值.

【例4】 过点P(2,2)作直线l被两平行线x+y+1=0,x+y-1=0截得的线段长为2,求l的方程.

解:设l的倾斜角为α,则l的方程为sin2,cos2tytx(t为参数).

分别代入方程,得tcosα+2+tsinα+2+1=0,t1=cossin5;

tcosα+2+tsinα+2-1=0,t2=cossin3,很明显t1,t2符号相同,则|t1-t2|=|cossin5-cossin3|=2.

∴|cossin|2=2.∴sinα+cosα=±1.由于0≤α

∴α=0或α=2,得两直线方程为x=2或y=2.

类题演练 4

过原点作直线l,交直线2x-y-1=0于A,2x+y+3=0于B,若原点为线段AB的中点,求l的方程.

解:设l的倾斜角为α,则l的参数方程为sin,costytx(t为参数).

将方程分别代入两直线方程中,2tcosα-tsinα=1得t1=sincos21,

2tcosα+tsinα+3=0,t2=sincos23.

∵O(0,0)为AB中点,∴t1+t2=0.

sincos21sincos23=04cosα=4sinα.

∴k=tanα=1.所求l的方程为y=x.

变式提升

直线系方程为xcosφ+ysinφ=2,圆的参数方程为sin2,cos2yx(φ为参数),则直线与圆的位置关系为( )

A.相交不过圆心降机 B.相交且经过圆心

C.相切 D.相离 高中数学-打印版

精心校对完整版 解析:圆的普通方程为x2+y2=4,圆心(0,0)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离等于d=12=2等于半径,所以直线与圆相切.

答案:C