最新人教版高中数学选修4-1《平面与圆锥面的截线》预习导航

第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学三点剖析一、圆锥曲线的结构特点【例1】如图3-3-1,已知平面π与圆锥的轴的夹角为β,圆锥母线与轴的夹角为α,α=β,求证:平面π与圆锥的交线为抛物线.图3-3-1证明：当β=α时,平面与圆锥的一部分相交,且曲线不闭合.在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆S.记圆S 所在平面为π′,π与π′的交线记为m.球切π于F 1点. 在截口上任取一点P,过P 作PA⊥m 于A,过P 作PB⊥平面π′于B,过P 作圆锥的母线交平面π′于C,连结AB 、PF 1、BC.由切线长定理,PF 1=PC.∵PB 平行圆锥的轴,∴∠APB=β,∠BPC=α.在Rt△ABP 中,PA=βcos PB , 在Rt△BCP 中,PC=αcos PB . ∵α=β,∴PC=PA.∴PF 1=PA,即截口上任一点到定点F 和到定直线m 的距离相等.∴截口曲线为抛物线.二、探讨圆锥曲线的几何性质【例2】探索图3-3-2中双曲线的准线和离心率.其中π′是Dandelin 球与圆锥交线S 2所在平面,与π的交线为m.图3-3-2解析：P 是双曲线上任意一点,连结PF 2,过P 作PA⊥m 于A,连结AF 2,过P 作PB⊥平面π′于B,连结AB,过P 作母线交S 2于Q 2.∵PB 平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ 2=α.在Rt△BPA 中, PA=βcos PB ,PQ 2=αcos PB . 由切线长定理得PF 2=PQ 2,∴PF 2=αcos PB . ∴e=PA PF 2=αβcos cos . ∵0＜β＜α＜2π, ∴cosβ＞cosα.∴e＞1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质.综上所述,双曲线的准线为m,离心率e=αβcos cos . 三、圆锥曲线几何性质应用【例3】已知双曲线两顶点间距离为2a,焦距为2c,则两准线间的距离是______________. 解析：如图3-3-4,l 1、l 2是双曲线的准线,F 1、F 2是焦点,A 1、A 2是顶点,O 为中心.图3-3-4由离心率定义ac H A F A =1111, ∴A 1H 1=ca A 1F 1. 又A 1F 1=OF 1-OA 1=c-a, ∴A 1H 1=c a c a )(-. ∴OH 1=OA 1-A 1H 1=a-ca c a )(-=c a 2. 由对称性,得OH 2=ca 2.∴H 1H 2=c a 22. 答案: ca 22 各个击破类题演练1探究:图3-3-1中抛物线的准线与离心率.解析:由抛物线结构特点知,抛物线上的任意一点P 到焦点距离PF 1与到平面π与π′的交线m 的距离PA 相等,∴e=PAPF 1=1. ∴抛物线的准线是m,离心率e=1.温馨提示要紧紧围绕离心率的定义和圆锥曲线的结构特点.探讨圆锥曲线的结构特点,关键是借助Dandelin 球与切线长定理,化归为线段长的关系.类题演练2如图3-3-3,A 1A 2=2a,F 1F 2=2c,求证: a c e ==αβcos cos .图3-3-3证明:连结O 1O 2、O 1F 1、O 2F 2、O 1Q 1、O 2Q 2.∵直线F 1F 2与Dandelin 双球相切,∴O 1F 1⊥F 1F 2,O 2F 2⊥F 1F 2.过O 1作O 1H⊥O 2F 2于H,则O 1HF 2F 1是矩形,∴O 1H=F 1F 2=2c.又平面π与圆锥的轴的夹角为β,∴O 1O 2=ββcos 2cos 1c H O =. ① 由双曲线的定义,知双曲线上任意一点到F 1、F 2的距离之差为定值Q 1Q 2,故取如图位置. 由切线长定理,A 2Q 1=A 2F 1=A 1F 2.∴F 1F 2-A 2F 1=F 1F 2-A 1F 2.∴A 2F 2=A 1F 1.又A 2Q 2=A 2F 2,∴Q 1Q 2=A 2Q 1-A 2Q 2=A 2F 1-A 1F 1=A 1A 2=2a.∵母线与轴夹角为α,即∠O 2OQ 2=α,∴O 1O 2=O 1O+OO 2 =ααcos cos 21OQ O Q + =αααcos 2cos cos 2121a Q Q OQ O Q ==+. ② 由①②,∴αβcos 2cos 2a c =.∴αβcos cos =a c =e. 类题演练3已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是_____________,该曲线的形状是_____________.解析:e=260cos 45cos =︒︒. ∵e＞1,∴曲线为双曲线.答案: 2双曲线变式提升3已知双曲线两焦点距离为10,双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为___________________.解析:由题意知,2c=10,2a=6, ∴a c e ==35. 答案:35。

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1．定理2
两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交
当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；
确定交线的形状
名师点拨①特别情况：β＝π
2
，平面π与圆锥的交线为圆，如图所示．
②圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此，圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e，定义上的统一，必然也蕴含着图形统一．
2．圆锥曲线的结构特点
(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a)．
(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a)．
(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等．
3．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin球与平面π的切点．
(2)准线：截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线．
(3)离心率：e＝cos β
cos α.
(4)圆锥曲线的几何性质
剖析：如图，当β＜α时，平面π与圆锥面的两部分相交，在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别为F1，F2，与圆锥两部分截的圆分别为S1，S2.
在截口上任取一点P，连接PF1，PF2.过P和圆锥的顶点O作母线，分别与两球切于Q1，Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2，所以Q1Q2是两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长，且为定值．
所以由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线．。

三平面与圆锥面的截线-人教A版选修4-1 几何证明选讲教案教学目标1.了解三平面和圆锥面的基本概念；2.掌握平面和圆锥面的截线问题；3.学会应用几何推理方法，进行证明。

4.培养学生的数学思维能力和证明能力。

教学重点和难点1.能够准确理解平面和圆锥面的截线问题；2.掌握基本的证明方法和技巧；3.对于各种证明进行深入的思考和分析。

教学内容及方法教学内容第一部分-平面截圆锥面1.平面与圆锥面的相交关系。

2.平面截圆锥面的截线问题。

3.弧平分角的性质。

4.截圆锥面截得相似三角形的证明。

第二部分-两个平行平面截圆锥面1.平行平面与圆锥面的相交关系。

2.两个平行平面截圆锥面的截线问题。

3.截圆锥面截得等腰三角形的证明。

第三部分-两个不平行平面截圆锥面1.不平行平面与圆锥面的相交关系。

2.两个不平行平面截圆锥面的截线问题。

3.截圆锥面截得相交四边形的证明。

教学方法结合具体的几何图形，进行带有图像的讲解。

通过学生自主思考和讨论，激发学生学习兴趣和学习积极性。

同时，引导学生进行思考和分析，发掘证明思路和方法。

教学步骤和过程第一步：引入通过举例或是让学生观察，引入平面和圆锥面的基本概念，以及平面和圆锥面之间的关系。

第二步：讲解对于每个部分，通过结合具体的图形进行讲解和解释。

同时，讲解一些证明的基本方法和技巧。

第三步：学生自主思考与讨论让学生围绕所讲解的知识点，进行思考和讨论。

引导学生发现疑点，提出问题。

第四步：引导学生思考和分析通过学生的自主思考和讨论，引导学生进行分析和思考，发现证明方法和思路。

第五步：练习及作业布置让学生完成一定量的练习题，同时布置相应的作业。

并鼓励学生进行数学探究，加深对所学知识的理解和掌握。

教学评价通过课堂的表现，学生完成的练习题和作业，以及小测验的方式，对于学生进行评价。

教学建议在教学中，要适当引导学生进行探究和独立思考，并通过小组讨论等方式，让学生分享和交流。

同时，要注意启发学生的数学思维，增强学生的兴趣和学习积极性。

预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．如图，椭圆中，F 1、F 2是焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线，则A 1A 2叫做椭圆的长轴，B 1B 2叫做椭圆的短轴，F 1F 2叫做椭圆的焦距．若长轴为2a ，短轴为2b ，则焦距2c ＝2a 2－b 2.3．椭圆上任一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos φ，则直线l 1叫做椭圆的一条准线．4．若e ＝cos φ，则e 叫做椭圆的离心率．1．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )．A ．9倍B ．4倍C ．12倍D ．18倍答案：A解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c ，由已知，得2a 3＝2c ，即a ＝3c ， ∴两准线间的距离为2a 2c ＝18c 2c＝18C ． 2．下列说法不正确的是( )．A ．圆柱面的母线与轴线平行B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D解析：显然A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．3．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________． 答案： 3解析：由题意知⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴Dandelin 球的半径为 3.4．已知平面α与一圆柱的底面成60°角，则该平面与圆柱截口图形的离心率是__________． 答案：32解析：平面与圆柱面截口图形为椭圆，其离心率e ＝sin 60°＝32. 5．已知一平面截圆柱面所得的截口椭圆的离心率为35，长轴长是20，求该圆柱的底面圆半径．解：设该椭圆半焦距为c ，短半轴长为b ，长半轴长为a ，则a ＝10，e ＝c a ＝35.∴c ＝35×10＝6. ∴圆柱的底面圆半径r ＝b ＝a 2－c 2＝102－62＝8.。

三平面与圆锥面的截线一览众山小学习目标1.了解不平行于底面的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线.2.通过电脑演示，感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明.3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法.学法指导学习本节内容之前，可先复习立体几何中平面截圆锥的截面形状，复习选修1-1的圆锥曲线的知识.对于平面截圆锥面的形状，可以借助于电脑，增强形象性的理解，对于圆锥形物体的斜截口是椭圆、双曲线、抛物线的证明，可先理解平面上的情况，再推广到空间，这样在学习中能够降低难度.诱学指导材料：我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上.如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理.相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了.因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式.问题：将双曲线、抛物线分别绕其虚轴旋转，得到什么形状的图形，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到什么图形？导入：由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面.它也有一条轴，即抛物线的轴.在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理.图3-3-1由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交.人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固.用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图3-3-1所示.。

平面与圆锥面的截线
【学习目标】
1．知识与内容：
（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2
（2）利用Dandelin 双球证明定理2中情况（1）
（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解
2．情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。

【学习重难点】
重点：（1）定理2的证明
（2）椭圆准线和离心率的探究
难点：椭圆准线和离心率的探究
【学习过程】
一、新课学习
1．（1）当l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交时，设l 与AB (或AB 的延长线)交于E ，与AC 交于F 。

因为是△AEP 的外角，所以必然有＞；反之，当＞时，l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交。

（2）当l 与AB 不相交时，则l //AB ，这时有；反之，当时，l //AB ，那么l 与AB 不相交。

（3）当l 与BA 的延长线、AC 都相交时，设l 与AB 的延长线交于G ，因为是△APG 的外角，所以必然有＜；反之，当＜时，l 与AB 的延长线、AC 都相交。

2．定理2：在空间中，取直线为轴，直线与相交于O 点，其夹角为，围绕旋转得到以O 为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β(π与平行，记住β＝0)，则：
（1）β＞，平面π与圆锥的交线为椭圆；
ββαβαβα=βα=αβαβαl l 'l αl 'l l 'l l α
（3）l与BA的延长线、AC都相交。

2．思考：将图上中的等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，则得到下图。

教材习题点拨思考1解：(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时，设l与AB(或AB的延长线)交于E，与AC交于F.因为β是△AEP的外角，所以必然有β＞α；反之，当β＞α时，l与AB(或AB 的延长线)、AC都相交．(2)当l与AB不相交时，则l∥AB，这时有β＝α；反之，当β＝α时，l∥AB，那么l与AB不相交．(3)当l与BA的延长线、AC都相交时，设l与BA的延长线交于G，因为α是△APG的外角，所以β＜α；反之，如果β＜α，那么l与BA的延长线、AC都相交．思考2解：如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β＞α时，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1，F2，与圆锥相切于圆S1，S2.在截口的曲线上任取一点P，连接PF1，PF2，过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长度，与点P的位置无关．由此可知截口的曲线是以F1，F2为焦点的椭圆．探究解：如图，上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在的平面为π′.设π与π′的交线为m.在椭圆上任取一点P，连接PF1.在π中过P作m的垂线，垂足为A.过P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB是P A在平面π′上的射影．容易证明，m⊥AB.故∠P AB是平面π与平面π′交成的二面角的平面角．在Rt △ABP 中，∠APB ＝β，所以PB ＝P A cos β.(1)设过P 的母线与圆S 交于点Q 1，则在Rt △PQ 1B 中，∠Q 1PB ＝α，所以PB ＝PQ 1cos α＝PF 1cos α.(2)由(1)(2)得：PF 1P A ＝cos βcos α. 因为0＜α＜β＜π2，所以cos β＜cos α. 所以PF 1P A ＝cos βcos α＜1.由上所述可知，椭圆的准线为m ，椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数cos βcos α. 习题3.31．解：如图，设平面π与圆锥内切球相切于点F 1，球与圆锥面的交线为圆S ，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m .在平面π与圆锥的截线上任取一点P ，连接PF 1，过点P 作P A ⊥m ，交m 于点A ，过点P 作π′的垂线，垂足为B ，连接AB ，则AB ⊥m ，所以∠P AB 为π与π′所成的二面角的平面角．连接点P 与圆锥的顶点，与圆S 相交于点Q 1，连接BQ 1，则∠BPQ 1＝α，∠APB ＝β.在Rt △APB 中，PB ＝P A cos β.在Rt △PBQ 1中，PB ＝PQ 1cos α.∴PQ 1P A ＝cos βcos α.又∵PF 1＝PQ 1，α＝β， ∴PF 1P A＝1，即PF 1＝P A . ∴动点P 到定点F 1的距离等于它到定直线m 的距离．故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．2．解：如图，在截口上任取一点P ，连接PF 2.过P 和圆锥顶点O 作母线，与下面的Dandelin 球相切于Q 2，球与圆锥的交线为圆S ，记圆S 所在的平面为π′.截面π与平面π′相交于直线m .过点P 在π中作P A ⊥m ，交m 于点A .过P 作平面π′的垂线，垂足为B .连接Q 2B ，AB ，则△PBQ 2为直角三角形，且∠Q 2PB ＝α.△P AB 也是直角三角形，且∠APB ＝β.在Rt △PBQ 2中，PB ＝PQ 2cos α，在Rt △P AB 中，PB ＝P A cos β，∴PQ 2P A ＝cos βcos α.又∵PF 2＝PQ 2， ∴PF 2P A ＝cos βcos α＝定值．∵0＜β＜α＜π2， ∴cos β＞cos α.∴PF 2P A ＝cos βcos α＞1.∴m 是双曲线的一条准线，且e ＝cos βcos α＞1.。