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分数指数幂-知识讲解(1)

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2.1.1分数指数幂和无理数指数幂

2.1.1分数指数幂和无理数指数幂
n N , n 1 ，则 a n , a 0 ( a 0), a n ( a 0)
3. 5
2 3
,5
2
有意义吗？
知识点一：分数指数幂的意义 思考1:设a>0， a ，
5 10
10 5
a
4
8
， a 分别等于什么？
4 12
8
12 4
a
10
a
2
a
5
,
a
8
a
a2,
a
12
1 3 8
(m 4 n
3
) (m , n 0)
8
(3)
25
125

4
25
(4)
a
2
(a 0)
3 2
a a
• 小结： • 1．指数幂的运算步骤： • (1)有括号先算括号里的；无括号先进行指 数运算． • (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． • (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 先要化成分数，底数是带分数，要先化成 假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数幂的运算性质．
2
是一个确定的
数吗？
思考3:有理指数幂的运算性质适应于无理数 指数幂吗？
n m
结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义。
知识点二:有理数指数幂的运算性质
整数指数幂有哪些运算性质？
设 m , n Z，则 a a a
m n
mn
；
n
(a ) a
m n
mn
；
b
(ab)
n
a
n
.
知识点二:有理数指数幂的运算性质

(优)分数指数幂ppt文档

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3 .分数指数幂的运算.
作业：
1、练习册12.7(1)（在学校里完成）； 2、堂堂练12.7(1) ； 3 、工作单（C层学生选作）
1、在理解分数指数幂的意义的基础上能熟 练将方根与指数幂互化。
2、能在简单的运算中熟练地综合运用有理 数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂 的乘方、积的乘方）进行计算。
m n
叫做分数指数幂，a是底数 .
思考：a可以是0或负数吗？
有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂 .
有理数指数幂的运， 算，性质：
设a 0，b0 ，p、 q为有理数，那么
（ⅰ） apaq apq，apaqapq
（ⅱ） （ⅲ）
(ap)q apq
(ab)p apbp，
(
a b
)
p
ap bp
友情提醒：同学们可不要犯类似的错误哟！
1、在理解分数指数幂的意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化。
例３、计算 1、在理解分数指数幂的意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化。
有理数指数幂的运算性质：
1 注意：本题利用了分数指数幂的运算性质：
设，
， 、 为有理数，那么
1
1
( 8 2 7 ) 2 8 3 把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
课堂小结：
分数指数幂：
1.分数指数幂：
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
m
n am an (a0)
其中m、n为正整数，n>1.
1
m
a n (a0)
n am
2.有理数指数幂运算性质：
设a>0，b>0，p、q为有理数，那么
（1）apaqapq
（（23））((a..a)bpp)qapbpa,(bap)qpbapp

分数指数幂及运算

分数指数幂及运算

[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 6 5 4 a b 0 4 a ;
(2 )(m 1 4n 8 3)8(m 1 4)8(n 8 3)8m 2n 3m 2. n 3
分数指数幂及运算
例5.计算下列各式：
(1) (325125)425; (2)
(2) 如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
nan a (n为奇数）
如果n为偶数， n a n 表示an的正的n次方根，所以当 a 0 ， 这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n an a a,a((aa00)),.
(3) 0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 .
分数指数幂及运算
探究点1 分数指数幂
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
分数指数幂及运算
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似
值和过剩近似值进行无限逼近。
分数指数幂及运算
1.分数指数幂是根据根式的意义引入的，正数的正分数指
5
p 3q 2
m3
5
(6) . m
m2
分数指数幂及运算
例4.计算下列各式（式中的字母均是正数）：
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6); (2)
1
(m4
3
n8
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
分数指数幂及运算

4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)

4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2

高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册《n次方根与分数指数幂》课件

高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册《n次方根与分数指数幂》课件

本内容结束
19
课堂精讲
【例 3】 设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值. 解 原式＝ （x－1）2－ （x＋3）2 ＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1 时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当 1≤x<3 时， 原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝－ －24，x－12≤，x<－3. 3<x<1，
n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围
n 为奇数
n
a
n 为偶数
n
±a
(3)根式
R [0，＋∞)
式子n a叫做根式，这里 n 叫做__根__指__数___，a 叫做被开方数.
课堂精讲
【例 1】 求使等式 （a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解
（a－3）（a2－9）＝ （a－3）2（a＋3） ＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，
课堂精讲
【迁移】 例 3 中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 解 原式＝ （x－1）2－ （x＋3）2 ＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0， ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
课堂精讲
当 n 为偶数时，n an先化为|a|，再根据 a 的正负去绝对值符号.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
数学
1
4.1.1 n次方根与分数指数幂
题型一 由根式的意义求范围
数学
2
知识梳理
1.n 次方根，n 次根式 (1)a 的 n 次方根的定义 一般地，如果____x_n＝__a____，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示 求解 a 的 n 次方根时要注意对 n 的奇偶性讨论

高中数学知识点精讲精析 分数指数幂

高中数学知识点精讲精析 分数指数幂

3.2.2 分数指数幂1.分数指数幂：①一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫作a 的次幂，记作；②一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数m.n ，存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫作a 的次幂，记作；此即正分数指数幂.③有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即④正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：.⑤0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 说明：我们把正整数指数幂扩充到有理数指数幂时，应限制底a>0.正分数指数幂3.负分数指数幂4. （1）正数的正分数指数幂的定义：（2）负分数指数幂的意义：我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 5. 有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）[例1] 求值：（1） .a b n=n 1n1a b =mn a b=n m n ma b =0)m na a =>m,0a (a1anm nm >=-)1n ,N n >∈+nm nm a,a -)1,,,0(>∈>=+n N n m a a a nm nm 且)1,,,0(1>∈>=+-n N n m a a anm nm且()a a a m n N n m nm n =>∈>01，，，且*()a a a a m n N n m nm nmn-==>∈>1101，，，且*()a a a a r s Qr s r s ·，，=>∈+0()()a a a r s Qr srs =>∈0，，()()ab a b a b r Q rr r =>>∈00，，=+--+--414245.0081)21()4(5.7])43[(（2） .（3）.（4） .解:（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式[例2] 已知，则 .解: ∴∴ ∴∴ 原式[例3] 求值解：设设∴ ∴[例4] 试将下列数字由大到小排序=--+-⋅------10223)2(22)31(3)21(=⋅----3438583213124434181)27()16()3(z y x y x z y x =+-⋅-+---+--------111122222222)()(b a ab b b a a b a b a b a b a 3316151=+-+=20743521141278-=⋅-=++--=zz y x y x z y x 4814811465216113121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---1)1()1(1)(222244224224+-⋅-+-+-+=b a b a b a b a b a b a 1)(11))(1(222222442222++-++-+-=b a b a b a b a b a b a 1112222=++=b a b a 32121=+-xx =++++--32222323x x x x 32121=+-xx 921=++-x x 71=+-x x 4722=+-x x 18)1)((121212323=-++=+---x x x x xx 52347218=++=3313251325-++B A =-=+3313251325B A x +=)(3333B A AB B A x +++=1033=+B A 352253-=-=AB x x 9103-=0)10)(1(2=++-x x x 1=x（1） （2）（3）解：（1）（2）（3）[例5]. 把根式表示成分数幂的形式.解析：原式＝令解：原式＝ 点评：两种解法风格不同，思考角度也不同，解法2更漂亮.[例6]. 化简下列各式：（1） （2）解析:（1）原式＝（2）原式＝＝－＝－2点评:解题时要从总体上把握代数式的结构特点，比如对于分式，应该想到对分子分母分解因式，然后约分.515251)56(,)56(,)52(---x x x x --∈5,5,5.0)0,1(331,,3)0,1(a a a a-∈↑==x x f y )56()(52510051)56()56()56(1)52()52(--->>==>xx x 515.05>>>-3133a a a>>x x x x 1615815214747212321)()(xxx x x x x x x xx x x ==⋅==⋅=⋅1615161814121161814121x xx x x x ==⋅⋅⋅+++))((21211x x x x x -++--323222323222-----------++yxy x yxy x 2323321321)()(x xx x-=---3232323323232332332)()()()(--3---------++yxy x yxy x ])()[()()(23232322322323232232--------++-+-=y yx x y yx x 32322--y x 32)(-xy。

4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)

6
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；

n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册


1.当n是奇数时，a的n次方根表示为
负的n次方根，a∈ [0，＋∞)．
二
学生探索、尝试解决
② 根式的定义是什么？
二
学生探索、尝试解决
③深入思考教材 P105 探究问题
n
an
表示 a 的 n 次方根， a
n
一定成立，那么
提示：不一定．
n
n
an
n
a
一定成立吗？如果不
等于什么？
二
学生探索、尝试解决
根式的性质
n n
(1)( a) ＝ a (n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a>0，
且 n>1).
a n 为奇数，且 n>1，
n n
(2) a ＝ |a|
n 为偶数，且 n>1.
二
学生探索、尝试解决
④为什么负数没有偶次方根？
因为任何数的偶次方根都是非负数.
二
学生探索、尝试解决
例 1：①完成教材典型例题 P105 例 1 求下列各值.
b a, a b.
二
学生探索、尝试解决
②判断下列运算是否正确
10
5
（1） a (a ) a a (a 0);
5
10
5
2 5
2
12
3
（2） a (a ) a a (a 0).
3
12
3
4 3
4
你能得到什么结论？
提示：正确
结论：当根式的被开方数
（看成幂的形式）的指数
3
2
2
3
3
1
2
4
1
2
1
3
2
1

分数指数幂及其运算法则（供参考）

分数指数幂及其运算法则（供参考）⼀、复习引⼊回顾平⽅根、⽴⽅根的有关概念．归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平⽅根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的⽴⽅根.⼆、新课讲解1、根式若n x a =（1>n ，+∈N n ）则x 叫做a 的n 次⽅根说明：n nn a n a a n a n a ±??为奇数, 的次⽅根有⼀个,为为正数:为偶数, 的次⽅根有两个,为零的n 次⽅根为零，记为00n =如果n a 有意义，那么n a （1>n ，+∈N n ）叫做根式.其中n 叫做根指数，a 叫做被开⽅数.2、分数指数幂（1）规定10=a ，n n a a1=- （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为 n m n ma a=)1,,(>∈+n N n m ）规定正数a 的负分数指数幂的意义为 n m n ma a 1=-)1,,(>∈+n N n m ）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂⽆意义.课内练习 P41 练习7.1.1 题2，3（3）引⼊了分数指数幂后，整数指数幂就推⼴到了有理数指数幂。

对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即：t s t s a a a +=?，st t s a a =)(，ss s b a ab ?=)(，其中Q t s ∈,，0,0>>b a 。

例1求下列各式的值解：33(1)(8)-= —8； 2(2)(10)-=|—10|=10； 44(3)(3)π-=3π- 2(4)()a b -=a b - 例题2：求值：238；1225-；51()2-；3416()81-. 解：① 223338(2)=2323224?===；② 1122225(5)--=12()121555--===；③ 5151()(2)2---=1(5)232-?-==；。

4.1.1 n次根式与分数指数幂


无理数指数幂
实数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
空白演示
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第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次根式与分数指数幂
温故知新
1.整数指数幂
an a a a...a(n N *)
a0 1(a 0)
a a n
1
n
(a
0,
n
N
*
)
2、整数指数幂的运算性质：
a a a a m • n amn
m
n amn
am n amn
( a )n b
an bn
(a •b)n an • bn
指数
an 幂
底数 读作“a的n次方”
或“a的n次幂”
求n个相同因数的积的运算， 叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
观察归纳 形成概念
类似地，由于(2)4 16 ， 2 就叫做16的4次方根
由于 25 32 ，2就叫做32的5次方根
由于 2 5 3 2 ，-2就叫做-32的5次方根
3 8
)8
;
(3)(3 a2 a3 ) 4 a2
无理数指数幂
实数指数幂：无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的 实数.这样， 我们就将指数幂ax (a>0) 中的指数x的范围从整 数逐步拓展到了实数，实数的指数幂是一个确定的实数.
【指数幂的拓展历程】
正整数指数幂
负整数指数幂 零次幂
当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根 式可以表示成分数指数幂的形式.
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根 式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
分数指数幂
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分数指数幂
责编：康红梅
【学习目标】
1. 掌握分数指数幕，并能利用分数指数幕进行运算 •
2. 会用计算器计算分数指数幕•
【要点梳理】
要点一、分数指数幕
把指数的取值扩大到分数，我们规定
m
其中m 、n 为正整数，n 1.
m m
上面规定中的a n 和a n 叫做分数指数幕，a 是底数.
整数指数幕和分数指数幕统称为有理数指数幕
要点诠释：（1 ）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幕中的底数
数•
（2）指数的取值范围扩大到有理数后， 方根就可以表示为幕的形式, 算可以转化为乘方形式的运算
要点二、有理数指数幕的运算性质 设
a 0,
b 0, p 、 q 为有理数，那么
（1） a p ga q a pq ， a p q p q
a a .
（2） a P q a pq .
p p
（3） ab 卩
a p
b p . a a
b b p
【典型例题】
类型一、分数指数幕的运算
1、把下列方根化为幕的形式：
（1）3 5 ； （ 2）4 33 ； （ 3） ； ； （ 4）5 1
【思路点拨】根据分数指数幕的定义解题 .
【答案与解析】
a 可为负 开方运
1
解: (1)3 5 53 ；
3
34 ；
(4)
举一反三:
表示为(
【答案与解析】 1
解：(1) 162
16 4 ；
1 (2) 273 3
、27 3 ；
1 (3) 144" '、面 1
2 ；
1 (4) 256" 4256 4.
【总结升华】求分数指数幕的值，就是求一个数的方根, 正数.
举一反三:
(3) 1
.8
(2) 【总结升华】
n ；a m a n a 0，其中 m 、 n 为正整数，n 1.
【变式】
1 (2015.三台期末)根式— (a n ~m .■- a
0 , m 、 n 为正整数, n > 1)用分数指数幕可 A.
n a m B. m
a n C. D.
【答案】 D ； 解：••• n 「？ a _1_
n • ~m
；a
1 (1) 16
2 ； 1
(4) 256".
【思路点拨】可将分数指数幕表示成方根的形式再求值
(2) 1 273 ； (3) 1 144© ；
一个正数的分数指数幕的值是一个 口算:
【变式】口算: （1） 81 1 4 ；（ 2）
丄 4 ；（ 3）362. 16 【答
案】
1 81 4
（2） 1
16 16
（3）
1
362 36 6
（2015.黄石模拟 ）用计算器计算，结果保留三位小数: 1 （1） 53 ；（ 2） 3
5 4 - -；（3）103
.
7
【答案与解析】
1
解：（1） 53
1.710 ；
3
5 4
（2） 0.777 ；
7
2
（3） 103
4.642 .
【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幕的值, 要熟悉求分数指数幕的值与相 应的乘方、开方运算之间的关系
1
1 1 4 3 上
2 （1） 8 27
3 ； （2） 32 52 ； （3） 33 52
；（4） 【答案与解析】
1 23
1 33 3 31 解：（1） 8 27 3 6 3 6 ； 1 1 4
（2） 32 52 32 52 9 25 225 ；
计算:
1 32
4 3 2 (3) 33 52 32 53 9 12
5 1125 ； 1 i
6 1 1 (4) 23 32 6 6 23 32 22 33 4 27
【总结升华】利用有理数指数幕的运算性质解题。