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高一数学必修4任意角和弧度制课件高一数学必修4任意角和弧度制课件第一课时1.1.1任意角教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.教学难点：理解角的任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义角的范围（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念：①定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.②讨论：推广后角的大小情况怎样（包括任意大小的正角、负角和零角）③示意几个旋转例子，写出角的度数.④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.）⑤练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？⑥讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.口答：锐角是第几象限角第一象限角一定是锐角吗再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些都可以用什么代数式表示与α终边相同的角如何表示？⑧结论：与α角终边相同的角，都可用式子×360°＋α表示，∈Z，写成集合呢？⑨讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：①出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）②出示例2：写出与下列终边相同的`角的集合，并写出－720°～360°间角.120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析的取值→试练→订正）③讨论：上面如何求的值（解不等式法）④练习：写出终边在x轴上的角的集合，轴上呢坐标轴上呢第一象限呢⑤出示例3：写出终边直线在=x上的角的集合S,并把S中适合不等式的元素写出来.（师生共练→小结）3.小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1.写出终边在第一象限的角的集合第二象限呢第三象限呢第四象限呢直线=-x呢2.作业：书P6练习3③④、4、5题.第二课时：1.1.2弧度制（一）教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1.写出终边在x轴上角的集合.2.写出终边在轴上角的集合.3.写出终边在第三象限角的集合.4.写出终边在第一、三象限角的集合.5.什么叫1°的角计算扇形弧长的公式是怎样的二、讲授新课：1.教学弧度的意义：①如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证：＝.②讨论：是否为定值其值与什么有关系→结论：＝=定值.③讨论：在什么情况下为值为1是否可以作为角的度量④定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.用rad 表示，读作弧度.⑤计算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？⑥探究：完成书P7表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？⑦规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝.用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨讨论：1度等于多少弧度1弧度等于多少度→度表示与弧度表示有啥不同－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？2.教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：；.分析：如何依据换算公式（抓住：180°=prad）→如何设计算法→计算器操作：模式选择MODEMODE1(2)；输入数据；功能键SHIFTDRG1(2)=②练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；；；120°；135°；150°；③讨论：引入弧度制的意义（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上；终边在轴上.3.小结：弧度数定义；换算公式（180°=prad）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1.教材P10练习1、2题.2.用弧度制表示下列角的集合：终边在直线=x；终边在第二象限；终边在第一象限.3.作业：教材P115、7、8题.第三课时：1.1.2弧度制（二）教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算.掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1.提问：什么叫1弧度的角1度等于多少弧度1弧度等于多少度扇形弧长公式2.弧度与角度互换：－π、π、－210°、75°3.口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：用弧度制推导：S＝LR；.分析：先求1弧度扇形的面积（πR）→再求弧长为L、半径为R 的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.②练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③出示例：计算sin、tan1.5、cs（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）②练习：求、、的正弦、余弦、正切.2.练习：①.用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.π、－675°②用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在轴上角的集合终边在第三象限角的集合③讨论：α＝×360°＋与β＝2π＋30°是否正确？④α与－的终边相同，且－2π⑤已知扇形AOB的周长是6c，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.3.小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.三、巩固练习：1.时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2.一扇形的中心角是54°，它的半径为20c，求扇形的周长和面积.3.已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是.4.作业：教材P10练习4、5、6题.。
1.1.2
弧度制
一、复习角度制
在平面几何中研究角的度量，当时是用
度做单位来度量角，1°的角是如何定义的?
这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制・ 在数学和其他科学研究中还经常用到另一种 度量角的制度一弧度制，它是如何定义呢？
规定周角的
需为1度的角.
二、弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫
做1弧度的角，即用弧度制度量时，
这样的圆心角等于1 rad.
若弧AB的长等于半径贝！rad. [ A lra^
0 r
若弧AB的长等于2r,
贝!rad.
B
问题1:若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
答：若弧是一个半圆，则弧长2 = 7CT，
所以圆心角的弧度数是'=竺=冗・
若弧是一个整圆，则弧长Z = 2妙，所以圆心角的弧度
数是© =纯=2兀.
由此可知，任一0。
〜360。
的角的弧度数X =
必然适合不等式0< X<2TT.角的概念推广后,
弧概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数;
零角的弧度数是0・例如，若圆心角ZAOB表示一个负角，且它所对的弧长为4时，贝！|
ZAOB = —= —4兀■
一般地，正角的弧度数是一个正数，负
角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0・
如果半径为r的圆的圆心角0所对弧的长为2,
那么角a的弧度数的绝对值是|a|=L 这里。
的正负由a 终边旋转方向决定.r
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫
做弧度制.
注意：用角度制和弧度制来度量零角, 单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角, 单位不同，量数也不同.
弧长公式：Z =1 a I r •
（采用角度制的弧长公式: nnr 180
问题2： —定大小的圆心角ex 所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗? 上式表明，以角a 为圆心角所对的弧长与其半径的比 值，由（X 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅 与角的大小有关.
提示：初中所学的弧长公式
H71T 180 n 兀 180
三、角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时, 除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个
角的结果，二者就可以相互换算.
我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,
其弧度数是2兀，而在角度制里它是360。
,
例1
(1) 把67。
30'化成弧度.
(2) 把却弧度化成度. 解:(1) Q 67°301
= (67 i)°
2
1 2
因此 360。
=2兀rad,
180° = 7i rad, 1° =
兀
180
rad
« 0.01745 rad •
2冗 rad = 360°,
rad = 180° 1 rad =（型）。
7C
« 57.30° = 57°18r
•
7C 1 3 67°30' = ----- rad x 67 —=—兀rad .
180 2 8
(2) -7trarf = -xl80°=108°.
5 5
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或"rad"®常省略不写, 而只写这个角所
对应的弧度数•但用“度”或“。
，，为单位不能省.
(2)用弧度为单位表示角时，通常写成
“多少兀”的形式.
例2・写出下列特殊角的度数或弧度数:
扇形周长、 面积公式
角度制的扇形弧长公式：心需
180 面积公式：s=E
360
2
例3•利用弧度制证明扇形弧长公式：山皿;面积公式：
S = glR ,其中2是扇形的弧长，人是圆的半径.(a > 0) 证明:Q
圆心角为1问的扇形面积为
2兀
又弧长为2的扇形的圆心角是
吉rad
•••扇形的面积 S =L.±.n R^llR .
OP
o
R 2n 2
R 2兀
说明：扇形面积公式还可以表示为s = +収
2
例4. (1)已知扇形OAB 的圆心角a 为120。
，半径为 6cm,求扇形弧长及所含弓形的面积.
(2)已知扇形周长为20cm,当扇形的圆心角为多大 时，它有最大面积？最大面积是多少? 解：0) ◎ 0 = 120。
=警,厂=6, Z =1 a I / =晋
x 6= 4兀・ 又 = 2x6xsin6()o=
S 扇形=^-lr =专 x4冗><6 = 12K ， • • S 弓形=S 扇形—S AOB = 12K — 9
AB 边上的高 OH = 6xcos60°= 3 •
= 1X AB X OH = 1X 6V3X 3=9^.
o
A
B
例4・（1）已知扇形04〃的圆心角a为120。
,半
径为6cm,求扇形弧长及所含弓形的面积.
丄2）F知扇形周长为20cm,当扇形的圆心角为多大时，匕有最大面积？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为"圆心角为°,
弧长为2,扇形面积为S,
Z = 20-2r,
S = —lr=— (20 —2r)«r
2 2
=—r2 + 10r= —(r — 5)2 + 25
・•・当心5c加时，5max = 25cm2,
此时心M = 2.
课后作业
1・习题1・1 6〜10及B组1〜3 2・《乐学》1.1.2
⑶s =
2k7r <a < lk7i + 今或 2炽 + ^7i <a < lk7i + 力 k E Z J
练习1•如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的 集合（不包括边界）.
的形式妾宗阴影畜
图形的 蛹表挪角^然 .若两部分阴影区域能合
再选择适当的角 尽量合并.
A <oc<k
兀+ % k E 7J \
4
2
丿
(1) (2) (3)
(2) S 二
练习2.已知扇形的面积是4cm2,它的周长是8cm, 求它的中心角和弦的长.
解：设扇形的弧长为2,半径为门
=>心4, r-2.
所以中心角为
弦长为AB = 2rsin^ = 4sinl.
练习3・已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方
形的边长，求这段弧所对的圆冋ES 角的弧度数。
解:设此圆内接正方形的边长为a ,贝I」
圆的半径为乎°,此段弧
I = a
所以这段弧所对的圆丿的
ZAOB = -^—
故这段弧所对的圆周側弧度数为# •
练习4・已知a是第二象限角.
(1)指出号所在的象限，并用图形表示其变化范围.
(2)若a同时满足条件|a+2|S4,求a的取值区间.
(k G z) y\
解：由题意得，2k兀七% <za<2k兀+兀,
(1)加T +手V号 <滋+号,(k G Z) 二号是第一象限或
第三象限的角.
(2)V |a+2|<4 ,・・・-6<a<2 ,
又a是第二象限角，
a e (2氐兀 +乡，2反龙 +方n[-6,2], (A： e Z) 故a的取值区间(-萼，-方5号,2]・
教材第6页表1・1・1。
