新课标高一数学必修4任意角和弧度制

《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四教案教案教学目标 1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 导入新课复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以简记为?． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30?k?360??????k?Z?的形式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，所以，与?120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????所以，?95012?角终边相同的角是12948?角，它是第二象限角.??例 2 若??k?360??1575?,k?Z，试判断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边相同，所以，?在第三象限.?例 3 写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?Z??S中适合?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??所以，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴ 1?=?180rad???180 1rad??5718’.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式 S?注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30’. 解：(1)/71? （2）? (3) ? (4) ? 56变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）?18720?；(3)?. 63例7 把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2) ；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)；(3)；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)任意角和弧度制任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k ∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k ∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k ∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad ，180°=π rad ，1°=180πrad≈0.017 45 rad ，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r 、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。

高一必修4第一章第一节任意角与弧度制（学生）1.1任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差ααα∠αx )(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。

（2）若βα和是终边相同的角。

高一任意角和弧度制知识点高一数学课程中，我们学习了任意角和弧度制的知识。

这一部分的内容相对较为深入，需要我们对角度和弧度制有一定的了解和掌握。

今天，我将为大家介绍一下这一部分的知识点。

首先，让我们来了解一下什么是任意角。

所谓任意角，是指可以转动到任何位置的角度。

通常，我们习惯用角的顶点在坐标原点处，边与x轴正方向重合，并逆时针转动来表示角。

对于任意角，我们可以给它一个度数的表示，也可以给它一个弧度的表示。

接下来，我们来了解一下什么是度数制。

度数制是一种角度的度量单位，它以“度”作为单位来表示。

我们熟悉的直角是90度，而一周则是360度。

在度数制中，一个圆的周长被定义为360度，这个定义就是我们常说的“一圈”或“一周”。

然而，除了度数制，我们还有一种常见的角度表示方法，即弧度制。

弧度制是以“弧度”作为单位来度量角度的制度。

弧度制的概念由数学家们引入，它是以圆的半径为单位来度量角度。

具体来说，我们定义一个完整的圆的周长是半径的2π倍，也就是2π弧度。

那么，一个直角就是π/2弧度，而一周则是2π弧度。

对于任意角而言，我们可以通过换算来将度数转换成弧度，或将弧度转换成度数。

换算关系很简单，我们只需要记住：一圈对应360度，对应2π弧度，即360度=2π弧度。

通过这个换算关系，我们可以相互转化不同单位下的角度值。

在解题中，我们有时需要根据给定的角度值，来确定其所在的象限。

在坐标平面中，我们可以通过观察角度值的正负来确定角所在的象限。

例如，对于一个角度为60度的角，我们知道是正角，将它按照逆时针的方向绘制在坐标平面中，它位于第一象限。

同样地，对于一个角度为-45度的角，我们知道是负角，按逆时针的方向绘制在坐标平面中，它位于第四象限。

除了掌握任意角的概念和角度表示方法外，我们还需要学会利用这些知识来解决实际问题。

在物理学、几何学等领域中，我们经常需要计算两条线之间的夹角，或者计算一条线相对于水平线的角度。

这时，我们就可以利用任意角和弧度制的知识来进行计算。