2016届山西晋城市高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2,3,4,6,2,4,5,7A B ==,则AB 的子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】 试题分析：因为{2,4}AB =，所以A B 的子集的个数为224=个，故选B ．考点：1、集合的交集运算；2、集合的子集． 2.已知复数142(ii i z-=+为虚数单位), 则复数z 在复平面上的对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】考点：复数的几何意义及运算． 3.下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数” 的必要不充分条件B ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->,则2:,10p x R x x ⌝∀∈--<C ．命题“若210x -=,则1x =或1x =-” 的否命题是“若210x -≠,则1x ≠或1x ≠-” D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题 【答案】D 【解析】试题分析：A 中，“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”既不充分条件又不必要条件；B 中，由特称命题的否定为全称命题，知2:,10p x x x ⌝∀∈--≤R ；C 中，命题的否命题为“若210x -≠,则1x ≠且1x ≠-”；D 中，命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，即p q ∧⌝或p q ⌝∧为真命题，则()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题，若()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题，则命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，所以D 正确，故选D ．考点：1、命题真假的判定；2、充分条件与必要条件；3、命题的否命题． 4.执行如图所示的程序框图, 输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C 【解析】考点：程序框图．5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的一个端点为A ，若AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A 1+BCD 【答案】C 【解析】试题分析：不妨设(0,)A b ，则00AF b bk c c-==--．又直线AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，所以1b bc a -⋅=-，即2b ac =，亦即22c a ac -=，两边除以2a ，得210e e --=，解得e =，故选C ． 考点：1、双曲线的几何性质；2、直线与直线间的位置关系．6.已知4621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为a ,且()1,1XN ,则()3P X a <<=（ ）(附：若随机变量()2,XN μσ,则()()000068.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()003399.74P X μσμσ-<<+=)A ．0.043B ．0.0215C ．0.3413D ．0.4772 【答案】B 【解析】考点：1、二项式定理；2、正态分布．7.,母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π 【答案】D 【解析】试题分析：，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为32π．设该圆锥的底面加以为1O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，则11O O R =-，222221(1)R O O r R =+=-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R π=π，故选D ．考点：1、圆锥的外接球；2、球的表面积．【技巧点睛】求解多面体（如长方体、棱柱与棱锥）与球的组合体问题时，首先要清楚它们的“切”或“接”关系，然后根据此关系确定出球的直径（或半径）与多面体的棱长、对角线等几何量的关系．此类问题解答的难点就是组合体的图形比较难作出，必须要发挥自己的空间想象力，借助生活中实物图进行想象．8.若函数()22,21log ,22a x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为R ,则(f 的取值范围是（ ） A ．5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：因为当2x ≤时，()1f x ≥-，所以要使函数()f x 的值域为R ，则需满足011log 212a a <<⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，即1log 202a -≤<．又(131log log 2222a a f ==-，所以(51,42f ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故选B ． 考点：1、分段函数；2、对数函数的性质及运算；3、函数的值域．9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2nn n a a a +==,则20S =（ ）A ．3066B ．3063C ．3060D ．3069 【答案】D 【解析】考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和公式． 10.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭相邻两对称中心之间的距离为π,且()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立, 则ϕ的取值范围是（ ） A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得22T ωπ==π，解得1ω=．由()2sin 1x ωϕ+>，即()1sin 2x ωϕ+>，得2266k x k ϕπ5π+π<+<+π，即(2,2)66x k k ϕϕπ5π∈+π-+π-()k Z ∈．因为()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，所以,(,)12366ππϕϕπ5π⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，即61263πϕπϕπ⎧-≤-⎪⎪⎨5π⎪-≥⎪⎩，解得42ϕππ≤≤，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．11.已知直线():2l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于,A B 两点, 点()2,4M -满足0MA MB =,则AB =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．16 【答案】D 【解析】考点： 1、抛物线的定义及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、向量的数量积运算．【一题多解】由题意，知抛物线的焦点为(2,0)，直线l 抛物线的焦点，点()2,4M -在抛物线的准线上，所以由抛物线的定义，知4A B AB x x =++．如图，取AB 的中点N ，连接MN ，因为,A B 的中点到抛物线的准线的距离42A B x x d ++=，所以以AB 为直径的圆与2x =-相切，又因为0MA MB =，则MN x轴，(,4)N N N ，由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得28160y y k --=，所以88A B y y k +==，所以1k =，所以A Bx x +＝2212A B y y +++=，所以AB ＝1212416x x p ++=+=，故选D ．12.某三棱住被一个平面截去一部分后所得的几何的三视图如图所示, 其中府视图是边长为2的正三角形,则截去部分与剩余部分的体积之比为（）A．1033B．1336C．1323D．2333【答案】C【解析】考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱与棱锥的体积．【方法点睛】解答三视力的关键是将三视图“翻译”成直观图，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，有时还需要将不规则几何体补形成常见几何体，来增加直观图的立体感．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列, 满足55993,19a b a b +=+=,则100100a b += ． 【答案】383 【解析】考点：等差数列的通项公式及性质．14.已知平面向量,,a b c 满足,,2,2c a mb a c b c c =+⊥=-=,则实数m = ． 【答案】2- 【解析】试题分析：因为a c ⊥，所以0a c ⋅=．又2||()24c c c c a mb a c mb c m =⋅=⋅+=⋅+⋅=-=，解得2m =-． 考点：1、平面向量数量积运算；2、平面向量的模．15.已知实数,x y 满足不等式组204803260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则56z x y =+-的最大值为 ．【答案】13 【解析】考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．16.已知关于x 的方程3210x ax x --+=有且只有一个实根,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1a < 【解析】试题分析：由题意知0x ≠，方程211a x x x =-+只有一个实根，设函数211()f x x x x=-+，则3233112()1x x f x x x x+-'=+-=．设3()2g x x x =+-，则2()310g x x '=+>，所以()g x 为增函数，又(1)0g =，所以当0x <时，()0f x '>，()f x 为增函数；当01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 在1x =处取得极小值1，又当0x →时，()f x →+∞；当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 的图象大致如图所示，由图象可知实数a 的取值范围为(,1)-∞．考点：1、方程的根；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数极值与导数的关系．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos c a B b -=. （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆,且22cos 4c ab C a ++=,求a .【答案】（1）3A π=；（2）a =【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得cos A 的值，从而求得角A 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到,,a b c 的关系式，然后根据三角形面积公式求得bc 的值，从而求得a 的值． 试题解析：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=,()sin sin sin sin cos cos sin ,cos sin 2BC A B A B A B A B =+=+∴=,1sin 0,cos 2B A ≠∴=,又因为0,3A A ππ<<∴=.考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．18.（本小题满分12分）已知A 、B 两个盒子中都放有4个大小相同的小球, 其中A 盒子中放有1个红球,3个黑球,B 盒子中放有2个红球, 2个黑球.（1）若甲从A 盒子中任取一球、乙从B 盒子中任取一球, 求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率； （2）若甲每次从A 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次；乙每次从B 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次, 在四次取球的结果中, 记两球颜色相同的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列见解析，53EX =． 【解析】试题分析：（1）首先求甲、乙两人所取球的颜色相同的概率，再根据互斥事件概率和为1求得所求概率．；（2）首先得出X 的可能取值，然后分别求出甲、乙每次所取的两球颜色相同的概率，由此列出分布列，求得数学期望．试题解析：（1）设事件A 为“甲、乙两人所取的球颜色不同”, 则()123211442P A ⨯+⨯=-=⨯.（2）依题意,X 的可能取值为0,1,2,3,4,甲每次所取的两球颜色相同的概率为232412C C =,乙每次所取的两球颜色相同的概率为22222413C C C +=,()()11221122411222111120,12233362233332236P X P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()112211112211112113222333322223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=, ()112211211111632233332236P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=, ()111114223336P X ==⨯⨯⨯=,X 的分布列为150123436363636363EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1、等可能事件的概率；2、离散型随机变量及其分布列．19.（本小题满分12分）已知三棱柱在111ABC A B C -中, 侧面11ABB A 为正方形, 延长AB 到D ,使得AB BD =,平面11AAC C ⊥平面111111111,,4ABB A AC A C A A π=∠=.（1）若,E F 分别为11,C B AC 的中点, 求证：EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2． 【解析】试题解析：（1）取11A C 的中点G ,连接,FG EG ,在111A B C ∆中，EG 为中位线,11GEA B ∴．GE ⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11,ABB A GE ∴平面11ABB A ,同理可得GF 平面11ABB A ,又GFGE G =,所以平面GEF 平面11ABB A ．EF ⊂平面,GEF EF ∴平面11ABB A .（2）连接1AC ,在11AAC ∆中,11111,4C A A AC π∠==， 所以由余弦定理得222211111111112cos AC AA AC AA AC AAC AA =+-⨯∠=，1111,AA AC A AC ∴=∆是等腰直角三角形，∴11AC AA ⊥ ,又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C平面1111,ABB AA A C A =∴⊥平面11ABB A ．AB ⊂平面11ABB A ,1AC AB ∴⊥,又因为侧面11ABB A 为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AB A AC A 所在直线作为x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,令21x =,则221,3y z ==,故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量,所以cos ,2m n m n m n <>===⨯⨯,所以平面111A B C 与平面1CB D .考点：1、线面平行的判定定理；2、二面角；3、空间向量的应用．【知识点睛】①设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，则||cos |cos |||||a b a b ϕθ==（其中ϕ为异面直线,a b 所成的角）；②设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为ϕ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有||sin |cos |||||n e n e ϕθ==；③12,n n 分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>或（12,n n πθ-=<>）．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,圆()(2222Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(P 到椭圆C .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ,且1l 交椭圆C 于,A B 两点, 直线2l 交圆Q 于,C D 两点, 且M 为CD 的中点, 求MAB ∆的面积的取值范围.【答案】（1）22184x y +=；（2）4⎤⎥⎦．【解析】试题解析：（1）因为椭圆C 的右焦点(),0,||2F c PF c =∴=．()2,3在椭圆C 上,22421a b∴+=． 由224a b -=得228,4,a b ==所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）由题意可得1l 的斜率不为零, 当1l 垂直x 轴时,MAB ∆的面积为14242⨯⨯=, 当1l 不垂直x 轴时, 设直线1l的方程为：y kx =+ 则直线2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k=-+．由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得()221240k x ++-=,所以12122412x x x x k -+==+,则12|||AB x x =-=考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，另外三角形面积公式的选用也是解答的关键．21.（本小题满分12分）已知函数()()01xf x a x a a =->≠且在()0,+∞上有两个零点12,x x 且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）当0λ>时, 若不等式121ln a x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ea e <<；（2）01λ<≤． 【解析】试题分析：（1）首先将问题转化为ln ln x a x =在()0,+∞上有两个解，令()ln xF x x=，然后通过求导研究函数()F x 的单调性，由此作出函数()y F x =的大致图象，从而求得实数a 的取值范围；（2）首先将问题转化为()()1212121lnx x x x x x λλ+-<+恒成立，令()12,0,1x t t x =∈，由此令()()()11ln 1t h t t t λλ+-=-+，然后通过求导研究函数()h x 的单调性，从而求得λ的取值范围．（2）由1122ln ln ,ln ln x x a x x a ==作差得，()1122ln ln xx x a x =-, 即1212lnln x x a x x =-,所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+,因为120x x <<,所以()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令()12,0,1x t t x =∈,则不等式()()11ln 1t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立. 令,又()()()()()()22221111'11t t h t t t t t λλλλ--+=-=++， 当01λ<≤时, 即210t λ-<时,()'0h t >, 所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增,又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立, 符合题意. 当1λ>时,210,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时,()21'0,,1h t t λ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭ 时()'0h t <,所以 ()h t 在210,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增, 在21,1t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减, 又()10h =,所以 ()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0,不符合题意, 舍去.综上所述, 若不等式121ln a x x λλ+>+恒成立, 只需01λ<≤.考点：1、函数零点；2、函数图象；3、不等式恒成立问题；4、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】（1）讨论函数的单调性时，主要是判断导函数()f x '的符号，而判断符号有时难于直接判断，此时可考虑构造新函数，再利用导数研究其单调性来判断其符号；（2）处理不等式恒成立，本题是通过构造新函数，通过求此新函数的最值来解决．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,O 是ABC ∆的外接圆,BAC ∠ 的平分线AD 交BC 于D ,交O 于E ,连接CO 并延长, 交AE 于G ,交AB 于F.（1）证明：AF FG CDAB GC BD=； （2）若3,2,1,AB AC BD ===求AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）AD =． 【解析】试题解析：（1）如图, 过D 作DM AB 交AC 于M , 连接BE ，所以,BD AMBAD ADM DC MC=∠=∠， 又因为,,BAD CAD CAD ADM AM MD ∠=∠∴∠=∠∴=,,,MD CM AB MD AM AB BDAB AC AC CM CM AC DC∴===∴=, 同理可得,AF FG AF FG CDAC GC AB GC BD=∴=.考点：1、圆的基本性质；2、相似三角形的判定与性质；3、相交弦定理． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 直线l 的方程是6y =,圆C 的参数方程是cos (1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数), 以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线:OM θα= (其中0)2πα<<与圆C 交于,O P 两点, 与直线l 交于点M ,射线:2ON πθα=+与圆C 交于,O Q 两点, 与直线l 交于点N ,求OPOQOM ON的最大值.【答案】（1）直线l 的极坐标方程为sin ρθ=6，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=；（2）136． 【解析】试题分析：（1）首先化圆的参数方程为普通方程，然后根据22cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+可求得直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）首先写出点,P M 的极坐标，由此得到||,||OP OM ，从而求得||||||||OP OQ OM ON ⋅，进而利用三角函数的最值求解即可．试题解析：（1）直线l 的极坐标方程为sin ρθ=6．圆C 的普通方程为()2211x y +-=,所以圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=.考点：1、直角坐标与极坐标的互化；2、直线与圆的位置关系；3、三角形函数的性质． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x a x a=++-. （1）当1a =时, 解不等式()3f x x <+； （2）当0a >时, 证明：()f x ≥.【答案】（1）33,42⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先利用零点分段法将函数()f x 写成分段函数的形式，然后再分段求得各段不等式的解集，最后取它们的并集即可；（2）首先利用零点分段法将函数()f x 写成分段函数的形式，然后分1x a>、2a x <-、12a x a-≤≤求得函数()f x 的最小值，从而使问题得证．试题解析：（1）当1a =时,()13,212112,123,1x x f x x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩, 由()3f x x <+,得1233x x x ⎧<-⎪⎨⎪-<+⎩或 11223x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+<+⎩或133x x x >⎧⎨<+⎩,解得3142x -<<-或112x -≤≤或312x <<, 所以()3f x x <+的解集为33,42⎛⎫-⎪⎝⎭.考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式的证明．。

山西省太原市2016届高三数学下学期第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{||1|3}A x Z x =∈-<，2{|230}B x x x =+-≥，则R AC B =（ ）A ．(2,1)-B ．(1,4)C ．{2,3}D ．{1,0}- 【答案】D 【解析】试题分析：因}13|{),,1[]3,(},3,2,1,0,1{<<-=+∞--∞=-=x x B C B A U ,故}0,1{-=B C A U ,选D.考点：交集补集运算.2.如果复数212bii-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A ．-6B ．23-C ．23D ．2 【答案】B考点：复数的概念及运算.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ）A ．27B ．36C ．45D ．54 【答案】D 【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D.考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式． 4.下列命题错误的是（ ）A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”B ．若命题:p 00,10x R x ∃∈+≤，则:,10p x R x ⌝∀∈+>C ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若向量,a b 满足0a b ∙<，则a 与b 的夹角为钝角 【答案】D考点：命题真假的判断．【易错点晴】本题是一道命题真假的判定的问题.问题中提供了四个命题,其中命题A 的是正确的,考查的是将一个命题的原命题改成其逆否命题后是真还是假的问题.解答时将结论与条件对调,再将其全部否定即可看出是正确的；命题B 考查的是存在性命题与全称命题的关系,这里借助全称命题与存在性命题是互为否定的这一事实即可知道也是正确的；命题C 的判断最易出错,其实可借助正弦定理sin sin A B >等价于b a >,而b a >等价于A B >划这是显然的事实,所以是正确的.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A ．34cm B ．36cm C ．3163cm D ．3203cm【答案】C 【解析】试题分析：从三视图中可以看出该三视图是一个三棱锥和一个三棱锥上下接合的组合体,其体积为316222213122221=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=V ,故应选C. 考点：三视图的识读及几何体体积的计算．【易错点晴】本题是一道集三视图的识读和理解与几何体的体积面积计算的综合问题.求解这类问题的关键是借助题设中提供的三视图及有关信息, 搞清几何体的形状,明确求解的方向.本题在求解时运用三视图中的俯视图可以看出下部是三棱柱,上部为三棱锥,再从主视图和侧视图中获得其高和底边的长,为求该几何体的体积获得了有效的数据和信息.然后选择体积公式求出该几何体的体积. 6.若用下边的程序框图求数列1{}n n+的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ） A ．1,100?i S S i i +=+≥ B ．1,101?i S S i i +=+≥C ．,100?1i S S i i =+≥-D ．,101?1i SS i i =+≥-【答案】B考点：算法流程图的识读和计算．7.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．[6,63],k k k Z +∈B ．[63,6],k k k Z -∈C ．[6,63],k k k Z ππ+∈D ．[63,6],k k k Z ππ-∈ 【答案】A考点：三角函数的图象和性质．8.已知实数,x y 满足约束条件220410xy x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A．-．2 C．D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：平行移动动直线z x y +-=2,当该直线与圆相切时,在轴上得到截距最小,最小值为52-,故应选A.考点：线性规划的知识及运用.9.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450O A O B O C ++=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．25 B ．35 C ．45D ．65【答案】D考点：向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用．【易错点晴】本题是一道综合性较强的问题.解答时巧妙地利用题设条件外接圆半径为1及3450OA OB OC ++=,不厌其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,再运用余弦定理将ABC ∆三边分别算出来,最后再借助三角形的面积公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.10.已知双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，公共弦AB 恰过它们的公共焦点F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ）A ．(,)32ππB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(0,)6π【答案】A 【解析】试题分析：因点的坐标为),2(p pA ,其斜率为32>=O A k ,故其倾斜角的取值范围最有可能的是(,)32ππ,故应选A. 考点：圆锥曲线的位置关系及运用．11.已知{}n a 满足11a =，*11()()4nn n a a n N ++=∈，21123444n n n S a a a a -=++++，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B考点：数列及求和方法．【易错点晴】本题是一道数列求和的综合问题,解答时充分借助题设条件,运用简单枚举和整体代换的数学思想和方法,灵魂运用题设条件进行巧妙变形继而使问题获解.解答本题的关键是如何利用*11()()4n n n a a n N ++=∈,将其变为1441=++n n n n a a 是关键的一个步骤,接着取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,将得到的等式两边相加再利用21123444n n n S a a a a -=++++，从而将问题进行有效地合理的转化,最后运用整体代换的方法求出了结果.12. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程'()()2f x f x -=的解所在的区间是（ ）A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】C 【解析】试题分析：令t x x f =-2log )(,则x t x f t f 2log )(,3)(+==,注意到x 的任意性,取0>=t x ,则t t t f 2log )(+=,由于3)(=t f ,因此t t -=3log 2,又t t y +-=3log 2是单调函数,因此2=t 是方程t t -=3log 2的唯一实数根,所以x x f 2l o g 2)(+=,则2ln 1)(/x x f =,故原方程22ln 1log 22=-+x x ,即2ln 1log 2x x =,令=)(x F 2ln 1log 2x x -,由于0)2(,0)1(><F F ,因此函数)(x F 在(1,2)上有零点,即该方程的根所在的区间是(1,2),应选C.考点：函数方程思想的运用．【易错点晴】本题是一道抽象函数为为背景的函数零点问题,重点考查函数的零点问题及换元转化的数学思想和分析问题解决问题的能力.解答本题的难点在于无法知道函数的解析式的形式,下面的导数式就无从下手.在这里先将函数的解析式求出成为解答本题的关键之所在.解答时将t x x f =-2log )(,进而令解析式中的t x =,借助题设中3)(=t f 得到t t -=3log 2,再运用观察法求出适合t t -=3log 2的2=t ,从而求出函数解析式x x f 2log 2)(+=,以下的问题就容易了.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知51()(2)a x x x x+-的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ． 【答案】40考点：二项式展开式的通项公式及待定系数法．14.曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．【答案】21)21()21(22=-+-y x 【解析】试题分析：因x x f ln 1)(/+=,故切线的斜率1=k ,切线方程为1-=x y ,令1,0-==y x ;令1,0==x y 交点坐标分别为)0,1(),1,0(B A -,由题设2=AB 是直径,圆心为)21,21(-,则圆的方程为21)21()21(22=-+-y x .考点：导数的几何意义和圆的方程．【易错点晴】本题是一道以曲线与直线相切为前提条件,重在考查圆的标准方程的求法的代数与解析几何相结合的综合问题.解答时要充分借助题设条件,先对()ln f x x x =求导,确定切线的斜率1=k ,求出曲线的切线方程1-=x y ,再求出其与坐标轴的交点坐标)0,1(),1,0(B A -,最后求出其圆心坐标)21,21(-和半径22=r ,依据圆的标准方程的形式写出其标准方程.15.已知,A B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有 ． 【答案】48考点：排列数组合数公式及运用．16.在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围是 ．【答案】 【解析】试题分析：建立如所示的坐标系,则)1,0,0(),1,1,1(),0,0,1(),1,1,0(),21,1,1(),0,0,0(111A C B D E A ,设),,1(s t F ,平面AED 1的法向量为),,(z y x n =,则)1,1,0(),21,0,1(),1,,1(111==-=AD D s t A ,所以0,011=⋅=⋅AD D ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0021z y z x ,令2=z ,则⎪⎩⎪⎨⎧=-==221z y x ,所以)2,2,1(-=.又因为1//A F 平面1D AE ,所以01=⋅n F A ,即0)1(221=-+-s t ,也即211-=-t s ,所以)21,,1(1-=t t A .由于)0,0,1(1=n 是平面11BCC B 的一个法向量,且111=⋅n A ,所以4521,c o s 211+->=<t t n A,考点：空间向量的数量积公式及运用．【易错点晴】本题考查是空间向量在立体几何中的运用和计算问题,求解时先依据题设条件构建出空间坐标系, 先设平面AE D 1的法向量为),,(z y x =,利用法向量与平面AE D 1垂直求出)2,2,1(-=.再借助1//A F 平面1D AE ,求出)21,,1(1-=t t A .最后借助数量积公式建立的线面角的正切 ])1,0[(4121tan 2∈+-=t t t α求出其范围是]22,2[tan ∈α.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C的对边，2sin()3a C π+=. （1）求角A 的值；（2）若3AB =，AC 边上的中线BD，求ABC ∆的面积.【答案】(1) 3A π=；(2)36.【解析】考点：正弦定理余弦定理三角形面积公式的运用．18.（本小题满分12分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽取50名学生，得到下面的数据表：（1）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大；（2）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷，若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大；(2)ξ的分布列见解析，数学期望为43.（2）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20:125:3=， 所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.依题意，得3,1,1,3ξ=--，33381(3)56C P C ξ=-==，12533815(1)56C C P C ξ=-==， 21533830(1)56C C P C ξ===，353810(3)56C P C ξ===， 故ξ的分布列如下：所以115301033(1)135********E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯=. 考点：卡方公式和数学期望公式的运用．19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PA 的中点.（1）若4PA =，求点C 到平面BMD 的距离；（2）过直线BD 且垂直于直线PC 的平面交PC 于点N ，当三棱锥N BCD -的体积最大时，求二面角M ND B --的余弦值.【答案】(1)332；(2)77. 【解析】试题分析：(1)运用等积法建立方程求解；(2)借助题设条件建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积求解即可.试题解析:（1）设BD 与AC 相交于点O ，则BD AC ⊥，连接MO ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BMD ，∴平面BMD ⊥平面PAC ，过A 作AT MO ⊥于点T ，则AT ⊥平面BMD ，∴AT 为点A 到平面BMD 的距离，∵,C A 到平面BMD 的距离相等，在MAO ∆中，3AO AM AT MO ∙==. 设平面MND 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则有1100n MD n ND ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，20310222y x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 取1y =，则有11(3n =-，∵直线PC ⊥平面BND ，∴平面BND的一个法向量为(2,2,PC =-，易知二面角M ND B --的平面角为锐角α，则11224cos ||||||||1n PC n PC α-+-∙===∙.考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式的运用．【易错点晴】立体几何是高考是重要题型之一,也有效检测学生化归转化的数学思想的良好素材.本题是一道典型集计算和推证于一体的空间线面位置关系的计算题.解答时第一问的点到面问题时,巧妙借助体积相等,求出点C 到平面BMD 的距离.这是转化与化归的典范,也是数学思想的体现.第二问中三棱锥的体积最大时二面角的余弦值问题是借助建立空间直角坐标系,构建目标函数,通过求最值从而求出了二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴.（1）求线段ON 的长；（2）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，如果直线,,MA ME MB的斜率依次成等差数列，判断直线2l 是否过定点，并说明理由.【答案】(1)2；(2)是，定点为(2,0).【解析】试题分析：(1)运用导数与相切的关系建立切线方程；(2)借助题设条件及抛物线与直线的位置关系联立方程组求解即可.考点：直线与抛物线的位置关系及运用．21.（本小题满分12分）已知函数()1tx xf x xe e =-+，其中t R ∈，e 是自然对数的底数.（1）若方程()1f x =无实数根，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 在(0,)+∞内为减函数，求实数t 的取值范围.【答案】(1) 11t e <-；(2)12t ≤.②当112t <<时，1012t <-<，且11tt >-，即1ln 011tt t >--.令(1)()1t x h x tx e -=+-，则(0)0h =，'(1)(1)()(1)(1)[]1t x t xt h x t t e t e t --=--=---.当10ln 11t x t t<<--时，'()0h x >，此时()(0)0h x h >=， 则当10ln 11t x t t <<--时，'()0f x >，故()f x 在1(0,ln )11t t t --单增， 与题设矛盾，不符合题意，舍去. 所以，当12t ≤时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数. 考点：导数在研究函数最值和图像的性质中的综合运用．【易错点晴】本题是一道研究函数的零点和单调性的综合性问题,重点考查导数在研究函数的单调性和零点问题中的运用.解答第一问时充分借助转化与化归的数学思想和方法,将方程的形式进行了合理有效的转换和化归,再通过转化将方程问题转化为函数的问题,最后运用导数使得问题巧妙获解.第二问中灵活运用分类整合的数学思想和方法对单调递减函数的进行合理有效的转化,运用分析推证的方法进行求解使得问题获解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，BC 为圆O 的直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ∙的值.【答案】(1)证明见解析；(2)50.（2）由切割线定理得：2PA PB PC =∙，∴20PC =，又5PB =，∴15BC =，又∵AD 是BAC ∠的平分线，∴2AC CD AB DB==, ∴2CD DB =，∴10CD =，5DB =，又由相交弦定理得：50AD DE CD DB ∙=∙=.考点：圆中切割线定理、相交弦定理等圆幂定理的运用．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.【答案】（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=；.从而当4cos 5θ=，3sin 5θ=-时，d .考点：参数方程与直角坐标方程的互化及建立目标函数的思想．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(1)(3)6f x f x -++≥；（2）若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()bf ab a f a >.【答案】(1) (,3][3,)-∞-+∞；(2)证明见解析.考点：绝对值不等式的解法及间接证明中的分析法的运用．。

山西省晋城市2016年高考数学三模试卷（文科）（解析版）一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4}B．{3，4}C．{1，2，3}D．{2，4}2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=05．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．66．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a9=3，a6a10=9，则a7a8=（）A．B．2C．4D．38．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（）A．﹣B．﹣C．D．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，]B．[﹣4，1] C．[，]D．[，1]11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．312．已知f（x）=，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ln2] B．（﹣∞，﹣ln2]C．（﹣∞，﹣e]D．（﹣∞，﹣e]二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取名学生．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m=．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49=．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|， ++=，则点B到直线AC的距离为．三、解答题17．（12分）（2016晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．（12分）（2016晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．19．（12分）（2016晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣EFB的体积．20．（12分）（2016晋城三模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l1经过椭圆C的上顶点P且与圆x2+y2=4交于A，B两点，过点P作l1的垂线l2交椭圆C于另一点D，当△ABD的面积取得最大值时，求直线l1的方程．21．（12分）（2016晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4}B．{3，4}C．{1，2，3}D．{2，4}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，∴A∩B={3，4}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】化简z，得到z=﹣i，从而求出z的模．【解答】解：z=+=+=﹣2i=﹣i，则|z|==，故选：A．【点评】本题考查了复数的化简求值，考查复数求模问题，是一道基础题．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判断方法，考查特称命题的否定，训练了复合命题的真假判断方法，是中档题．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据的等边三角形的性质，建立方程关系得到a，b的关系即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，∴tan∠OFB1=tan30°=，即，则b2=c2=（a2+b2），即a2=2b2，则a=b，即双曲线的渐近线方程为y==±x，则x±y=0，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据正三角形的边长关系建立a，b的关系是解决本题的关键．5．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】抽象函数及其应用．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），∴f（x）为周期为4的周期函数，∴f（103）=f（26×4﹣1）=f（﹣1）=f（1）=f（1+4）=f（5），∵当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，∴f（5）=5+1=6，故选：D．【点评】本题考点是函数的值，本题考查利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a9=3，a6a10=9，则a7a8=（）A．B．2C．4D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a7，a8的值，则a7a8可求．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{a n}中，由a5a9=3，a6a10=9，得，∴，则a7a8=．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】依题意知T，利用周期公式可求ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象和性质可得到φ=kπ﹣（k∈Z），结合范围|φ|≤，于是可求得φ的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，∴T=，又ω＞0，∴T==π，∴ω=2；又∵g（x）=f（x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ）的图象关于直线x=对称，∴2×++φ=kπ+（k∈Z），∴φ=kπ﹣（k∈Z），又|φ|≤，∴φ=﹣．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查外接球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，]B．[﹣4，1] C．[，]D．[，1]【考点】简单线性规划．【分析】根据分式的几何意义，作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的公式进行求解即可．【解答】解：z===1+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知，AD的斜率最大，此时AD的斜率为0，即k=0，BD的斜率最小，此时B（0，﹣2），此时k==﹣5，则﹣5≤k≤0，则﹣4≤z≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质转化为直线斜率的关系是解决本题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出直观图和对应的正方体，由三视图求出几何元素的长度，由正方体的性质、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P ﹣ABCD ，是棱长为2的正方体一部分， 直观图如图所示：∵平面PAC 是正方体的对角面，∴中点B 到平面PAC 的距离是，由正方体的性质可得，几何体的体积V=V P ﹣ACD +V P ﹣ABC =V A ﹣PCD +VB P ﹣PAC==2，故选：B ．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，以及换底法求三棱锥的条件，由三视图和正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知f （x ）=，若a ＜b ＜c ，f （a ）=f （b ）=f （c ），则实数a +3b +c的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣ln2] B ．（﹣∞，﹣ln2] C ．（﹣∞，﹣e] D ．（﹣∞，﹣e]【考点】分段函数的应用．【分析】设f （a ）=f （b ）=f （c ）=t ，作出函数的图象，结合图象判断0＜t ＜1，分别用t 表示a ，b ，c ，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可求a +3b +c 的取值范围．【解答】解：先作出函数f （x ）的图象如图： ∵a ＜b ＜c ．f （a ）=f （b ）=f （c ）， 设f （a ）=f （b ）=f （c ）=t ， 则0＜t ＜1，则由f （a ）=e a =t ，得a=lnt ，由f（b）=1﹣b=t，得b=1﹣t，由f（c）==t，得c=t2+1，则a+3b+c=lnt+3（1﹣t）+t2+1=t2﹣3t+lnt+4设g（t）=t2﹣3t+lnt+4，0＜t＜1，函数的导数g′（t）=2t﹣3+==，由g′（t）=0得t=，当0＜t＜时，g′（t）＞0，此时函数递增，当＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数递减，即当t=时，函数g（t）取得极大值同时也是最大值g（）=﹣+ln+4=﹣ln2，∴g（t）≤﹣ln2，即a+3b+c的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，设f（a）=f（b）=f（c）=t，利用t表示a，b，c，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取8名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为4：5：6，∴从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为30的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量垂直的充要条件．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49=325．【考点】数列递推式．【分析】a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，可得a2n+a2n+1=n+1，于是S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）即可得出．【解答】解：∵a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，∴a2n+a2n+1=n+1，则S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）=1+（1+1）+（2+1）+…+（24+1）=1+2+…+25==325．故答案为：325．【点评】本题考查了递推关系、分组求和、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|， ++=，则点B到直线AC的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由++=可知F为△ABC的重心，根据抛物线的性质和重心坐标公式求出A，B，C的坐标，得出AC方程，从而求出B到AC的距离．【解答】解：抛物线方程为y2=4x．准线方程为x=﹣1．∵++=，∴F为△ABC的重心．∴x A+x B+x C=3，y A+y B+y C=0．∴|FA|+|FB|+|FC|=x A+1+x B+1+x C+1=6．∵2|FB|=|FA|+|FC|，∴|FB|=2，|FA|+|FC|=2．∵B在x轴的下方，∴B（1，﹣2）．∴x A+x C=2，y A+y C=2．∵，x c=，∴，解得y A=1+，y C=1﹣．∴x A=1+，x c=1﹣．∴直线AC的方程为：y=2x﹣1．即2x﹣y﹣1=0．∴B到直线AC的距离d==．故答案为：【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形重心的性质，点到直线的距离，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2016晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由样本平均数的来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩，（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，列举法易得．【解答】解：（1）数学的平均成绩为55×0.04+65×0.08+75×0.12+85×0.28+95×0.24+105×0.2+115×0.04=88.6分；（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，从数学成绩在100分以上的学生中任选2人，共有（103，103），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（105，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112），（107，112）共有15种，其中有且只有一人成绩是105分的有（103，105），（103，105），（103，105），（103，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112）共有8种，故有且只有一人成绩是105分的概率【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、概率等知识，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．19．（12分）（2016晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥M ﹣EFB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，而CD ∥EF ，故EF ⊥平面PAD ，于是平面BEF ⊥平面PAD ；（2）取AD 中点N ，连结PN ，BN ，过N 作NQ ⊥PD ．则可证BN ∥平面PCD ，NQ ⊥平面PCD ，于是V M ﹣EFB =V B ﹣EFM =V N ﹣EFM =．【解答】（1）证明：∵BC ∥AD ，BC ⊥CD ，∴CD ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PAD ．∵E ，F 分别是PD ，PC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ．（2）解：取AD 中点N ，连结PN ，BN ，过N 作NQ ⊥PD ． ∵△PAD 是边长为4的正三角形，∴ND=，PN=2，PN ⊥AD∴NQ==．∵BCND ，BC ⊥CD ，∴四边形BCDN 是矩形， ∴NB ∥CD ，即NB ∥平面PCD ． ∴V M ﹣EFB =V B ﹣EFM =V N ﹣EFM ．由（1）知CD ⊥平面PAD ，NQ ⊂平面PAD ，∴NQ ⊥CD ，又PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD=D ， ∴NQ ⊥平面PCD ．∵EF 是△PCD 的中位线，∴S △EFM ===2．∴V M ﹣EFB =V N ﹣EFM ===．【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2016晋城三模）已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 1经过椭圆C 的上顶点P 且与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，过点P 作l 1的垂线l 2交椭圆C 于另一点D ，当△ABD 的面积取得最大值时，求直线l 1的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）由题意可得：，=，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出．（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0）．由题意可知直线l 1的斜率垂直，当k=0时，直线l 1的方程为y=1，|AB |=2，直线l 2的方程为x=0，D （0，﹣1）．可得S △ABD ．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．可得圆心O（0，0）到直线l1的距离d，于是|AB|=2．由l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．与椭圆方程联立解得x0，可得|PD|=|x0|．S△ABD=，即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：，=，又a2=b2+c2，联立解得b=c=1，a=．∴椭圆C的方程为+y2=1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知直线l1的斜率垂直，当k=0时，直线l1的方程为y=1，|AB|=2，直线l2的方程为x=0，D（0，﹣1）．∴S△ABD==2．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．∴圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|=2=2．∵l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．联立，化为：（2+k2）x2﹣4kx=0．解得x0=，∴|PD|==．S△ABD==．设t=，可得：k2=，则S△ABD==≤=，当且仅当t=，即k=时取等号．又，∴直线l 1的方程为：y=x +1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016晋城三模）已知f （x ）=+﹣3，F （x ）=lnx +﹣3x +2．（1）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性； （2）判断函数F （x ）在（0，+∞）上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出f （x ）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性判断出函数F （x ）的大致图象，从而判断出函数的零点的个数．【解答】解：（1）f ′（x ）=﹣+=，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1，令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1， ∴f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）F ′（x ）=f （x ）=+﹣3，由（1）得：∃x 1，x 2，满足0＜x 1＜1＜x 2，使得f （x ）在（0，x 1）大于0，在（x 1，x 2）小于0，在（x 2，+∞）大于0， 即F （x ）在（0，x 1）递增，在（x 1，x 2）递减，在（x 2，+∞）递增， 而F （1）=0，x →0时，F （x ）→﹣∞，x →+∞时，F （x ）→+∞， 画出函数F （x ）的草图，如图示：，故F（x）的零点有3个．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=；（Ⅱ）解：∵ADDE=BDCD ，，∴DC=，∵△ADC ∽△ABE ，∴，∴ADAE=ABAC ， ∴AD （AD +DE ）=ABAC ，∴AD 2=ABAC ﹣ADDE=ABAC ﹣BDDC=3×=，∴AD=．【点评】本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016晋城三模）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=6，圆C 的参数方程是（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l 与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM ：θ=α（0＜α＜）与圆C 的交点为O 、P 两点，与直线l 的交于点M ．射线ON ：θ=α+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴=．当时，取等号．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时， +≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

2016年山西省高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．复数+的共轭复数为（）A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i2．若集合A={x|1＜x2＜5x}，B={y|y=3﹣x，x∈A}，则A∪B等于（）A．（1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，5）D．（﹣2，5）3．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（）A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y14．设A、B、C、D四点都在同一个平面上，且+4=5，则（）A．=4B．=5 C．=4 D．=55．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（）A． B．C．D．6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两侧的排法数为（）A．﹣2B．﹣C．﹣2D．﹣7．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，给出下列两个命题：命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是（）A．￢p B．（￢p）∧（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）8．执行如图所示的程序框图，则输出的y等于（）A．﹣1 B．0 C．1021 D．20459．设a＞0，且x，y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（）A．B．C．D．10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π11．设函数y=ax2与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（e，） B．（﹣e，0）∪（0，e）C．（0，e）D．（，1）∪{e}12．已知S n，T n分别为数列{}与{}的前n项和，若S n＞T10+1013，则n的最小值为（）A．1023 B．1024 C．1025 D．1026二、填空题13．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）=．14．设x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为．16．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB 切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？19．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且=，BQ=4．（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；（2）求二面角P﹣QD﹣A的余弦值．20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．（1）求证：OC⊥AB；（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．2016年山西省高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数+的共轭复数为（）A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： +=+=2+2i+3﹣i=5+i的共轭复数为5﹣i．故选：C．2．若集合A={x|1＜x2＜5x}，B={y|y=3﹣x，x∈A}，则A∪B等于（）A．（1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，5）D．（﹣2，5）【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的运算即可得到结论．【解答】解：∵1＜x2＜5x，∴解得1＜x＜5，∴A=（1，5），∵y=3﹣x，∴﹣2＜y＜2，∴B=（﹣2，2），∴A∪B=（﹣2，5），故选：D．3．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（）A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，得出答案．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，∴|PF|=x1+1，|QF|=x2+1．∵|QF|=2|PF|，∴x2+1=2（x1+1），即x2=2x1+1．故选：A．4．设A、B、C、D四点都在同一个平面上，且+4=5，则（）A．=4B．=5 C．=4 D．=5【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的数乘运算便可由得到，而，从而根据向量加法的几何意义便可得出，从而便可找出正确选项．【解答】解：；∴；∴；∴；∴．故选：A．5．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得向左平移个单位后，得到的函数解析式为：y=﹣sin3x，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的函数解析式为：y=cos[3（x+）+]=﹣sin3x，此函数过原点，为奇函数，排除C，D；原点在此函数的单调递减区间上，故排除B．故选：A．6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两侧的排法数为（）A．﹣2B．﹣C．﹣2D．﹣【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，利用间接法，五位女演员全排，有种方法，插入四位男演员，女演员甲站两侧，有2，即可求出不同的排法．【解答】解：由题意，利用排除法，五位女演员全排，有种方法，插入四位男演员，女演员甲站两侧，有2种方法，所以不同的排法有﹣2种．故选：A．7．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，给出下列两个命题：命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是（）A．￢p B．（￢p）∧（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，即可判断出命题p，q的真假．【解答】解：对于命题p：由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=S3+S9﹣S6，∴3S6=3S3+S9≥3×9+9，∴S6≥12，因此命题p正确；命题q：由上面可知：3S3+S9=3S6≥3×12=36，因此S3，S9中至少有1个不小于9，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的y等于（）A．﹣1 B．0 C．1021 D．2045【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的y，x的值，当x=2048时，满足条件x ＞2016，退出循环，输出y的值为1021，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=1不满足条件y≤0，y=﹣2，x=2不满足条件x＞2016，执行循环体，满足条件y≤0，y=3，x=4不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=0，x=8不满足条件x＞2016，执行循环体，满足条件y≤0，y=9，x=16不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=13，x=32不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=29，x=64不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=61，x=128不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=125，x=256不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=253，x=512不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=509，x=1024不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=1021，x=2048满足条件x＞2016，退出循环，输出y的值为1021．故选：C．9．设a＞0，且x，y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得的最大值．【解答】解：作出不等式组约束条件表示的平面区域，直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点．解得，即A（4，3）在3ax﹣y﹣9=0上，可得12a﹣3﹣9=0，解得a=1．的几何意义是可行域的点与（﹣3，0）连线的斜率，由可行域可知（﹣3，0）与B连线的斜率最大，由可得B（﹣1，），的最大值为：=．故选：D．10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，圆柱的底面圆半径是2、母线长是4，∴几何体的体积V=2×+=，故选：B．11．设函数y=ax2与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（e，） B．（﹣e，0）∪（0，e）C．（0，e）D．（，1）∪{e}【考点】函数的图象．【分析】令ax2=||得a2x3=|lnx+1|，作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a0，则0＜a＜a0．【解答】解：令ax2=||得a2x3=|lnx+1|，显然a＞0，x＞0．作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：设a=a0时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=e，y0=，a0=．∴当0＜a＜时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．故选：C．12．已知S n，T n分别为数列{}与{}的前n项和，若S n＞T10+1013，则n的最小值为（）A．1023 B．1024 C．1025 D．1026【考点】数列的求和．【分析】化简=1+﹣，从而利用分类求和与裂项求和法求和，对=1+，利用分类求和求和．【解答】解：∵==1+=1+﹣，∴S n=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣=n+1﹣，∵=1+，∴T10=1++1++ (1)=10+=11﹣，∵S n＞T10+1013，∴n+1﹣＞11﹣+1013=1024﹣，而1025﹣＞1024﹣，1024﹣=1024﹣．故n的最小值为1024，故选B．二、填空题13．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）=4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（﹣2）=﹣f（2），利用函数f（x）=，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣2）=﹣f（2），∴g（﹣2）﹣6=﹣log39，∴g（﹣2）=4．故答案为：4．14．设x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=﹣2．【考点】二项式系数的性质．【分析】x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，分别：令x=2，1即可得出．【解答】解：∵x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，∴令x=2，则﹣2=2a1+4a2+8a3+…+256a8，令x=1，则0=a1+a2+a3+…+a8，∴﹣2=a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8．故答案为：﹣2．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．【考点】球内接多面体．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．16．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB 切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为8﹣．【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图形，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线的性质求得C的轨迹为（x＞0），再利用双曲线定义把|CA|+|CD|取得最小值转化为|CB|+|CD|取最小值，可得C的位置，写出BD所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得C的坐标得答案．【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣2，0），B（2，0），D（0，4），设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F，则|CA|﹣|CB|=|AG|﹣|BF|=|AH|﹣|HB|=2＜4，∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=1，c=2，b2=c2﹣a2=3，∴C的轨迹方程为（x＞0）．∵|CA|﹣|CB|=2，∴|CA|=|CB|+2，则|CA|+|CD|=|CB|+|CD|+2，则当C为线段BD与双曲线右支的交点时，|CA|+|CD|最小，BD所在直线方程为，即2x+y﹣4=0．联立，解得C（）．∴点C到直线DE的距离为．故答案为：8﹣．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）使用正弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosB；（2）用三角形的面积S表示出三条高，利用等差中项的性质进行验证即可．【解答】解：（1）∵（a+c）sinB=2csinA．∴ab+bc=2ac．∵sin（A+B）=sinC=2sinA，∴c=2a．∴ab+2ab=4a2．∴b=．∴cosB===．（2）设BC、AC、AB边上的高分别为h1，h2，h3，则S=ah1=bh2=ch3，∴2S=ah1=h2=2ah3．∴h1=，h2=，h3=．∴h1+h3=2h2．∴BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）把实施方案一的数据列表整理，能求出X1的分布列的数学期望；把实施方案二的数据列表整理，能求出X2的分布列的数学期望．（2）记方案一的预计利润数为Y1，求出Y1的分布列和期望；记方案二的预计利润数为Y2，求出Y2的分布列和期望，由EY1＜EY2，得到为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．1×+×+×+×．实施方案二的数据具体见下表：22Y Y1Y Y2∵EY1＜EY2，∴为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．19．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且=，BQ=4．（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；（2）求二面角P﹣QD﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQ∥BN，即可判定PQ∥ABB1A1．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣QD﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，∵DP=DD1，且A1D1=3，AD=6，∴PN AD，又BQ AD，∴PN BQ，∴四边形BQPN为平行四边形，∴PQ∥BN，∵BN⊂平面ABB1A1，PQ⊄ABB1A1．∴PQ∥ABB1A1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，6，0），D1（0，3，0），P（0，4，4），Q（6，4，0），A（0，0，0），=（0，﹣2，4），=（6，﹣2，0），设平面DPQ的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，6，1），平面ADQ的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣QD﹣A的平面角为θ，cosθ===．20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，（*）①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=16（4k2+1﹣m2），，同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0，AB=|x1﹣x2|=，h=，∴S=1，综上，△ABC的面积为1．21．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值；（2）由题意可得（x﹣1）[e x﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e x﹣（x2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx ﹣n=0的两根，即可得到m，n的值，进而得到m+n的值．【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=e x（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为[（x﹣1）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[e x﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e x﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，可得g（x）≤g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，可得n=0，m=﹣1，则m+n=﹣1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．（1）求证：OC⊥AB；（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，∴OP2=PN2+ON2，∴，∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而，∴，由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：（1）由得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故曲线C的参数方程（θ为参数）．（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|令，t2=1+2sinθcosθ，，故当时，．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．【解答】解：（1）∵x＞0，∴1+＞0，不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立，即不等式＜1+﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．即对x∈（0，+∞）恒成立．即，∴，解得：1＜a＜8；（2）∵x＞0，∴x+1＞0，令f（x）=|x﹣1|+|x+1|，∴f（x）=|x﹣1|+x+1=，由（1）a=8时，得：2x＜8，解得：x＜4，故集合A的最大范围是（0，4），由4≤2x≤8，解得：2≤x≤3，故集合B=[2，3]，故A∩B不一定是空集．2016年8月22日。

山西省2016届高考数学考前质量检测三（理附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为虚数单位）满足，则（）A．B．C．D．2.用给个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（）A．B．C．D．3.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．4.为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（）A．B．C．D．5.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）6.设是等比数列的前项和，若，在（）A．B．C．D．7.实数满足若的最小值为，则实数的值为（）A．B．C．D．9.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A．B．C．D．10.已知为同一平面内的两个向量，且，若与垂直，则与的夹角为（）A．B．C．D．11.在体积为的三棱锥中，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．12.函数的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公益活动为期三天,现要为名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需人工作，第二天需人工作，第三天需人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答）14.已知集合，则___.（用填空）15.已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且为坐标原点）为正三角形，若射线与椭圆分别相交于点，则与的面积的比值为______.16.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足，则数列的前项的和为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，点是的边上一点，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的外接圆的半径为，求的面积.18.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 19.（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点为圆上的一点，且，点为线段上一点，且，垂直圆所在的平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）为抛物线的焦点，过点的直线与交于两点，的准线与轴的交点为，动点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形的面积最小时，求直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）当时，恒成立，求正实数的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的切线，是⊙的割线，，连接，分别于⊙交于点，点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程.（Ⅰ）当时，判断直线与的关系；（Ⅱ）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数，成立，求实数的值.2016年高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题（每小题5分）1.D2.D3.B4.A5.B6.C7.D8.B9.D10.D11.A12.C二、填空题（每小题5分）13.6014.15.16.三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD=a，则AC=a，CD=2a，则.∴又∴为顶角为的等腰三角形，.………………6分（Ⅱ）在中，由得.且 (12)分18．解：(Ⅰ)设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故.…………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为.………8分(Ⅲ)空白栏中填5.由题意可知，，，，，根据公式，可求得，，即回归直线的方程为.……………………………………………………12分19．(Ⅰ)证明：连接CO，由AD=13DB知，点D为AO的中点．为圆上的一点，为圆的直径，。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知集合{||1|3}A x Z x =∈-<，2{|230}B x xx =+-≥，则R A C B =（ ） A ．(2,1)- B ．(1,4)C ．{2,3}D ．{1,0}-【答案】D【解析】试题分析：因}13|{),,1[]3,(},3,2,1,0,1{<<-=+∞--∞=-=x x B CB A U ，故}0,1{-=BC A U ，选D 。

考点：交集补集运算。

2。

如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数,那么b 等于( ）A ．—6B ．23- C ．23D ．2 【答案】B考点:复数的概念及运算。

3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ）A ．27B ．36C ．45D ．54【答案】D【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D.考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式．4.下列命题错误的是（ )A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y中至少有一个不为0,则220xy +≠” B ．若命题:p 00,10x R x ∃∈+≤,则:,10p x R x ⌝∀∈+>C ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若向量,a b 满足0a b •<,则a 与b 的夹角为钝角【答案】D考点:命题真假的判断．【易错点晴】本题是一道命题真假的判定的问题。

问题中提供了四个命题,其中命题A 的是正确的,考查的是将一个命题的原命题改成其逆否命题后是真还是假的问题.解答时将结论与条件对调,再将其全部否定即可看出是正确的；命题B 考查的是存在性命题与全称命题的关系,这里借助全称命题与存在性命题是互为否定的这一事实即可知道也是正确的；命题C 的判断最易出错，其实可借助正弦定理sin sin A B >等价于b a >,而b a >等价于A B >划这是显然的事实，所以是正确的.5。

2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）试题一、选择题1．复数ii ++-31014的共轭复数为（ ） A ．i +5 B ．i -5 C ．i +-5 D ．i --5【答案】B【解析】试题分析：4104(1)10(3)13(1)(1)(3)(3)i i i i i i i i +-+=+-+-++-2(1)35i i i =++-=+，共轭复数为5i -．故选B ．【考点】复数的运算，复数的概念．2．若集合2{|15}A x x x =<<，},3|{A x x y y B ∈-==，则=B A Y （ ） A ．)2,1( B ．)2,2(- C ．)5,1(- D ．)5,2(- 【答案】D【解析】试题分析：{|15}A x x =<<，{|22}B y y =-<<，则{|25}A B x x =-<<U ．故选D ．【考点】集合的运算．3．),(11y x P 、),(22y x Q 分别为抛物线x y 42=上不同的两点，F 为焦点，若||2||PF QF =，则（ ）A ．1212+=x xB ．122x x =C ．1212+=y yD ．122y y = 【答案】A【解析】试题分析：在抛物线24y x =中焦参数为2p =，因此11PF x =+，21QF x =+，所以2112(1)x x +=+，即2121x x =+．故选A ．【考点】抛物线的定义．4．设D C B A ,,,四点都在同一个平面上，且BC DC AC 54=+，则（ ） A ．BD AB 4= B ．BD AB 5= C ．BD AC 4= D ．BD AC 5= 【答案】A【解析】试题分析：由BC DC AC 54=+得4()AC BC BC DC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，即4AB BD =u u u r u u u r．故选A ．【考点】向量的线性运算． 5．将函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后得cos[3()]183y ππ=++cos(3)2x π=+ sin3x =-，图象为D 。

2016届山西省太原市高三（下）第三次模拟数学（理）试题一、选择题1．已知集合{||1|3}A x Z x =∈-<，2{|230}B x x x =+-≥，则R A C B = （ ） A ．(2,1)- B ．(1,4) C ．{2,3} D ．{1,0}- 【答案】D【解析】试题分析：因}13|{),,1[]3,(},3,2,1,0,1{<<-=+∞--∞=-=x x B C B A U ,故}0,1{-=B C A U ,选D. 【考点】交集补集运算. 2．如果复数212bii-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．-6 B ．23- C ．23D ．2 【答案】B【解析】试题分析：因212bi i -+i b b i bi 545225)21)(2(--+-=--=,由题意054522=--+-b b ,解之得32-=b 故选B. 【考点】复数的概念及运算.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 【答案】D【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式． 4．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”B ．若命题:p 00,10x R x ∃∈+≤，则:,10p x R x ⌝∀∈+>C ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若向量,a b满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角【答案】D【解析】试题分析：因0a b ⋅<,故两向量的夹角为钝角或平角,其它命题不难验证都是正确的,故应选D.【考点】命题真假的判断． 【易错点晴】本题是一道命题真假的判定的问题.问题中提供了四个命题,其中命题A 的是正确的,考查的是将一个命题的原命题改成其逆否命题后是真还是假的问题.解答时将结论与条件对调,再将其全部否定即可看出是正确的；命题B 考查的是存在性命题与全称命题的关系,这里借助全称命题与存在性命题是互为否定的这一事实即可知道也是正确的；命题C 的判断最易出错,其实可借助正弦定理sin sin A B >等价于b a >,而b a >等价于A B >划这是显然的事实,所以是正确的. 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．34cm B ．36cm C ．3163cm D ．3203cm 【答案】C【解析】试题分析：从三视图中可以看出该三视图是一个三棱锥和一个三棱锥上下接合的组合体,其体积为316222213122221=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=V ,故应选C. 【考点】三视图的识读及几何体体积的计算．【易错点晴】本题是一道集三视图的识读和理解与几何体的体积面积计算的综合问题.求解这类问题的关键是借助题设中提供的三视图及有关信息, 搞清几何体的形状,明确求解的方向.本题在求解时运用三视图中的俯视图可以看出下部是三棱柱,上部为三棱锥,再从主视图和侧视图中获得其高和底边的长,为求该几何体的体积获得了有效的数据和信息.然后选择体积公式求出该几何体的体积. 6．若用下边的程序框图求数列1{}n n+的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）A ．1,100?i S S i i+=+≥B ．1,101?i S S i i +=+≥ C ．,100?1iS S i i =+≥- D ．,101?1iS S i i =+≥- 【答案】B【解析】试题分析：因1=i 有意义,故不能选C ，D ，又当100>i 时,流程图中的计算没有结束,故101>i ,应选B.【考点】算法流程图的识读和计算．7．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．[6,63],k k k Z +∈ B ．[63,6],k k k Z -∈ C ．[6,63],k k k Z ππ+∈ D ．[63,6],k k k Z ππ-∈ 【答案】A【解析】试题分析：由题设可知该函数的周期是628=-=T ,所以362ππω==且)3(f 取最值,即1)36sin(±=+⨯ϕπ,所以2ππϕ-=k ,所以)23sin()(πππ-+=k x A x f ,其增区间为ππππππk x k 222322+≤-≤-,即Z k k x k ∈+≤≤,636,故选答案A.【考点】三角函数的图象和性质．8．已知实数,x y 满足约束条件22410xy x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A．-．2 C．．1 【答案】A【解析】试题分析：平行移动动直线z x y +-=2,当该直线与圆相切时,在轴上得到截距最小,最小值为52-,故应选A.【考点】线性规划的知识及运用.9．已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450O A O B O C ++=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．25 B ．35 C ．45 D ．65【答案】D【解析】试题分析：由3450OA OB OC ++=变形可得OB OA ⋅++=2416925,即0=⋅,所以045,90=∠=∠ACB AOB ,由3450OA OB OC ++=变形可得COB ∠++=cos 4016259,故54cos -=∠COB ,所以5185811=++=BC ,同理可得:516=AC ,所以5645sin 516518210=⨯⨯=∆ABC S ,选D. 【考点】向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用．【易错点晴】本题是一道综合性较强的问题.解答时巧妙地利用题设条件外接圆半径为1及3450OA OB OC ++=,不厌其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,再运用余弦定理将ABC ∆三边分别算出来,最后再借助三角形的面积公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.10．已知双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，公共弦AB 恰过它们的公共焦点F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ） A ．(,)32ππ B ．(,)64ππ C ．(,)43ππ D ．(0,)6π 【答案】A【解析】试题分析：因点的坐标为),2(p pA ,其斜率为32>=O A k ,故其倾斜角的取值范围最有可能的是(,)32ππ,故应选A. 【考点】圆锥曲线的位置关系及运用． 11．已知{}n a 满足11a =，*11()()4n n n a a n N ++=∈，21123444n n n S a a a a -=++++ ，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B【解析】试题分析：由*11()()4n n n a a n N ++=∈得:1441=++n n n n a a ,取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,得到n个等式并两边相加得:n a a a a a a a n n n n =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++)444()4444(132233221,由于21123444n n nS a a a a -=++++ ,则na S S n n n n =+-++)41(41,而n n n n a a 4141-=+,所以n a S n n n =-45,应选B.【考点】数列及求和方法． 【易错点晴】本题是一道数列求和的综合问题,解答时充分借助题设条件,运用简单枚举和整体代换的数学思想和方法,灵魂运用题设条件进行巧妙变形继而使问题获解.解答本题的关键是如何利用*11()()4n n n a a n N ++=∈,将其变为1441=++n n n n a a 是关键的一个步骤,接着取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,将得到的等式两边相加再利用21123444n n n S a a a a -=++++ ，从而将问题进行有效地合理的转化,最后运用整体代换的方法求出了结果.12．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程'()()2f x f x -=的解所在的区间是（ ）A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】C【解析】试题分析：令t x x f =-2log )(,则x t x f t f 2log )(,3)(+==,注意到x 的任意性,取0>=t x ,则t t t f 2log )(+=,由于3)(=t f ,因此t t -=3l o g 2,又t t y +-=3log 2是单调函数,因此2=t 是方程t t -=3lo g 2的唯一实数根,所以x x f 2lo g 2)(+=,则2ln 1)(/x x f =,故原方程22ln 1log 22=-+x x ,即2ln 1log 2x x =,令=)(x F 2ln 1log 2x x -,由于0)2(,0)1(><F F ,因此函数)(x F在(1,2)上有零点,即该方程的根所在的区间是(1,2),应选C.【考点】函数方程思想的运用．【易错点晴】本题是一道抽象函数为为背景的函数零点问题,重点考查函数的零点问题及换元转化的数学思想和分析问题解决问题的能力.解答本题的难点在于无法知道函数的解析式的形式,下面的导数式就无从下手.在这里先将函数的解析式求出成为解答本题的关键之所在.解答时将t x x f =-2log )(,进而令解析式中的t x =,借助题设中3)(=t f 得到t t -=3log 2,再运用观察法求出适合t t -=3log 2的2=t ,从而求出函数解析式x x f 2log 2)(+=,以下的问题就容易了.二、填空题 13．已知51()(2)a x x x x+-的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ．【答案】40【解析】试题分析：令1=x 可得2)12)(1(5=-+a ，即1=a ，则51()(2)a x x x x+-=55)12(1)12(x x x x x x -+-，分别求出5)12(x x -的展开式中的含x1和x 和的项的系数分别为80,40-，所以展开式中的常数项为40. 【考点】二项式展开式的通项公式及待定系数法．14．曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．【答案】21)21()21(22=-+-y x 【解析】试题分析：因x x f ln 1)(/+=,故切线的斜率1=k ,切线方程为1-=x y ,令1,0-==y x ;令1,0==x y 交点坐标分别为)0,1(),1,0(B A -,由题设2=AB 是直径,圆心为)21,21(-,则圆的方程为21)21()21(22=-+-y x . 【考点】导数的几何意义和圆的方程．【易错点晴】本题是一道以曲线与直线相切为前提条件,重在考查圆的标准方程的求法的代数与解析几何相结合的综合问题.解答时要充分借助题设条件,先对()ln f x x x =求导,确定切线的斜率1=k ,求出曲线的切线方程1-=x y ,再求出其与坐标轴的交点坐标)0,1(),1,0(B A -,最后求出其圆心坐标)21,21(-和半径22=r ,依据圆的标准方程的形式写出其标准方程.15．已知,A B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有 ．【答案】48【解析】试题分析：先考虑甲乙捆绑成一个的情形:（甲乙）A 丙B ； B （甲乙） A 丙； （乙甲） A 丙B ；B （乙甲） A 丙； （甲乙）A B 丙； （甲乙）B A 丙；（乙甲） A B 丙B ；B （乙甲） B A 丙.共有8种可能；将三个大人全排列共633=A 种可能，所以共有4868=⨯种可能. 【考点】排列数组合数公式及运用．16．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D A E ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：建立如所示的坐标系,则)1,0,0(),1,1,1(),0,0,1(),1,1,0(),21,1,1(),0,0,0(111A C B D E A ,设),,1(s t F ,平面AE D 1的法向量为),,(z y x n =,则)1,1,0(),21,0,1(),1,,1(111==-=AD D s t A ,所以0,011=⋅=⋅n AD n E D ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0021z y z x ,令2=z ,则⎪⎩⎪⎨⎧=-==221z y x ,所以)2,2,1(-=n .又因为1//A F 平面1D AE ,所以01=⋅A ,即0)1(221=-+-s t ,也即211-=-t s ,所以)21,,1(1-=t t A .由于)0,0,1(1=n 是平面11BCC B 的一个法向量,且111=⋅n A ,所以4521,c o s211+->=<t t n A ,记A 1与平面11BCC B 所成角为α,则452412cos ,4521sin 222+-+-=+-=t t t t t t αα,所以])1,0[(4121tan 2∈+-=t t t α,因为]21,221[4122∈+-t t ,所以]22,2[tan ∈α.A z【考点】空间向量的数量积公式及运用．【易错点晴】本题考查是空间向量在立体几何中的运用和计算问题,求解时先依据题设条件构建出空间坐标系, 先设平面AE D 1的法向量为),,(z y x =,利用法向量与平面AE D 1垂直求出)2,2,1(-=.再借助1//A F 平面1D AE ,求出)21,,1(1-=t t A .最后借助数量积公式建立的线面角的正切])1,0[(4121tan 2∈+-=t t tα求出其范围是]22,2[tan ∈α.三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A BC 的对边，2sin()3a C π+=.（1）求角A 的值；（2）若3AB =，AC 边上的中线BD ABC ∆的面积. 【答案】（1） 3A π=；（2）36.【解析】试题分析：（1）运用正弦定理和两角和差的正弦公式求解；（2）借助题设条件及余弦定理三角形的面积公式求解即可. 试题解析: （1）由2sin()3a Cπ+=，得2sin (sin coscos sin )33A C CB ππ+=， 所以sin sin cos )A C A C AC =+，sin sin cos A C A C ，因为sin 0C ≠，所以sin A A =，tan A = ∵(0,)A π∈，∴3A π=.（2）在ABC ∆中，3AB =，BD =3A π=，由余弦定理，2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅⋅=，解得4AD =，又D 是AC 的中点，∴8AC =，1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅⋅= 【考点】正弦定理余弦定理三角形面积公式的运用．18．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽取50名学生，得到下面的数据表：（1）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大； （2）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷，若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大；（2）ξ的分布列见解析，数学期望为43. 【解析】试题分析：（1）运用卡方公式进行推算并作出判定；（2）借助题设条件数学期望公式求解即可. 试题解析:（1）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”， 230(41286)012182010k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，所以这两种选择与性别无关；选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”，因为232(16844) 6.969 6.63520122012k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以可以有99%以上的把握，认为“坐标系与参数方程”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关；选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”，因为238(161264)8.4647.87920182216k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以可以有99%以上的把握，认为“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关. 综上，“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大.（2）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20:125:3=， 所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.依题意，得3,1,1,3ξ=--，33381(3)56C P C ξ=-==，12533815(1)56C C P C ξ=-==， 21533830(1)56C C P C ξ===，353810(3)56C P C ξ===， 故ξ的分布列如下：所以115301033(1)135********E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯=. 【考点】卡方公式和数学期望公式的运用．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PA 的中点.（1）若4PA =，求点C 到平面BMD 的距离；（2）过直线BD 且垂直于直线PC 的平面交PC 于点N ，当三棱锥N BCD -的体积最大时，求二面角M ND B --的余弦值. 【答案】（1）332；（2）77. 【解析】试题分析：（1）运用等积法建立方程求解；（2）借助题设条件建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积求解即可. 试题解析:（1）设BD 与AC 相交于点O ，则BD AC ⊥，连接MO ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又PA AC A = ，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BMD ，∴平面BMD ⊥平面PAC ，过A 作AT MO ⊥于点T ，则AT ⊥平面BMD ，∴AT 为点A 到平面BMD 的距离，∵,C A 到平面BMD 的距离相等，在MAO ∆中，AO AM AT MO ⋅==（2）连接ON ，则ONC ∆为直角三角形， 设OCN θ∠=(0)2πθ<<，过N 作NQ OC ⊥于点Q ，则NQ ⊥平面ABCD ， ∴11222323N BCD V NQ NQ -=⨯⨯⨯⨯= 22sin cos sin 33NC OC θθθ==223θ=≤， 当且仅当4πθ=时，V 最大，此时，AP AC ==以A 为原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，则有M，33(,222N ，(0,2,0)D ，(2,2,0)C，P，(0,2,MD = ，31(,,)222ND =-- ，设平面MND 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则有1100n MD n ND ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，20310222y x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 取1y =，则有11(3n =- ，∵直线PC ⊥平面BND ，∴平面BND的一个法向量为(2,2,PC =-，易知二面角M ND B --的平面角为锐角α，则11224cos ||||7||||n PCn PC α-+-⋅===⋅.【考点】空间直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式的运用．【易错点晴】立体几何是高考是重要题型之一,也有效检测学生化归转化的数学思想的良好素材.本题是一道典型集计算和推证于一体的空间线面位置关系的计算题.解答时第一问的点到面问题时,巧妙借助体积相等,求出点C 到平面BMD 的距离.这是转化与化归的典范,也是数学思想的体现.第二问中三棱锥的体积最大时二面角的余弦值问题是借助建立空间直角坐标系,构建目标函数,通过求最值从而求出了二面角的余弦值. 20．已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴. （1）求线段ON 的长；（2）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，如果直线,,MA ME MB 的斜率依次成等差数列，判断直线2l 是否过定点，并说明理由. 【答案】（1）2；（2）是，定点为(2,0).【解析】试题分析：（1）运用导数与相切的关系建立切线方程；（2）借助题设条件及抛物线与直线的位置关系联立方程组求解即可. 试题解析:（1）由抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，得224p =，故1p =，C 的方程为22y x =，C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y ='y =，故C 在点M 处的切线斜率为12，切线的方程为12(2)2y x -=-，令0y =，得2x =-，所以点N 的坐标为(2,0)-，故线段ON 的长为2.（2）由题意可知1l 的方程为2x =-，因为2l 与1l 相交，故0m ≠，由2:l x my b =+，令2x =-， 得2b y m +=-，故2(2,)b E m+--，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22x my b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2220y my b --=，则122y y m +=，122y y b =-， 直线MA 的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线MB 的斜率为222y +， 直线ME 的斜率为224b m ++，因为直线,,MA ME MB 的斜率依次成等差数列， 所以1222222212242b b m y y m++++=⨯=+++， 即1212121212122(4)42112()42()42y y y y b y y y y y y y y m++-+=+=+++++++， 整理得：22222b b m b m++=-+，因为2l 不经过点N ，所以2b ≠-，所以222m b m -+=，即2b =，故2l 的方程为2x my =+，即2l 恒过定点(2,0). 【考点】直线与抛物线的位置关系及运用．21．已知函数()1tx x f x xe e =-+，其中t R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若方程()1f x =无实数根，求实数t 的取值范围； （2）若函数()f x 在(0,)+∞内为减函数，求实数t 的取值范围. 【答案】（1） 11t e <-；（2）12t ≤. 【解析】试题分析：（1）运用导数的知识求函数ln ()xg x x=的值域；（2）借助题设条件及导数与单调性的关系建立不等式分析求解即可. 试题解析:（1）由()1f x =，得tx xxe e =，即(1)0x t x e-=>，∴()1f x =无负实根.故有ln 1x t x =-，令ln ()x g x x =，则'21ln ()x g x x-=， 由'()0g x >，得0x e <<，由'()0g x <，得x e >，∴()g x 在(0,)e 上单调递增，()g x 在(,)e +∞上单调递减，∴max 1()()g x g e e ==，∴()g x 的值域为1(,]e-∞， 要使得方程()1f x =无实数根，则11t e ->，即11t e <-.（2）'(1)()[1]txtxxtxt xf x e txe e e tx e-=+-=+-，由题意知，对0x ∀>，'()0f x ≤恒成立，不妨设1x =，有1'(1)(1)0t t t e f e-+-=≤，而当1t ≥时，'(1)0f >，故1t <.①当12t ≤，且0x >时，2(1)'(1)22()[1]xx xe tx t xf x e tx e e +--=+-≤.而当0x >时，有1xe x >+，故2102xx e +-<，所以'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞内单调递减，故当12t ≤时满足题意， ②当112t <<时，1012t <-<，且11t t >-，即1ln 011tt t>--. 令(1)()1t x h x tx e -=+-，则(0)0h =，'(1)(1)()(1)(1)[]1t x t x th x t t e t e t--=--=---. 当10ln 11t x t t <<--时，'()0h x >，此时()(0)0h x h >=， 则当10ln 11t x t t <<--时，'()0f x >，故()f x 在1(0,ln )11t t t--单增， 与题设矛盾，不符合题意，舍去. 所以，当12t ≤时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数. 【考点】导数在研究函数最值和图像的性质中的综合运用．【易错点晴】本题是一道研究函数的零点和单调性的综合性问题,重点考查导数在研究函数的单调性和零点问题中的运用.解答第一问时充分借助转化与化归的数学思想和方法,将方程的形式进行了合理有效的转换和化归,再通过转化将方程问题转化为函数的问题,最后运用导数使得问题巧妙获解.第二问中灵活运用分类整合的数学思想和方法对单调递减函数的进行合理有效的转化,运用分析推证的方法进行求解使得问题获解. 22．选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，BC 为圆O 的直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =； （2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50. 【解析】试题分析：（1）运用相似三角形的性质推证；（2）借助题设条件及圆幂定理求解即可. 试题解析:（1）∵PA 是圆O 的切线，∴PAB ACB ∠=∠，又P ∠是公共角， ∴ABP ∆∽CAP ∆，∴2AC APAB PB==，∴2AC AB =. （2）由切割线定理得：2PA PB PC =⋅，∴20PC =， 又5PB =，∴15BC =，又∵AD 是BAC ∠的平分线，∴2AC CDAB DB==, ∴2CD DB =，∴10CD =，5DB =，又由相交弦定理得：50AD DE CD DB ⋅=⋅=.【考点】圆中切割线定理、相交弦定理等圆幂定理的运用． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-= 距离的最小值.【答案】（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=；（2. 【解析】试题分析：（1）直接将参数方程化为直角坐标方程；（2）借助题设条件及圆的参数方程建立参数的目标函数求解即可. 试题解析:（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=， 1C 的圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点的椭圆.（2）当2t π=时，(4,4)P -，(8cos ,3sin )Q θθ，故3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3C 为直线270x y --=，M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--，从而当4cos 5θ=，3sin 5θ=-时，d 取得最小值5. 【考点】参数方程与直角坐标方程的互化及建立目标函数的思想．24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(1)(3)6f x f x -++≥；（2）若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a>. 【答案】（1） (,3][3,)-∞-+∞ ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）运用分类整合思想进行转化求解；（2）借助题设条件，运用分析法推证. 试题解析:（1）由题意，原不等式等价为|2||2|6x x -++≥，令2,2()|2||2|4,222,2x x g x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩，所以不等式的解集是(,3][3,)-∞-+∞ .（2）要证()||()b f ab a f a>，只需证|1|||ab b a ->-， 只需证22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->， 从而原不等式成立.【考点】绝对值不等式的解法及间接证明中的分析法的运用．。

2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．（5分）（2016•河南模拟）已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）（2016•河南模拟）已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）（2016•河南模拟）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．（5分）（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）（2016•河南模拟）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．C．D．6．（5分）（2016•河南模拟）已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=68.26%，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=95.44%，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.47727．（5分）（2016•河南模拟）底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π8．（5分）（2016•河南模拟）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）9．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．306910．（5分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．（5分）（2016•河南模拟）已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．1612．（5分）（2016•河南模拟）某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．二、填空题13．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=______．14．（5分）（2016•河南模拟）已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=______．15．（5分）（2016•河南模拟）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为______．16．（5分）（2016•河南模拟）已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为______．三、解答题17．（12分）（2016•河南模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．（12分）（2016•河南模拟）已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）（2016•河南模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．（12分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•河南模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O 于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•河南模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2016•河南模拟）已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可确定出交集的子集个数．【解答】解：∵A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，∴A∩B={2，4}，则集合A∩B的子集个数为22=4，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•河南模拟）已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由=4+2i，得，∴复数z在平面上的对应点的坐标为（），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）（2016•河南模拟）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p∧q真￢q∧p 假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判断方法，考查特称命题的否定，训练了复合命题的真假判断方法，是中档题．4．（5分）（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．5．（5分）（2016•河南模拟）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．C．D．【分析】设出F（c，0），A（0，b），双曲线C的一条渐近线y=x，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），A（0，b），若AF与双曲线C的一条渐近线y=x垂直，可得•=﹣1，即为ac=b2，由b2=c2﹣a2，即有c2﹣ac﹣a2=0，由e=可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2016•河南模拟）已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=68.26%，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=95.44%，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772【分析】根据二项式定理求出a，进而根据正态分布的对称性，结合已知中的公式，得到答案．【解答】解：（+x6）4展开式中通项为：x﹣2（4﹣r）•x6r=x8r﹣8，令8r﹣8=0，则r=1，故a==4，∵X～N（1，1），则P（﹣1＜X＜3）=95.44%，则P（﹣2＜X＜4）=99.74%，∴P（3＜X＜4）=（99.74%﹣95.44%）=0.0215，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线表示的几何意义，二项式定理的应用，难度中档．7．（5分）（2016•河南模拟）底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R ﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查外接球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．8．（5分）（2016•河南模拟）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）【分析】由题意画出图形，得到0＜a＜1且，求出log a2的范围，则f（2）的取值范围可求．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，考查对数的运算性质，属中档题．9．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．3069【分析】由a1=1，a n a n+1=2n，可得：n=1时，a2=2．n≥2时，==2，数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n a n+1=2n，∴n=1时，a2=2．n≥2时，==2，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．则S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=3×1023=3069．故选：D．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】由条件利用余弦函数的图象和性质，求得ω=1，再根据当x∈（﹣，）时，sin（x+φ）＞恒成立，可得﹣+φ≥，且+φ≤，由此求得φ的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，∵=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．当x∈（﹣，），即x+φ∈（﹣+φ，+φ）时，f（x）＞1恒成立，∴sin（x+φ）＞恒成立，∴﹣+φ≥，且+φ≤．求得≤φ≤，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．11．（5分）（2016•河南模拟）已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．16【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦定理表示出x1+x2及x1x2进而求得y1y2和y1+y2，由•=0即可求得k的值，由弦长公式即可求得|AB|．【解答】解：由抛物线C：y2=8x可得焦点F（2，0），直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，M（﹣2，4），═（x1+2，y1﹣4），=（x2+2，y2﹣4），•=（x1+2，y1﹣4）•（x2+2，y2﹣4）=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2﹣4（y1+y2）+16=0，整理得：k2﹣2k+1=0，解得k=1，∴x1+x2=12，x1x2=4．|AB|=•=•=16，故答案选：D．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积公式、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016•河南模拟）某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B1B，B1C1的中点，F点在A1C1上，且FC1=，则该截面为AMNF．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B1B，B1C1的中点，F点在A1C1上，且FC1=，则该截面为AMNF．连接MN，并延长交CC1的延长线于点E，交CB的延长线于点D，三棱柱的体积为×2×4=4，设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V1，V2，EC1=2，BD=1，∴=×2=．V M﹣ABD=×2=．V A﹣DCE==3．∴V1=3﹣﹣=，V2=﹣=，∴=．【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100= 383．【分析】由数列{a n}、{b n}均为等差数列，可得数列{a n+b n}是等差数列，由已知求出数列{a n+b n}的公差，代入等差数列的通项公式求得a100+b100．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d1，数列{b n}的首项为b1，公差为d2，∴a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=a1+b1+（d1+d2）n﹣（d1+d2），∴数列{a n+b n}是以d1+d2为公差的等差数列．由a5+b5=3，a9+b9=19，得，∴a100+b100=a5+b5+95（d1+d2）=3+95×4=383．故答案为：383．【点评】本题考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题．14．（5分）（2016•河南模拟）已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量垂直的充要条件．15．（5分）（2016•河南模拟）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为13．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：三角形ABC的三边及其内部部分：联立⇒得：A（4，3）．联立⇒得：B（2，0）．令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，显然直线过A（4，3）时，a最大，此时a=13，直线过B（2，0）时，a最小，此时a=﹣4，故z=|a|，故z的最大值是13，故答案为：13．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．也可以转化为点到直线的距离公式求解．16．（5分）（2016•河南模拟）已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）．【分析】分离参数a=x，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x﹣交点个数判断即可．【解答】解：x3﹣ax2﹣x+1=0，a=x，令y=x，y′=，x3+x﹣2=0，x=1x＜0时y′＞0，x＞1时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，x=1时，函数取的极小值为1﹣1+1=1∴y=a，与y=x交点为1个时，a＜1，故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的思想，运用求解零点问题，关键构造函数，利用图象交点问题求解，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016•河南模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB ≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2016•河南模拟）已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，甲每次所取的两球颜色相同的概率为=，乙每次所取的两球颜色相同的概率为，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=++×=，P（X=3）=+=，P（X=4）==，0 1 2 4EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2016•河南模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC 1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．21．（12分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）问题等价于lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出F（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）原不等式等价于＞恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，根据函数的单调性求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a x=x在（0，+∞）上有2个解，即xlna=lnx⇔lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，F′（x）=，∴x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）递减，故x＞0时且x→0时，F（x）=lnx→﹣∞，x→+∞时，lnx＜x，F（x）=lnx→0，故F（x）的最大值是F（e）=，要使方程lna=有2个解，需满足0＜lna＜，解得：1＜a＜；（Ⅱ）由lnx1=x1lna，lnx2=x2lna，作差得：ln=（x1﹣x2）lna，即lna=，故原不等式等价于＞恒成立，∵0＜x1＜x2，∴ln＜恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，0＜λ≤1时，即λ2t﹣1＜0时，h′（t）＞0，h（t）在（0，1）大致，又h（1）=0，h（t）＜0在（0，1）恒成立，符合题意，λ＞1时，t∈（0，）上大致，在t∈（，1）上递减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）不能恒小于0，不合题意，舍去，综上，若不等式lna＞恒成立，只需0＜λ≤1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•河南模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O 于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=•；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=•；（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴AD2=AB•AC﹣AD•DE=AB•AC﹣BD•DC=3×=，∴AD=．【点评】本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•河南模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴•=．当时，取等号．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时，+≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）试题一、选择题1．复数ii ++-31014的共轭复数为（ ） A ．i +5 B ．i -5 C ．i +-5 D ．i --5【答案】B【解析】试题分析：4104(1)10(3)13(1)(1)(3)(3)i i i i i i i i +-+=+-+-++-2(1)35i i i =++-=+，共轭复数为5i -．故选B ．【考点】复数的运算，复数的概念．2．若集合2{|15}A x x x =<<，},3|{A x x y y B ∈-==，则=B A （ ） A ．)2,1( B ．)2,2(- C ．)5,1(- D ．)5,2(- 【答案】D【解析】试题分析：{|15}A x x =<<，{|22}B y y =-<<，则{|25}A B x x =-<<．故选D ．【考点】集合的运算．3．),(11y x P 、),(22y x Q 分别为抛物线x y 42=上不同的两点，F 为焦点，若||2||PF QF =，则（ ）A ．1212+=x xB ．122x x =C ．1212+=y yD ．122y y = 【答案】A【解析】试题分析：在抛物线24y x =中焦参数为2p =，因此11PF x =+，21QF x =+，所以2112(1)x x +=+，即2121x x =+．故选A ．【考点】抛物线的定义．4．设D C B A ,,,四点都在同一个平面上，且BC DC AC 54=+，则（ ） A ．BD AB 4= B ．BD AB 5= C ．BD AC 4= D ．BD AC 5= 【答案】A【解析】试题分析：由BC DC AC 54=+得4()AC BC BC DC -=-，即4AB BD =．故选A ．【考点】向量的线性运算． 5．将函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后得cos[3()]183y ππ=++cos(3)2x π=+ sin3x =-，图象为D 。