人教版2019学年高中数学第二讲参数方程复习课学案新人教A版选修4_4

第二讲 参数方程

复习课

学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．

1．参数方程的定义

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数错误!①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

2．常见曲线的参数方程

(1)直线

过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为 x＝x0＋tcosα，y＝x0＋tsinα (t为参数)．

(2)圆

①圆x2＋y2＝r2的参数方程为 x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)；

②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为 x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)．

(3)椭圆

中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为 x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)．

(4)双曲线

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为 x＝asecφ，y＝btanφ(φ为参数)．

(5)抛物线

抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为 x＝2ptan2α，y＝2ptanα(α为参数)或 x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．

类型一 参数方程化为普通方程

例1 把下列参数方程化为普通方程：

(1) x＝cosθ－4sinθ，y＝2cosθ＋sinθ(θ为参数)；

(2)错误!(t为参数，a，b>0)．

解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组

 x＝cos θ－4sin θ，y＝2cos θ＋sin θ，变形得 sin θ＝y－2x9，cos θ＝x＋4y9.

∴x＋4y92＋y－2x92＝cos2θ＋sin2θ＝1，

即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.

(2)由错误!解得错误!

∴①2－②2，得4x2a2－4y2b2＝4，

∴x2a2－y2b2＝1(x>0)．

反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项

(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．

跟踪训练1 判断方程 x＝sinθ＋1sinθ，y＝sinθ－1sinθ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．

解 ∵x2－y2＝sin θ＋1sin θ2－sin θ－1sin θ2＝4，

即x2－y2＝4，∴x24－y24＝1.

又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x＝sin θ＋1sin θ≥2，

当且仅当θ＝π2时等号成立，

又y＝sin θ－1sin θ＝sin2θ－1sin θ≤0，

∴曲线为等轴双曲线x24－y24＝1在右支位于x轴下方的部分．

类型二 参数方程的应用

命题角度1 直线参数方程的应用

例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．

解 设弦AB所在的直线方程为 x＝3＋tcos α，y＝2＋tsin α(t为参数)，

代入方程y2＝4x整理，得

t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.①

∵点P(3,2)是弦AB的中点，

由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.

即sin α－cos α＝0.∵0≤α

∴|AB|＝|t1－t2|＝错误!＝错误!＝8.

反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题

(1)直线的参数方程应为标准形式．

(2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.

(4)套公式|t1－t2|求弦长．

跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为 x＝－4＋32t，y＝12t(t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．

(1)求弦长|AB|；

(2)过P0作圆的切线，求切线长．

解 将直线l的参数方程代入圆的方程，

得－4＋32t2＋12t2＝7，整理得t2－43t＋9＝0.

(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝43，t1t2＝9.

故|AB|＝|t2－t1|＝错误!＝2错误!.

(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，

则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，

∴切线长|P0T|＝3.

命题角度2 曲线参数方程的应用

例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝2＋cosα，y＝sinα(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；

(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值．

解 (1)由曲线C的参数方程 x＝2＋cos α，y＝sin α，

可得(x－2)2＋y2＝1，

由直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22， 可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，

即x＋y＝4.

(2)方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，

故错误!⇒错误!

所以Q(3,5)，

由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，

|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.

仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，故(|PB|＋|AB|)min＝26－1.

方法二 如图，圆心C关于直线l的对称点为D(4,2)，连接PD，交直线l于点B，此时|PB|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD|－1＝|PD|－1＝26－1.

反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．

(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．

跟踪训练3 已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l： x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

解 (1)曲线C的参数方程为 x＝2cos θ，y＝3sin θ (θ为参数)．

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为

d＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA|＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，

其中α为锐角，且tan α＝43.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.

类型三 极坐标与参数方程

例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是 x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与圆C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．

解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝错误!＝错误!.

由|AB|＝10，得cos2α＝38，tan α＝±153.

所以l的斜率为153或－153.

方法二 把 x＝tcos α，y＝tsin α代入(x＋6)2＋y2＝25，

得t2＋(12cos α)t＋11＝0，

设A，B对应的参数为t1，t2，

所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.

则|AB|＝|t1－t2|＝错误!＝错误!＝错误!，所以cos2α＝错误!，所以tan α＝±错误!.

所以l的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．

(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．

跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝4cost，y＝23sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcosθ＋2ρsinθ＝12.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积．

解 (1)由 x＝4cos t，y＝23sin t，得 x4＝cos t，y23＝sin t，

所以x42＋y232＝(cos

t)2＋(sin t)2＝1，

所以曲线C的普通方程为x216＋y212＝1.

在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

得3x＋2y－12＝0，

所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.

(2)由(1)可得M(0，－23)，联立方程 x216＋y212＝1，3x＋2y－12＝0，易得A(4,0)，B(2,3)，

所以四边形OMAB的面积为12×4×(3＋23)＝6＋43.

1．曲线 x＝8cosθ，y＝10sinθ(θ为参数)的焦点坐标为( )

A．(±3,0) B．(0，±3)

C．(±6,0) D．(0，±6)