2016-2017学年河南省滑县高二下学期期末考试数学(文)试题

2016-2017学年河南省安阳市滑县高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{2，3}2．（5分）复数z满足＝2+i，则z＝（）A．3+2i B．2﹣3i C．3﹣2i D．2+3i3．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）右焦点为F，右顶点为A，一条渐近线方程为y＝2x，且|AF|＝2，则该双曲线的实轴长为（）A．4B．2C．2D．24．（5分）“sinαcosβ+cosαsinβ＝”是“，k∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数y＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则该函数的单调增区间为（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．[﹣，+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）6．（5分）函数f（x）＝log2（x﹣1）+log2（3﹣x）（）A．在（1，3）上是增函数B．在（1，3）上是减函数C．最小值为1D．最大值为07．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝47，则判断框内可填入的条件是（）A．n＞3B．n＞4C．n＞5D．n＞68．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．2D．49．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x2+y2﹣2x的取值范围是（）A．[0，19]B．[]C．[]D．[]10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，AD＝BD＝CD＝1，E是BC中点，则直线AE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2n﹣1＝3n﹣1，a2n＝2n，则满足S n＜500的最大的n值为（）A．10B．11C．12D．1312．（5分）若∃x0∈[1，e]，使得x0+≤alnx0成立，则正数a的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某高校为调查1000名学生每周的自习时间（单位：小时），从中随机抽查了100名学生每周的自习时间，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝12，S4＝40，则+++…+＝．15．（5分）已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，+＝2，•＝1，则•＝．16．（5分）已知直线l：kx﹣y+2k﹣1＝0与圆x2+y2＝6交于A，B两点，过A，B分别作直线l的垂线与y轴交于C，D两点，若|AB|＝，则|CD|＝．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，a2﹣c2＝b2．（1）求tan C值；（2）若△ABC的面积为，求a的值．18．（12分）如图，所有棱长都相等的直四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中B′D′中点为E′．（1）求证：AE′∥平面BC′D；（2）求证：BD⊥AE′．19．（12分）某校从高一年级随机抽取了20名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩列表如下规定：综合成绩不低于90分者为优秀，低于90分为不优秀（1）在序号1，2，3，4，5，6这6个学生中随机选两名，求这两名学生数学和物理都优秀的概率（2）根据这次抽查数据，列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（），点A（x0，y0）为椭圆C上的点，且以A为圆心的圆过椭圆C的右焦点F．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）记M（0，y1）、N（0，y2）是圆A上的两点，若|FM|•|FN|＞p恒成立，求实数p的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R（1）探讨f（x）的单调性（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．四、选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线C于M，N两点，求|MN|．[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b＝1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年河南省安阳市滑县高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4＜0}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{1}．故选：A．2．【解答】解：由＝2+i，得z+i＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i，∴z＝3﹣2i．故选：C．3．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）右焦点为F，右顶点为A，一条渐近线方程为y＝2x，且|AF|＝2，可得：，解得：a＝1，b＝2，c＝3，2a＝2．故选：D．4．【解答】解：当sinαcosβ+cosαsinβ＝sin（α+β）＝时，则α+β＝或，k∈Z，当α+β＝时，则sinαcosβ+cosαsinβ＝sin（α+β）＝成立．综上所述，结论是：必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：由于函数y＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为＝，∴ω＝3，令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]（k∈Z），故选：B．6．【解答】解：f（x）的定义域为（1，3）．f（x）＝log2[（x﹣1）（3﹣x）]＝log2（﹣x2+4x﹣3），令g（x）＝﹣x2+4x﹣3，则g（x）在（1，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减，由复合函数的单调性可知f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减，故A，B错误．∴当x＝2时，f（x）取得最大值f（2）＝log21＝0．故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S＝1，n＝2；S＝1+4﹣2＝3，n＝3；S＝3+8﹣3＝8，n＝4；S＝8+16﹣4＝20，n＝5；S＝20+32﹣5＝47，n＝6．则判断框内可填入的条件是n＞5？；故选：C．8．【解答】解：由三视图得到几何体是半个球与正方体的组合体，其中球的半径为1，正方体的棱长为，所以体积为＝；故选：A．9．【解答】解：由约束条件实数x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（3，4），x2+y2﹣2x＝（x﹣1）2+y2﹣1，其几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1，∵P到直线2x+y＝4的距离d＝＝，|P A|＝＝2．∴x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣，19]．故选：D．10．【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），E（，0），D（0，0，0），＝（，﹣1），＝（0，﹣1，0），设直线AE与CD所成角为θ，则直线AE与CD所成角的余弦值为：cosθ＝＝＝．故选：C．11．【解答】解：a2n﹣1＝3n﹣1，a2n＝2n，可得S2n＝（1+3+…+3n﹣1）+（2+4+…+2n）＝+＝（3n﹣1）+2（2n﹣1），S2n﹣1＝S2n﹣a2n＝（3n﹣1）+2n﹣2．则S10═（35﹣1）+2（25﹣1）＝183，S11═（36﹣1）+26﹣2＝426，S12═（36﹣1）+2（26﹣1）＝490，S13═（37﹣1）+27﹣2＞500．可得满足S n＜500的最大的n值为12．故选：C．12．【解答】解：∵∃x0∈[1，e]，使得x0+≤alnx0成立，∴函数f（x）＝x+﹣alnx在x∈[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0．f′（x）＝1﹣﹣＝．∵a＞0，∴a+1＞1，∴x＞a+1时，f′（x）＞0；0＜x＜a+1时，f′（x）＜0．①当a+1≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴最小值[f（x）]min＝f（e）＝e+﹣a≤0．解得a≥，∵＞e﹣1，∴a≥．①当1＜a+1＜e时，即0＜a＜e﹣1时，最小值[f（x）]min＝f（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）≤0．∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）＞2．此时不存在x0，使得f（x0）≤0．综上可得：正数a的最小值为．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5＝0.7，∴每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×1000＝700．故答案为：700．14．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a3＝12，S4＝40，可得a1+2d＝12，4a1+×4×3d＝40，解得a1＝d＝4，则S n＝4n+n（n﹣1）×4＝2n（n+1），则＝＝（﹣），可得+++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故答案为：．15．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，+＝2，∴E为CD的中点，又•＝1，∴（+）•（﹣）＝1，即﹣•﹣＝1；设||＝m，则22﹣×2×m×cos60°﹣m2＝1，化简得m2+m﹣6＝0，解得m＝2或m＝﹣3（不合题意，舍去）；∴•＝（﹣）•（﹣）＝﹣•+＝22﹣×2×2×cos60°+×22＝3．故答案为：3．16．【解答】解：如图，设圆心到直线l的距离为d，由|AB|＝，可得r2﹣d2＝2∴d＝2，即，解得k＝﹣∴直线AC的斜率为，可得tan过D作DH⊥AC于H，则HD＝AB在Rt△DHC中，CD＝＝2×＝故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17．【解答】解：由题意：A＝，a2﹣c2＝b2．由余弦定理：cos A＝可得：b＝3c．∴a＝．故得cos C＝＝∴sin C＝那么tan C＝．（2）△ABC的面积为，由S＝bc sin A＝，可得：c＝1，∴a＝．18．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点E，由四边形ABCD的四边相等，得E为AC中点，连结A′C′，由四边形A′B′C′D′四边相等，得A′C′与B′D′交于B′D′中点E′，又在棱柱中，AA′∥CC′，AA′＝CC′，∴四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC∥A′C′，AC＝A′C′，∴C′E′＝AE，C′E′∥AE，连结C′E，则四边形AEC′E′为平行四边形，∴AE′∥C′E，∵AE′⊄平面BC′D，C′E⊂平面BC′D，∴AE′∥平面BC′D．（2）∵四边形ABCD四边相等，∴AC⊥BD，∵AA′⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA′⊥BD，∵AA′∩AC＝A，AA′⊂平面ACC′A′，AC⊂平面ACC′A′，∴BD⊥平面ACC′A′，∵AE′⊂平面ACC′A′，∴BD⊥AE′．19．【解答】解：（1）在前6号学生中，数学物理全优秀的序号为1、2、3、4，从前6号中选取2名学生，不同的取法有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56共15种；其中两科都优秀的有12、13、14、23、24、34共6种，故所求的概率为P＝＝；（2）根据这次抽查数据，列出2×2列联表如下，假设物理成绩与数学成绩无关，根据列联表中数据计算K2＝＝≈5.488＞5.024，因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关．20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，∴e＝＝①，且椭圆过点（），∴+＝1②；又a2＝b2+c2③，由①②③组成方程组，解得a2＝2，b2＝1；∴椭圆C的方程为+y2＝1；（Ⅱ）由椭圆的方程知，焦点F（1，0），又圆A的方程为+＝+；令x＝0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1＝0，∴y1+y2＝2y0，y1•y2＝2x0﹣1，且△＝4﹣4（2x0﹣1）＞0，＝1﹣，解得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2；又点A在椭圆C上，∴﹣≤x0≤，综上，﹣≤x0＜﹣2+2；∴|FM|•|FN|＝•＝＝＝＝（2﹣x0），∴|FM|•|FN|∈（4﹣4，2+2]；由|FM|•|FN|＞p恒成立，∴实数p的最大值为4﹣4．21．【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx的导数为f′（x）＝2ax﹣＝，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f′（x）＝0可得x＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0．可得f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数；（2）f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x＞1时，a≥++，令g（x）＝++，g′（x）＝﹣﹣+＝，当x≥1时，﹣1﹣x﹣2lnx＜0，即g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）递减，可得a≥g（1）＝2，则a的取值范围是[2，+∞）．四、选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）22．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴消去参数α得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ﹣1）2＝10，即ρ＝6cosθ+2sinθ．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y﹣x＝1，圆C的圆心C（3，1），半径r＝，∴圆心C（3，1）到直线x﹣y+1＝0的距离为d＝＝，∴弦长为|MN|＝2＝．[选修4－5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b＝1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|＝|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）。

2016-2017学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若i为虚数单位，a、b∈R，且=b+i，则ab=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．（5分）设x＞0，由不等式x+＞2，x+≥3，x+≥4，…，类比推广到x+≥n+1，则a=（）A．n n B．n2C．2n D．n3．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）用反证法证明“a、b∈N*，如果a、b能被2017整除，那么a、b中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（）A．a不能被2017整除B．b不能被2017整除C．a、b都不能被2017整除D．a、b中至多有一个能被2017整除5．（5分）为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据根据表中数据，通过计算统计量K2=，并参考以下临界数据：若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（）A．0.05 B．0.025 C．0.01 D．0.0056．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣3x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．1 B．C．D．7．（5分）若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离8．（5分）下列命题中正确的是（）A．命题“∃x0∈R，sinx0＞1”的否定是“∀x∈R，sinx＞1”B．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”C．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件D．若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则p，q同真或同假9．（5分）若ab＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（1，2），则的最小值为（）A．B．9 C．5 D．410．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．8 B．4 C．2 D．11．（5分）设等差数列{a n}满足（1﹣a1008）5+2016（1﹣a1008）=1，（1﹣a1009）5+2016（1﹣a1009）=﹣1，数列{a n}的前n项和记为S n，则（）A．S2016=2016，a1008＞a1009B．S2016=﹣2016，a1008＞a1009C．S2016=2016，a1008＜a1009D．S2016=﹣2016，a1008＜a100912．（5分）若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）将点P的极坐标（，）化成直角坐标为．14．（5分）设A、B分别是复数z1、z2，在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1+z2|=|z1﹣z2|，则∠AOB的大小为．15．（5分）某企业想通过做广告来提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为=x+，其中=6.5，由此预测当广告费为7百万元时，销售额为万元．16．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△APF1的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）直线C1与曲线C2相交于A，B两点，点M（1，0），求||MA|﹣|MB||．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC．（1）求A；（2）若a=，△ABC的面积为，求b+c．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n+1=（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（1）求证：SA⊥BD；（2）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．21．（12分）设函数f（x）=，g（x）=lnx+（a＞0）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若∃x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线l，交椭圆于A、B两点，记△AOF的面积为S1，△BOF的面积为S2，当S1=2S2时，求•的值．2016-2017学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2017春•洛阳期末）若i为虚数单位，a、b∈R，且=b+i，则ab=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：a、b∈R，且=b+i，∴a+2i=bi﹣1，∴a=﹣1，b=2．则ab═﹣2．故选：C．2．（5分）（2017春•洛阳期末）设x＞0，由不等式x+＞2，x+≥3，x+≥4，…，类比推广到x+≥n+1，则a=（）A．n n B．n2C．2n D．n【解答】解：由已知中不等式：x+＞2，x+≥3，x+≥4，…，类比推广到x+≥n+1，…归纳可得：不等式左边第一项为x．第二项为，右边为n+1，故第n个不等式为：x+≥n+1，故a=n n，故选A．3．（5分）（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．4．（5分）（2017春•洛阳期末）用反证法证明“a、b∈N*，如果a、b能被2017整除，那么a、b中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（）A．a不能被2017整除B．b不能被2017整除C．a、b都不能被2017整除D．a、b中至多有一个能被2017整除【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a、b∈N*，如果a、b能被2017整除，那么a、b中至少有一个能被2017整除”的否定是“a，b都不能被2017整除”．故选C．5．（5分）（2017春•洛阳期末）为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据根据表中数据，通过计算统计量K2=，并参考以下临界数据：若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（）A．0.05 B．0.025 C．0.01 D．0.005【解答】解：根据表中数据，计算观测值为K2===4.8＞3.84，参考临界值得：认为“该药物有效”，该结论出错的概率不超过0.05．故选：A．6．（5分）（2017春•洛阳期末）已知函数f（x）=lnx﹣3x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．1 B．C．D．【解答】解：f′（x）=﹣3，故f（1）=﹣3，f′（1）=﹣2，故切线方程是：y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0，令x=0，解得：y=﹣1，令y=0，解得：x=﹣，故三角形的面积S=×1×=，故选：C．7．（5分）（2017春•洛阳期末）若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+（y﹣3）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，3），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：y+1=3（x+1），即3x﹣y+2=0，∴圆心到直线的距离d==＜r=2，又圆心（﹣1，3）不在直线3x﹣y+2=0上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．故选：B8．（5分）（2017春•洛阳期末）下列命题中正确的是（）A．命题“∃x0∈R，sinx0＞1”的否定是“∀x∈R，sinx＞1”B．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”C．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件D．若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则p，q同真或同假【解答】解：A．命题“∃x0∈R，sinx0＞1”的否定是“∀x∈R，sinx≤1”，故A错误，B．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故B错误，C．在△ABC中，A＞B等价为a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，则在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故C错误，D．若p∧（￢q）为假，则p，￢q至少有一个为假命题，若p∨（￢q）为真，则p，￢q至少有一个为真命题，则p，￢q一个为真命题，一个为假命题，即p，q同真或同假，故D正确，故选：D9．（5分）（2017春•洛阳期末）若ab＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（1，2），则的最小值为（）A．B．9 C．5 D．4【解答】解：∵直线ax+by﹣2=0过点P（1，2），∴a+2b=2．又ab＞0，∴===，当且仅当b=a=时取等号．故选：A．10．（5分）（2017春•洛阳期末）已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．8 B．4 C．2 D．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，过B做BE⊥AD，由=3，则丨丨=丨丨，∴|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，∴直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=（x﹣）=x﹣3，联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：3x2﹣10x+9=0，由韦达定理可知：x1+x2=，则丨AB丨=x1+x2+p=+2=，而原点到直线AB的距离为d==，则三角形△AOB的面积S=•丨AB丨•d=••=4，∴当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求S=4，故选B．11．（5分）（2017春•洛阳期末）设等差数列{a n}满足（1﹣a1008）5+2016（1﹣a1008）=1，（1﹣a1009）5+2016（1﹣a1009）=﹣1，数列{a n}的前n项和记为S n，则（）A．S2016=2016，a1008＞a1009B．S2016=﹣2016，a1008＞a1009C．S2016=2016，a1008＜a1009D．S2016=﹣2016，a1008＜a1009【解答】解：（1﹣a1009）5+2016（1﹣a1009）=﹣1，变为：（﹣1+a1009）5+2016（﹣1+a1009）=1，令f（x）=x5+2016x﹣1，f′（x）=5x4+2016＞0，因此方程f（x）=0最多有一个实数根．∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=2016＞0，因此f（x）=0有一个实数根x0∈（0，1）．∴1﹣a1008=a1009﹣1＞0，可得a1008+a1009=2，a1008＜1＜a1009．S2016===2016．故选：C．12．（5分）（2017春•洛阳期末）若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，2）【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，∴，求得，它所表示的区域为△ABC内的部分，其中，A（﹣1，0），B（﹣2，0）、C（﹣3，1）．而==1+，表示可行域内的点M（a，b）与点N（1，2）连线的斜率加上1，由于NA 的斜率为=1，NC的斜率为=，故的取值范围是（，2），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017春•洛阳期末）将点P的极坐标（，）化成直角坐标为（﹣1，1）．【解答】解：设点P的直角坐标为（x，y），则x=ρcosθ=•cos=﹣1，y=ρsinθ=sin=1．∴点P的直角坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．14．（5分）（2017春•洛阳期末）设A、B分别是复数z1、z2，在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1+z2|=|z1﹣z2|，则∠AOB的大小为90°．【解答】解：设复数z1、z2在复平面内对应的向量为，，则由|z1+z2|=|z1﹣z2|，得||=||，则以向量，为邻边的平行四边形为矩形，则∠AOB的大小是90°，故答案为：90°．15．（5分）（2017春•洛阳期末）某企业想通过做广告来提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为=x+，其中=6.5，由此预测当广告费为7百万元时，销售额为6300万元．【解答】解：样本平均数==5，==50．∴（x i﹣）（y i﹣）=﹣3×（﹣20）+（﹣1）×（﹣10）+0+0+3×20=130，（x i﹣）2=9+1+0+1+9=20，∴=，∴=50﹣6.5×5=7.5．线性回归方程为：y=6.5x+17.5，预测当广告费为7百万元时，即x=7时，y=63百万元．故答案为：6300．16．（5分）（2017春•洛阳期末）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△APF1的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率为2．【解答】解：∵双曲线的焦距为4，∴|F1F2|=4，∴c=2∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，即2a=2，则a=1，∵a=1，c=2∴双曲线的离心率是e==2．故答案为：2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2017•唐山二模）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）直线C1与曲线C2相交于A，B两点，点M（1，0），求||MA|﹣|MB||．【解答】解：（Ⅰ）∵直线C1的参数方程为（t为参数），∴消去参数，得：曲线C1的普通方程为，∵曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3，ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，∴曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅱ）将直线C1的参数方程代入C2的直角坐标方程，整理得：5t2+2t﹣4=0，，由t的几何意义可知：．18．（12分）（2017春•洛阳期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC．（1）求A；（2）若a=，△ABC的面积为，求b+c．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC，∴2（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=4cosBcosC，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，可得2cos（B+C）=﹣1，∴cos（B+C）=﹣．∵0＜B+C＜π，可得B+C=．∴A=π﹣（B+C）=．…（6分）（2）由（1），得A=．∵S==bcsin，△ABC∴得bc=6．①由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：7=b2+c2﹣2bccos，即b2+c2﹣bc=7∴（b+c）2﹣3bc=7 ②将①代入②，得（b+c）2﹣18=7，可得：（b+c）2=25，得b+c=5．…（12分）．19．（12分）（2017春•洛阳期末）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n+1=（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=2．【解答】（1）证明：由a n+1∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为1．∴=1=2（n﹣1）=2n﹣1．∴a n=．（2）解：b n=a n a n+1==．∴数列{b n}的前n项和T n=+…+==．20．（12分）（2017春•洛阳期末）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（1）求证：SA⊥BD；（2）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．【解答】证明：如图示：（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，∵△ABD是正三角形，∴AO是BD的中垂线，故A、O、C在同一直线上，故平面SAC即平面SOC，由BD⊥OC，BD⊥SC，得BD⊥平面SAC，故SA⊥BD；（2）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．21．（12分）（2017春•洛阳期末）设函数f（x）=，g（x）=lnx+（a＞0）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若∃x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=0，2．列表如下：可知：当x=0时，函数f（x）取得极小值，f（0）=0．当x=2时，函数f（x）取得极大值，f（2）=．（2）∃x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，⇔[g（x）]min≤[f（x）]max，x∈（0，+∞）．由（1）可得：[f（x）]max=f（2）=．g′（x）=﹣=（x＞0，a＞0）．可知：当x=a时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（a）=lna+1≤．∴0＜a≤．因此a的取值范围是．22．（12分）（2017春•洛阳期末）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线l，交椭圆于A、B两点，记△AOF的面积为S1，△BOF的面积为S2，当S1=2S2时，求•的值．【解答】解：（1）由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，则=tan30°=，即a2=3b2，由2c=4．c=2，则a2+b2=8，解得：a2=8，b2=2，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：F（2，0），直线AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由S1=2S2时，则y1=﹣2y2时，解得：t2=，将t2=，代入y1y2=﹣，x1x2=（ty1+2）（ty2+2）=t2y1y2+2t（y1+y2）+4，=，由•=x1x2+y1y2=﹣=，得：•=．:沂蒙松；zcq；刘长柏；whgcn；742048；刘老师；sllwyn；maths；铭灏2016；caoqz；sxs123；左杰；zlzhan；w3239003（排名不分先后）菁优网2017年6月23日。

2015-2016学年河南省安阳市滑县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是（）A．对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1＜0B．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0C．不存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0D．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1≥02．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则=（）A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或274．在数列{a n}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{a n}的第10项为（）A．B．C．D．5．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣146．已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（）A．B．2 C．或2 D．或7．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（）A．45° B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对8．过边长为1的正方形ABCD顶点A，作线段EA⊥平面ABCD，若EA=1，则平面ADE与平面BCE所成二面角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．150°9．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣3，a k+1=，S k=﹣12，则正整数k=（）A．10 B．11 C．12 D．1311．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是（）A． a B． a C． a D．12．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的取值范围是（）A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[1，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．14．数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n﹣1，则a n= ．15．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到D，连接BD，若∠CBD=30°且AB=CD=1，则AC= ．16．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．20．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．21．设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且，求实数m的取值范围．2015-2016学年河南省安阳市滑县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

2021-2022学年河南省安阳市滑县高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B ⋃=，则满足条件的集合B 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】转化条件为集合B 是集合A 的子集，求得集合A 的子集个数即可得解. 【详解】因为集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B ⋃=， 所以集合B 是集合A 的子集， 所以满足条件的集合B 的个数为224=. 故选：D.2．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是(0,2)，(1,1)-，则复数21z z 的虚部为（ ）A ．12B ．1i 2C ．i -D ．1-【答案】A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即可计算. 【详解】易得12i z =，21i z =-+，∴211i 11i 2i 22z z -+==+，虚部为12.故选：A ．3．在等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2± B ．2 C ．2- D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质和等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由等比数列的性质，可得23154a a a ==，又因为223110a a q q ==⋅>，所以32a =.故选：B ．4．北京2022年冬奥会期间，某大学派出了100名志愿者，为了解志愿者的工作情况，该大学学生会将这100名志愿者随机编号为1，2，…，100，再从中利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行问卷调查，若所抽中的最小编号为3，则所抽中的最大编号为（ ） A ．96B ．97C ．98D ．99【答案】C【分析】根据系统抽样概念及求法，即可求解.【详解】由题意知，派出了100名志愿者中，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行问卷调查，可得间距为100520=， 因为所抽样本中的最小编号为3，可得样本中最大编号为3(201)598+-⨯=. 故选：C ．5．已知0.12a =，0.14b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】根据幂函数、对数函数的性质判断． 【详解】0.221b a =>>，ln 21c =<，∴b a c >>， 故选：A ．6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，411S S =，当0n S >时，n 的最小值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17【答案】C【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式计算即可. 【详解】由411S S =得170a d +=，即80a =， ∵10a <，∴0d >， ∴()22115222n d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，当0n S >时，2150n n ->，即15n >， ∴n 的最小值为16， 故选：C ．7．已知抛物线2:4C y x =，过点(2,1)P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．12【答案】B【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程相减可得． 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，∵P 是AB 的中点，∴122y y +=，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，相减得2212121212()()4()y y y y y y x x -=-+=-， 所以直线l 的斜率12121242y y k x x y y -===-+， 故选：B ．8．已知命题31:1p x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为7，命题q ：若函数32()log 2x f x ax -=+是奇函数，则1a =±，下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【分析】先判断,p q 的真假，再利用复合命题的真值表判断即可【详解】311x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为11321C C 7+=，故命题p 为真命题，进而p ⌝为假命题； 若函数()f x =32log 2xax -+为奇函数，则()()f x f x =--，则1333222log log log 222x x ax ax ax x --+-⎛⎫== ⎪+-+⎝⎭，即1a =， 故命题q 为假命题，q ⌝为真命题．所以p q ∧为假命题， ()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∧为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题， 故选：B ．9．2022年央视春晩出现了很多优秀的歌曲、小品、相声等节目，现将歌曲《你是我生命中的礼物》《我们的时代》《爱在一起》《春天的钟声》，冬奥主题歌曲《点亮梦》，小品《父与子》《还不还》《喜上加喜》《发红包》《休息区的故事》，相声《欢乐方言》《像不像》这12个节目进行排列，则冬奥主题歌曲《点亮梦》排在最后一位，相声《欢乐方言》与《像不像》不相邻，小品《喜上加喜》与《发红包》相邻的概率是（ ） A ．1165B ．2165C ．255D ．455【答案】B【分析】基本事件的总个数是12个节目的全排列数，所求概率事件所含有的基本事件方法数用排列的知识求解：冬奥主题歌曲在最后一位，先放好，其他的相邻的用捆绑法作为一个元素，不相邻的用插空法计算可得，然后由概率公式计算．【详解】所求事件发生的概率为8228291212A A A 2A 165P ==， 故选：B ．10．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为2π，则函数()f x 在5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．2-B ．3-C ．1-D ．12-【答案】C【分析】由图象求出2A =，代入(3求出π3ϕ=，由阴影部分面积求出22ππ4T ⨯==，从而求出2ω=，求出π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再用整体法求解最小值.【详解】由图象知2A =，(0)3f = ∴2sin 3ϕ=π3ϕ=， ∵阴影部分的面积为2π， ∴函数()f x 的最小正周期22π2ππ4T ω⨯===， ∴2ω=，∴π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,326x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当π7π236x +=，即5π12x =时，()f x 取得最小值，最小值为1-， 故选：C ．11．已知空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的棱长为2，点(,0,0)A m ，(0,,0)B n ，0mn ≠，则OP 的值不可能为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】D【分析】取AB 边的中点D ，连接PD ，由题意可知点O 在以D 为球心， AB 为直径的球面上运动，则11PD OP PD -≤≤+，对照选项即可求解【详解】如图，取AB 边的中点D ，连接PD ，故223PD PA AD -=又()(),0,0,0,,0A m B n ，则点,A B 分别在,x y 轴上运动，因为 2,AB OA OB =⊥，||1OD =，故点O 在以D 为球心， AB 为直径的球面上运动， 所以11PD OP PD -≤≤+，即3131OP -≤≤+，因为3131,31,31,31,231,31,331,312⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-+∈-+∈-+∉-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 故OP 的值不可能是3， 故选：D12．已知函数2()2e e x a f x a x =-有3个不同的零点，则满足条件的实数a 的最小整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据题意可得：方程22e e a x a x =有3个不同的根，构建2()ex x g x =结合导数可得2240e e a a <<，再根据()a ϕ=2ea a，利用导数判断()a ϕ单调性，结合函数单调性解不等式()240e a ϕ<<即可． 【详解】函数2()2e e xaf x a x =-有3个不同的零点，即方程22e ea x a x =有3个不同的根构建2()ex x g x =，∴(2)()e xx x g x '-= ∴当(,0)x ∈-∞和(2, +)∞时，()0,()g x g x '<单调递减 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增．(0)0g =，(2)g =24e ∴2240e e a a << 构建()a ϕ=2e a a ，则2(1)()e aa a ϕ-'= 令()0a ϕ'>，则1a <∴()a ϕ在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，函数()a ϕ的图象如图所示，且24(2)e ϕ=故满足0()(2)a ϕϕ<<的实数a 的最小整数值为3 故选：C ．二、填空题13．已知向量(1,2)=-a ，向量b 在a 方向上的投影为3-，则a b ⋅=______. 【答案】35-【分析】根据向量的数量积的定义和投影公式，列出方程，即可求解. 【详解】由向量的数量积的运算，可得向量b 在a 方向上的投影为3||a ba ⋅=-， 又由向量(1,2)=-a ，可得221(2)5a =+-35a b ⋅=-故答案为：35-14．已知锐角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(sin 3,cos3)A -，则角α的弧度数为______.【答案】32π-【分析】根据任意角三角函数的定义可得sin cos3α=-，再利用诱导公式化简变形即可求解.【详解】解：因为角α的终边上有一点(sin 3,cos3)A -，所以22sin 3cos 31OA =+=， 所以sin cos3sin 32πα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又α为锐角，所以32πα=-．故答案为：32π-.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为22a ，则双曲线C 的离心率为______.5152【分析】根据题意可得2222a b a ⋅=，从而可得,a b 的关系，进而可求出离心率 【详解】设所作的圆与一条渐近线在第一象限交于点(,)(0,0)A m n m n >>，则由题意可得222m n c bn ma ⎧+=⎪⎨=⋅⎪⎩，解得m a n b =⎧⎨=⎩，即(,)A a b ， 所以由对称性可得四边形ABCD 的面积为22a b ⋅ 所以由题意得2222a b a ⋅=，故12b a =， ∴22512b e a =+=．故答案为：5216．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1AD E ，下面说法中正确的是______（将所有正确的序号都填上）①存在一点F ，使得11//A F D E ；②存在一点F ，使得1A F BE ⊥； ③点F 的轨迹是一条直线；④三棱锥1F AD E -的体积是定值． 【答案】①④【分析】取11B C 的中点G ，1BB 的中点H ，连接1A G ，1A H ，GH ，由面面平行的性质可判断①③④，由线面垂直的性质可判断②，【详解】如图，取11B C 的中点G ，1BB 的中点H ，连接1A G ，1A H ，GH ， 则平面1//AGH 平面1AD E ， 所以点F 在线段GH 上运动，即点F 的轨迹是线段GH ，故③错误. 当点F 位于点H 时，11//A F D E ，故①正确．取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接1A N ，MN ，1B M ， 则BE ⊥平面11A B MN ，设11GH B M F ⋂=，则11A F BE ⊥， 所以存在一点F 使得1A F BE ⊥，故②错误. 平面1//AGH 平面1AD E ，所以点F 到平面1AD E 的距离是定值，所以三棱锥1F AD E -的体积是定值，故④正确． 故答案为：①④三、解答题17．已知三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12BB BC AC ===，1AA ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，D 为11A B 上一点．(1)求证：AD CE ⊥；(2)当D 为11A B 的中点时，求二面角C AD B --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 10【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明即可；（2）以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；【详解】(1)∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA CE ⊥．又AC BC =，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥∵1AB AA A ⋂=， ∴CE ⊥平面11AA B B ， 又AD ⊂平面11AA B B ， ∴AD CE ⊥；(2)如图，以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)E ，(1,1,2)D ． ∴(2,0,0)CA =，(1,1,2)AD =-，(2,2,0)AB =- 设平面CAD 的法向量为()000,,n x y z =，由0,0,n CA n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得000020,20,x x y z =⎧⎨-++=⎩ 不妨令01z =-，得平面CAD 的一个法向量为(0,2,1)=-n ． 由（1）可得平面ADB 的一个法向量为(1,1,0)m CE ==，∴210cos ,510m n 〈〉==， 由图象可知二面角C AD B --为锐角， ∴二面角C AD B --的余弦值为105．18．如图，在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且)22234a cb S +-=．(1)求角B 的大小；(2)若AB AC =，D 为平面ABC 上ABC 外一点，2BD =，1CD =，求四边形ABDC 面积的最大值. 【答案】(1)3B π=(2)532【分析】（1）根据余弦定理及三角形面积公式可得.（2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合辅助角公式计算可得.【详解】(1)由题意)22243S a c b +-，即)22214sin 32ac B a c b ⨯⨯+-，∴sin 3B B =，即tan 3B = ∵(0,)B π∈，∴3B π=．(2)由（1）知3B π=，又AB AC =，∴ABC 为等边三角形．设()0,πBDC θθ∠=∈，，则2222cos 54cos BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-，∴35353sin 4cos )sin 32sin 3ABDC S πθθθθθ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭四边形∴当56πθ=时，四边形ABDC 的面积取得最大值，最大值为532 19．逐梦星辰大海，探索永无止境，2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射取得圆满成功，这意味着中国离实现载人航天工程“三步走”发展战略越来越近.为了让师生关注中国航天事业发展，某校组织航天知识竞赛活动，比赛共25道必答题，答对一题得4分，答错一题倒扣2分.学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是45，且每道题答对与否互不影响.(1)求甲前2题得分之和大于0的概率； (2)设甲的总得分为X ，求E （X ）；(3)若某同学的得分80X ≥，则称这位同学成绩“优秀”；若得分80X <，则称这位同学成绩“非优秀”，某数学老师为了判断学生竞赛成绩的优秀和学生性别是否有关，统计了高二年级600名学生在本次竞赛活动中的得分情况，得到如下22⨯列联表，请补全列联表，并判断是否有95%的把握认为学生竞赛成绩的优秀和学生性别有关?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)2425(2)70(3)表格见解析，有95%的把握认为学生竞赛成绩的优秀和学生性别有关 【分析】（1）由相互独立事件的概率公式求解即可； （2）由二项分布的期望与性质公式求解即可；（3）直接由题意完善列联表，并计算2K ，再结合临界值观测即可求解 【详解】(1)设事件A ：甲前2题得分之和大于0，则21244124()C 55525P A ⎛⎫=+⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∴甲前2题得分之和大于0的概率为2425． (2)设甲答对的题数为随机变量ξ，则4~25,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴4E()25205ξ=⨯=，总得分42(25)650X ξξξ=--=-， 则E()E(650)6205070X ξ=-=⨯-=． (3)补全列联表如下所示，则2K 的观测值20600(28080120120)6 3.841400200400200k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ∴有95%的把握认为学生竞赛成绩的优秀和学生性别有关．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上在第一象限内的任意一点，且12PF F △的周长为4+ (1)求C 的方程；(2)已知点()0,1M -，若不过点M 的直线l 与C 交于A 、B 两点，且2AB AM AM ⋅=，证明：直线l 过定点． 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出0MA MB ⋅=，根据平面向量数量积的坐标运算可得出关于m 的方程，解出m 的值，即可得出直线l 所过定点的坐标.【详解】(1)解：12PF F △的周长为1212224PF PF F F a c++=+=+由已知可得222224a c c a b a c⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)解：由2AB AM AM ⋅=可得()0AM AM AB AM BM ⋅-=⋅=.若直线l 的斜率不存在，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,B x y -，其中102x <<， 则()11,1AM x y =---，()11,1BM x y =--+，所以，22222111115111044x x AM BM x y x ⎛⎫⋅=-+=+--=> ⎪⎝⎭，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx m m =+≠-， 联立22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=， ()()222264414440k m k m ∆=-+->，即2214k m +>，122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ 因为()11,1MA x y =+，()22,1MB x y =+， 由0MA MB ⋅=，得()()1212110x x y y +++=，即()()()()2212121110k x x k m x x m ++++++=，则()()()()()()2222144181140k m k m km m k +-++-+++=，整理得530m -=，解得35m =. 所以，直线l 的方程为35y kx =+，过定点30,5⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．已知函数2()ln f x x ax x =-+，()1()e 1ln x g x x x x=--． (1)当1a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设0a <，若1(0,e)x ∀∈，2(0,)x ∈+∞，都有()()1210f x g x <，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)22y x =- (2)9e ,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先求导，再求出(1)f '与(1)f ，再由点斜式求解即可；（2）1(0,e)x ∀∈，2(0,)x ∈+∞，都有()()1210f x g x <，则()()max min 10f x g x <成立， 用导数法分别研究()()max min ,f x g x 即可求解【详解】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =-+， 1()21f x x x'=-+， ∵(1)0f =， ∴切点为(1,0)， ∵(1)2f '=， ∴切线斜率2k =， ∴切线方程为22y x =- (2)1()2f x x a x'=-+，0x >． 当0a <时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴1(0,e)x ∀∈，()21(e)e e 1f x f a <=-+．1ln ()e xx g x x x=--，0x >，22e ln ()x x xg x x +'=令2()ln x h x x e x =+，0x >，()21()2e 0xh x x x x'=++> ∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h e =>，121e 10e e eh ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0200e ln 0xx x +=，也即001ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．令()e x m x x =，0x >，()(1)e x m x x '=+， 显然0x >时，()0m x '>，()m x 单调递增， ∴001lnx x =，即01e x x =．∵当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()000min 0000ln 1()e e 1xx x g x g x x x x ==--==． ∵1(0,e)x ∀∈，2(0,)x ∈+∞，都有()()1210f x g x <， ∴2e e 110a -+≤，得9e e a ≥-，故实数a 的取值范围为9e ,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2sin 16ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； (2)射线π:(0)6l θρ'=≥与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为B ，记点M 的直角坐标为(0,，求ABM 的面积．【答案】(1)2ρ=，10x -=(2)3【分析】（1）由极坐标与普通方程的转化公式求解即可；（2）π6θ=代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得2A ρ=，B ρ=，则A B AB ρρ=-，再求出点M 到AB 的距离，结合三角形面积公式即可求解 【详解】(1)曲线C 的普通方程为224x y +=， ∴极坐标方程为2ρ=．直线l sin cos 1θρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为10x +-=． (2)分别将π6θ=代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得2A ρ=，B ρ=，∴2A B AB ρρ=-=又点M 到AB 的距离πsin33d ==，∴13232ABM S ⎛=⨯⨯= ⎝⎭△ 23．已知函数()233f x x x =-+-． (1)求不等式()6f x <的解集；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足1232m a b c ++=，求证：323b ca ++≥．【答案】(1)(0,4) (2)证明见解析【分析】（1）由零点分段法讨论求解即可；（2）先求出min 3()2f x =，得到1233a b c++=，再用柯西不等式求解即可【详解】(1)336,23()233,3236,3x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当32x ≤时，由366x -+<，得0x >，∴302x <≤；当332x <<时，由6x <，得332x <<，∴332x <<； 当3x ≥时，由366x -<，得4x <，∴34x ≤<． 综上，不等式的解集为(0,4)．(2)当32x ≤时，()36f x x =-+的最小值是33336222f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭；当332x <<时，由()f x x =可知()332f x <<； 当3x ≥时， ()36f x x =-的最小值是()33f =； 所以得min 33()22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴1233a b c++=，∴211231233233b c b c a a a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(111)33++=， 当且仅当1a =，2b =，3c =，时，等号成立， ∴323b ca ++≥．。