高中数学总复习历年考点知识专题训练(理科)12

高三数学章节训练题12 《解三角形练习题》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1. 在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A. 1 B. 1- C. 32 D. 32-2. 若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A. A sin B. A cos C. A tan D.Atan 13. 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A. 2B.23C. 3D. 32 5. 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A. 006030或B. 006045或C. 0060120或D. 0015030或 6. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A. 090B. 0120C. 0135D. 0150 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1. 在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________. 2. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________. 3. 在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________.4. 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________. 三、解答题（本大题共4小题，从下列4题中任选3题，每小题10分，满分30分） 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2. 在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3. 在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++.4. 在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值.高三数学章节训练题12 《解三角形练习题》参考答案一、选择题1. C00tan 30,tan 3023,244,23bb ac b c b a=====-= 2. A 0,sin 0A A π<<>3. C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>4. D 作出图形5. D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150 6. B 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 二、填空题1.1211sin sin sin cos sin 222A B A A A ==≤2. 0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-= 3. 26- 00sin 6215,,4sin 4sin154sin sin sin 4a b b A A a A A B B -======⨯ 4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 三、解答题1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=所以△ABC 是直角三角形.2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 222-+=代入右边得右边2222222222()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-=22a b a b ab b a -==-=左边，∴)cos cos (aAb Bc a b b a -=-3. 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B+=，即2sin cos 4sin cos 2222A C A CB B +-=，∴1sin cos 222B A C -==0,22B π<<∴cos 2B =，∴sin 2sin cos 222B B B ===839。

板块命题点专练(十二) 空间向量及其应用(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)命题点 向量法求空间角及应用命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中 题型：解答题1．(2013·高考)如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． 解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A ­xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·1A B ＝0，n ·11AC ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题知二面角A 1­BC 1­B 1为锐角，所以二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值为1625. (3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC .所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ， 使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925. 2．(2014·某某高考)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE ，BD ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 则BC ＝(1,1,0)，BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，AD ＝(0,1，－1)． 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC ＝0，n ·BM ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD 〉|＝|n ·AD ||n |·|AD |＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 3．(2014·某某高考)如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz .由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)．1BC ＝(－2,0,2)，FP ＝(－1,0，λ)，FE ＝(1,1,0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1,0,1)，因为1BC ＝(－2,0,2)，所以1BC ＝2FP ，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ FE ·n ＝0，FP ·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 4．(2015·某某高考)如图，三棱锥P ­ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A ­PD ­C 的余弦值．解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，得PC ⊥DE .由CE ＝2，CD ＝DE ＝2，得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE .由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4. 如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1.又已知EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2， 得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23， 故AC ＝32DF ＝32. 以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，P (0,0,3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0,2,0)，D (1,1,0)，ED ＝(1，－1，0)，DP ＝(－1，－1,3)，DA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0. 设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP ＝0，n 1·DA ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2,1,1)．由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ，即n 2＝(1，－1,0)， 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝36， 故所求二面角A ­PD ­C 的余弦值为36. 5．(2015·高考)如图，在四棱锥A ­EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．(1)求证：AO ⊥BE ；(2)求二面角F ­AE ­B 的余弦值；(3)若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．解：(1)证明：因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点， 所以AO ⊥EF .又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ，AO ⊂平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB ，因为BE ⊂平面EFCB ，所以AO ⊥BE .(2)取BC 的中点G ，连接OG .由题设知四边形EFCB 是等腰梯形，所以OG ⊥EF .由(1)知AO ⊥平面EFCB ，又OG ⊂平面EFCB ，所以OA ⊥OG . 如图建立空间直角坐标系O ­xyz ，则E (a,0,0)，A (0,0，3a )，B (2，3(2－a )，0)，EA ＝(－a,0，3a )，BE ＝(a －2，3(a －2)，0)．设平面AEB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EA ＝0，n ·BE ＝0，而⎩⎨⎧ －ax ＋3az ＝0，a －2x ＋3a －2y ＝0，令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1，于是n ＝(3，－1,1)． 又平面AEF 的一个法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－55. 由题知二面角F ­AE ­B 为钝角，所以它的余弦值为－55. (3)因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥CO ，即BE ·OC ＝0.因为BE ＝(a －2，3(a －2)，0)，OC ＝(－2，3(2－a )，0)，所以BE ·OC ＝－2(a －2)－3(a －2)2. 由BE ·OC ＝0及0<a <2，解得a ＝43.。

真题操练集训1．[2016 ·新课标全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案：1和 3分析：由丙所言可能有两种状况．一种是丙拥有“1和2” ，结合乙所言可知乙拥有“2 和 3”，进而甲拥有“1 和 3”，切合甲所言状况；另一种是丙拥有“1 和 3”，联合乙所言可知乙拥有“ 2 和 3”，进而甲拥有“1 和 2”，不切合甲所言状况．故甲拥有“1和3”．2．[2014 ·天津卷 ] 已知 q 和 n 均为给定的大于1 的自然数．设集合 M ＝{0,1,2 ，， q－1} ，会合 A＝ { x|x＝x1＋x2q＋＋ x n q n－1，x i∈M，i ＝1,2，， n} ．(1)当 q＝2，n＝3 时，用列举法表示会合A；(2)设 s，t∈ A，s＝a1＋a2q＋＋ a n q n－1，t＝b1＋b2q＋＋ b n q n－1，此中 a i，b i∈M，i＝1,2，， n.证明：若 a n<b n，则 s<t.(1)解：当 q＝2，n＝3 时，M＝{0,1} ，A＝{ x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，可得， A＝{0,1,2,3,4,5,6,7} ．(2)证明：由 s，t∈A，s＝a1＋a2q＋＋ a n q n－1，t＝b1＋b2q＋＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1,2，， n 及 a n<b n，可得 s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋＋ (a n－1－b n－1)q n－2＋ (a n－b n)q n－1≤(q－1)＋ (q－1)q＋＋－n－2－q n－1q－1 1－q n－1n－1＝－q ＝－ 1<0，因此 s<t.(q 1)q1－q课外拓展阅读反证法应用举例反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考察方向主要有以下几个方面：一证明否认性命题[ 典例 1]已知数列{ a n}的前n项和为S n，且知足a n＋S n＝2.(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)求证：数列 { a n} 中不存在三项按本来次序成等差数列．(1)[解] 当 n＝1 时，a1＋S1＝2a1＝2，则 a1＝1.又 a n＋S n＝2，因此a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得1a n＋1＝2a n，因此 { a n} 是首项为1，公比为12的等比数1列，因此 a n＝2n－1.(2)[证明 ]假定存在三项按本来次序成等差数列，记为 a p＋1，a q＋1，a r＋1(p<q<r，且 p，q，r∈N*)，111r － qr － p则 2·＝＋，因此p r2·2＝ 2＋1.(*)q222又由于 p<q<r，因此 r－q，r－p∈N* .因此 (*) 式左侧是偶数，右侧是奇数，等式不建立．因此假定不建立，原命题得证．[解题模板 ]用反证法证明问题的一般步骤二证明存在性问题[ 典例 2] 若 f(x)的定义域为 [a，b] ，值域为 [a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a， b] 上的“四维光军”函数．(1)设 g(x)＝12x2－x＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；1(2)能否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝x＋2是区间 [a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b 的值；若不存在，请说明原因．[ 解](1)由已知得 g(x)＝12(x－1)2＋1，其图象的对称轴为 x＝1，区间[1，b] 在对称轴的右侧，因此函数在区间[1，b] 上单一递加．由“四维光军”函数的定义可知， g(1)＝1，g(b)＝b，1 23即 2b －b＋2＝b，解得b＝1或b＝3.由于 b>1，因此 b＝3.1(2)假定函数 h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函x＋2数，1 在区间(－2，＋∞)上单一由于 h(x)＝递减，x＋21＝bh a ＝b a＋2因此有即h b ＝a，1＝a，b＋2解得 a＝b，这与已知矛盾．故不存在．[ 易错警告 ]利用反证法进行证明时，必定要对所要证明的结论进行否认性的假定，并以此为条件进行归谬，获得矛盾，则原命题成立．三证明独一性命题[ 典例 3]已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB＝SD＝ 2，SA＝1.(1)求证： SA⊥平面 ABCD；(2)在棱 SC 上能否存在异于S，C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD？若存在，确立 F 点的地点；若不存在，请说明原因．(1)[证明 ]由已知，得 SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理 SA⊥AB.又 AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)[ 解] 假定在棱 SC 上存在异于 S，C 的点 F，使得 BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC?平面 SAD，∴BC∥平面SAD.而 BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面 SBC和平面 SAD 有公共点 S矛盾，∴假定不建立．故不存在这样的点F，使得 BF∥平面SAD.[ 方法例律 ]当一个命题的结论是以“ 至多”“ 起码”“ 唯一”或以否认形式出现时，可用反证法来证，反证法重点是在正确的推理下得出矛盾，矛盾能够是与已知条件矛盾，与假定矛盾，与定义、公义、定理矛盾，与事实矛盾等．。

学习资料第12讲立体几何高考年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2020证明线面垂直，求二面角的余弦值·T18证明线面平行、面面垂直，求线面角的正弦值·T20点面的位置关系，求二面角的正弦值·T192019证明线面平行，求二面角的正弦值·T18证明线面垂直,求二面角的正弦值·T17翻折问题，证明四点共面、面面垂直，求二面角的大小·T192018翻折问题，证明面面垂直，求线面角的正弦值·T18证明线面垂直,给出二面角求线面角的正弦值·T20证明面面垂直,求二面角的正弦值·T191。

[2020·全国卷Ⅱ］如图M4-12—1，已知三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB 于E，交AC于F.(1）证明:AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN 所成角的正弦值。

图M4-12-12。

[2020·全国卷Ⅰ］如图M4-12-2,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直DO.径，AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=√66(1)证明：PA⊥平面PBC;（2)求二面角B—PC-E的余弦值。

图M4—12-23.[2019·全国卷Ⅲ]如图M4-12—3,图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2,∠FBC=60°。

将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②.（1)证明:图②中的A,C，G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图②中的二面角B-CG—A的大小。

①②图M4—12—3平行、垂直关系的证明1如图M4-12-4，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点。

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为__________.3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 .5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____,cos ABD ∠=________.7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -C ) 的值.8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos 2=C ,1=BC ,5=AC ,则=ABA. D.2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =A.2πB.3π C.4π D.6π 3.(2017山东)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 4.(2016年天津)在ABC ∆中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =A.1B.2C.3D.45.(2016年全国III)在ABC △中,π4B,BC 边上的高等于13BC ,则cos AC.10D.3106.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,BC =则AC =A.5C.2D.17.(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是A.8)(>+c b bcB.()ab a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若22()6c a b =-+,3C π=,则ABC ∆的面积是A.3B.239 C.233 D.33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于A.1)mB.1)mC.1)mD.1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos A +cos20A =,7a =,6c =,则b =A.10B.9C.8D.511.(2013辽宁)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =,且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定14.(2012广东)在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==则AC =A. B. 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin cos cos a A B b A +=,则=abA. B.16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,2BC BD =,则sin C 的值为CA.3 B.6 C.3 D.616.(2010湖南)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=,c =,则A.a b >B.a b <C.a b =D.a 与b 的大小关系不能确定 二､填空题18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .19.(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =,则sin B =___________,c =___________.20.(2017浙江)已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________,cos BDC ∠=__________.21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度｡祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,6S = . 22.(2016年全国II)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =, 5cos 13C =,1a =,则b = . 23.(2015广东)设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若3a =,1sin 2B =,6C π=,则b = . 24.(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为103,且5AB =,8AC =,则BC 等于 .25.(2015新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB 的取值范围是_______.26.(2015北京)在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC= .27.(2015天津)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为315,2b c -=,1cos 4A =-,则a 的值为 .28.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m.29.(2014新课标Ⅰ)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =____m .30.(2014广东)在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知cos b C +cos 2c B b =,则=ba. 31.(2013安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.32.(2013福建)如图ABC ∆中,已知点D 在BC边上,AD ⊥AC,sinBAC ∠=, AB =3AD =,则BD 的长为_______________.C33.(2012安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 .①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>34.(2012北京)在ABC ∆中,若12,7,cos 4a b c B =+==-,则b = . 35.(2011新课标)ABC ∆中,60,B AC =︒=,则AB +2BC 的最大值为____.36.(2011新课标)ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==,则ABC ∆的面积为_ __. 37.(2010江苏)在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+=_______.38.(2010山东)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b ==,sin cos B B +=则角A 的大小为 .三､解答题39.(2018北京)在ABC ∆中,7a =,8b =,1cos 7B =-. (1)求A ∠;(2)求AC 边上的高.40.(2018全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠;(2)若DC =求BC .41.(2018天津)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin cos()6b A a B π=-.(1)求角B 的大小;(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值.42.(2017新课标Ⅰ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ∆的周长.43.(2017新课标Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 0A A =,a =2b =. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ∆的面积. 44.(2017新课标Ⅱ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin 2B AC +=. (1)求cos B(2)若6a c +=,ABC ∆面积为2,求b .45.(2017天津)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 46.(2017北京)在ABC ∆中,A ∠=60°,37c a =. (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若7a =,求ABC ∆的面积.47.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ (Ⅰ)证明:2a b c +=; (Ⅱ)求cos C 的最小值.48.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. (I)证明:sin sin sin A B C =; (II)若22265b c a bc +-=,求tan B . 49.(2016年全国I)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I)求C ;(II)若c ABC △=的面积为2,求ABC △的周长. 50.(2015新课标2)∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin BC;(Ⅱ) 若AD =1,DC ,求BD 和AC 的长. 51.(2015湖南)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan a b A =,且B 为钝角.(1)证明:2B A π-=;(2)求sin sin A C +的取值范围.52.(2014山东)ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知63,cos ,32a A B A π===+. (I)求b 的值;(II)求ABC ∆的面积.53.(2014安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,2A B =. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin()4A π+的值.54.(2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB = 3 ,BC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°(Ⅰ)若PB =12,求P A ;(Ⅱ)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .55.(2013新课标Ⅱ)ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.56.(2012安徽)设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ,且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.57.(2012新课标)已知a ､b ､c 分别为ABC ∆三个内角A ､B ､C 的对边,cos a C +3sin 0a C b c --=.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若2=a ,ABC ∆的面积为3,求b ､c .58.(2011山东)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=. (I)求sin sin CA的值;(II)若1cos 4B =,2b =,ABC ∆的面积S .59.(2011安徽)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a =3,b =2,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.60.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?61.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度h =4m,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.Hh dβαDB C(1)该小组已经测得一组α､β的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度｡若电视塔的实际高度为125m,试问d 为多少时,α-β最大?专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解:(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=.(2)由(1)知120B C ︒=-,()sin 1202sin A C C ︒+-=,1sin 2sin 2C C C ++=,可得()cos 602C ︒+=-.由于0120C ︒︒<<,所以()sin 60C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=. 2.解析:由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-, 因为6b =,2a c =,π3B =,所以222π36(2)4cos 3c c c =+-,所以212c =,21sin sin 2ABCS ac B c B ===△3.解析(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=.由180A B C ︒++=,可得sincos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B=. 因为cos02B ≠,故1sin 22B =,因此60B =︒. (2)由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+.由于ABC △为锐角三角形,故090A ︒<<︒,090C ︒<<︒,由(1)知120A C +=︒,所以3090C ︒<<︒,故122a <<,ABC S <<△. 因此,ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+,1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+,所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以11()24AO AD AB AC ==+,13EC AC AE AB AC =-=-+, 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+, 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+,所以221322AB AC =,所以223AB AC=,所以ABAC= 5.解析 (1)由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以3c =. (2)因为sin cos 2A Ba b=, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析:在直角三角形ABC 中,4AB =,3BC =,5AC =,4sin 5C =, 在BCD △中,sin sin BD BC C BDC=∠,可得122BD =;135CBD C ∠=-,224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭, 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=.7.解析:(I)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+,所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =, 所以7b =.(II)由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中,B ∠是钝角,所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析(Ⅰ)在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=,得sin sin b C c B =,又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,23c a =. 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==,从而sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-,故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1.A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ,所以由余弦定理, 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ,所以=AB 故选A.2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=,所以222sin cos 2a b c C C ab +-==,所以在ABC ∆中,4C π=.故选C. 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+,即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A. 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得1sin 342a c π==,则2a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=,则b =. 由余弦定理,可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===故选C. 6.B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B =时,1AC ==,此时1,AB AC BC ===易得90A =与“钝角三角形”矛盾;当135B =时,AC =7.A 【解析】因为A B C π++=,由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=, 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=, 整理得1sin sin sin 8A B C =, 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===, 因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==,由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤,即8abc ≤≤因此选项C ､D 不一定成立.又0b c a +>>,因此()8bc b c bc a +>⋅≥,即()8bc b c +>,选项A 一定成立.又0a b c +>>, 因此()8ab a b +>,显然不能得出()ab a b +>选项B 不一定成立.综上所述,选A.8.C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①,由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②.所以由①②得6ab =,所以1sin 232ABC S ab π∆==. 9.C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-,∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=.10.D 【解析】225cos 10A -=,1cos 5A =,由余弦定理解得5b =. 11.A 【解析】边换角后约去sin B ,得1sin()2A C +=,所以1sin 2B =,但B 非最大角,所以6Bπ=.12.C 【解析】由余弦定理可得AC =再由正弦定理得sin 10A =. 13.B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=,∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=,∴2sin()sin B C A +=,∴2sin sin A A =,∴sin 1A =,∴△ABC 是直角三角形.14.B【解析】由正弦定理得:sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15.D 【解析】由正弦定理,得22sin sin sin cos A B B AA +=,即22sin (sin cos )B A AA ⋅+=,sin B A=,∴sin sin b B a A==. 16.D 【解析】设AB c =,则ADc =,BD =,BC =,在ΔABD 中,由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==,则sin A =,在ΔABC 中,由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==,解得sin C =.17.A 【解析】因为120C ∠=,c =,所以2222cos c a b ab C =+-,222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>,所以0aba b a b-=>+,所以a b >.故选A.18.9【解析】因为120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,所以60ABD CBD ∠=∠=,由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+, 化简得ac a c =+,又0a >,0c >,所以111a c+=,则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥, 当且仅当2ca =时取等号,故4a c +的最小值为9. 19.7;3【解析】因为a =2b=,60A=,所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c--=,所以3c =., 2222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯,由22sin cos 1ABC ABC∠+∠=所以sin ABC ∠===,1sin 2BDC S BD BC DBC ∆=⨯⨯∠ 11sin()sin 22BD BC ABC BD BC ABC π=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=.C因为BD BC =,所以D BCD ∠=∠,所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠,cos cos24ABC BDC ∠∠====.21.2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成,所以 6133611sin 6022S =⨯⨯⨯⨯=.22.2113【解析】∵4cos 5A =,5cos 13C =,所以3sin 5A =,12sin 13C =, 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=, 由正弦定理得:sin sin b a B A =解得2113b =. 23.1 【解析】由1sin 2B =得6B π或56π,因为6C π,所以56B π≠,所以6Bπ,于是23A π=.有正弦定理,得21sin 32b π=,所以1b =. 24.7【解析】由已知得ABC∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin 2A =,(0,)2A π∈,所以3A π=. 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49,7BC =.25.【解析】如图作PBC ∆,使75∠=∠=B C ,2BC,作出直线AD 分别交线段PB ､PC于A ､D 两点(不与端点重合),且使75∠=BAD ,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形,过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在PBC ∆中,可求得62BP ,在QBC ∆中,可求得BQ =,所以AB 的取值范围为.26.1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==, 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=. 27.8 【解析】 因为0Aπ<<,所以sin 4A ==,又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=, 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩,得6b =,4c =,由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.28., 30=∠BAC ,105=∠ABC ,在ABC ∆中,由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ,所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=, 即2300=BC m,在BCD Rt ∆中,因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以230030tan CDBC CD ==,所以6100=CD m.29.150【解析】在三角形ABC 中,AC =,在三角形MAC 中,sin 60sin 45MA AC=,解得MA =在三角形MNA 中3sin 602==,故150MN =. 30.2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得:sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=,sin 2sin A B =,∴2a b =,故2ab=. 31.π32【解析】3sin 5sin A B =, π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ,所以π32.sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•,2223BD ∴==33.①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<.34.4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-,解得b =4.35.【解析】 在ABC ∆中,根据sin sin sin AB AC BCC B A==,得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==,同理2sin BC A =, 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+.【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==, 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+=11121421414⨯-⨯=. 37.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A ､B 和边a ､b 具有轮换性.当A =B 或a =b 时满足题意,此时有:1cos 3C =,21cos 1tan 21cos 2C C C -==+, tan22C =,1tan tan tan 2A B C===,tan tan tan tan C CA B+= 4. (方法二)226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+, 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅.由正弦定理,得:上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅.38.6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=,即sin 21B =, 因02B π<<,所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=, 解得1sin 2A =,而,a b <则04A B π<<=,故6a π=. 39.【解析】(1)在ABC ∆中,∵1cos 7B =-,∴(,)2B ππ∈,∴243sin 1cos B B =-=. 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 437A =,∴3sin A =. ∵(,)2B ππ∈,∴(0,)2A π∈,∴π3A ∠=.(2)在ABC ∆中,∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()72⨯-+⨯=33. 如图所示,在ABC ∆中,∵sin hC BC=,∴sin h BC C =⋅=33337142⨯=, ∴AC 边上的高为332.40.【解析】(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以223cos 125ADB ∠=-=(2)由题设及(1)知,cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.41.【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =又因为(0π)B ∈，,可得3B π=.(2)在ABC △中,由余弦定理及2a =,3c =,3B π=,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =.由πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =.因为a c <,故cos A =.因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以,sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42.【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.(2)由题设及(1)得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=- 所以2π3B C +=,故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=.故ABC △的周长为343.【解析】(1)由已知得tan A =,所以23A π=. 在ABC ∆中,由余弦定理得222844cos 3c c π=+-,即2+224=0c c -.解得6c =-(舍去),4c = (2)有题设可得2CAD π∠=,所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=.故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅. 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD ∆44.【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =,故sin 4(1cos )B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=, 解得cos 1B =(舍去),15cos 17B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14sin 217ABC S ac B ac ∆==. 又2ABCS ∆=,则172ac =.由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=. 所以2b =.45.【解析】(Ⅰ)在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =. 由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==. 所以,bsin A的值为13.(Ⅱ)由(Ⅰ)及a c <,得cos A =,所以12sin 22sin cos 13A A A ==, 25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=. 46.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =,所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==. (Ⅱ)因为37c a a =<,所以60C A ∠<∠=,由7a =,所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-(舍).所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47.【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,所以C B C sin sin sin +=2,由正弦定理,得c b a 2=+.(Ⅱ)由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab=--=-=+.所以C cos 的最小值为12.48.【解析】(I)证明:由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=由和角公式可知,()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证｡(II)由题22265b c a bc +-=,根据余弦定理可知,2223cos 25b c a A bc +-==∵A 为三角形内角,()0,A π∈,sin 0A >则4sin 5A =,即cos 3sin 4A A = 由(I)可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==,∴cos 11sin tan 4B B B ==. ∴tan 4B =.49.【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得:()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=,()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =,1cos 2C = ∵()0πC ∈， ∴π3C =. ⑵ 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=50.【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠ 1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠ 因为2ABD ADC S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC .由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠.222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.51.【解析】(1)由tan ab A 及正弦定理,得sin sin cos cos A b BA a B==, 所以sin cos BA ,即sin sin()2B A π.又B 为钝角,因此2π+A ∈(2π,π),故B =2π+A ,即B A =2π; (2)由(1)知,C =π(A +B )=π(2A +2π)=2π2A >0,所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A +=22sin sin 1A A -++=2192(sin )48A --+,因为0<A <4π,所以0<sin A <2,因此2<-22199sin 488A ≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.由此可知sin sin A C +的取值范围是(2,98].52.【解析】(I)在ABC ∆中,由题意知sin A ==,又因为2B A π=+,所有sin sin()cos 23B A A π=+==,由正弦定理可得3sinsina BbA===(II)由2B Aπ=+得,cos cos()sin23B A Aπ=+=-=-,由A B Cπ++=,得()C A Bπ=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A Bπ=-+=+sin cos cos sinA B A B=+(=+13=.因此,ABC∆的面积111sin32232S ab C==⨯⨯=.53.【解析】:(Ⅰ)∵2A B=,∴sin sin22sin cosA B B B==,由正弦定理得22222a c ba bac+-=⋅∵3,1b c==,∴212,a a==(Ⅱ)由余弦定理得22291121cos263b c aAbc+-+-===-,由于0Aπ<<,∴sin3A===,故1sin()sin cos cos sin()4443A A Aπππ+=+=-=54.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得2PA=o1132cos3042+-=74,∴;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理得osinsin(30)αα=-,化简得4sinαα=,∴tan α=4,∴tan PBA ∠=4. 55.【解析】(Ⅰ)因为cos sin a b C c B =+,所以由正弦定理得:sin sin cos sin sin A B C C B =+,所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+,即cos sin sin sin B C C B =,因为sin C ≠0,所以tan 1B =,解得B =4π; (Ⅱ)由余弦定理得:2222cos4b ac ac π=+-,即224a c =+,由不等式得:222a c ac +≥,当且仅当a c =时,取等号,所以4(2ac ≥,解得4ac ≤+,所以△ABC 的面积为1sin 24acπ(44≤+1,所以△ABC 面积的最大1.56.【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===. 57.【解析】(1)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(2)1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=,解得:2b c ==.58.【解析】(I)由正弦定理,设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=, 所以sin 2sin C A =,因此sin 2.sin CA= (II)由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理222222112cos cos ,2,44.44b ac ac B B b a a a =+-==+-⨯及得4= 解得a =1.因此c =2.又因为1cos ,0.4B B π=<<且所以sin B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯= 59.【解析】由A C B C B -=+=++π和0)cos(21,得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理,得.22sin sin ==a Ab B .22sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h ,则有.213sin +==C b h60.【解析】由题意知(53AB =+海里,906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中,由正弦定理得sin sin DB AB DAB ADB=∠∠sin sin AB DAB DB ADB •∠∴===∠2=海里),又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒=, 在DBC ∆中,由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-••∠= 1300120029002+-⨯= CD ∴=30(海里),则需要的时间30130t ==(小时). 答:救援船到达D 点需要1小时.61.【解析】(1)tan tan H H AD AD ββ=⇒=,同理:tan H AB α=,tan h BD β=. AD —AB=DB,故得tan tan tan H H h βαβ-=,解得:tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--. 因此,算出的电视塔的高度H 是124m.(2)由题设知d AB =,得tan ,tan H H h H h d AD DB dαβ-====, 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥当且仅当d =,取等号)故当d =,tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<,则02παβ<-<,所以当d =,α-β最大.故所求的d是。

12＋4满分练(11)1.与复数z 的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z 的共轭复数，并记作z ，若z ＝i(3－2i)(其中i 为虚数单位)，则z 等于( )A.3－2iB.3＋2iC.2＋3iD.2－3i答案 D解析 复数z ＝i ()3－2i ＝3i －2i 2＝3i ＋2，∴z ＝2－3i ，故选D.2.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，02x <03x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∨(綈q )C.(綈p )∧qD.p ∧(綈q )答案 C解析 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan x ＝sin x cos x，0<cos x <1， ∴tan x >sin x ，∴q 为真命题，故选C.3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2， b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为( ) A.120° B.60° C.45° D.30°答案 C解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量，∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0，∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22， ∵θ∈[]0°，180°， ∴θ＝45°，故选C. 4.已知双曲线过点(2，3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C.x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可以设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0， 又由其过点()2，3，得323－22＝λ，解得λ＝－1， 则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 5.设不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16答案 B 解析 区域M 表示的是底为22，高为2的三角形，面积为12×22×2＝2，区域N 表示的是以原点为圆心，半径为1的半圆(在x 轴上方)，面积为12π×12＝π2，由几何概型计算公式，得点落在N 内的概率为P ＝π22＝π4，故选B. 6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A.6 3B.47C.87D.12答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，又△ABC 的周长为10＋27，所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝27，所以△ABC 的面积为S ＝14×⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤()272×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫()272＋42－6222＝6 3. 7.将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3.又0＜φ＜π2，故φ＝π6，故选D. 8.(·葫芦岛二模)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是个偶数，则下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A.5B.16C.5或32D.4或5或32答案 C解析 当n ＝5时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5，n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5，n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32，故选C.9.若π20(cos )d ,a x x =-⎰则⎝⎛⎭⎫ax ＋12ax 9的展开式中 x 3项的系数为( ) A.－212 B.－638 C.638 D.6316答案 A解析 ππ2200(cos )d sin |1,a x x x =-=-=-⎰ 则⎝⎛⎭⎫ax ＋12ax 9＝⎝⎛⎭⎫－x －12x 9＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12x 9， ⎝⎛⎭⎫x ＋12x 9的通项公式T k ＋1＝C k 9x 9－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 9x 9－2k ， 令9－2k ＝3，得k ＝3，∴x 3 项的系数为－⎝⎛⎭⎫123C 39＝－212，故选A . 10.正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A.13B.12C.33D.32答案 C解析 如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO为BE 与SA 所成的角.设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.11.定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知正整数数列{a n }前n 项的“均倒数”为12n ＋1，b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( ) A.111 B.112 C.1011 D.1112答案 C解析 由题意得{a n }的前n 项和S n ＝112n ＋1×n ＝2n 2＋n ，∴a n ＝4n －1，∴b n ＝n ，n ∈N *， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1011，故选C. 12.(·衡水中学二模)设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12B.(]－∞，e ＋2C.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 D.(]－∞，e ＋2 答案 B解析 设F (x )＝f (x )－x 22， 则F ′(x )＝f ′(x )－x ＜0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知， F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0， 则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数， 所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数； 由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ⇒x ≤1，所以问题转化为x ＝e x ＋3x －a 在(]－∞，1上有解，即a ＝e x ＋2x 在(]－∞，1上有解，令g (x )＝e x ＋2x ，则g ′(x )＝e x ＋2>0，故g (x )＝e x ＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则g (x )≤g (1)＝e ＋2，故选B.13.(·葫芦岛二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， P ，Q 是C 上任意两点，点M ()0，－1满足MP →·MQ →≥0，则p 的取值范围是________.答案 (0，2]解析 当直线MQ ，MP 与抛物线相切时，两向量夹角最大，设直线MQ 的斜率为k ，则当k ≥1 时，恒有MP →·MQ →≥0成立，直线MQ 的方程为y ＝kx －1，与x 2＝2py 联立，得 x 2－2pkx ＋2p ＝0，由Δ＝0 ，得 k 2＝2p ≥1，可得p ≤2， 所以p 的取值范围是(0，2].14.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C －2sin A sin B ，则sin 2A ·tan 2B 的最大值是_____. 答案 3－2 2解析 由正弦定理，得a 2＋b 2＝c 2－2ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22， ∵0＜C ＜π，∴C ＝3π4，A ＝π4－B ，2A ＝π2－2B ， ∴sin 2A ·tan 2B ＝cos 2B ·sin 2B cos 2B ＝()2cos 2B －1()1－cos 2B cos 2B＝3－⎝⎛⎭⎫2cos 2B ＋1cos 2B ≤3－22cos 2B ·1cos 2B＝3－22，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 即sin 2A ·tan 2B 的最大值是3－2 2.15.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{}a n 满足a 1＝x ， a 5＝y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的最大值为________.答案 334 解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得B ()2，3，因为a 1＝x ，a 5＝y ，所以公差d ＝y －x 4， a 3＋a 4＋a 5＝S 5－S 2＝3a 4＝3()a 5－d ＝3×⎝⎛⎭⎫y －y －x 4＝3()3y ＋x 4， 设z ＝9y 4＋3x 4， 当直线过点B ()2，3时，有最大值334， 即S 5－S 2 的最大值为334. 16.在下列命题中：①函数f (x )＝1x在定义域内为单调递减函数； ②函数f (x )＝x ＋a x(x >0)的最小值为2a ； ③已知定义在R 上周期为4的函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )一定为偶函数；④已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则a ＋b ＋c ＝0是f (x )有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数f (x )＝x －sin x ，若a ＋b >0，则f (a )＋f (b )>0.其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号)答案 ③⑤解析 ①错，因为函数f (x )＝1x在定义域内不具有单调性； 当a >0时，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)的最小值为2a ， 当a ≤0时，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)无最小值，故②错； 由周期为4及f (2－x )＝f (2＋x )⇒f (4－x )＝f (－x )＝f (x )，③正确；函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值，则f ′(x )＝0有不相等的实数根，则b 2>3ac ，故④不正确；函数f (x )＝x －sin x 是奇函数且在R 上单调递增，所以a ＋b >0⇒a >－b ⇒f (a )>f (－b )＝－f (b )⇒f (a )＋f (b )>0，故⑤正确.故正确命题的序号为③⑤.。