概率论与数理统计复习资料

概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。

-频率和概率的关系，概率的基本性质。

-古典概型和几何概型的概念。

-条件概率和乘法定理。

-全概率公式和贝叶斯公式。

-随机变量和概率分布函数的概念。

-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。

2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。

-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。

-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。

3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。

-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。

4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。

-样本统计量和抽样分布的概念。

-点估计和区间估计的概念。

-假设检验的基本思想和步骤。

-正态总体的参数的假设检验和区间估计。

5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。

-矩估计的原理和方法。

-最小二乘估计的原理和方法。

-一般参数的假设检验和区间估计。

6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。

-回归分析的一般原理。

-简单线性回归的估计和检验。

7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。

-秩相关系数的计算和检验。

8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。

-正态总体参数的拟合优度检验。

-贝叶斯估计的基本思想和方法。

9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。

-时间序列预测的方法和模型。

-质量控制的基本概念和控制图的应用。

以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。

《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。

考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

第一章 随机事件及其概率知识点：概率的性质 事件运算 古典概率事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式常用公式)()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ),,()()(2111有限可加性两两互斥设n ni i ni i A A A A P A P ∑===),(0)()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==)()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-)()()()()(时当A B B P A P B A P B A P ⊂-==-))0(,,()()/()()()6(211>Ω=∑=i n ni i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ),,()](1[1)(2111相互独立时n ni i n i i A A A A P A P ∏==--=)/()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==)(/)()/()3(A P AB P A B P =)()/()()/()()/()7(1逆概率公式∑==ni iii i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L AP nr A P ==应用举例1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。

2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。

3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。

4、若,3.0)(=A P===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （）。

5、,,A B C 是三个随机事件，C B ⊂，事件()A C B -与A 的关系是（ ）。

概率论与数理统计 复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,nA A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的和，记作12nA A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,nA A A 同时发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12nA A A 或1nii A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,nA A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容． (6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则 （1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率： 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立；(ii) 事件A 与B 相互独立；(iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？ ３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P3． 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望 方差0—1分布 两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P k n k kn ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp1 2p q 均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ1 21λ正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； 特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题一、选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A =(C) A B ⊃ (D) A B ⊂3、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)4、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=5、设,A B 为两个随机事件，且0()1P A <<，则下列命题正确的是（ ）。

(A) 若()()P AB P A = ，则B A ,互不相容；(B) 若()()1P B A P B A += ，则B A ,独立；(C) 若()()1P AB P AB +=，则B A ,为对立事件；(D) 若()()()1P B P B A P B A =+=，则B 为不可能事件；6、设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -7、设A ，B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥8、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.59、设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 为( ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a -10、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是 （ ）（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/511、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是( ). (A) 110 (B) 18 (C) 15 (D) 1612、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( ). (A) 640 (B) 1540 (C) 1940 (D) 214013、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( ). (A) 710 (B) 610 (C) 69 (D) 7914、在编号为1,2,,n 的n 张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k 次(1)k n ≤≤抽到1号赠券的概率是( ). (A) 1n k + (B) 11n k -+ (B) 1n (D) 11n k ++ 15、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ ）。

《概率论与数理统计》复习资料《概率论与数理统计》复习资料李裕奇一、作业习题解答参见《概率论与数理统计习题详解》（李裕奇赵联文刘海燕编西南交通大学出版社2005年第2版）第一章(1) §1.1, §1.2, §1.3, §1.4, §1.5 基本练习前8题;(2)第一章自测题(3)综合练习一1,2,3,4,5,6,8,13第二章(1) §2.1, §2.2, §2.3, §2.4基本练习前8题;(2) 第二章自测题(3) 综合练习二1,2,3,4,5,7,17,18第三章(1) §3.1,§3.3,基本练习前8题;(2) 第三章自测题(3) 综合练习三1, 2, 7第四章(1) §4.1,§4.2,基本练习前8题;(2) 第四章自测题(3) 综合练习四1, 2, 3,4,5,6第六章(1) §6.1,§6.2,§6.3基本练习前6题;(2) 第六章自测题(3) 综合练习六1, 2, 3，4，5，7，8第七章(1) §7.1,§7.2,§7.3基本练习前6题;(2) 综合练习六1, 2, 3，10，15，16，17，18二、考试重点1、古典概型公式运用,注意抽球问题；2、全概率公式与贝叶斯公式运用；3、离散型随机变量的概率分布求法,分布函数,数学期望,方差的求法；4、连续性随机变量的分布, 分布函数,数学期望,方差的求法；常见分布，特别是正态分布的有关计算;5、已知X 的概率密度函数,X 的函数的概率密度求法；6、离散型随机变量(X,Y)的数字特征求法,特别注意相关系数的求法；7、极差,经验分布函数,总体概率的近似计算；8、单个正态总体均值与方差的置信区间的求法。

三、模拟试题概率论与数理统计模拟试题1一、（12分）某商店有4桶油漆，分别为红漆，白漆、蓝漆与黑漆，在搬运过程中所有的标签脱落，售货员随意将这些油漆卖给需要红漆，白漆，蓝漆与黑漆的4位顾客，试求：（1）至少有一位顾客买到所需颜色的油漆的概率；（2）恰有一位顾客买到所需颜色的油漆的概率。

江苏省考研数学复习资料概率论与数理统计核心公式速记一、概率论核心公式1. 事件与概率公式：(1) 事件的概率：P(A) = N(A) / N(S)，其中，N(A)表示事件A发生的样本点个数，N(S)表示样本空间S中的样本点个数。

(2) 互斥事件的加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)，其中，A与B 为互斥事件。

(3) 非互斥事件的加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)，其中，A与B为非互斥事件。

2. 条件概率公式：(1) 事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率：P(A|B) = P(A ∩B) / P(B)，其中，P(B) ≠ 0。

(2) 事件B在事件A已经发生的条件下发生的概率：P(B|A) = P(A ∩B) / P(A)，其中，P(A) ≠ 0。

(3) 乘法公式：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)，其中，P(B) ≠ 0。

(4) 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) * P(A|Bi)]，其中，{Bi}为样本空间S的一个划分。

(5) 贝叶斯公式：P(Bj|A) = [P(A|Bj) * P(Bj)] / ∑[P(A|Bi) * P(Bi)]，其中，{Bi}为样本空间S的一个划分。

3. 独立事件的条件：事件A与事件B相互独立的条件为：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，或P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)。

二、数理统计核心公式1. 随机变量的概率分布：(1) 二项分布：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k)，其中，n为试验次数，k为事件发生的次数，p为事件发生的概率。

(2) 泊松分布：P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中，λ为单位时间/空间内随机事件的平均发生率，k为事件发生的次数。

(3) 正态分布：f(x) = (1/(σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中，μ为均值，σ为标准差。

i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。