中考数学新定义题型归纳总结

模型08 新定义问题（1）【模型分析】新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【经典例题】例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数，例如5{}32=，{4}5=，{1.5}1-=-等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如7[]32=，[2]2=，[3.2]4-=-，如果整数x 满足关系式：2{}3[]32x x +=，则x 的值为（ ）A ．3B ．5-C ．6D ．7【分析】根据题意，可将2x ＋3[x ]＝32变形为2x ＋2＋3x ＝32，解方程后即可得出结论． 【解析】∵x 为整数， ∵{x }＝x ＋1， [x ]＝x ，∵2{x }＋3[x ]＝32可化为：2（x ＋1）＋3x ＝32 去括号，得 2x ＋2＋3x ＝32， 移项合并，得5x ＝30， 系数化为1，得x ＝6． 选C ．【小结】本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键．例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数a ，b ，定义{},min a b ：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b ≤时，{},min a b a =．若{}2240,12440min m n m n -+--=，则n m 的值为______．【分析】根据22124-+--m n m n 与40的大小，再根据{}2240,12440min m n m n -+--=，从而确定m ，n 的值即可得出n m 的值．【解析】∵{}2240,12440min m n m n -+--=∵40≤22124-+--m n m n ∵22412400+-≤++m n n m ∵（m +6）2+（n -2）2≤0 ∵（m +6）2+（n -2）2≥0 ∵m +6=0，n -2=0 ∵m =-6，n =2 ∵()2636=-=n m【小结】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．例3．（2021·北京西城区·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，已知点123(,),(,),(,)P a b P c b P c d ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点123,,P P P 的“最佳间距”．例如：如图，点123(1,2),(1,2),(1,3)P P P -的“最佳间距”是1（1）点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 的“最佳间距”是__________ （2）已知点(0,0)O ，(3,0)A -，(3,)B y -①若点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，则y 的值为__________ ②点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为________（3）已知直线l 与坐标轴分别交于点()0,3C 和()4,0D ，点()P m n ,是线段CD 上的一个动点．当点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P 的坐标 【分析】（1）根据题意，分别求出点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 任意两点间的距离，比较后即可得出结论（2）①根据三个点的坐标特点可得AB ∥y 轴，由此可求出OA 、OB 均不满足点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，则可得AB ＝1，从而求出y 值的两种情况② 根据OA ＝3，且OA 为定值，可得无论y 取何值，点O ，A ，B 的“最佳间距”最大值为3； （3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD 的解析式，由(),0E m ，()P m n ,可判断PE ∵x 轴，同（2）②则可得出点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,“最佳间距”取到最大值时的条件为OE ＝PE ，从而可列出关于m 的方程，求解后即可求出点P 坐标． 【解析】（1）∵点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q∵212Q Q =，323Q Q =，13Q Q ==∵2＜3∵点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 的“最佳间距”是2 （2）①∵点(0,0)O ，(3,0)A -，(3,)B y - ∵AB ∥y 轴 ∵OA ＝3，OB ＞OA∵点O ，A ，B 的“最佳间距”是1 ∵AB ＝1 ∵y ＝±1②当－3≤y ≤3时，点O ，A ，B 的“最佳间距”是y ＝AB ≤3当y ＞3或y ＜－3时，AB ＞3，点O ，A ，B 的“最佳间距”是OA ＝3， ∵点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为3． （3）如图，设直线CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将()0,3C ，()4,0D 代入：111340b k b =⎧⎨+=⎩，解得11343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∵334y x =-+，∵()P m n ,，(),0E m ， ∵PE ∵x 轴，当且仅当OE ＝PE 时，点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值，∵OE ＝m ，PE ＝n ＝334m -+， ∵334m m =-+，解得127m =，∵P （127，127），当点O ，E ，P 的“最佳间距”取到最大值时，点P 的坐标为（127，127）． 【小结】本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．【巩固提升】1．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ）A 2B ．2C ．2D ．无法确定【分析】作Rt ∵ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC =2a ，则CE =a ，BE =2a ，在Rt ∵BCE 中∠BCE =90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出． 【解析】如图①，作Rt ∵ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∠ACB =90°， ∵12CF AB AB =≠， 又在Rt ∵ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠∵满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线， 设AC =2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt ∵BCE 中∠BCE =90°，∵,BC ==在Rt ∵ABC 中，,AB ===∵AC ：BC ：AB =22a = 选B ．【小结】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数例如：[]1.71=，305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是（ ）A ．函数[]y x =的定义域是一切整数B ．函数[]y x =的图像是经过原点的一条直线 C ．点2(2,2)5在函数[]y x =图像上 D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大 【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可．【解析】A 、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误； B 、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误； C 、由题意可知2225⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则点2(2,2)5在函数[]y x =图像上，故正确；D 、例如113⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即当13x =，12x =时，函数值均为1y =，不是y 随x 的增大而增大，故错误； 选C ．【小结】考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“∵”：, ,aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若5x ※的值为整数，则整数x 的值为_______．【分析】根据题中的新定义可分若5＞x ，若5＜x ，两种情况分别求解，最后合并结果． 【解析】若5＞x ，则5x ※=55x-为整数，则x =0或4或6（舍）或10（舍）， 若5＜x ， 则5x ※=5551555x x x x x -+==+---为整数，则x =0（舍）或4（舍）或6或10， 综上：整数x 的值为：0或4或6或10，【小结】此题考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义．4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）材料：一般地，n 个相同因数a 相乘：n a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅个记为n a ．如328=，此时3叫做以2为底的8的对数，记为2log 8（即2log 83=）．那么3log 9=_____，()2231log 16log 813+=_____．【分析】由239=可求出2log 93=，由4216=，43=81可分别求出2log 164=，3log 814=，继而可计算出结果【解析】（1）由题意可知：239=，则2log 93=（2）由题意可知：4216=，43=81，则2log 164=，3log 814= ∵223141(log 16)log 811617333+=+= 【小结】本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．6．（2021·北京顺义区·七年级期末）我们规定：若有理数,a b 满足a b ab +=，则称,a b 互为“等和积数”，其中a 叫做b 的“等和积数”，b 也叫a 的“等和积数”．例如：因为()11122+-=-，()11122⨯-=-，所以()()221111-=⨯-+，则12与1-互为“等和积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是__________；（2）有理数1_________（填“有”或“没有”）“等和积数”； （3）若m 的“等和积数”是25，n 的“等和积数”是37，求34m n +的值． 【分析】（1）根据“等和积数”的定义列方程求解即可； （2）根据“等和积数”的定列方程求解即可；（3）根据“等和积数”的定列方程求出m 和n 的值，代入34m n +计算即可． 【解析】（1）设有理数2的“等和积数”是x ，由题意得2+x =2x ，解得x =2， （2）设有理数1的“等和积数”是y ，由题意得1+y =y ， ∵y -y =1，∵此方程无解，∵有理数1没有 “等和积数”；（3）∵m 的“等和积数”是25，∵m +25=25m ，解得m =23-； ∵n 的“等和积数”是37，∵n +37=37n ，解得n =34-；∵34m n +=3×(23-)+4×(34-)=-5．【小结】考查新定义，以及一元一次方程的应用，根据新定义列方程求解是解答本题的关键．6．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）我们把a cb d称为二阶行列式，且a c ad bcb d=-．如：121(4)321034=⨯--⨯=--．（1）计算：2135=-_______；4235=-________；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式．即ka kc a cka c a kc a c kbdkb kdkb db kdb d====，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例． （3）若1k ≠，且113232x x x x kk++=，求x 的值．【分析】（1）各式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）小明的说法不正确，举一个反例即可；（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x 的值． 【解析】（1）原式=2×5-1×（-3）=10+3=13，原式=4×5-2×（-3）=20+6=26 （2）小明的说法错误，当k =0时，203054145⨯⨯=-=，而002345=⨯，不相等；（3）已知等式整理得：2（x +1）-3x =2k （x +1）-3kx ， 去括号得：2x +2-3x =2kx +2k -3kx ， 整理得：（k -1）x =2（k -1）， ∵k ≠1， ∵k -1≠0， 解得：x =2．【小结】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减、新定义，解一元一次方程等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．模型09 新定义问题（2）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ¢，满足2CP CP r ¢+=，则称P ¢为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。

的示意图。

(1)(1)当当O 的半径为1时。

时。

①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？在？求其坐标；求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P ¢存在，且点P ¢不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围； (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上，轴上，半径为半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，轴，y y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

的横坐标的取值范围。

yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ¹，12y y ¹，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .（1）已知点A 的坐标为()10，，①若点B 的坐标为()31，，求点,A B 的“相关矩形”的面积；的“相关矩形”的面积；②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；式；（2）O ⊙的半径为2，点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . （1）当⊙O 的半径为1时，时， ○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有____________________；；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程相邻线，并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．范围．21备用图1备用图2 图1【04】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个）是否为这个最小值函数图象上的点；图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是的面积，其面积是 ； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值的值最小，直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；是；②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________；； （2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”，直接写出NQT D 的周长的最小值．的周长的最小值．图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=，122y yy +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为____________________；； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R （－（－2,02,02,0）和抛物线）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．并直接写出该图形的面积．图1 图2R【06】在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．的示意图． （1）当⊙O 的半径为1时．时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（的坐标为（2,02,02,0）），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；取值范围；（2）保持（）保持（11）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,01,0）），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为的最小值为______________________________．． 若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零为零..例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；的值；②若13b ££，求其不变长度q 的取值范围；的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ££，则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________；； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．的取值范围．（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（，请参考（11）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________；； （3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线33y x b =+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313，，请写出b 的取值范围的取值范围________________________．．图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中，中，图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=xl ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ££的图象，其中0a b £<．当该图形．当该图形满足1£=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．的取值范围．x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°．°．°．（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°，则满足条件°，则满足条件的点为的点为 ； （2）将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的，若该圆的坐标角度°££°9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．的取值范围． O xy D C B A –1–2–312312345。

新人教版初中数学——定义、命题、定理知识点归纳及中考题型解析一、定义与命题1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．2．判断一件事情的语句叫做命题．3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．二、真命题、假命题1．正确的命题叫做真命题．2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．三、逆命题1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．四、公理与定理1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．五、互逆命题1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．六、反证法1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．考向一命题的改写每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．典例1把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_________．【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确.故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直.1．【浙江省绍兴市浣江教育集团2018–2019学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式_________．考向二真命题、假命题1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．典例2下列命题是真命题的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】C【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选C．2．下列命题中，假命题的是A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．菱形对角线互相垂直平分考向三互逆命题与互逆定理1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．典例3下列命题中，逆命题为真命题的是A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b【答案】C【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2<bc2，则a<b的逆命题是若a<b，则ac2<bc2，假命题；故选C．3．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．4．有下列命题：①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个考向四反证法①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法．②矛盾的类型：a．与已知定义、定理、公理相矛盾；b．与已知条件相矛盾；c．推出自相矛盾的结果．③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾．典例4【福建省福州市仓山区福州时代中学2019–2020学年九年级上学期10月月考数学试题】用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是A．三角形中最少有一个角是直角B．三角形中没有一个角是直角C．三角形中三个角全是直角D．三角形中有两个或三个角是直角【答案】D【解析】根据反证法的步骤，则可假设为三角形中有两个或三个角是直角．故选D．【名师点睛】本题考查反证法，判断命题的反面是解题的关键．∥”，第一步应假设：5．用反证法证明“若a c，b c∥，则a b∥B．a与b垂直A．a bC．a与b不一定平行D．a与b相交6．用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_________．1．下列命题为真命题的是A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一直线的两直线互相垂直D．三角形的外角和为1802．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是A．120°，60°B．95°，105°C．30°，60°D．90°，90°3．下列命题的逆命题是真命题的是A．若a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有A．0个B．1个C．2个D．3个5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–36．写出一个能说明命题：“若22a b>，则a b>”是假命题的反例：__________.7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．8．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．9．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+14=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．10．若命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．11．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．12．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．13．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．（1）如果0a =，0b =，那么0ab =． （2）对顶角相等．13．如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE ．①AB =AC ；②AD =AE ；③BD =CE ．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题： A ：①②⇒③；B ：①③⇒②；C ：②③⇒①．（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．14．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2．求证：x1≠x2．1．判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为A ．﹣2B ．﹣12C ．0D ．122．下列命题是真命题的是 A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四边相等的平行四边形是正方形3．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题是假命题的是A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-D ．旋转不改变图形的形状和大小 5．下列命题正确的是 A ．矩形对角线互相垂直 B ．方程214x x =的解为14x = C ．六边形内角和为540°D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 6．下列命题中假命题是 A ．对顶角相等B ．直线5y x =-不经过第二象限C ．五边形的内角和为540︒D ．因式分解()322x x x x x x ++=+7．下列命题是真命题的是A ．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8．下列说法正确的是①函数y =x 的取值范围是13x ．②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7． ③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍． ④同旁内角互补是真命题．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．A ．①②③B ．①④⑤C ．②④D ．③⑤9．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是 A ．①②③④B ．①③④C ．①③D ．①10．下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 11．下列命题是真命题的是A ．同旁内角相等，两直线平行B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．相等的两个角是对顶角D ．圆内接四边形对角相等 12．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 其中真命题的个数有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列命题是假命题的是A ．n 边形（3n ≥）的外角和是360︒B ．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C ．相等的角是对顶角D ．矩形的对角线互相平分且相等14．下列命题是假命题的是A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分15．用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．316．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为A ．1m =-B ．0m =C ．4m =D ．5m =17．下列命题是假命题的是A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x=﹣的图象向上平移6个单位长度而得到 B ．抛物线234y x x =﹣﹣与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦18．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_____（填“真命题”或“假命题”）．19．【安徽省2019年中考数学试题】命题“如果a +b =0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为____________________________.1．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．2．【答案】A【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D是真命题；故选A．3．【答案】两直线平行，内错角相等【解析】“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等．故答案为：两直线平行，内错角相等．4．【答案】A【解析】若x2=x，则x=1或x=0，所以原命题错误；若x=1，则x2=x，所以原命题的逆命题正确；若a2=b2，则a=±b，所以原命题错误；若a=b，则a2=b2，所以原命题的逆命题正确；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题错误．故选A．5．【答案】D【解析】∵反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，∴一步应假设a与b不平行，即：a，b相交．故选D．【名师点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，在中考中经常以这种题型出现．【名师点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．6．等腰三角形的底角是钝角或直角【解析】根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”．故答案是：等腰三角形的两底都是直角或钝角．1．【答案】A【解析】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；三角形的外角和为360°，D是假命题；故选A．【名师点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．【答案】D【解析】∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，故选D.考点：本题考查的是两角互补的定义【名师点睛】解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．3．【答案】C【解析】A、若a>0，b>0，则a+b>0的逆命题为若a+b>0，则a>0，b>0，错误，为假命题；B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题；D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，错误，为假命题，故选C．【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大．4．【答案】B【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．所以只有④一项正确．故选B．5．【答案】C【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；当a =–3，b =–2时，a 2>b 2，但a >b 不成立，故C 选项符合题意；当a =–2，b =–3时，a 2>b 2不成立，故D 选项不符合题意；故选C ．6．【答案】2,1a b =-=（注：答案不唯一）【解析】当2,1a b =-=时，222(2)4,1a b =-==根据有理数的大小比较法则可知：41,21>-<则此时满足22a b >，但不满足a b >因此，“若22a b >，则a b >”是假命题故答案为：2,1a b =-=．（注：答案不唯一）【名师点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键． 7．【答案】菱形的四条边相等【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”．故答案为：菱形的四条边相等．8．【答案】两直线平行，同位角相等【解析】命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”故答案为“两直线平行，同位角相等”．9．【答案】当b =–12，方程没有实数解 【解析】∵b =–12时，Δ=（–12）2–4×14<0，∴方程没有实数解．∴当b =–12，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b =–12，方程没有实数解． 10．【答案】a =–3【解析】当x =1、y =–2时，a +4=1，解得a =–3，故当a =–3时，12x y =⎧⎨=-⎩是方程ax –2y =1的解，则a =–3时，可以说明命题“12x y =⎧⎨=-⎩不是方程ax –2y =1的解”为假命题，故答案为：a =–3． 11．【解析】已知：∠1=∠2，∠B =∠C ；求证：∠A =∠D ．证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴EC ∥BF ，∴∠AEC =∠B ．又∵∠B =∠C ，∴∠AEC =∠C ，∴AB ∥CD ，∴∠A =∠D ．12．【解析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（2）真命题.证明如下：已知：如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，连接CD ，且CD ＝12A B ．求证：△ABC 是直角三角形．证明：∵点D 是AB 的中点∴AD ＝BD∵CD ＝12AB ， ∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∠DCB ＝∠DBC∵∠DAC +∠ACD +∠DCB +∠DBC ＝180°∴∠ACD +∠DCB ＝90°，即∠ACB ＝90°∴△ABC 是直角三角形．【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．13．【解析】（1）逆命题：如果0ab =，那么0a =，0b =；假命题．（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题．【名师点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判定定理.14．【解析】假设x 1=x 2，则[-（m +1）]2-4（2m -3）=0，整理得：m2-6m+13=0，而m2-6m+13=（m-3）2+4>0，与m2-6m+13=0矛盾，故假设不成立，所以x1≠x2．1．【答案】A【解析】当n=﹣2时，满足n<1，但n2﹣1=3>0，所以判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，举出n=﹣2．故选A．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2．【答案】C【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；D、四边相等的菱形是正方形，所以D选项错误．故选C．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．【答案】A【解析】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选A．【名师点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．【答案】B【解析】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C 、n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-，正确，是真命题；D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．【答案】D【解析】A ．矩形对角线互相垂直，不正确；B ．方程x 2=14x 的解为x =14，不正确；C ．六边形内角和为540°，不正确；D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D ．【名师点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．6．【答案】D【解析】A ．对顶角相等；真命题；B ．直线5y x =-不经过第二象限；真命题；C ．五边形的内角和为540︒；真命题；D ．因式分解()322+1++=+x x x x x x ；假命题；故选D ．【名师点睛】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题；属于基础题.7．【答案】C【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题； B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．【答案】D【解析】①函数y =x 的取值范围是13x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确， 故选D ．【名师点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤；理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．9．【答案】C【解析】①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题； ②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题； ④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；故选C ．【名师点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.10．【答案】D【解析】A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；。

中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解）专题24 新定义与数字类规律探究问题（重难点培优重难点培优）小题））解答题（（共24小题一．解答题1．（2023秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案为8；（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．2．（2023春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空①（3，81）＝4，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，ଵ଼）＝﹣3，则x＝2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．【解析】（1）①∵34＝81，∴（3，81）＝4，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为4，5；（2）根据题意得x﹣3=18，∴ଵ௫య=ଵ଼，∴x＝2，故答案为2；（3）a+b＝c，理由如下根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．3．（2023春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝ ﹣3．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．请你用这种方法证明下面这个等式（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【分析】（1）根据定义直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝﹣3；（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y，＝20，从而求解．【解答】（1）解因为32＝9，所以（3，9）＝2；因为40＝1，所以（4，1）＝0；因为2﹣3=18，所以（2，ଵ଼）＝﹣3．故答案为2，0，﹣3；（2）证明设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y＝4×5＝20，所以（3，20）＝x+y，所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．4．（2023春•东台市期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解析】（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．5．（2023春•罗山县期中）观察下列两个等式2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对(2，13)，(5，23)都是“共生有理数对”．（1）判断数对（﹣2，1），(3，12)中，(3，12)是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．【分析】（1）先判断，然后根据题目中的新定义，可以判断（﹣2，1），(3，12)是否为“共生有理数对“；（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．【解析】（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对“，（3，ଵଶ）是“共生有理数对“，理由∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对“，∵3−12=52，3×12+1=52，∴（3，ଵଶ）是“共生有理数对”；故答案为(3，12)；（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，解得a＝﹣2；（3）是，理由∵m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．故答案为是．6．（2023秋•成武县期中）【概念学习】现规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把ܽ÷ܽ÷ܽ⋯÷ܽ௡个௔（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．︸【初步探究】（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）下列关于除方说法中，错误的是C．A任何非零数的圈2次方都等于1B对于任何正整数n，1ⓝ＝1C 3④＝4③D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试 仿照上面的算3，（ଵହ）⑥＝54．（4）想一想 请把有理数﹣2． ．（5）算一算 12ଶൊሺെ13ሻ【分析】（1）根据规定运算（2）根据圈n 次方的意义（3）根据题例的规定，直接（4）根据圈n 次方的规定和（5）先把圈n 次方转化成幂【解析】（1）2③＝2÷2（−12）④＝（െ12）÷（故答案为 ଵଶ，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3∴3④≠4③． 故选 C ．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷×（−13）＝（െ13）3，（ଵହ）⑥＝（ଵହ）÷（ଵହ）÷面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式 （﹣理数a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式为)④×(−2ሻ⑥െሺെ13ሻ⑥ൊ3ଷൌ ﹣2．定运算，直接计算即可；意义，计算判断得结论； 直接写成幂的形式即可；规定和（3）的结果，综合可得结论；化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即÷2＝1÷2ൌ12，െ12）÷（െ12）÷（െ12）＝1×2×2＝4； ൌ19，4③＝4÷4÷4ൌ14， ÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）＝1×5×5×53）⑤＝ （െ13）式为a ⓝ＝ （ଵ௔）n求值即可． （−13）×（െ13）×5＝54；故答案为 （െ13）3，54；（4）（4）a ÷a ÷a ÷…÷a ＝a ×1ܽ×1ܽ×⋯×1ܽ=（ଵ௔）n ﹣2．故答案为 （ଵ௔）n ﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（ଵଶ）4﹣34÷33＝24×32÷32×（ଵଶ）4﹣3 ＝1﹣3 ＝﹣2． 故答案为 ﹣2．7．（2018秋•长葛市期中）材料一般地，n 个相同的因数a 相乘 ܽ⋅ܽ⋯ܽ︸௡个记为ܽ௡．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381＝4）．问题（1）计算以下各对数的值 log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4×16＝64log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式 log 24+log 216＝log 264（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M +log a N ＝MN （a ＞o 且a ≠1，M ＞0，N ＞0）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律 4×16＝64，log 24+log 216＝log 264； （3）由特殊到一般，得出结论 log a M +log a N ＝log a MN ． 【解析】（1）log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6，故答案为2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案为4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN，故答案为MN．8．（2023春•邗江区校级月考）概念学习规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，(−12)⑤=﹣8；（2）将下列运算结果直接写成幂的形式5⑥＝ଵହర；(−12)⑩=28；（3）想一想将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为ଵ௔೙షమ；（4）算一算42×(−13)④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(−12)③=（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8；（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(−12)⑩=28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a=1ܽ݊−2；（4）原式＝16×9＝144．9．（2023秋•滕州市期末）如果x n＝y，那么我们记为（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空（2，8）＝3，（2，ଵସ）＝ ﹣2；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解析】（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2=14，所以（2，ଵସ）＝﹣2．故答案为3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答（b，a）的值为4．10．（2023秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（ଵଶ）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ （ଵଷ）2；（ଵଶ）⑩＝28；a ⓝ＝ （ଵ௔）n ﹣2；（3）计算 22×（−13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据除方的定义计算即可． 【解析】（1）2÷2÷2=12，（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4， 故答案为 ଵଶ，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）＝（ଵଷ）2，ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ=1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，ܽ÷ܽ÷ܽ÷⋯÷ܽ︸௡个௔=1×1ܽ⋅1ܽ⋅⋯⋅1ܽ︸(௡ିଶ)个1ܽ=（ଵ௔）n ﹣2，故答案为 (13)ଶ，28，(1ܽ)௡ିଶ；（3）原式=2ଶ×(−3)ଶ÷(−12)−[(−3)÷(−3)] ＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73．11．（2023秋•海安市月考）已知M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，ܯ(௡)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)︸௡个(ିଶ)相乘（n 为正整数）．（1）求2M （2018）+M （2019）的值．（2）猜想2M （n ）与M （n +1）的关系并说明理由． 【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M （n ）与M （n +1）互为相反数． 【解析】（1）2M （2018）+M （2019） ＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M （n ）与M （n +1）互为相反数，理由如下因为2M （n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n +1，M （n +1）＝（﹣2）n +1，所以2M （n ）＝﹣M （n +1），所以2M （n ）与M （n +1）互为相反数．12．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n ，那么称b 为n 的布谷数，记为b ＝g （n ），如g（8）＝g （23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空 g （2）＝1，g （32）＝5． （2）布谷数有如下运算性质若m ，n 为正数，则g （mn ）＝g （m ）+g （n ），g （௠௡）＝g （m ）﹣g （n ）．根据运算性质填空௚(௔ర)௚(௔)=4，（a 为正数）．若g （7）＝2.807，则g （14）＝3.807，g （଻ସ）＝0.807．（3）下表中与数x 对应的布谷数g （x ）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a ，b 的代数式表示）x316 233 6 9 27g （x ） 1﹣4a +2b 1﹣2a +b2a ﹣b 3a ﹣2b4a ﹣2b 6a ﹣3b【分析】（1）g （32）＝g （25）＝5；g （32）＝g （25）＝5； （2）௚(௔ర)௚(௔)=௚(௔⋅௔⋅௔⋅௔)௚(௔)=ସ௚(௔)௚(௔)=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）； （3）g （ଷଵ଺）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3），g（9）＝2g （3），g （27）＝3g （3），当g （3）正确时，有且仅有两个是错误； 【解析】（1）g （2）＝g （21）＝1， g （32）＝g （25）＝5；故答案为1，5； （2）௚(௔ర)௚(௔)=௚(௔⋅௔⋅௔⋅௔)௚(௔)=ସ௚(௔)௚(௔)=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），∵g （7）＝2.807，g （2）＝1， ∴g （14）＝3.807； g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）， g （4）＝g （22）＝2，∴g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）＝2.807﹣2＝0.807； 故答案为4，3.807，0.807； （3）g （ଷଵ଺）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3）， g （9）＝2g （3）， g （27）＝3g （3），从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，∴g（ଷଵ଺）和g（6）错误，∴g（ଷଵ଺）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；13．（2023秋•凌河区校级期中）阅读计算阅读下列各式（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题（1）验证（4×0.25）100＝1；4100×0.25100＝1．（2）通过上述验证，归纳得出（ab）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算（﹣0.125）2015×22014×42014．【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．②根据有理数乘方的定义求出即可；③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【解析】①（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为1，1．②（a•b）n＝a n b n，（abc）n＝a n b n c n，故答案为a n b n，（abc）n＝a n b n c n．③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．14．（2017秋•高邮市校级月考）回答下列问题（1）填空①（2×3）2＝36；22×32＝36②（−12×8）2＝16；（−12）2×82＝16③（−12×2）3＝ ﹣1；（−12）3×23＝ ﹣1（2）想一想（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？ 是 （填“是”或“不是”）．（3）猜一猜当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）试一试（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝ ﹣1．【分析】根据已知条件进行计算，然后归纳结论即可．【解析】（1）①（2×3）2＝62＝36；22×32＝4×9＝36．故答案为36，36；②（−12×8）2＝（﹣4）2＝16，（−12）2×82=14×64＝16．故答案为16，16；③（−12×2）3＝（﹣1）3＝﹣1，（−12）3×23=−18×8＝﹣1．故答案为﹣1，﹣1；（2）答案为是．（3）答案为a n b n；（4）（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝[ଷଶ×（−23）]2017＝（﹣1）2017＝﹣1．故答案为﹣1．15．（2017秋•兴化市月考）定义 如果10b＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d （n ）． （1）根据劳格数的定义，可知 d （10）＝1，d （102）＝2 那么 d （103）＝3．（2）劳格数有如下运算性质若m ，n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ）； d （௠௡）＝d （m ）﹣d （n ）．根据运算性质，填空ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=5，若d （3）＝0.48，则d （9）＝0.96，d （0.3）＝ ﹣0.52． 【分析】（1）根据劳格数的定义，可知d （10b）＝b ，即可得解；（2）根据劳格数的运算性质，d （mn ）＝d （m ）+d （n ），计算d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2），再求约分即可；根据劳格数的运算性质，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3），再将d （3）的值代入即可；根据劳格数的运算性质，d （0.3）＝d （ଷଵ଴）＝d （3）﹣d （10），再代入d （3）和d （10）的值即可． 【解析】（1）根据劳格数的定义，可知d （103）＝3， 故答案为 3；（2）根据题意，得 d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2）， ∴ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=ହ×ௗ(ଶ)ௗ(ଶ)=5，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3）＝0.48+0.48＝0.96； d （0.3）＝d （ଷଵ଴）＝d （3）﹣d （10）＝0.48﹣1＝﹣0.52．故答案为 5；0.96；﹣0.52．16．（2023春•阜宁县校级月考）规定 M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M （n ）=(−2)×(−2)×(−2)×⋯(−2)︸௡(ିଶ)．（1）计算M（5）+M（6）；（2）求2×M（2023）+M（2023）的值；（3）试说明2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．【解析】（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2023）+M（2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2023＝2×（﹣22023）+22023＝﹣22023+22023＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2023秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，ଵଶ）＝4，f （5，3）＝ଵଶ଻；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是②．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现 “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算 f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ）． 【分析】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解析】（1）f （4，ଵଶ）=12÷12÷12÷12=4， f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为 4；ଵଶ଻．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误； ②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为 ②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（ଵ௔）n ﹣2（n 为正整数，a≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ） =127×9×（−18）×16=−23．18．（2023秋•诸暨市期中）阅读下列材料 |x |=൞ݔ，ݔ＞00，ݔ=0−ݔ，ݔ＜0，即当x ＜0时，௫|௫|=௫ି௫=−1．用这个结论可以解决下面问题（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，求௔|௔|+௕|௕|的值；（2）已知a ，b ，c 是有理数，当abc ≠0时，求௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|的值．【分析】（1）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，a 、b 异号，根据绝对值的意义计算௔|௔|+௕|௕|得到结果；（2）对a 、b 、c 进行讨论，即a 、b 、c 同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|得结果；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，把求௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|转化为求ି௔|௔|+ି௕|௕|+ି௖|௖|的值，根据abc＜0得结果．【解析】（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，௔|௔|+௕|௕|=−1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，௔|௔|+௕|௕|=1+1＝2；③a，b异号，௔|௔|+௕|௕|=0．故௔|௔|+௕|௕|的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1+1+1＝1．故௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|=−ܽ|ܽ|+−ܾ|ܾ|+−ܿ|ܿ|＝﹣[௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|]＝﹣1．19．（2023秋•泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1… M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，… 利用以上规律计算（1）M （28）×M （ଵହ）；（2）﹣1÷M （39）÷[﹣M （ଵ଺）]．【分析】（1）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ௡）＝﹣（ଵ௡）2，再根据有理数的乘法，可得答案；（2）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ௡）＝﹣（ଵ௡）2，再根据有理数的除法，可得答案．【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（ଵହ）2]＝25×（−125）＝﹣1；（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（ଵ଺）2]} ＝﹣1×136×36 ＝﹣1．20．（2019秋•曲靖期末）阅读理解 李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是 “头尾一拉，中间相加，满十进一”例如 ①24×11＝264．计算过程 24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程 68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．（1）计算 ①32×11＝352，②78×11＝858；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．【分析】（1）根据口诀“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；（2）由（1）两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数即可得结果；（3）结合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．【解析】（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案为352，858．（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．故答案为a，a+b，b．（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为a，个位数为b，则11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根据上述代数式，可以总结出规律口诀为“头尾一拉，中间相加，满十进一”．21．（2023秋•魏都区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示知道|2|＝|2﹣0|，它在数轴上|5﹣2|可理解为5与2两数在表示5与﹣2两数在数轴上（1）数轴上表示3和﹣（2）探索①若|x ﹣4|＝3，则x ＝1②若使x 所表示的点到表示2、1、0、﹣1．（3）进一步探究 |x +1|+|（4）能力提升 当|x +1+|【分析】（1）根据材料可得（2）①根据材料判断式子的②根据距离可直接得到（3）通过材料及前两问的解（4）通过材料及前几问的解式子有最小值时，x ＝4【解析】（1）根据材料可得|；故答案为 |3﹣（﹣1）|（2）①根据材料可知|x ∴x ＝1或7； 故答案为 1或7；②由题意可知x所表示的整揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点两数在数轴上所对应的两点之间的距离 |5+2|可以看作数轴上所对应的两点之间的距离．1的两点之间的距离的式子是|3﹣（﹣1）|． 或7．到表示4和﹣1的点的距离之和为5．所有符合条件的1|+|x ﹣6|的最小值为7．x ﹣4+|x ﹣9|的值最小时，x 的值为4．料可得结果；式子的意义，然后得出x 的值； x 的取值；问的解答可知|x +1|+|x ﹣6|的最小值就是|﹣1﹣6|；问的解答可知|x +1+|x ﹣4+|x ﹣9|中x 表示到﹣1、4．料可得 数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离的式子；﹣4|＝3中x 表示到﹣4的距离等于3的点对应的数示的整数为4、3、2、1、0、﹣1；结合”的基础，我们的点）之间的距离，以看作|5﹣（﹣2）|，条件的整数为4、3、、9的距离之和，的式子是|3﹣（﹣1）应的数，故答案为4、3、2、1、0、﹣1；（3）根据材料可知|x+1|+|x﹣6|中x表示到﹣1和6的距离之和，∴|x+1|+|x﹣6|的最小值为7；故答案为7；（4）根据材料可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距离之和，∴当x＝4时，式子有最小值；故答案为4．22．（2018秋•雄县期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．（1）对照数轴填写下表a 4 ﹣6 ﹣6 ﹣10 ﹣1.5b 6 0 ﹣4 2 ﹣1.5A、B两点的距离 2 6 2 12 0（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b（a≤b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x+3|的最小值．【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可求解；（2）由d＝|a﹣b|，又知b＞a，化简可得d＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，由﹣1与1的距离为2，可确定﹣1≤x≤1，求出符合条件的整数x即可；（4）由1与﹣3的距离为4，即可求|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．【解析】（1）a＝﹣6，b＝0，则AB＝|﹣6﹣0|＝6，a＝﹣6，b＝﹣4，则AB＝|﹣6﹣（﹣4）|＝2，a＝﹣10，b＝2，则AB＝|﹣10﹣2|＝12，故答案为6，2，12；（2）∵a≤b，∴d＝|a﹣b|＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，∵数轴上点x到﹣1和1的距离之和为2，∴|x+1|+|x﹣1|＝2，∵﹣1与1的距离为2，∴﹣1≤x≤1，∵x是整数，∴x＝﹣1，0，1，∴数轴上到﹣1和1的距离之和为2的整数有﹣1，0，1；（4）|x﹣1|+|x+3|表示数轴上点x到1和﹣3的距离和最小，∵1与﹣3的距离为4，∴|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．23．（2023秋•攀枝花期中）我们知道|4﹣（﹣1）|表示4与﹣1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，|5+3|＝|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为|a﹣b|．试探索．（1）若|x﹣3|＝7，则x＝ ﹣4或10；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示﹣4的点与表示6的点重合；（3）计算|x﹣4|+|x+1|＝7．【分析】（1）根据题意给出的定义即可求出答案．（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求；（3）分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出x的值．【解析】（1）∵|x﹣3|＝7，∴x﹣3＝7或x﹣3＝﹣7，解得x＝10或x＝﹣4；故答案为﹣4或10；（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意得ିଶାସଶ=1，∴ିସା௫ଶ=1，解得x＝6；故答案为6；（3）①当x＜﹣1时；（﹣x+4）+（﹣x﹣1）＝7，则x＝﹣2；②当﹣1≤x≤4时；（x﹣4）+（﹣x﹣1）＝7，则﹣5＝7，无解；③当x≥4时；（x﹣4）+（x+1）＝7，则x＝5，综上，x＝﹣2或5．24．（2023秋•玄武区校级月考）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题（1）①若a＝3，b＝2，则A、B两点之间的距离是1；②若a＝﹣3，b＝﹣2，则A、B两点之间的距离是1；③若a＝﹣3，b＝2，则A、B两点之间的距离是5；（2）若数轴上A、B两点之间的距离为d，则d与a、b满足的关系式是d＝|a﹣b|；（3）若|3﹣2|的几何意义是数轴上表示数3的点与表示数2的点之间的距离，则|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）若|a|＜b，化简|a﹣b|+|a+b|＝2b．【分析】（1）计算出两数差的绝对值即可；（2）两点间的距离等于两数差的绝对值；（3）根据|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，即可判断；（4）先化简每一个绝对值，然后再进行计算．【解析】（1）①|3﹣2|＝1，②|﹣3﹣（﹣2）|＝1，③|﹣3﹣2|＝5；（2）d＝|a﹣b|；（3）∵|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，∴|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）∵|a|＜b，∴a﹣b＜0，a+b＞0，∴|a﹣b|+|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b；故答案为（1）①1，②1，③5；（2）d＝|a﹣b|；（3）数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）2b．。

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

新定义问题考点一：学习探究类问题根据探索对象不同，探索性题型一般可分为条件探索型和结论探索型两类。

1•条件探索型条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维。

2•结论探索型结论探索型一般可分为猜想型，判断型和是否存在型。

（1）猜想型猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证。

（2）判断型判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。

（3）是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。

若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。

考点二：新定义问题1 •新定义①函数类新定义②距离类新定义③几何类新定义④与圆有关的新定义2 •考察的数学思想解答题一般考查学生综合运用初中三年级所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。

3 •常考题型①高中或大学数学知识的下放②初中数学知识的改编③完全新定义考点一：学习探究类问题1.已知/ MAN=13°，正方形ABCD绕点A旋转.（1 ）当正方形ABCD旋转到/ MAN勺外部（顶点A除外）时，AM AN分别与正方形ABCD勺边CB CD的延长线交于点M N,连接MN①如图1，若BM=DN则线段MN与BM+Df之间的数量关系是______________ ;②如图2，若B佯DN请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3,当正方形ABCD旋转到/ MAN的内部（顶点A除外）时，AM AN分别与直线BD 交于点M, N,探究：以线段BM MN DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由.BC DA2>CC图I图3DABCcBC图图32.【问题探究】(1)如图1,锐角△ ABC 中，分别以AB AC 为边向外作等腰厶 ABE 和等腰△ ACD 使AE=ABAD=AC / BA 匡/CAD 连接BD CE 试猜想BD 与 CE 的大小关系，并说明理由.【深入探究】(2) 如图 2,四边形 ABCD 中, AB=7cm, BC=3cm,Z AB(=Z ACD / ADC 45o ,求 BD 的长. (3) 如图3,在⑵ 的条件下，当△ ACD&线段AC 的左侧时，求 BD 的长.聖25题團3. ( 1)问题如图1,在四边形 ABCD 中，点P 为AB 上一点，/ DPC M A=Z B=90 , 求证：AD ・BC=AP ・ BP. 探究如图2,在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当/DPC M A=Z B=0时，上述结论是否依然 成立？说明理由. (3)应用请利用(1) (2)获得的经验解决问题：如图3,在厶ABD 中，AB=6 AD=BD=5点P 以每秒1个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点B 运动，且满足/ DPC M A,设点 P 的运动时间为t (秒)，当以D 为圆心，以DC 为 半径的圆与AB 相切时，求t 的值.4. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15 °的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路 思路一 如图1，•在Rt △ AB (中, Z C=90，/ ABC=30，延•长CB 至点D,使BD=BA 连接 AD 设 AC=1,则 BD=BA=2 BC 近.tan D=ta n15、计馬=⑵扁 舀—品、=2-思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan (a±B)1+ tan CL t an B •假设a =60°,3 =45° 代入差角正切公式：tan15 ° =tan (60°- 45°)-=2--思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考) . (1) 类比：求出 (2) 应用：如图 ,C 两点间距离为 tan&CT -龙出4区9l+tanGO* tan45e(3)拓展：如图 tan75 ° 的值； 2,某电视塔建在一座小山上，山高 BC 为30米，在地平面上有一点 A ,测得A60米，从A 测得电视塔的视角(Z CAD 为45°，求这座电视塔 CD 勺高度；1 y=" 3，直线 x - 1与双曲线 4y —交于A , B 两点，与y 轴交于点C ,将直线AB 绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.5. 已知直线m// n,点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点.(1) __________________________________________________ 操作发现：直线I丄m, I丄n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图①所示)，连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系：_______________________________________________________ .(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线I向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. —|(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线I绕点A旋转，使得/ APB=90。

新定义题类型一 新运算型1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③2. 阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，且a →∥b →，则m ＝________.3. 对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝______．4. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i )＋(5＋3i )＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ； (1＋i )×(2－i )＝1×2－i ＋2×i －i 2＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i 3＝________，i 4＝________； (2)计算：(1＋i )×(3－4i )； (3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017.类型二新概念型5. 已知点A在函数y1＝－1x(x＞0)的图象上，点B在直线y2＝kx＋1＋k(k为常数，且k≥0)上，若A，B两点关于原点对称，则称点A、B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A. 有1对或2对B. 只有1对C. 只有2对D. 有2对或3对6. 新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1x－1＋1m＝1的解为________．7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m、n 的代数式表示)；(3)在抛物线y＝x2＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝－2x的图象上，直线AB经过点P(12，12)，求此抛物线的表达式．拓展类型新方法型8. 阅读下面的材料：如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2.(1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数：(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)＝2x(x＞0)是减函数．证明：假设x1＜x2，x1＞0，x2＞0，f(x1)－f(x2)＝2x1－2x2＝2x2－2x1x1x2＝2（x2－x1）x1x2，∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，∴2（x2－x1）x1x2＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)＝2x(x＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数f(x)＝1x2(x＞0), f(1)＝112＝1, f(2)＝122＝14.计算，f(3)＝________，f(4)＝________，猜想f(x)＝1x2(x＞0)是________函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)，Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？第9题图第9题解图①第9题解图②10. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)．(1)已知点A(－12，0)，点B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，求满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线y＝34x＋3上的一个动点，①如图②，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图③，点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．第10题图。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解解析“新定义”问题“新定义”问题可以考查学生的阅读能力、适应能力、探索能力、解决问题的能力以及类比、分类讨论等数学思想，它与所考查的知识点有机融合，既能发挥试题的区分功能，也能兼顾基础知识的整体考察，因此近年来在各地中考中频频亮相．现就中考试题进行分类解析，以展示“新定义”问题的独特之处．一、定义新“运算”例1 对于任意非零实数a、b，定义运算“○*”，使下列式子成立：1○*2＝－32，2○*1＝32，（－2）○*5＝2110，5○*（－2）＝－2110，…则a○*b＝_______．分析由新运算数字等式得出变化规律，即可得解．点评本题通过定义新运算，从一个新的视角考查了找规律试题，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．二、定义新“数”例2若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋（n＋2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数“．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”，现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．分析满足题意的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，根据概率公式计算可得解．点评本题定义新数，构思新颖，同时考查了概率公式．三、定义新“函数”例3设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为(a，b)．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m ≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．(1)反比例函数y ＝2013x 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数y ＝2147555x x --是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.分析 (1)根据反比例函数y ＝2013x的单调区间进行判断； (2)由一次函数的性质，分两种情况讨论：①k >0②k<0，列出关于系数k 、b 的方程组，即可求解；(3)抛物线顶点为（2，－115），所以分三种情况讨论①b ≤2②a<2<b ③a ≥2，同(2)，列出关于系数a 、b 的方程组，即可求解．点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数、反比例函数图象的性质解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义，解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．四、定义新“点”例4 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12）E(0，－2) ，F(23，0)．(1)当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是_______；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO ＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．分析“新定义”问题最关键的是能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过题意，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点．点评本题是北京市中考压轴题，考查的知识点有一次函数、圆、特殊直角三角形等．五、定义新“线”及新“四边形”例5若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上．请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC 是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．分析由新定义，易得(1)(2)．(3)由AC是四边形ABCD的和谐线，可得出△ACD是等腰三角形．从图3得AC＝AD，图4得AD＝CD，图5得AC＝CD，三种情况运用等边三角形、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．点评本题通过定义和谐线、和谐四边形，考查了等边三角形、正方形、30°的直角三角形的性质的运用，以及圆弧的概念，解答时容易忽略图5这种情况，因此，合理运用分类讨论思想是关键．六、定义新“角”例6 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°?，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．分析由特征角定义，即可得解，点评此题由新定义考查了三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．七、定义新“相似”例7 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图6，△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同，因此△ABC与△A'B'C'互为顺相似；如图7，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反，因此△ABC与△A'B'C'互为逆相似．(1)根据图8、图9和图10满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP 与△NMQ．其中，互为顺相似的是_______；互为逆相似的是_______（填写所有符合要求的序号）(2)在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C．点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．分析(1)略．(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：①如图11，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2．②如图12，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，③如图13，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q'．点评本题从课本习题出发，通过新定义以及恰当的图形变化，发现图形间的内在联系，本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识、分类讨论的数学思想．。

专题03 函数中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线2131(44n y nx nx n n =--++为正整数）．系列抛物线的顶点分别为1M ，2M ，3M ，⋯，n M ． （1）下列结论正确的序号是 ①②④ ． ①系列抛物线的对称轴是直线32x =-；②系列抛物线有公共交点(4,1)-和(1,1)； ③系列抛物线都是由抛物线214y x =-平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；（2）对于任意一条与x 轴垂直的直线x a =，与系列抛物线的交点分别为1N ，2N ，3N ，⋯，n N ．①当0a =时，1n n N N -= ；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离1n n N N -；若不相等，说明理由；③以1n n N N -为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a 的值．【解答】解：（1）系列抛物线的对称轴是直线3341222()4nb x a n -=-=-=-⨯-，故①正确； 221311(34)1444n y nx nx n n x x =--++=-+-+，令2340x x +-=．解得4x =-或1x =，∴系列抛物线有公共交点为(4,1)-，(1,1)，故②正确；系列抛物线二次项的系数为14n -，与抛物线214y x =-的系数不同，∴系列抛物线不是由抛物线214y x =-平移所得，故③错误；2221319913251(3)1()1444444216n y nx nx n n x x n n x n =--++=-++-++=-+++，∴系列抛物线的顶点坐标为3(2-，251)16n +． 12516n n M M -∴=，即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于2516，故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④；（2）当x a =时，213144n y na na n =--++，2221131133(1)(1)(1)1444444n y n a n a n na a na a n -=----+-+=-+-++，21113144n n n n N N y y a a --∴=-=+-；①当0a =时，11n n N N -=； 故答案为：1；②相邻两点之间的距离相等，距离为2113144n n N N a a -=+-；③系列抛物线的对称轴是直线32x =-；当32a <-时，由题意得：21331442a a a +-=-+；整理得2720a a ++=．解得a =a = 当32a >-时，整理得2100a a --=，解得a =a =综上，a 的值为72-或12+ 2．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”． （1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的是 ②③ （填序号）； ①6y x=；②|4|y x =；③225y x x =--． （2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （3）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，5B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且1212y y -=，求t 的值． 【解答】解；（1）解：根据定义，函数关于直线(x n n =为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形 ①6y x=的图象是中心对称图象，不符合题意： ②|4|y x =，③225y x x =--的图象是轴对称图形，符合题意． 故答案为：②③． （2）||y x h =-是“X （3）”函数， 3h ∴=，如图，3y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(3,0)C ∴，(0,3)D -， 45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒， AM CM ∴=，BN CN =， 5B A x x -=，5MN ∴=，设CN x =，则5MC x =-， (3,)B x x ∴+，(2,5)A x x --， (3)(2)(5)0x x x x ∴++--=， 1x ∴=，(4,1)B ∴， 4m ∴=；（3）由题意得4112a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22121(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，54t ∴=（舍)； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+， x t =时，2224y t t =-++，22121(1)2(1)4(24)232y y t t t t t -=--+-+--++=-=， 74t ∴=（舍)； ⑧当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，221215[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=， 又312t <，2t ∴=． ④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，22y t =-十24t +，221215(24)442y y t t t t -=--++=-+=，1t ∴=，又因为322t <，1t ∴=．综上所述：22t =-或12t =+． 3．我们知道，对于二次函数2()y a x m k =++的图象，可由函数2y ax =的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数2y ax =为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax =的“朋友函数”．左右、上所学的函数：二次函数2y ax =，函数y kx =和反比例函数ky x=都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数，由252(1)3y x x =-=--朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向 左平移1个单位 ，再向下平移7个单位，相应的朋友距离为 ．（2）探究二：已知函数263y x x =-+，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离． （3）探究三：为函数341x y x +=+和它的基本函数1y x =，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．【解答】解：（1）2(1)7y x =+-，∴向左平移1个单位；=故答案为：向左平移1个单位； （2）2263(3)6y x x x =-+=--，∴基本函数为2y x =；原抛物线的顶点坐标为(0,0)，新抛物线的顶点坐标为(3,6)-，∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移6个单位；=； （3）函数341x y x +=+可化为131y x =++，∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．．4．定义：1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y 是二次函数2()y ax bx c m x n =++图象上任意三个不重合的点，若满足1y ，2y ，3y 中任意两数之和大于第三个数，住意两数之差小于第三个数，且1y ，2y ，3y 都大于0，则称函数2y ax bx c =++是m x n 上的“仿三角形函数”．（1）①函数2(12)y x x =的最小值是m ，最大值是n ，则2m < n ；（填写“>”，“ <”或“=” )②函数2y x = 12x 上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是” )（2）若二次函数函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，求a 的取值范围； （3）若函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）①12x ，∴当1x =时，函数的最小值为1m =，当4x =时，函数的最大值为4n =， 2m n ∴<，故答案为：<；②当 1.1x =时，函数的最小值为1.21， 当2x =时，函数的最大值为4， 当1x =时，函数值为1， 1.2114+<，∴函数2y x = 不是12x 上的“仿三角形函数”；故答案为：不是；（2）当1x =时，3y a =-+，当2x =时，3y =，①当0a >时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”， 则302(3)3a a -+>⎧⎨-+⎩，解得：302a<； ②当0a <时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”， 则233a ⨯-+，30a ∴-<；综上所述，a 的取值范围为302a <或30a -<； （3）2222()y x mx x m m =-=--，∴函数最小值为2m -，当1x =时，12y m =-； 32x =时，934y m =-； ①当1m 时，1x =时120y m =-<，不满足题意； ②当1m <时，函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”， 则12092(12)34m m m ->⎧⎪⎨--⎪⎩， 解得：14m -；综上所述：若函数22y x mx =-在312x上是“仿三角形函数”时m 的取值范围为14m -． 5．定义：当x a =时，其对应的函数值为y f =（a ），若f （a ）a =成立，则称a 为函数y 的不动点．例如：函数234y x x =-+，当2x =时，y f =（2）223242=-⨯+=，因为f （2）2=成立，所以2为函数y 的不动点．对于函数2(1)(21)3y t x t x =+-+-，（1）当0t =时，分别判断1-和0是否为该函数的不动点，并说明理由； （2）若函数有且只有一个不动点，求此时t 的值；（3）将函数图象向下平移(0)m m >个单位长度，4t -时，判断平移后函数不动点的个数． 【解答】解：（1）1-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点；理由如下： 当0t =时，23y x x =--， 当1x =-时，1y x =-=， 当0x =时，30y =-≠，1∴-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点．（2）由不动点的定义可知，函数的不动点在y x =上， 当1t =-时，函数3y x =-，此时函数没有不动点； 当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x =+-+-，整理得，2(1)(22)30t x t x +-+-=， 函数有一个不动点，∴△2(22)12(1)0t t =+++=，整理得4(1)(4)0t t ++=，1t ∴=-（舍)或4t =-；综上可知，符合题意的t 的值为4-；（3）向下平移后的函数为：2(1)(21)3y t x t x m =+-+--， 当1t =-时，3y x m =--，函数没有不动点； 当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x m =+-+--， 整理得，2(1)(22)30t x t x m +-+--=，∴△2(22)(1)(3)0t t m =++++=，整理得△4(1)(4)t t m =+++，0m >，4t -，40t m ∴++>，当41t -<-时，△0<，平移后函数不动点的个数为0个； 当1t =-时，不是二次函数；当1t >-时，△0>，平移后函数不动点的个数为2个．综上可知，当41t --时，平移后函数不动点的个数为0个；当1t >-时，平移后函数不动点的个数为2个．6．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P O x x y y =-+-，二次函数234y x x =-+的图象如图所示． （1）点A 为图象与y 轴的交点，点(1,)B b -在该二次函数的图象上，求(,)d A B 的值． （2）点C 是二次函数234(0)y x x x =-+图象上的一点，记点C 的横坐标为m ． ①求(,)d O C 的最小值及对应的点C 的坐标．②当1t m t +时，(,)d O C 的最大值为p ，最小值为q ，若34p q -=，求t 的值．【解答】解：（1）把0x =代入234y x x =-+，得4y =，∴点A 坐标为(0,4)，把(1,)b -代入234y x x =-+，得1348b =++=，∴点B 坐标为(1,8)-，(,)|10||84|5d A B ∴=--+-=．（2）①223734()24y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为3(2，7)4，74y∴， 点C 在抛物线上，2(,34)C m m m ∴-+，2(,)|0||340|d O C m m m ∴=-+-+-，0m ，27344m m -+， (d O ∴，22)24(1)3C m m m =-+=-+，∴当1m =时，(,)d O C 最小值为3，此时点C 坐标为(1,2)． ②(d O ，2)(1)3C m =-+，∴当01m <时，(,)d O C 随m 增大而减小，当1m 时，(,)d O C 随m 增大而增大，把m t =代入(d O ，2)(1)3C m =-+得(d O ，2)(1)3C t =-+， 把1m t =+代入入(d O ，2)(1)3C m =-+得2(,)3d O C t =+， 当111t t +-=-时，12t =，当102t<时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值2(1)3p t =-+， 23(1)4p q t -=-=，解得312t =+（不符合题意，舍去），312t =-， 当112t <时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值23p t =+， 234p q t -==， 解得32t =，32t =-（不符合题意，舍去）．当1t >时，(,)d O C 的最小值2(1)3q t =-+，最大值23p t =+， 223(1)4p q t t -=--=， 解得78t =（不符合题意，舍去）， 综上所述，312t =-或32． 7．定义：如图，已知点M 是一次函数3y x =图象上的一个动点，M 的半径为2，线段OM 与M 交于点A ．若点P 在M 上，且满足2PA =，则称点P 为M 的“等径点”． （1）若点M 的横坐标为3时，M 的“等径点”是 (1,33)或(4,23) ； （2）若M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，求圆心M 的坐标；（3）若M 的“等径点” P 在二次函数22323y x x =++的图象上，求点P 的坐标．【解答】解：（1）点M 在一次函数3y x =图象上，∴可设点M 的坐标为(3)a a ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ， 则||ON a =，|3|MN a =， 2||OM a ∴=，30OMN ∴∠=︒，60MON ∠=︒．①点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 左侧时，如下图所示，2PA PM AM ===， PAM ∴∆是等边三角形，60PMA MON ∴∠=∠=︒， //PM x ∴轴， (2,3)P a a ∴-；②点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 右侧时，如下图所示，设AP '与MN 交于点Q ，此时60P AM MON ∠'=∠=︒， //P A x ∴'轴， MN AP ∴⊥'，90MQP ∴∠'=︒，30QMP ∠'=︒，1QP ∴'=，MQ =(P a ∴'+．当点M 横坐标为3时，3a =，则M 的“等径点”是或(4,；故答案为：或(4,；（2）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-． 当M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，则点P 的横坐标为0， 20a ∴-=或10a +=，解得2a =或1a =-，∴点M 的坐标为(2,或(1,-；（3）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-．令2x a =-，y =，则y =+；令1x a =+，y =-y =-M ∴的“等径点” P 在直线y =+上或直线y =-令2y x =+++，解得0x =或x =∴点P 的坐标为(0,或(3-+．令2y x =++-，方程无解．综上所述：点P 的坐标为(0,或(3-+．8．定义：若抛物线2111()y a x h k =++与抛物线2222()y a x h k =++．同时满足214a a =-且2114k k =-，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”． （1）已知抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，求1y 的解析式；（2）如图1，将一副边长为2的形式，若以BC 中点为原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，设经过点A ，E ，D 的抛物线为1y ，经过A 、B 、C 的抛物线为2y ，请立接写出1y 、2y 的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【解答】解：（1）22223(1)4y x x x =--=--， 21a ∴=，1h =-，24k =-，抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，21144a a ∴==--，1h =-且21164k k ==-， 22111163(1)164424y x x x ∴=--+=-++．（2）由题意可得，42DF AF ==4AG GF DG GF ====， 2EG =，2HG =，4BC =，2OF =，点O 为BC 的中点， 2BO OC ∴==，(2,0)B ∴-，(2,0)C ，(4,6)A -，(4,6)D ，(0,8)E ，∴可设抛物线11(4)(4)6y a x x =+-+，与抛物线22(2)(2)y a x x =+-，11668a ∴-+=，2(42)(42)6a -+--=，解得：118a =-，212a =，∴抛物线2111(4)(4)6888y x x x =-+-+=-+，抛物线2211(2)(2)222y x x x =+-=-，118a ∴=-，0h =，18k =，212a =，0h =且22k =-， 11(2)82-⨯-=，1824-⨯=-， ∴满足214a a =-且2114k k =-，1y ∴、2y 是一对共轭抛物线．9．阅读理解：我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k 表示．一般的，直线(0)y kx b k =+≠中的k ，叫做这条直线的斜率，则有tan k α=．探究发现：某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，212)()y x x ≠的直线y kx b =+的斜率为：2121PQ y y k x x -=-． 启发应用：（1）应用以上结论直接写出过(3,2)A ，(1,2)B -两点的直线AB 的斜率k 为 2 ； 深入探究：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）①已知(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，当直线CD 与直线EF 互相垂直时，请求出直线CD 与直线EF 的斜率之积；②事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由①可知这个定值为 ．③如图，M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆．已知(1,2)M ，(3,5)N ，请结合（2）中的结论，求出过点N 的M 的切线l 的解析式．【解答】解：（1）根据题目中的新概念可知：22213k --==-． 故答案为：2．（2）①(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，∴直线CD 的斜率为：9(1)52(6)4CD k --==--，直线EF 的斜率为：6241005EF k --==--， 1CD EF k k ∴⋅=-，∴直线CD 与直线EF 的斜率之积为1-，②由①可得这个定值为：1-， 故答案为：1-．③设直线MN 的解析式为：11y k x b =+， 切线的解析式为y kx b =+， ∴1111253k b k b =+⎧⎨=+⎩，132k ∴=，112b =， ∴直线MN 的解析式为：3122y x =+， 圆的切线与过切点的半径垂直， 11k k ∴=-，132k =， 23k ∴=-，把(3,5)N 代入y kx b =+， 得：35k b +=，把23k =-代入35k b +=，得：7b =，∴切线的解析式为273y x =-+．10．在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 11A B ； ②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC长．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段335A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y x b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴，b 最大时就是OC 最大， b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在△A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，15322CD ∴=-=，在Rt △B DC '中，2253()()722B C '=+=；∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线33y x b =-+中， 3403b -⨯+=，解得：433b =， 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，2273()()1322B C '=+=，b ∴的最大值为433，13BC =；最小值为233，7BC =．11．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”． （1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“()X n 函数”的打“⨯”． ①(0)my m x=≠ ⨯ ②|2|y x = ③225y x x =+-（2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （2）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，4B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且122y y -=，求t 的值．【解答】解；（1）①设(,)m a a 关于x n =对称的点为(2,)mn a a-，令2x n a =-，则2my n a=-，若2m m n a a=-，则a n =， ∴(0)m y m x =≠不是“()X n 函数”； ②设(,|2|)a a 关于x n =对称的点为(2,|2|)n a a -，令2x n a =-，则|2(2)||42|y n a n a =-=-，若|42||2|n a a -=，则a n =或0n =，|2|y x ∴=是“(0)X 函数”； ③设2(,25)a a a +-关于x n =对称的点为2(2,25)n a a a -+-，令2x n a =-，则2(2)2(2)5y n a n a =-+--，若2225(2)2(2)5a a n a n a +-=-+--，则有n a =或1n =-，225y x x ∴=+-是“(1)X -函数”；故答案为：⨯，√，√；（2）|y x =一|h 是“X （2）”函数， 2h ∴=，如图，2y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(2,0)C ∴，(0,2)D -，45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒，AM CM ∴=，BN CN =，4B A x x -=，4MN ∴=，设CN x =，则4MC x =-，(2B ∴十x ，)x ，(2,4)A x x --，(2)(2)(4)0x x x x ∴++--=，1x ∴=，(3,1)B ∴，3m ∴=；（3）由题意得4112a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，2212(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，12t ∴=； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+，x t =时，2224y t t =-++，1y 一222(1)2(1)4(24)232y t t t t t =--+-+--++=-=，52t ∴=； ③当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22125[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=±（舍去）:④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，2224y t t =-++，22125(24)212y y t t t t -=--++=-+=，12t ∴=±（舍去）， 综上所述：12或52．12．定义：我们把一次函数(0)y kx b k =+≠与正比例函数y x =的交点称为一次函数(0)y kx b k =+≠的“不动点”．例如求21y x =-的“不动点”：联立方程21y x y x =-⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，则21y x =-的“不动点”为(1,1)． （1）由定义可知，一次函数32y x =+的“不动点”为 (1,1)-- ；（2）若一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，求m 、n 的值；（3）若直线3(0)y kx k =-≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线3y kx =-上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得3ABP ABO S S ∆∆=，求满足条件的P 点坐标．【解答】解：（1）联立32y x y x =+⎧⎨=⎩， 解得11x y =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数32y x =+的“不动点”为(1,1)--，故答案为：(1,1)--；（2）一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，12n ∴-=，3n ∴=，∴ “不动点”为(2,2)，223m ∴=+， 解得12m =-； （3）直线3y kx =-上没有“不动点”，∴直线3y kx =-与直线y x =平行，1k ∴=，3y x ∴=-，(3,0)A ∴，(0,3)B -，设(,0)P t ，|3|AP t ∴=-，1|3|32ABP S t ∆∴=⨯-⨯， 1332ABO S ∆=⨯⨯， 3ABP ABO S S ∆∆=，|3|9t ∴-=，12t ∴=或6t =-，(6,0)P ∴-或(12,0)P ．13．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数2(3)2y x =--+是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①221y x x =++和②23(2)y x x =-中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 ；（2）如果函数2(,)y x a x b b a =-+>的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222(15)y x ax x =-+是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．【解答】解：（1）①2221(1)0y x x x =++=+，∴①无上确界；②23(2)y x x =-，1y ∴，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；（2）2y x =-+，y 随x 值的增大而减小，∴当a x b 时，22b y a -+-+，上确界是b ，2a b ∴-+=，函数的最小值不超过21a +，221b a ∴-++，1a ∴-，b a >，2a a ∴-+>，1a ∴<，a ∴的取值范围为：11a -<；（3）222y x ax =-+的对称轴为直线x a =，当1a 时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=（舍)；当5a 时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=（舍)；当13a <时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=；当35a <<时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=，综上所述：a 的值为2.4．14．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0m >，对于任意的函数值y ，都满足m y m -，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数21(2,0)y x x t t =-+-的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足9542n 时，则t 的取值范围是 1324t 或5342t ．【解答】解：由题干可得函数21y x t =-++在2x t -时，函数最大值或最小值为n ，9542n ， 0t >，抛物线21y x t =-++开口向下，顶点坐标为(0,1)t +，1t ∴+为函数最大值，当512t +=时，32t =， 302t ∴<， 当2t =时，直线2x =-与直线x t =与抛物线交点关于对称轴对称， 302t ∴<时，直线2x =-与抛物线交点为最低点， 把2x =-代入21y x t =-++得3y t =-+，当532t -+=-时，12t =， 12t ∴， 当95142t +时，5342t ， 当59324t --+-时，1324t ， ∴1324t 或5342t 满足题意． 故答案为：1324t 或5342t ． 15．定义：若实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”．例如，点(1,2)-满足：2123=-+，2(2)13-=+，则点(1,2)-是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点(,)A m n ．（1）1(3,2)A -和2(2,3)A -两点中，点 2A 是“轮换点”；（2）若二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当1x =时，8y =，②241b ac -=，求二次函数解析式；（3）若点A 是“轮换点”，用含t 的代数式表示m n ⋅，并求t 的取值范围．【解答】解：（1）根据实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”，1(3,2)A -，则23211=-+，此时2(2)311-≠+，1(3,2)A ∴-不是轮换点；2(2,3)A -，则2237=-+，此时2(3)27-=+，2(2,3)A ∴-是轮换点．故答案为：2A ；（2）设点(,)m n 是轮换点，由题意可知：2m n t =+①，且2n m t =+②，①-②得到：22m n n m -=-，即：(1)()0m n m n ++-=， 10m n ∴++=或0m n -=；当m n =时，则2am bm c m ++=，即：2(1)0am b m c +-+=，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”， 2(1)0am b m c ∴+-+=有两个相等的根，即：2(1)40b ac --=， 又241b ac -=，22211b b b ∴-+=-，解得：b l =，40ac ∴=，且0a ≠，0c ∴=，当1x =时，8y =，8a b c ∴++=，7a ∴=，217y x x ∴=+；当10m n ++=时，21am bm c m ∴++=--，即：2(1)10am b m c ++++=，同理得：2(1)4(1)0b a c +-+=，241b ac -=，21b a ∴=-；8a b c ++=，93c a ∴=-，241b ac -=，216400a a ∴-=， 解得：52a =或0a = （舍去）， 4b ∴=，32c =， 2153422y x x ∴=++， 综上所述，二次函数解析式为：217y x x =+或2153422y x x =++； （3）点(,)A m n 是“轮换点”，2m n t ∴=+①，2n m t =+②，①-②得：220m n m n -+-=，()(1)0m m m n ∴-++=，由“轮换点“定义可知：m n ≠，10m n ∴++=，1m n ∴+=-，①+②得：222m m n n t -+-=，222()21m n t m n t ∴+=++=-，2()221m n mn t ∴+-=-，1221mn t ∴-=-，1mn t ∴=-，m n ≠，2()0m n ∴->，2220m mn n ∴-+>，2()40m n mn ∴+->，把1m n +=-代入，得：140mn ->，14mn ∴<， 114t ∴-<， 34t ∴>， 故1mn t =-，34t >． 16．二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．其中定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线． ①抛物线2(0)y ax a =≠的焦点为1(0,)4F a ，准线为14y a =-，例如，抛物线213y x =的焦点是3(0,)4F ；准线是34y =-；抛物线23y x =-的焦点是 是1(0,)12- 准线是 ； ②将抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位、再向上平移k 个单位(0,0)h k >>，可得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠；因此抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠的焦点是1(,)4F h k a +，准线为14y k a =-+．例如，抛物线2113y x =+的焦点是7(0,)4F ，准线是14y =；抛物线21(1)2y x =+的焦点是 准线为 ．根据以上材料解决下列问题：（1）完成题中的填空；（2）已知二次函数的解析式为221y x x =+-．①求其图象的焦点F 的坐标以及准线解析式；②求过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标． ③抛物线上一点P ，点P 与坐标原点O 、F 点构成三角形，求POF ∆周长的最小值，以及P点的坐标．【解答】解：（1）①根据新定义，可得11144(3)12y a ===-⨯-， 所以抛物线23y x =-的焦点是1(0,)12-； 故答案是：1(0,)12-；112x =-； ②根据新定义，可得1h =-，111014242k a +=+=⨯，所以抛物线21(1)2y x =+的焦点是1(1,)2-，准线是12y =-；故答案是：1(1,)2-；12y =-；（2）①将221y x x =+-化为顶点式得：2(1)2y x =+- 根据新定义，可得1h =-，11724414k a +=-=-⨯， 所以可得抛物线221y x x =+-的焦点坐标7(1,)4F --，准线解析式为94y =-；②由①知7(1,)4F --，所以过点F 且与x 轴平行的直线是74y =-，将74y =-代入221y x x =+-得：27214x x -=+-，解得：12x =-或32x =-，所以，过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标为17(,)24--和37(,)24--． ③二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．过原点O 向二次函数221y x x =+-的准线94y =-作垂线．P ∴点坐标为(0,1)-．OPF ∴∆周长OF OP PF =++，PF PQ =，OP PQ OQ +=，OPF ∆周长OF PQ =+． OPF ∴∆周长的最小值即OP ⊥直线2y =-．|2|2OF OQ +=-=+OPF ∴∆周长的最小值为2+． P ∴点的坐标为(0,1)-，OPF ∆周长的最小值为2+．17．将抛物线2y ax =的图象（如图1)绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象（如图2)，记为21:C y x a=．【概念与理解】将抛物线214y x =和22y x =按上述方法操作后可得新的抛物线图象，记为：1:C 214y x =；2:C ． 【猜想与证明】在平面直角坐标系中，点(,0)M x 在x 轴正半轴上，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线1C 于点A 、B ，交抛物线2C 于点C 、D ，如图3所示． （1）填空：当1x =时，AB CD = ；当2x =时，ABCD= ； （2）猜想：对任意(0)x x >上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由． 【探究与应用】（3）利用上面的结论，可得AOB ∆与COD ∆面积比为 ；（4）若AOB ∆和COD ∆中有一个是直角三角形时，求COD ∆与AOB ∆面积之差； 【联想与拓展】（5）若抛物线23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上，如图所示，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线3C 于点A 、B ，交抛物线4C 于点C 、D ．过点A 作x 轴的平行线交抛物线4C 于点E ，过点D 作x 轴的平行线交抛物线3C 于点F ．对于x 轴上任取一点P ，均有PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是 ．【解答】解：【概念与理解】 根据题中的定义可知：211:4C y x =；22:C y x =； 故答案为：214y x =；2y x =； 【猜想与证明】（1）把1x =代入1C 中，得214y =， 12y ∴=±，1(1,)2A ∴，1(1,)2B -．1AB ∴=；把1x =代入2C 中，得21y =， 1y ∴=±，(1,1)C ∴，(1,1)D -． 2CD ∴=．∴12AB CD =． 把2x =代入1C 中，得212y =，y ∴=2A ∴，(1,2B ．AB ∴=；把2x =代入2C 中，得22y =，y ∴=C ∴，(1,D ．CD ∴=∴12AB CD ==． 故答案为：12；12．（2）成立，理由如下： 211:4C y x =，0x >，1y ∴=；2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=；22:C y x =，0x >，1y ∴=2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=12AB CD ==． 【探究与应用】（3）AOB ∆的面积12h AB =⋅；COD ∆的面积12h CD =⋅，111::222AOB COD S S h AB h CD ∆∆∴=⋅⋅=．故答案为：12． （4）①AOB ∆是直角三角形时，AM BM == OM AM ∴=，x ∴=，解得14x =或0x =（舍去）； 14OM ∴=，12AB =，1CD =，11111112424216COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=；当COD ∆中有一个是直角三角形时，CM DM =OM AM ∴=，则x =1x =或0x =（舍去）； 1OM ∴=，1AB =，2CD =，1111211222COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=．∴面积差为116或12； 【联想与拓展】（5）由题意23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上， 当x k =时，2y mk =，2y nk =，解得y =或y =(A k ∴，(,B k ，(C k ，(,D k ，//AE x 轴，//DF x 轴，(mk E n ∴，(nkF m，， mk AE k n ∴=-，nkDF k m=-， 1()2PAE mk S k n ∆∴=-，1()2PDF nk S k m∆=-， PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，11[()]:[()]1:322mk nkk k n m∴--=， 整理得，339n m =． 故答案为：339n m =．18．阅读下面的材料，再回答问题．我们知道利用换元法与整体的思想方法可以解方程，分解因式等等，还可以求函数的解析式等．一般地，函数解析式表达形式为：1y x =+，223y x x =+-，3y x =．还可以表示为：()1f x x =+，2()23f x x x =+-，3()f x x=的形式．我们知道()1f x x =+和()1f t t =+和()1f u u =+等表达的意思一样的．举个例子：2(1)f x x +=，设1x t +=，则1x t =-，2()(1)f t t =-，即2()(1)f x t =-．已知：函数2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式．分析：我们可以用换元法设1x t +=来进行求解．解：设1x t +=，则1x t =-，所以222()(1)2(1)212243f t t t t t t t t =---=-+-+=-+．所以2()43f x x x =-+．看完后，你学会了这种方法了吗？亲自试一试吧！ （1）若()1f x x =-，求(3)f x -； （2）(21)1f x x +=+，求()f x 的解析式；（3）若2(1)32f x x x -=-+，求(2)f x +的解析式． 【解答】（1）令3t x =-，则()(3)1314t x f t f x x -=-==--=- （2）令21x t +=，则12t x -=，所以11()122t t f t -+=+=，所以1()2x f x += （3）同理（2），可先求出()(1)23(1)22f x x x x x =+-++=-，再可求出(2)(2)2(2)232f x x x x x +=+-+=++19．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，2()0a b -，20a ab b ∴-，2a b ab ∴+，只有当a b =时，等号成立．结论：在2(a b ab a +、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +，只有当a b =时，a b +有最小值2p（1）根据上述内容，回答下列问题：若0m >，只有当m = 3 时，9m m+有最小值 ． （2）探索应用：如图，已知(3,0)A -，(0,4)B -，P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值． （3）判断此时四边形ABCD 的形状，说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，992m m m m +⋅9m m=． 当9m m=时， 解得：3m =或3-（不合题意舍去）， 故当3m =时，9m m+有最小值，其最小值是6． 故答案是：3；6；（2）P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点， ∴不妨可设12(,)p x x ， 则(,0)C x ，12(0,)D x． ADC ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形．∴1122ABCD S AC OD AC OB =⨯+⨯四边形 1()2AC OD OB =⋅+ 112(3)(4)2x x =+⋅+ 18212x x=++ 92()12x x=++．又90,0xx>>，∴由阅读理解中的结论可知：9926x x x x+⋅=， 所以当9(0)x x x=>时，即当3x =时，261224ABCD S =⨯+=四边形的最小值；（3）此时四边形ABCD 是菱形，理由如下：由（2）可知：当3x =时，此时点P 的坐标为(3,4)P ，∴5AB ==，5BC ==，5CD =，5DA =，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．另解：证34OA OC OD OB ====得四边形ABCD 是平行四边形， 再由AC BD ⊥知平行四边形ABCD 是菱形．20．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 左侧），若ABC ∆是等腰三角形，则称抛物线2(0)y ax bx c a =++≠是“理想抛物线”． （1）判断抛物线24y x =-+是否为“理想抛物线”，并说明理由； （2）已知经过点(3,0)B 的抛物线2(0)y ax bx c a =++>是“理想抛物线”．①若点1(2,)P k y -，(1Q k -，211)(0)y y y ⋅>是抛物线上另两点，满足当4k >时，PB 与AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段AC 的垂直平分线恰好经过点B ，求此抛物线的解析式；②是否存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，且502n <？若存在，求出所有满足条件的整数c 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线24y x =-+是“理想抛物线”，理由如下： 抛物线24y x =-+的对称轴为直线：0x =，∴该抛物线是关于y 轴对称，则点A 、B 关于y 轴对称，OC ∴垂直平分AB ，ABC ∴∆为等腰三角形，24y x ∴=-+是为“理想抛物线”；（2）①要满足ABC ∆是等腰三角形，则AB 可能为底边，也可能为腰； 当AB 为底边时，AC AB =，点A 、B 关于y 轴对称， 此时(3,0)B ，(3,0)A -，当4k >时，22k -<-，13k ->， 2P x ∴<-，3Q x >，AC 的垂直平分线恰好经过点B ，6BC AB ∴==，又ABC ∆是等腰三角形， 6AC AB BC ∴===， ABC ∴∆是等边三角形；又132OA AB ==，OC ∴=，(0,C ∴-；∴抛物线的交点式为：(3)(3)y a x x =+-，把点C 坐标代入，(03)(03)a -=+-．a ∴=（负值舍去），∴此时抛物线的解析式为：3)(3)y x x =+-； 当AB 为腰时，AB CB =，仍满足2P x <-，3Q x >， 120y y ⋅>，0a >，0P y ∴>，0Q y >，∴必有点P 在A 点上方，则(2,0)A -，对称轴直线12x =， 5CB AB ∴==， 3OB =，4OC ∴=，(0,4)C -，4c =-，又A B c x x a ⋅=，得23a =，32b =-；∴此时抛物线的解析式为：223432y x x =--； ②存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，理由如下：OC 是ABC ∆的高，且0a >，开口向上，抛物线与x 轴有两个交点，1(3)||||2ABC A C S x y cn ∆∴=⋅-⋅=， 1||(3)2A n x ∴=⋅-， 502n<， 150(3)22A x ∴<⋅-， 解得23A x -<，则需要分两种情况，当20A x -<时，0c <，此时BA BC =，|3|A x ∴-=，解得22(3)9A c x =--，20A x -<，20(3)916A x ∴<--，即2016c <，此时，存在1c =-或2c =-或3c =-或4c =-满足题意； 当03A x <<时，0c >，此时，AB AC =，|3|A x ∴-296A c x =-，03A x <<，9969A x ∴-<-<，即209c <<，此时，存在1c =或2c =满足题意；综上可知，存在整数c 是使得||ABC S cn ∆=，且502n <，此时c 的值为1-或2-或3-或4-或1或2．21．对某一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ，函数值y 满足m y n ，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 系和谐函数”．（1）已知正比例函数5(14)y x x =为“k 系和谐函数”，请求出k 的值；（2）若一次函数3(14)y px x =-为“3系和谐函数”，求p 的值；（3）已知二次函数22242y x ax a a =-+++，当11x -时，y 是“k 系和谐函数”，求k 的取值范围．【解答】解：（1）14x ，520y ∴，205(41)k ∴-=-，5k ∴=；（2）14x ，当0p >时，343p y p --，(43)(3)33p p ∴---=⨯，3p ∴=；当0p <时，433p y p --，3(43)33p p ∴---=⨯，3p ∴=-；综上所述：3p =±；（3）22222422()32y x ax a a x a a a =-+++=--++，当1x =时，262y a a =+-，当1x =-时，222y a a =--，当x a =时，232y a a =+，①当1a <-时，226222a a y a a +---，22(22)(62)(11)a a a a k ∴---+-=+，4k a ∴=-，4k ∴>；②当1a >时，226222a a y a a +---，22(62)(22)(11)a a a a k ∴+----=+，4k a ∴=，4k ∴>；③当10a -<时，226232a a y a a +-+，22(32)(62)(11)a a a a k ∴+-+-=+，2(1)k a ∴=-，14k ∴；④当01a 时，222232a a y a a --+，22(32)(22)(11)a a a a k ∴+---=+，2(1)k a ∴=+，14k ∴；综上所述：1k ．22．【阅读理解】已知关于x ，y 的二次函数22222()2y x ax a a x a a =-++=-+，它的顶点坐标为(,2)a a ，故不论a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线2y x =上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．【问题解决】（1）若二次函数223y x x =+-和243y x x =---是同源二次函数，求它们的根函数；（2）已知关于x ，y 的二次函数22:4441C y x mx m m =-+-+，完成下列问题： ①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数；②若二次函数C 与直线3x =-交于点P ，求点P 到x 轴的最小距离，并求出此时m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+-，∴该抛物线的顶点为(1,4)--；2243(2)1y x x x =---=-++，∴该抛物线的顶点坐标为(2,1)-．设经过点(1,4)--和点(2,1)-的直线的解析式为y kx b =+，∴421k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩，。

新定义型专题(-)专题诠释所谓“新定义"型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、 新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、 迁移的一种题型.“新定义''型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应 用新的知识解决问题的能力(-)解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是常握问题原型的特点及其问题解决的思想方法; 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.(三)考点精讲考点一：规律题型中的新定义例1 •定义：。

是不为1的有理数，我们把丄称为a 的差倒数.女口： 2的差倒数是丄 =-1, \-a 1-2—1的差倒数是一J —二丄.已知© = —1, ©是血的差倒数，是G2的差倒数，血 1-(-1) 2 3是Q3的差倒数，…，依此类推，6/2009 = ____ •考点二：运算题型中的新定义 ] [I —例2.对于两个不相等的实数a 、b,定义一种新的运算如下，d*b 二逅亘(d +方>0),如: Q - b3*2 =《+ 2 =逅,那么 6* (5*4)=・3-2误!未指定书签。

1% <3,贝h+y 的值是 _____________)4考点三：探索题型中的新定义例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1, PH=PJ, PI=PG,则点P 就是四边形ABCD 的准内点.例3.我们定义此=ad — be cd23 =2x5 - 3x4=10 - 12=・ 2, 45若;G y 均为整数，且满足IV 错（1）如图2, ZAFD与ZDEC的角平分线FP, EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内点.（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真或假①任意凸四边形一定存在准内点.（______ ）②任意凸四边形一定只有一个准内点.（______ ）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD. （_____ ）考点四：阅读材料题型中的新定义 阅读材料 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法, 然后通过解决简单的问题巩固所学知识； 请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD. CB=CD R AB^BC 的四边形ABCQ 叫做“筝形”；（1） 写出筝形的两个性质（定义除外）；（2） 写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.D备呕1 ［超mu 方法三〉备用图1方法可）真题演练1.定义运算a®b=a (1 "下列给出了关于这种运算的儿点结论：①2® ( - 2) =6；②a®b=b®a；③若d+b=O,则(a® b) + (/?® «) =2ab；④若a® Z?=0, 则a=0.其中正确结论序号是.(把在横线上填上你认为所有正确结论的序号)2.如杲一条直线把一个平面图形的而积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平而图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有—；(2)如图，梯形ABCD中，AB〃DC，女口果延长DC至I」E,使CE=AB,连接AE,那么有S 梯形ABCD=S/、ADE・请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的而积等分线(不写作法，保留作图痕迹)；(3)如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S AADC>S AABC，过点A能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由.@23. 如图，六边形/应对是正六边形，曲FK^KMKM ……叫做“正六边形的渐开线”,其中瞅,蝕K 「诫2K3，虬虬負，虬K （「 .................... 的圆心依次按点儿1、定义一种运算☆，其规则为£+｛，根据这个规则，计算2^3的值是（）a bA.丄B. -C. 5D. 665 2•在快速计算法屮，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国 的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计 算8X9时，左手伸岀3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7, 未伸出手指数的积为2,则8X9二10X7+2二72・那么在计算6X7时，左、右手伸 出的手指数应该分别为（ ）A 、1, 2B 、1, 3C 、4, 2D 、4, 33. （2016浙江杭州，10, 3分）定义［a, /?, c ］为函数y 二^干+加+仑的特征数,下面给出特征数为［2m, 1 - m, - 1 - m ］的函数的一些结论： ① 当-3时，函数图彖的顶点坐标是（3 3② 当ni>0时，函数图象截兀轴所得的线段长度大于？ 2③ 当mVO 时，函数在兀〉丄吋，y 随兀的增大而减小；4 ・④ 当niHO 时，函数图象经过同一个点. 其中止确的结论有（）B, C, D, E, 厂循环, 其弧长分别记为厶，厶•当时,B. C.201U2011兀201 U2二、填空题4•通过学习三角函数，我们知道在直角三角形屮，一个锐角的大小与两条边长的 比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。