江西省高安市二中2016届高三第二次阶段考试数学(文)试卷

2016年江西省五市八校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•江西二模）i是虚数单位，若复数（1﹣i）（2a+i）是实数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．22．（5分）（2016•江西二模）设函数f（x）=x2sinx+1，且f（m）=5，则f（﹣m）的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．53．（5分）（2016•江西二模）集合A={x|x2﹣x﹣2=0}，B={x|x2+x+m=0}，若A∩B≠∅，则m的值为（）A．﹣6或6 B．0或6 C．0或﹣6 D．0或±64．（5分）（2016•白银模拟）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．则输出的S=（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•江西二模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）（2016•江西二模）设=（1，2），=（x，y），=+．若⊥，则点（x，y）的轨迹方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣1）2=B．C．D．7．（5分）（2016•江西二模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线截圆（x﹣2）2+y2=3所得的弦长等于2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）（2016•江西二模）设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象向右平移，与原图象重合，则ω的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．169．（5分）（2016•江西二模）现有编号从一到四的四个盒子，甲把一个小球随机放入其中一个盒子，但有的概率随手扔掉．然后让乙按编号顺序打开每一个盒子，直到找到小球为止（或根本不在四个盒子里）．假设乙打开前两个盒子没有小球，则小球在最后一个盒子里的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）（2016•江西二模）如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．D．811．（5分）（2016•江西二模）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•江西二模）椭圆与直线x﹣y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其O为坐标原点．若，则a取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016•江西二模）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且数列也为等差数列，则a16的值为______．14．（5分）（2016•江西二模）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为______．15．（5分）（2016•江西二模）如图所示的几何体是由一个正三棱锥S﹣A1B1C1和一个所有棱长都相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1组合而成，且该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在该球面上）的表面积为7π，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为______．16．（5分）（2016•江西二模）在△ABC中，D为边AC上一点，AB=4，AC=6，，．则∠A+∠CBD=______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016•江西二模）已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a1+a3+a5=9，且a1，a4，a16成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2016•江西二模）某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进（i）求m，n的值；（ii）估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定；（Ⅱ）在地理成绩在[60，80）区间的学生中，已知m≥10，n≥10，求事件“|m﹣n|≤5”的概率．19．（12分）（2016•江西二模）已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，点D，E分别是边AC，AB上的动点（不含A点），且满足（图1）．将△ADE沿DE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，连结AB、AC（图2）．（I）求证：AD⊥平面BCDE；（II）求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．20．（12分）（2016•江西二模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点T（0，﹣4），动点Q，R分别在x，y轴上，且，点P为RQ的中点，点P的轨迹为曲线C，点E是曲线C上一点，其横坐标为2，经过点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A，B（不同于点E），直线EA，EB分别交直线y=﹣2于点M，N．（I）求点P的轨迹方程；（II）若O为原点，求证：．21．（12分）（2016•江西二模）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x2）＞﹣2．[选做题]22．（10分）（2016•江西二模）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F．（1）求证：S四边形CEDF=BF•AE；（2）求证：．[选做题]23．（2016•江西二模）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．[选做题]24．（2016•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．2016年江西省五市八校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•江西二模）i是虚数单位，若复数（1﹣i）（2a+i）是实数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值．【解答】解：（1﹣i）（2a+i）=（2a+1）+（1﹣2a）i，∵此复数是实数，∴1﹣2a=0，得，故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2016•江西二模）设函数f（x）=x2sinx+1，且f（m）=5，则f（﹣m）的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】令g（x）=x2sinx，则g（x）奇函数，由此能求出f（﹣m）的值．【解答】解：令g（x）=x2sinx，知g（x）奇函数，∵f（m）=5，∴g（m）=4，g（﹣m）=﹣4，∴f（﹣m）=﹣4+1=﹣3．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．3．（5分）（2016•江西二模）集合A={x|x2﹣x﹣2=0}，B={x|x2+x+m=0}，若A∩B≠∅，则m的值为（）A．﹣6或6 B．0或6 C．0或﹣6 D．0或±6【分析】求出A中方程的解确定出A，根据两集合的交集不为空集，把x的值代入B求出m的值即可．【解答】解：由A中方程x2﹣x﹣2=0，解得：x=﹣1或2，∵A∩B≠∅，∴x=﹣1或x=2是B中方程x2+x+m=0的解，把x=﹣1代入方程得：1﹣1+m=0，即m=0；把x=2代入方程得：4+2+m=0，即m=﹣6，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）（2016•白银模拟）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量n的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件满足时执行循环，不满足时退出循环，即可得到输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1满足条件n≤5，S=2，n=3满足条件n≤5，S=2+=，n=5满足条件n≤5，S=+=，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为．故选：B．【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．5．（5分）（2016•江西二模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可．【解答】解：（如图）作出可行域，当目标直线过直线x+y﹣2=0与直线y=0的交点A（2，0）时取最大值，故最大值为z=2×2+0=4故选：D．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）（2016•江西二模）设=（1，2），=（x，y），=+．若⊥，则点（x，y）的轨迹方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣1）2=B．C．D．【分析】根据条件可求出向量的坐标，而由便可得到，这样进行向量数量积的坐标运算即可得出点（x，y）的轨迹方程．【解答】解：由已知得；又；∴；即x（1+x）+y（2+y）=0，化简得：．故选：D．【点评】考查向量坐标的加法运算，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，配方法的运用．7．（5分）（2016•江西二模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线截圆（x﹣2）2+y2=3所得的弦长等于2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由圆（x﹣2）2+y2=3可得圆心（2，0），半径为，双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由弦长公式可得2=2，可得圆心到直线的距离等于1，故，即c=2b，可得，即有，故选B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到值的距离公式，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）（2016•江西二模）设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象向右平移，与原图象重合，则ω的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．16【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，可得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象向右平移，与原图象重合，则至少向右平移一个周期，所以：，当k=1时，ω有最小值8，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+φ）的周期，属于中档题．9．（5分）（2016•江西二模）现有编号从一到四的四个盒子，甲把一个小球随机放入其中一个盒子，但有的概率随手扔掉．然后让乙按编号顺序打开每一个盒子，直到找到小球为止（或根本不在四个盒子里）．假设乙打开前两个盒子没有小球，则小球在最后一个盒子里的概率为（）A．B．C．D．【分析】不妨在原有的4个盒子的基础上增加一个盒子，且第5个盒子不能打开，小球被随手扔掉可看做放入第5个盒子中．小球在在第三、四、五个盒子里的概率都相等，从而得出结论．【解答】解：不妨在原有的4个盒子的基础上增加一个盒子，且第5个盒子不能打开，小球被随手扔掉可看做放入第5个盒子．此时小球在这五个盒子里的概率都是，由于小球不在第一、第二个盒子里，就只有在第三、四、五个盒子里，又因为在每个盒子里的概率相等，所以这个小球在最后一个盒子里的概率为，故选：B．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，属于中档题．10．（5分）（2016•江西二模）如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．D．8【分析】由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面是等腰三角形，AB=BC=2，棱长是4，其中D是CG的中点，∵BF⊥平面EFG，∴BF⊥EF，∵EF⊥FG，BF∩FG=F，∴EF⊥平面BFGC，∴组合体的体积：V=V三棱柱ABC﹣EFG﹣V三棱锥E﹣DFG═=，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．（5分）（2016•江西二模）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】构造辅助函数，由f（x）是奇函数，g（﹣x）+g（x）=0，可知g（x）是奇函数，求导判断g（x）的单调性，，即g（1﹣m）≥g（m），解得m的取值范围．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．【点评】本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．（5分）（2016•江西二模）椭圆与直线x﹣y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其O为坐标原点．若，则a取值范围是（）A．B．C． D．【分析】设出P，Q的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系得到P，Q的横坐标的和与积，结合OP⊥OQ，得到，代入根与系数的关系，得到．再由可得关于a的不等式组，则a取值范围可求．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△=4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．．∵OP⊥OQ，∴（x2﹣1）=2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴．化为a2+b2=2a2b2．∴．∵，得，∴，化为5≤4a2≤6，解得：．满足△＞0．∴a取值范围是．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量垂直与数量积关系的应用，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016•江西二模）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且数列也为等差数列，则a16的值为31．【分析】由于，要使数列也为等差数列，则，解出即可得出．【解答】解：∵，要使数列也为等差数列，则，即d=2，∴a16=1+2×（16﹣1）=31．故答案为：31．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016•江西二模）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣ey﹣1=0．【分析】求得f（x）的导数，可得在x=1处的切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：的导数为，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为，又f（1）=0，故切线方程为，即为x﹣ey﹣1=0．故答案为：x﹣ey﹣1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线的点斜式方程是解题的关键，属于基础题．15．（5分）（2016•江西二模）如图所示的几何体是由一个正三棱锥S﹣A1B1C1和一个所有棱长都相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1组合而成，且该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在该球面上）的表面积为7π，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为．【分析】外界球的球心在棱柱上下底面中心连线的中点上，利用勾股定理求出棱柱的棱长，得出三棱锥的高．【解答】解：设几何体的外接球半径为r．则4πr2=7π，∴r=，作出三棱柱上下底面的中心连线OO1，则外接球球心为OO1的中点M，设正三棱柱的棱长为x，则OM=，OC==．MC=r=．∴，解得，∴三棱锥S﹣A1B1C1的高h=r﹣=，故故答案为：．【点评】本题考查了多面体与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．16．（5分）（2016•江西二模）在△ABC中，D为边AC上一点，AB=4，AC=6，，．则∠A+∠CBD=．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，AD，CD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用正弦定理即可求得sinC，sin∠CBD的值，由∠CBD为锐角，，从而可得．【解答】解：∵AB=4，AC=6，．，设AD=x，由余弦定理，BD2=AB2+AD2﹣2AB∙ADcosA，得：24=16+x2﹣4x，即x2﹣4x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2（舍去），∴CD=2．∵cosA=，∴sinA=，∴，∴，∵CD＜BD，∴∠CBD为锐角．∴cosA=，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016•江西二模）已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a1+a3+a5=9，且a1，a4，a16成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由a1+a3+a5=9可得a3=3，再由等比数列知（3+d）2=（3﹣2d）（3+13d），从而解得；（II）由（Ⅰ）得，从而利用裂项求和法求得．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3+a5=9，∴3a3=9，∴a3=3．∵a1，a4，a16成等比数列，∴，∴（3+d）2=（3﹣2d）（3+13d），∵d≠0，∴d=1，∴a n=a3+（n﹣3）d=3+（n﹣3）=n；（II）由（Ⅰ）得，，∴=．【点评】本题考查了等比数列与等比差数列的性质的应用及裂项求和法的应用，同时考查了转化思想的应用，属于中档题．18．（12分）（2016•江西二模）某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进（Ⅰ）若历史成绩在[80，100]区间的占30%，（i）求m，n的值；（ii）估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定；（Ⅱ）在地理成绩在[60，80）区间的学生中，已知m≥10，n≥10，求事件“|m﹣n|≤5”的概率．【分析】（I）（i）由历史成绩在[80，100]区间的占30%，能求出m，进而能求出n．（ii）由已知分别求出地理和历史的平均成绩及方差，从而得到地理学科的成绩更稳定．（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，利用列举法能求出事件“|m﹣n|≤5”的概率．【解答】解：（I）（i）∵由历史成绩在[80，100]区间的占30%，∴，解得m=13，∴n=100﹣8﹣9﹣8﹣15﹣9﹣9﹣7﹣13=22．（2分）（7分）（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，所以满足条件的（m，n）有：（10，25）、（11，24）、（12，23）、（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）、（25，10）共16中，且每组出现都是等可能的．（9分）记：“|m﹣n|≤5”为事件A，则事件A包含的基本事件有：（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、（19，16）、（20，15）共6种．（11分）所以（12分）【点评】本题考查频率分布列的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2016•江西二模）已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，点D，E分别是边AC，AB上的动点（不含A点），且满足（图1）．将△ADE沿DE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，连结AB、AC（图2）．（I）求证：AD⊥平面BCDE；（II）求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．【分析】（I）利用勾股定理计算AB，则，故而△ADE∽△ABC，所以AD⊥DE，由面面垂直的性质即可推出AD⊥平面BCDE；（II）设DE=x，用x表示出四棱锥A﹣BCDE的体积，利用函数的单调性求出棱锥体积的最大值．【解答】证明：（I）∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∴AB==3．∵=，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC=90°，即AD⊥DE．∵平面ADE⊥平面BCDE，且平面∩平面=DE，AD⊆平面ADE，∴AD⊥平面BCDE．解：（II）设DE=x，则AE=2x，，∴S四边形BCDE=S△ABC﹣S△ADE=﹣=．∴V A﹣BCDE=S四边形BCDE•AD=x=（9x﹣x3），（0＜x＜）．令f（x）=9x﹣x3（），则f′（x）=9﹣3x2，令f′（x）=0得，当0时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0．∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴当，即，AD=3时，四棱锥A﹣BCDE体积最大．此时V A﹣BCDE=．【点评】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，函数的最值，属于中档题．20．（12分）（2016•江西二模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点T（0，﹣4），动点Q，R分别在x，y轴上，且，点P为RQ的中点，点P的轨迹为曲线C，点E是曲线C上一点，其横坐标为2，经过点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A，B（不同于点E），直线EA，EB分别交直线y=﹣2于点M，N．（I）求点P的轨迹方程；（II）若O为原点，求证：．【分析】（Ⅰ）由题意可知，设P（x，y），利用中点坐标公式求得Q（2x，0），R（0，2y），分别求得和，由，整理即可求得P的轨迹方程；（Ⅱ）由（I）可知点E的坐标为（2，2），设出A、B的坐标及直线方程，与抛物线方程联立，整理得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理求得x1x2，x1+x2，求得直线AE的方程，分别表示出向量和，并求得•=0，即可求得OM⊥ON，以此．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），Q（x0，0），R（0，y0），∵点P为RQ的中点，∴，得，∴Q（2x，0），R（0，2y）．（2分）∵T（0，﹣4），，；∴4x2﹣8y=0即x2=2y（5分）（Ⅱ）证明：由（I）可知点E的坐标为（2，2），设，，M（x M，﹣2），N（x N，﹣2），∵直线l与曲线C交于不同的两点A，B（不同于点E）．∴直线l一定有斜率，设直线l方程为y=kx+2（k≠0）（6分）与抛物线方程联立得到，消去y，得：x2﹣2kx﹣4=0则由韦达定理得：x1x2=﹣4，x1+x2=2k（7分）直线AE的方程为：，即，令y=﹣2，得同理可得：（9分）又，得：，=，=．（11分）∴OM⊥ON，即∠MON=（12分）【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016•江西二模）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x2）＞﹣2．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x2）的表达式，令g（x）=x2﹣2x+（2x﹣x2）lnx，x∈（0，2），根据函数的单调性求出g（x）＜g（2）=﹣2，从而证出结论．【解答】解：（1）由，得：（1分）①当a≥1时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；（2分）②当0＜a＜1时，，由f'（x）＞0，得或；f'（x）＜0得，故f（x）在区间和上单调递增，在区间上单调递减；（3分）③a=0时，，f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增；（4分）④a＜0时，，由f'（x）＞0得，f'（x）＜0得，故f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（5分）综上所述：当a≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在区间和上单调递增，在区间上单调递减；a=0时，f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增；a＜0时，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．（6分）（2）由（1）可知，0＜a＜1，且x1+x2=2，x1•x2=a，（7分）∴f（x2）=﹣2x2+alnx2=﹣2x2+（2x2﹣）lnx2，∵x1＜x2，且x1+x2=2，x1•x2=a，0＜a＜1，∴0＜x2＜2．（8分）令…（9分）则…（10分）当0＜x≤1，1﹣x≥0，lnx≤0，所以g'（x）≤0，当1＜x＜2，1﹣x＜0，lnx＞0，所以g'（x）＜0；∴x∈（0，2），g'（x）≤0，∴g（x）在区间（0，2）上单调递减．…（11分）∴x∈（0，2）时，g（x）＞g（2）=﹣2综上所述：若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，则f（x2）＞﹣2．（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．[选做题]22．（10分）（2016•江西二模）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F．（1）求证：S四边形CEDF=BF•AE；（2）求证：．【分析】（1）由圆的直径所对的圆周角为直角，可得四边形CEDF为矩形，再由直角三角形射影定理和平行线分线段成比例定理，即可得到S四边形CEDF=BF•AE；（2）运用直角三角形的射影定理和圆的切割线定理，可得．【解答】证明：（1）∵CD为圆的直径，∴三角形FCD和三角形ECD分别是以∠CFD和∠CED为直角的直角三角形．又∠ACB=90°，可得四边形CEDF为矩形，S四边形CEDF=DF•DE．在直角三角形BDF和直角三角形DAE中，∠DFC=∠DEA，∠BDF=∠DAE，即有△BDF∽△DAE，即为=，即DE•DF=BF•AE．∴S四边形CEDF=BF•AE．（2）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA．∴（1），又∵BD2=BC•BF，AD2=AC•AE（切割线定理）∴，（2）由（1）与（2）可得，∴．【点评】本题考查圆的切割线定理、直角三角形的射影定理、平行线分线段成比例定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．[选做题]23．（2016•江西二模）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．【分析】（1）椭圆C的参数方程为（θ为参数），利用三角函数基本关系式可得：椭圆C的普通方程．把代入直角坐标方程可得极坐标方程．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为．由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：可得，．即可得出．【解答】解：（1）∵椭圆C的参数方程为（θ为参数），∴椭圆C的普通方程为．把代入直角坐标方程可得：，化为：ρ2+ρ2sin2θ=2．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为，由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：有，，∴，．则即．故为定值．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、极坐标的应用、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选做题]24．（2016•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣72．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．103．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣24．（5分）设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．+与﹣B．3﹣2与4﹣6C．+2与+2D．和+5．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减6．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]7．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A．B．C．D．8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）在等比数列{a n}中，若，，则=（）A．B．C．D．10．（5分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜012．（5分）已知数列{a n}满足：a n=log（n+1）（n+2）定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是．14．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．15．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．16．（5分）设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（，1），求f（α）的值；（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．20．数列{a n}前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）设，数列{b n}前n项和为T n，求证：8T n＜1．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，的最大值．使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S△DEF22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=•．（1）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；（2）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣7【分析】先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知，则，∴=，故选：A．2．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．4．（5分）设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．+与﹣B．3﹣2与4﹣6C．+2与+2D．和+【分析】由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．【解答】解：在A中，∵，不共线是两不共线的向量，∴+与﹣不共线，∴+与﹣能作为平面向量的一组基底．在B中．，∵，不是两不共线的向量，∴3﹣2=（4﹣6）共线，∴3﹣2与4﹣6不能作为平面向量的一组基底在C中，∵，不是两不共线的向量，∴+2与2+不共线，∴+2与2+能作为平面向量的一组基底，在D中，∵，是两不共线的向量，∴和+不共线，∴和+能作为平面向量的一组基底．5．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．6．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．7．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选：C．9．（5分）在等比数列{a n}中，若，，则=（）A．B．C．D．【分析】先用首项和公比表示，再用等比数列{}与等比数列{a n}的联系系求解．【解答】解：∵∴∴故选：C．10．（5分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合抛物线的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当a≤0时，不满足条件，则a＞0，抛物线y=ax2开口向上，当抛物线经过点B时，a取得最大值，当经过点C时，取得最小值，由，解得，即B（3，8），此时8=9a，解得a=．由，解得，即B（3，8），此时8=9a，解得a min=．由，解得，即C（1，9），此时9=a，解得a max=9．∴≤a≤9，故选：D．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜0【分析】由﹣a m＜a1＜﹣a m+1，可得a1+a m＞0，a1+a m+1＜0，结合等差数列的求和公式即可求解【解答】解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m+1，∴a1+a m＞0，a1+a m+1＜0∴＞0，＜0故选：A．12．（5分）已知数列{a n}满足：a n=log（n+1）（n+2）定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048【分析】利用a n=log n+1（n+2），化简a1•a2•a3…a k，得k=2m﹣2，给m依次取值，可得区间[1，2012]内所有希望数，然后求和．【解答】解：a n=log n+1（n+2），∴由a1•a2•a3…a k为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，设log2（k+2）=m，则k+2=2m，∴k=2m﹣2；因为211=2048＞2012，∴区间[1，2012]内所有希望数为22﹣2，23﹣2，24﹣2，210﹣2，其和M=22﹣2+23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=2026．故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是3．【分析】根据向量数量积的定义求出y的值，然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，∴cos=，即=，平方得y=，即=（3，）∴在方向上的投影是||•cos＜，＞===3．故答案为：3．14．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：15．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．【分析】由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得结果．【解答】解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．16．（5分）设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=2015．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，可判数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n（n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），故++…+=2016（++…+）=2016（1﹣+﹣+…+﹣）=2016﹣，∴[++…+]=2015，故答案为：2015．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（，1），求f（α）的值；（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．【分析】（1）由三角函数的定义，算出sinα=，cosα=，代入即可得到求f（α）的值；（2）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，运动点P并加以观察，可得α∈[，]．利用辅助角公式化简得f（α）=2sin（α+），由α+∈[，]结合正弦函数的图象与性质加以计算，可得函数f（α）的最小值和最大值．【解答】解：（1）∵P点的坐标为（，1），可得r=|OP|==2，∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，故f（α）=sinα+cosα=+×=2．（2）作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），∵P为区域内一个动点，且P为角α终边上的一点，∴运动点P，可得当P与A点重合时，α=达到最大值；当P与线段BC上一点重合时，α=达到最小值．由此可得α∈[，]．∵f（α）=sinα+cosα=2sin（α+），∴由α∈[，]，可得α+∈[，]，当α+=即α=时，f（α）有最小值2sin=1；当α+=即α=时，f（α）有最大值2sin=．综上所述函数f（α）的最小值为1，最大值为．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【分析】（I）利用余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出．（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得，∴，A∈（0，π），∴，由，得．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，∴，又d≠0，∴d=2，∴a n=2n，∴=，∴．19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理有，又，可得，结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，可求∠ADC，即可求B的值．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，，可求，，，由余弦定理即可计算得解DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°． (3)于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．于是，，．…（9分）在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=2．故DC=2．…（12分）20．数列{a n}前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）设，数列{b n}前n项和为T n，求证：8T n＜1．【分析】（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可证数列{a n﹣1}为等比数列；（2）确定数列{b n}的通项，利用裂项法求前n项和为T n，即可证得结论．=2S n﹣2n+4，∴n≥2时，a n=2S n﹣1﹣2（n﹣1）+4【解答】证明：（1）∵a n+1∴n≥2时，a n=3a n﹣2（2分）+1又a2=2S1﹣2+4=10，∴n≥1时a n+1=3a n﹣2（4分）∵a1﹣1=3≠0，∴a n﹣1≠0，∴，∴数列{a n﹣1}为等比数列（6分）（2）由（1），∴，∴（9分）∴=（11分）∴，∴8T n＜1（12分）21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，的最大值．使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S△DEF【分析】设=λ（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成的最大值．关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°，∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设=λ（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S=EF•h=λ（1﹣λ）百米2△DEF∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当λ=时等号成立∴当λ=时，即E为AB中点时，S的最大值为百米2．△DEF22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=•．（1）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；（2）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式可得f（x）的解析式，令f（x）=0，求出零点，再由等差数列的通项公式和求和公式，即可得到所求；（2）由题意可得（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．求出对称轴＜1恒成立，可得判别式小于0，由三角函数的图象和性质，即可得到所求θ的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=•=acosωx+bsinωx=cos2x+sin2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．由2sin（2x+）=0，可得2x+=kπ，即x k=﹣+，k∈Z，当k=1时，x1=＞0，且x k+1﹣x k=（常数），∴{a n}为首项是a1=，公差为的等差数列．∴a n=﹣+，n∈N*．∴S n===n2+n，n∈N*．（2）由题意可得f（θ）﹣=t2cosθ+（1﹣t）2sinθ﹣t（1﹣t）=（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ．∴题意等价于（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．由1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，∴对称轴t=＜1恒成立．∴对称轴落在区间（0，1）内．∴题意等价于，得，即有可得+2k3π＜θ＜+2k3π，k3∈Z．∴θ的取值范围是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

高安二中2017届高二年级下学期第一次段考数学（文科）试卷（注意：请将答案填在答题卡上）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、抛物线24x y =的准线方程为（ ）A ．1-=yB ．161-=xC ．1-=xD ．161-=y2、若复数z 满足()i z i 3443+=-，则z 的虚部为（ ） A.0 B 。

53 C.54 D 。

54- 3。

若直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数）垂直，则k 的值是 ( ） A. 1 B. 1-C 。

2 D.2-4.下列说法错误的是（ )A ．命题)10(0,≠>>∈∀a a a R x p x且：，则0,00≤∈∃⌝x a R x p ：B 。

如果命题“p ⌝”与命题“p 或q”都是真命题，那么命题q 一定是真命题C 。

特称命题“x ∃∈R ，使-2x 2+x —4=0"是假命题D ．命题“若a ，b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题是“若a ，b 都不是偶数，则a+b 不是偶数” 5.极坐标方程224πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭表示的图形的面积是( ）A. 2B.2πC 。

4 D.4π6、不等式152x x ---<的解集是（ ）A （—，4）B （-,1） C(1，4） D （1，5）7。

已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()xg x f x =，则()1g '=（ ）A 。

12B 。

12-C.32-D 。

28、以模型kxce y =去拟合一组数据时，为了求出回归方程,设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.34z x =+，则c =（ ） A ．0.3 B ．0.3e C ． 4 D ．4e9、下列函数:①1(2)y x x x =+≥②1tan tan y x x=+ ③133y x x =-+-④2222y x x =++其中最小值为2的有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个10、设,x y 满足约束条件203200,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则312log ()a b+的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中心O (坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M 点（第一象限），F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点,过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为（ ） A1BC1+ D ．212。

江西省高安二中2016届高三第二次段考试卷数 学（理）试 题（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合{M y y ==，(){}2log 2N x y x ==-，则()R C M N =I （ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞UC ．[]0,1D ．()[),02,-∞+∞U2．已知,a b r r均为单位向量，它们的夹角为60o，则3a b +=r r （ ）A．4 3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若42=x ，则22-==x x 或”的逆否命题是“若22-≠≠x x 或，则42≠x ”．B ．若命题p :所有幂函数的图像不过第四象限，命题q :存在x R ∈，使得10lg x x ->，则命题p 且q 为真.C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件.D ．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：“所有能被2整除的数都不是偶数”．4．若一元二次不等式()0f x <的解集为1{|1}2x x x <->或，则(10)0xf >的解集为（ ）A ．{|1lg 2}x x x <->或B ．{|1lg2}x x -<<C ．{|lg2}x x >-D ．{|lg2}x x <-5．函数()()223sin 4,f x a x bx a b R =++∈，若1lg20152016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()lg 2016f =（ ）A ．2019B ．2011-C ．2015D ．2015- 6．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为( )AC．．7. 已知(,0),(0,)24ππαβ∈-∈，221tan sin 221tan αββ-=+，则有( ) A. 22πβα-= B. 22πβα+= C. 22πβα-=- D. 22πβα+=-8．能够把圆O :2216x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和ABDC谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是( ) A ．()x x f x e e -=+ B ．()5ln5x f x x -=+ C ．()tan 2xf x = D ．()34f x x x =+9.如图是函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭图像的一部分，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ） A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 10．已知方程sin xk x=在(0,)+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是( )A. 2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα=C ．2sin 22cos βββ=D ．2cos 22sin βββ=11．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ) A ．[]2,4B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,312．已知函数()()4f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程()f x k =在区间()2,+∞上有两个根,a b ，其中a b <，则()2ab a b -+的取值范围是（ ）A．(2,2+ B ．()4,0- C ．()2,2- D ． ()4,2-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知()2sin 316a x x dx a+=-⎰，则正实数a 的值为 ． 14.已知向量,a b r r满足(5,10),(3,6)a b a b +=--=r r r r ，则b r 在a r 方向上的投影为.15.已知函数()()()()()1sin 3sin ,102sin x x f x gx ax a x++==+>+，对任意的[]21,1x ∈-，总存在13,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是_________. 16.已知cos sin αβ+sin cos αβ+的取值范围是D ，若x D ∈，则函数19log 47y x =+的最小值为___________.三、解答题:（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知命题P ：函数()f x 为定义在(0,)+∞上的单调递减函数,实数m 满足不等式(1)(32)f m f m +<-.命题Q ：当[0,]2x π∈时，方程2cos 2sin m x x =-有解.求使“P 且Q ”为真命题的实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知2sin 1,cos 122a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r ，设()f x a b =r r g ．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C的对边，且()2,1a b f A ===，求边c ．19.（本小题满分12分）()log ,()2log (22),(0,1,)a a f x x g x x t a a t R ==+->≠∈.(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,41,4x t 时，)()()(x f x g x F -=的最小值是2-，求a 的值；(2)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<<2,41,10x a 时，有)()(x g x f ≥恒成立，求实数t 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ∠=o，OP =，点M 在线段PQ 上． （1）若OM =PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=o ，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．21. (本小题满分12分)已知函数()(1)ln(1)f x x x =--.（1）设函数()(1)()g x a x f x =--+在区间2[2,1]e +上不单调，求实数a 的取值范围； （2）若k Z ∈,且(1)(1)0f x x k x ++-->对1x >恒成立，求k 的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，()33x x h x e ae =-，[]0,ln 2x ∈，求()h x 的极小值； (3)设()()()223F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点(),0m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在点()()00,x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.QNMPO高安二中2016届高三上学期第二次段考数学（理科）答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．2 14. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦16.12三、解答题:（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：对于命题P ：由函数)(x f 为),0(+∞上的单调递减函数得132320m mm +>-⎧⎨->⎩，解得2332m <<； ………4分 对于命题Q ：当[0,]2x π∈时，[]sin 0,1x ∈，()[]222cos 2sin sin 2sin 1sin 122,1m x x x x x =-=--+=-++∈-， ………8分综上，要使“P 且Q ”为真命题，只需P 真Q 真，即233221m m ⎧<<⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得实数m 的取值范围是2,13⎛⎤⎥⎝⎦. ………10分18.解：（1）()()22sin cos 2cos 1sin 2cos 22f x a b x x x x x ππ⎛⎫==+--=+- ⎪⎝⎭r r gsin 2cos 224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭………4分所以()f x 的最小正周期22T ππ==………5分 由222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得单调增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ………6分（2）2,a b a b ==<Q ∴02A π<<()214f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q∴sin 24A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 又32444A πππ-<-<∴2,444A A πππ-==………8分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：246c =+-即220c -+=∴1c =或1c =- ………12分19.（1）4,t =Q )()()(x f x g x F -==xx x x a a a 2)1(4log log )22(log 2+=-+)21(4log ++=x x a又()[]上单调递增在上单调递减在2,11,41214，x x x h ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，且()124h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴()()()min max 1116,254h x h h x h ⎛⎫====⎪⎝⎭………3分∴当时1>a 16log )(min a x F =，由log 162a =-解得41=a （舍去） ………4分 当时10<<a 25log )(min a x F =，由log 252a =-解得51=a………5分所以51=a ………6分（2）)()(x g x f ≥，即)22(log 2log -+≥t x x a a 2)22(log log -+≥∴t x x a aΘ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<<2,41,10x a ，2)22(-+≤∴t x x ，………8分22-+≤∴t x x ，t x x ≤+-∴22，t x x ≤+-∴22，依题意有t x x ≤+-max )22(………10分而函数817)41(2222+--=+-=x x x y因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,2,41x x ，2max =y ，所以2≥t ………12分20．解：（1）在OPQ ∆中，45OPQ ∠=o ，OM =OP =，由余弦定理得，2222cos45OM OP PM OP PM =+-⋅⋅o ，得2430PM PM -+=，解得1PM =或3PM =． ………4分 （2）设,060POM αα∠=≤≤o o ，在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠， 所以()()sin 452sin 45sin 45OP OM αα==++o o o ，同理()2sin 75ON α=+o ………6分 ()()11sin 2sin 45sin 75OMN S OM ON MON αα∆=⋅∠=++o o………8分==⎣⎦……10分因为060α≤≤o o °，30230150α≤+≤o o o ， 所以当30α=o °时，()sin 230α+o 的最大值为1， 此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=o 时，OMN ∆的面积的最小值为8- ………12分 21.解：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 ………1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<a a ∴的取值范围为)3,1(. ………4分（2）由题知1ln -+<x xx x k 对1>x 恒成立. ………5分令=)(x u 1ln -+x xx x 则=')(x u 2)1(2ln --+-x x x 令2ln )(-+-=x x x v xx x x v 111)(-=-='0)(1>'∴>x v x Θ 即)(x v 在),1(+∞上递增 ………8分 又022ln 2)4(,013ln )3(>+-=<+-=v v Θ )4,3(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),1(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增. ………10分1ln )()]([00000min -+==∴x x x x x u x u)4,3(1)2(0000∈=-+-=x x x x x 0min )]([x x u k =< 又k Z k ∴∈,Θ的最大值为3. ………12分22.解：（1）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+…… 2分又10,2x x x >+≥2x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤……3分（2）由（Ⅰ）知，1a <≤令xe t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=-+ ……4分由()0H t '=，得t =t =，34(1,[1,2]a ∈Q ，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减；2t ≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x在2]也单调递增； 故()h x的极小值为2h =-……7分（3）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……9分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln2.m n k x m n =--由④得022.k x x =-所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……10分设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n-<+，此式与⑤矛盾.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. ……12分① ② ③④。

2016年5月江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学试卷（文科）命题人：鹰潭一中 宁美芳 高安中学 鄢建新本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.复数ii -+12(i 为虚数单位)的实部为（ ）A ．1- B.1 C ．2 D ．2-2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=124y x y M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=141622y x x N ，则=⋂N M （ ）A.φB.{})2,0(),0,4(C.{}2,4D.]4,4[-3.已知向量)2,1(),1,3(-=-=，如果向量λ+与垂直，则实数=λ（ ）A ．34- B ．1 C ．1- D ．314.已知函数,0),(0,5)(⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=x x f x x f x 则)31(log 5f 的值等于（ ） A ．3 B ． 13 C. 81 D ．85.下列说法正确的是（ ）A.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； B ．已知命题:p ,x R ∃∈使23xx>；命题),,0(:+∞∈∀x q 都有3121xx<，则()p q ∨⌝ 是真命题；C ．“53sin =α”是“2572cos =α”的必要不充分条件； D ．命题“若0=xy ，则00==y x 或”的否命题是“若,0≠xy 则00≠≠y x 或”. 6.某几何体的三视图如右图所示，若该几何体的侧面展开图是圆心角为34π的扇形，则（ ）A.r l 2=B. 3l r =C. 25rh =D. 23r h = （第6题）7．将函数()()12sin ++=ϕx x f 的图象向左平移6π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为 ( ） A ．6π- B ．3πC ．3π-D ．65π-8.在数列{}n a 中,已知,2)1(,1122=-+=-+n n n a a a 记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则=80S （ ）A.1640B.1680C.3240D.16009.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--,01301y x y x 且目标函数)0,0(<>-=b a by ax z 的最大值为4-，则11+-a b 的取值范围是（ ）A. ),5()31,(+∞-⋃--∞ B. )31,5(--C. ),51()3,(+∞-⋃--∞ D.)51,3(--10.如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，则输出M 的估计值为（ ）A.504 B ．1511 C ．1512 D ．2016 11.设抛物线22y px =（0p >）与双曲线221mx ny +=（0mn <）的一条渐近线的一个公共点M的坐标为)0y ，若点M 到抛物线的焦点距离为4，则双曲线的离心率为（ ）（第10题）ABC3 D ．312.定义：如果函数()f x 在[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数m x x x f +-=232)(是]2,0[a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A.)41,81( B.)41,121(C.)81,121(D.)1,81( 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13.某品牌洗衣机专卖店在国庆期间举行了八天的促销活动，每天的销量(单位：台)如茎叶图所示，则销售量的中位数是 ． 14.若曲线),(sin )(R b a x b ae x f x ∈+=在=x 处与直线1-=y 相切，则=-a b．15.在三棱锥ABC S －中，ABC ∆是边长为34的等边三角形，72SC SA ==，ABC SAC 平面平面⊥，则该三棱锥外接球的表面积为（第13题）________ . 16.在ABC∆中，角A，B，C的对边分别是,,,c b a 若1b =，1sin cos()sin 2B BC C =+，则当B 取最大值时，ABC ∆的周长为 ．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前6项依次构成一个公差为整数的等差数列，且从第5项起依次构成一个等比数列，若13a =-，74a =．(I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设S n 是数列{}n a 的前n 项和，求使2016>n S 成立的最小正整数n 的值.18.（本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5-21日在巴西里约热内卢举行,将近五届奥运会中国代表团获得的金牌数y （单位：枚）分为五小组（组数为x ），有如下统计数据：(I)从这五组中任取两组，求这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率；(Ⅱ)请根据这五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程；并根据线性回归方程，预测第31届（第6组）奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数（结果四舍五入，保留整数）．(题中参考数据：)67))((51=--∑=y y x x ii i附：b121()()()niii nii x x y y x x ==--=-∑∑．x b y a -=19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，,621=AA 1BB BD ⊥，︒︒=∠=∠45,601AC A BAD ，点E 、F 分别是线段11,BB AA 的中点.(I)求证：BDE 平面∥CF A 1平面； (Ⅱ)求三棱锥ADE B -的体积.20.（本小题满分12分） 以椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的中心O 为圆心，且以其短轴长为直径的圆可称为该椭圆的“伴随圆”，记为1C .已知（第19题）椭圆C 的右焦点为)0,23(，且过点)43,21(. (I)求椭圆C 及其“伴随圆”1C 的方程；(Ⅱ)过点)0,(t M 作1C 的切线l 交椭圆C 于,A B 两点，求AOB ∆(O 为坐标原点)的面积 的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数ax x x f +=ln )()(R a ∈. (I)讨论函数)(x f 在区间],[2e e 内的单调性； (Ⅱ)当1=a 时，函数22)()(x tx f x g -=只有一个零点，求正数t 的值．选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号. 22．(本小题满分10分)选修4一l ：几何证明选讲如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点A ，CD 是ACB ∠的平分线，交AE 于点F ，交AB 于点D ． (I)求证：AB EF AF AE ⋅=⋅；(Ⅱ)若，，2AC AD 2BD ==求线段CE 的长度．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程方程为2c os (s i n x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）,在极坐标系中，点M的极坐标为3)4π． (I)写出曲线C 的普通方程并判断点M 与曲线C 的位置关系； (Ⅱ)设直线l 过点M 且与曲线C 交于A 、B 两点，若||2||AB MB =，求直线l 的方程.24.（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知函数()221,()21f x x a x g x x =-++=--. (I)解不等式：()1g x <；(Ⅱ)若存在R x ∈1，2x R ∈，使得)()(21x g x f ≤成立，求实数a 的取值（第22题）范围.江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学试卷（文科）参考答案一．选择题二．填空题13 15 ． .14 2 ． .15π65 ．16三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.解：(I)设前6项的公差为)(Z d d ∈,依题意得2657a a a = 即2117(5)(4)a d a d a +=+⋅，将13a =-，74a =代入简得：225462101d d d -+=⇒=（2125d =舍去）…………………4分∴541425n n n n n N a n n N +-+-≤≤∈⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩ 且 且…………………6分（注：答案有多种形式，合理则相应给分） (Ⅱ)依题意得：当4≤n 时，2016>n S 显然不成立，当n ≥5 ∴4462127n n n S --=-+-=-，…………………9分∴+-∈>-N n n 且,2016724 解得n ≥15，…………………11分 故最小正整数n 的值为15.…………………12分18.解：(I)由已知可得，从这五组所获得的金牌数中任取两组，共有以下情况：（16,28）（16,32）（16，51）（16,38）（28,32）（28,51）（28,38）（32,51）（32,38）（51,38）其中两组所获得的金牌数之和大于70枚的有3种，∴这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率103=P ；…………………6分（Ⅱ）由已知数据可得：3554321=++++=x ，3353851322816=++++=y ， (7)分∴10)(251=-∑=x x i i ，又 67))((51=--∑=y y x x i i i ，7.6=∴∧b (9)分∴9.1237.633ˆˆ=⨯-=-=x b y a， ∴线性回归方程为9.127.6+=x y ，…………………10分当6=x 时，中国代表团获得的金牌数531.539.1267.6≈=+⨯=y （枚）…………11分∴根据线性回归方程预测第31届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数大约为53枚.…………………12分 19.(I)证明：（方法一）连接EF ，由已知可得：1AA ∥1BB ， 点E 、F 分别是线段11,BB AA 的中点，∴E A1∥BF ，∴四边形F BEA 1为平行四边形，∴F A 1∥BE ，同理：四边形CFED 为平行四边形，DE ∥CF ∴， (2)分E DE BE BDE DE BDE =⊂⊂ ，平面，平面BE ，F A CF A A A 1111=⊂⊂F CF F CF CF ，平面，平面， BDE FC A 1平面∥平面∴ (4)分(方法二）设,O BD AC = 连接EO ， 同方法一证明F A 1∥BE ，………………2分O 、E分别为11,AA AC 的中点，C A 1∥OE ∴，E BE OE BDE BE BDE =⊂⊂ ，平面，平面OEF A CF A A A 1111=⊂⊂F CF F CF CF ，平面，平面， BDE FC A 1平面∥平面∴ (4)分(Ⅱ)（方法一）连接O A 1，过点E 作，∥O A 1EP 与AC 交于P 点， 由已知可得：AC BD AO BO ⊥==,32,2，在△O AA 1中，︒⋅⋅-+=45cos 2)()()(122121AO AA AO AA O A =122232622)32()62(22=⨯⨯⨯-+， 321=∴O A ，AO O A ⊥∆∆∴11,Rt AOA 为，………………6分111BB ,∥又AA BB BD ⊥ ，1AA BD ⊥∴，111A ACC ,平面⊥∴=BD A AC AA ，111A ACC 平面⊂O AO AC BD O A BD =⊥∴ ,1，ABCD 1平面⊥∴O A ，………………9分的中点，为，且点∥11AA E O A EP 3EP ABCD =⊥∴，且平面EP ，43324213131V ABD -E =⨯⨯⨯⨯=⋅=∴∆EP S ABD ， (11)分4V V ABD -E ADE -B ==∴.∴三棱锥ADE B -的体积为4.………………12分（方法二），为菱形，AC BD ABCD ⊥∴，，，∥1111AA BD BB BD AA BB ⊥∴⊥ C C AA BD A AA AC 111平面，⊥∴= C C AA ABCD ABCD BD 11平面平面，平面又⊥∴⊂AC,ABCD C C AA 11=平面平面 过点E 作AC EP ⊥交AC 于点P ，，平面平面ABCD EP C,C AA 11⊥∴⊂EP，，，中，在3EP AA 21AE 45C AA AEP Rt 11=∴==∠∆︒460sin 3442131V V ABD -E ADE -B =⋅⨯⨯⨯⨯==∴︒ (12)分20.解：(I)由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=116341432222b ab a ，化简可得：0)916)(14(,0920642224=+-=-+b b b b ，412=∴b ，12=a ， ,14C 22=+∴y x 的方程为：椭圆………………3分“伴随圆”1C 的方程为：4122=+y x .………………5分 (Ⅱ)由已知可得：21≥t，设直线l 的方程为x=my+t,点),(),,(2211y x B y x A ，,211d C 21=+=∴m tl 相切，与直线 即：,1422-=t m ………………6分由⎩⎨⎧=++=1422y x t my x 得：012)4(222=-+++t mty y m ， 012)1)(4(4)2(222>=-+-=∆t m mt ,,41,422221221+-=⋅+-=+∴m t y y m mt y y (8)分2121y y OM S AOB -⋅=∆212214)(21y y y y t ⋅-+⋅=343)4(4422222+=++-⋅=t t m t m t 411223343=≤+=tt ， 当且仅当23±=t 时取到等号.………………11分41面积的最大值为AOB ∆∴.………………12分 21.解：(I)由已知可得]),[(11)('2e e x xax a x x f ∈+=+=， (1)分①当0≥a 时，01)('≥+=xax x f 在区间],[2e e 内恒成立，)(x f ∴在],[2e e 上递增；②当0<a 时，xa x a x f )]1([)('--⋅=， （ⅰ）当,11时，即ea e a -≤≤-0)('≤x f 在区间],[2e e 内恒成立，)(x f ∴在],[2e e 上递减； （ⅱ）当,01122时，即<≤-≥-a ee a0)('≥x f 在区间],[2e e 内恒成立， )(x f ∴在],[2e e 上递增；（ⅲ）当时，即22111ea ee ae -<<-<-<，)('xf 在区间]1,[ae -内大于0，)(x f ∴在]1,[a e -上递增，)('x f 在区间],1(2e a-内小于0，)(x f ∴在]1,[ae -上递减.………………4分 综上所述： ①当,12时ea -≥)(x f 在区间],[2e e 上单调递增；②当,1时ea -≤)(x f 在区间],[2e e 上单调递减；③当时211e a e -<<-，)(x f 在区间]1,[ae -上单调递增，在区间],1(2e a-上单调递减.………………5分(注：每讨论对其中的一种情况给1分） (Ⅱ)22)()(x t x f x g -=函数 只有一个零点，等价于方程02)(2=-x tx f 只有一个实数解，即0ln 22=--tx x t x 只有唯一正实数解.设tx x t x x h --=ln 2)(2，则xttx x t x t x x h --=--=2'44)(，令04,0)(2'=--=t tx x x h ，,0,0>>t x 解得：舍去），(81621t t t x +-=，81622tt t x ++=………………7分当),0(2x x ∈时，)(,0)('x h x h 则<在),0(2x x ∈上单调递减； 当),(2+∞∈x x 时，)(,0)('x h x h 则>在),(2+∞∈x x 上单调递增；∴)()(2x h x h 的最小值为.………………8分要使得方程0ln 22=--tx x t x 只有唯一实数解，则⎩⎨⎧=--=--⎩⎨⎧==040ln 2,0)(0)(22222222'2t tx x tx x t x x h x h 即，得 0ln 222=-+t tx x t 01ln 2,022=-+∴>x x t ， (10)分设012)(),0(1ln 2)('>+=>-+=xx m x x x x m 恒成立，故)(x m 在（0，+∞）单调递增，0)(=x m 至多有一解．又0)1(=m ，∴12=x ，即，18162=++tt t 解得2=t ．………………12分22. (I)证明： CA 为圆O 的切线，ABC CAE ∠=∠∴， 则ACE ∆∽BCA ∆，∴AB AECA CE =, CF 是∠ACB 的平分线， EF.AB AF AE ,,⋅=⋅=∴=∴即AFEF AB AE AF EF CA CE ……5分（Ⅱ）解： CD 平分ACB ∠， ACF BCD ∴∠=∠AC 为圆的切线，CAE CBD ∴∠=∠ACF CAE BCD CBD ∴∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，所以=AF ADACF∆∴∽BCD ∆,21===∴BD AD BD AF BC AC ，42==∴AC BC CA 为圆O 的切线，CB CE CA ⋅=∴2 .1=∴CE ……10分23.解： (I)由2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消α得：22143x y +=，将3)4M π化成直角坐标得(1,1)M -，∵2(1)4-+2171312=< 故点M 在曲线C 内．………………5分(Ⅱ)由||2||AB MB =得：M 为AB 的中点，设11(,)A x y ，22(,)B x y 代入曲线C得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减整理得：12121212()()()()43x x x x y y y y +-+-=-， 又∵1212x x +=-，1212y y +=，代入得：121234y y x x -=-， ∴l 的方程为：31(1)4y x -=+即3470x y -+= (10)分24.解:(I)由()1g x <得：121x --<，1211<--<-∴x ，即311<-<x ，由11-<x 解得：02<>x x 或；由31<-x 解得：42<<-x ；∴原不等式的解为(2,0)(2,4)- (5)分(Ⅱ)因为1x R ∃∈，2x R ∈，使得)()(21x g x f ≤成立，只需要min max )()(x f x g ≥()221|(2)(21)||1|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()2|1|2g x x =--≤，∴|1|2a +≤，解得31a -≤≤，所以实数a 的取值范围为{}31a a -≤≤.……………………10分。

某某省重点中学协作体2016届高三数学下学期第二次联考试题文（扫描版）某某省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学试卷（文科）参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A B C D A D C B A 二．填空题．．．．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.解：(I)设前6项的公差为,依题意得即，将，代入简得：（舍去）…………………4分∴…………………6分（注：答案有多种形式，合理则相应给分）(Ⅱ)依题意得：当时，显然不成立，当n≥5 ∴，…………………9分∴解得n≥15，…………………11分故最小正整数的值为15.…………………12分18.解：(I)由已知可得，从这五组所获得的金牌数中任取两组，共有以下情况：（16,28）（16,32）（16，51）（16,38）（28,32）（28,51）（28,38）（32,51）（32,38）（51,38）其中两组所获得的金牌数之和大于70枚的有3种，这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率；…………………6分（Ⅱ）由已知数据可得：，，…………………7分，又，………………9分，线性回归方程为，…………………10分当时，中国代表团获得的金牌数（枚）…………11分根据线性回归方程预测第31届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数大约为53枚.…………………12分19.(I)证明：（方法一）连接EF，由已知可得：，点E、F分别是线段的中点，，四边形为平行四边形，，同理：四边形为平行四边形，，………………2分，，.………………4分(方法二）设连接EO，同方法一证明，………………2分O、E分别为的中点，，，.………………4分(Ⅱ)（方法一）连接，过点E作与AC交于P点，由已知可得：，在△中，=，，，………………6分，，，，，………………9分，，………………11分.三棱锥的体积为4.………………12分（方法二）过点E作交AC于点P，.………………12分20.解：(I)由已知可得：，化简可得：，，，………………3分“伴随圆”的方程为：.………………5分(Ⅱ)由已知可得：，设直线的方程为x=my+t,点，即：………………6分由得：，,………………8分，当且仅当时取到等号.………………11分.………………12分21.解：(I)由已知可得，………………1分①当时，在区间内恒成立，在上递增；②当时，，（ⅰ）当在区间内恒成立，在上递减；（ⅱ）当在区间内恒成立，在上递增；（ⅲ）当，在区间内大于0，在上递增，在区间内小于0，在上递减.………………4分综上所述：①当在区间上单调递增；②当在区间上单调递减；③当，在区间上单调递增，在区间上单调递减.………………5分(注：每讨论对其中的一种情况给1分）(Ⅱ)只有一个零点，等价于方程只有一个实数解，即只有唯一正实数解.设，则，令，解得：………………7分当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；.………………8分要使得方程只有唯一实数解，则，得，………………10分设恒成立，故在（0，+∞）单调递增，至多有一解．又，∴，即解得．………………12分22. (I)证明：CA为圆O的切线，，则∽，, CF是ACB的平分线，……5分（Ⅱ）解：平分，为圆的切线，，即，所以∽,，CA为圆O的切线，……10分23.解：(I)由（为参数）消得：，将化成直角坐标得，∵故点M在曲线C 内．………………5分(Ⅱ)由得：M为AB的中点，设，代入曲线C得，相减整理得：，又∵，，代入得：，∴l的方程为：即.………………10分24.解:(I)由得：，，即，由解得：；由解得：；原不等式的解为.……………………5分(Ⅱ)因为，，使得成立，只需要，，，解得，所以实数的取值X围为.……………………10分。

2016年江西省宜春市高安市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）1．如果a＜3，那么化简|a﹣3|为（）A．3﹣a B．a﹣3 C．﹣a D．a2．2015年，我市共接待参观旅游游客518 000人，这个数可用科学记数法表示为（）A．0.518×104B．5.18×105C．51.8×106D．518×1033．下面几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．不等式组：的解集是（）A．x＞B．x＜C．x≤1 D．＜x≤15．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）6．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中、已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；（4）丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（）A．三中 B．二中 C．一中 D．不确定二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标为（﹣2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是______．8．已知：（a﹣b）2=4，ab=，则（a+b）2=______．9．若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=﹣上的两点，且x1＞0＞x2，则y1______y2．（填“＞”、“=”、“＜”）．10．函数y=中自变量x的取值范围是______．11．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．12．有一个运算程序，可以使a⊕b=n（n为常数）时，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n ﹣2．现在已知1⊕1=2，那么2008⊕2008=______．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．求值：，其中．（结果精确到0.01）．14．已知a2+2a+1=0，求2a2+4a﹣3的值．15．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，求2a2+4b﹣3的值．16．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．17．“斗地主”是常见的一种游戏，一副扑克牌除大、小王外共有四种花色，每种花色从小到大共有牌面为3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A、2的牌各一张（如图），现甲、乙、丙玩“斗地主”游戏，（1）如果“地主”甲手中有四张K，没有A，请你用列举法或树形图分析计算问乙或丙手中有四张A的概率是多少？（2）如果“地主”甲手中有三张K，有一张A，问乙或丙手中有三张A的概率是多少？18．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位．（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：座位？四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．已知一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为P（x0，2）．（1）求x0及m的值；（2）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．20．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是______；（2）本次调查数据的中位数落在______组内；（3）若该辖区约有24 000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？22．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1______S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画______个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？五、（本大题共10分）23．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为s的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在三角形ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是三角形ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形ABC的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB 边上的黄金分割点）作直线DF，且DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是三角形ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF平行AD，交DC 于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．六、（本大题共12分）24．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个？请说明理由．2016年江西省宜春市高安市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）1．如果a＜3，那么化简|a﹣3|为（）A．3﹣a B．a﹣3 C．﹣a D．a【考点】绝对值．【分析】先由a＜3，得出a﹣3＜0，再根据绝对值的定义解答即可．【解答】解：∵a＜3，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|=3﹣a．故选A．2．2015年，我市共接待参观旅游游客518 000人，这个数可用科学记数法表示为（）A．0.518×104B．5.18×105C．51.8×106D．518×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．【解答】解：518 000用科学记数法表示为5.18×105．故选：B．3．下面几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图就是从物体的正面进行观察，得出主视图有3列，小正方形数目分别为2，1，1．【解答】解：如图所示：．故选：C．4．不等式组：的解集是（）A．x＞B．x＜C．x≤1 D．＜x≤1【考点】解一元一次不等式组．【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．【解答】解：解不等式得，∴解集为＜x≤1．故选D．5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）【考点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2=OM•ON求OQ可得横坐标．【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，∴OM=2，NO=8，∴NM=6，∵PD⊥NM，∴DM=3∴OD=5，∴OQ2=OM•ON=2×8=16，OQ=4．∴PD=4，PQ=OD=3+2=5．即点P的坐标是（4，5）．故选D．6．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中、已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；（4）丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（）A．三中 B．二中 C．一中 D．不确定【考点】推理与论证．【分析】根据（2）、（3）、（4）得到乙、丁、戊现在都在一中学习；则（1）知甲和丙在二中或三中，又根据（2）可知甲现在一定在三中学习．【解答】解：由（2）知：甲、乙、戊不是二中的学生；由（3）知：乙、丁在同一所学校学习，且他们都不是三中的学生；由（4）知：乙、丁、戊都在同一所学校；结合条件（1）可知：乙、丁、戊都是一中的学生，甲是三中的学生，丙是二中的学生．故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标为（﹣2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是（4，4）．【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由点A平移到A′的规律可知，此题规律是（x+4，y+1），照此规律计算可知点B′的坐标是（4，4）．【解答】解：由点A平移到A′的规律可知，此题规律是（x+4，y+1），照此规律计算可知点B′的坐标是（4，4）．故答案填：（4，4）．8．已知：（a﹣b）2=4，ab=，则（a+b）2= 6 ．【考点】完全平方公式．【分析】先用完全平方公式把（a﹣b）2展开，求得a2+b2的值，再展开（a+b）2代入数据计算即可求出结果．【解答】解：∵（a﹣b）2=4，ab=，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，=a2+b2﹣1=4，∴a2+b2=5，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=5+1=6．9．若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=﹣上的两点，且x1＞0＞x2，则y1＜y2．（填“＞”、“=”、“＜”）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞0＞x2，判断出两点所在的象限，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，∴此函数图象的两个分支在二、四象限，∵x1＞0＞x2，∴A（x1，y1）在第四象限，点B（x2，y2）在第二象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜y2；故答案为＜．10．函数y=中自变量x的取值范围是x≥．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．11．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm．【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．【分析】由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．12．有一个运算程序，可以使a⊕b=n（n为常数）时，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n ﹣2．现在已知1⊕1=2，那么2008⊕2008= ﹣2005 ．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】利用归纳法解答，根据题目给出的例子，求得2⊕1=2+1=3，2⊕2=3﹣2=1，3⊕2=1+1=2，3⊕3=2﹣2=0，同样的我们可以求得4⊕4=﹣1，5⊕5=﹣2…，2008⊕2008=﹣2005．规律为：前项增一，结果加一，后项增一，结果减二．【解答】解：规律为前一项增一，结果加一，后一项增一，结果减二，则1⊕1=2，2008⊕2008为2加上2007个1减去2007个2，即2+2007×1﹣2007×2=﹣2005．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．求值：，其中．（结果精确到0.01）．【考点】分式的混合运算；二次根式的化简求值．【分析】先用分式的运算法则对代数式进行化简，然后将x的值代入求出代数式的值．【解答】解：（﹣）÷=•=•=x﹣2当x=+1时，原式=+1﹣2=﹣1≈1.65故原式的值为1.65．14．已知a2+2a+1=0，求2a2+4a﹣3的值．【考点】代数式求值．【分析】所求式子变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a2+2a+1=0，∴2a2+4a﹣3=2（a2+2a+1）﹣5=0﹣5=﹣5．15．已知a2+b2+2a﹣4b+5=0，求2a2+4b﹣3的值．【考点】非负数的性质：偶次方．【分析】本题可先将5拆成4+1，然后配出两个平方的式子相加，再根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”求出a、b的值，最后把a、b代入2a2+4b ﹣3中即可．【解答】解：∵a2+b2+2a﹣4b+5=0，∴a2+2a+1+b2﹣4b+4=0，即（a+1）2+（b﹣2）2=0，∴（a+1）2=0，（b﹣2）2=0，即a+1=0，b﹣2=0，∴a=﹣1，b=2．∴2a2+4b﹣3=2+8﹣3=7．16．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．【考点】作图—复杂作图．【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C 两点，则点B，C即为所求．或在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C即为所求；（2）在直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P．则点P即为所求．【解答】解：（1）画法一：以点A为圆心，大于点A到直线l的距离长为半径画弧，与直线l交于B，C两点，则点B，C即为所求．画法二：在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B，C 即为所求．（2）画法：在直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P．则点P即为所求．17．“斗地主”是常见的一种游戏，一副扑克牌除大、小王外共有四种花色，每种花色从小到大共有牌面为3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A、2的牌各一张（如图），现甲、乙、丙玩“斗地主”游戏，（1）如果“地主”甲手中有四张K，没有A，请你用列举法或树形图分析计算问乙或丙手中有四张A的概率是多少？（2）如果“地主”甲手中有三张K，有一张A，问乙或丙手中有三张A的概率是多少？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）用列举法画出图形，即可统计出乙或丙手中有四张A的概率是多少．（2）用列举法画出图形，即可统计出乙或丙手中有三张A的概率是多少．【解答】解：（1）如图所示，一共有5种情形，乙或丙手中有四张A有两次，所以乙或丙手中有四张A的概率是．（2）如图所示，一共有4种情形，2次出现3A，所以乙或丙手中有三张A的概率是．18．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位．（2）已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？【考点】二元一次方程组的应用；规律型：图形的变化类．【分析】（1）由题意可得出，第n排的座位数为a+（n﹣1）b（n≥1）；（2）中等量关系应为：第5排的座位数×2=第15排的座位数，再根据关键语“第4排有18个座位“，列出方程组，求解．【解答】解：（1）a+3b；（2）设依题意得解得，∴第21排应有座位数a+（21﹣1）b=12+20×2=52．答：第21排有52个座位．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．已知一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为P（x0，2）．（1）求x0及m的值；（2）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先通过反比例函数求出x0的值，再把求得的P的值代入一次函数y=x+m中可求出m 的值．其他可通过两个函数的解析式求出来．【解答】解：（1）∵点P（x0，2）在反比例函数y=的图象上，∴2=，解得x0=1．∴点P的坐标为（1，2）．又∵点P在一次函数y=x+m的图象上，∴2=1+m，解得m=1，∴x0和m的值都为1．（无最后一步结论，不扣分）（2）由（1）知，一次函数的解析式为y=x+1，取y=0，得x=﹣1；取x=0，得y=1．∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．20．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？②如图3所示，当A 点下滑到A′点，B 点向右滑行到B′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．（2）①可先设出AC ，BD 的长，然后表示出OC ，OD 的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC 中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC ，BD 的长．②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO 的度数，来求出∠B′A′O 的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．【解答】解：（1）BO=AB•cos60°=4×=2（m ）AO=AB•sin60°=4×=2（m ）答：BO=2m ；AO=2m ．（2）①设AC=2x ，BD=3x ，在Rt △COD 中，OC=2﹣2x ，OD=2+3x ，CD=4m ． 根据勾股定理有OC 2+OD 2=CD 2．∴（2﹣2x ）2+（2+3x ）2=42．∴13x 2+（12﹣8）x=0．∵x ≠0，∴13x+12﹣8=0，∴x=m ． ∴AC=2x=m ．答：梯子顶端A 沿NO 下滑了m ．②∵P 点和P′点分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A′OB′的斜边A′B′的中点． ∴PA=PO ，P′A′=P′O．∴∠PAO=∠AOP ，∠P′A′O=∠A′OP′．∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠A′OP′﹣∠AOP ．∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠POP′=15°．又∵∠PAO=30°．∴∠P′A′O=45°．∴A′O=A′B′•cos45°=4×=2（m ）．∴AA′=AO﹣A′O=（2﹣2）m ．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是120 ；（2）本次调查数据的中位数落在 C 组内；（3）若该辖区约有24 000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数．【分析】（1）根据直方图可得总人数以及各小组的已知人数，进而根据其间的关系可计算C 组的人数；（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；（3）首先计算样本中达国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达国家规定体育活动时间的人数．【解答】解：（1）根据题意有，C组的人数为300﹣20﹣100﹣60=120；（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故调查数据的中位数落在C组；（3）达国家规定体育活动时间的人数约占×100%=60%．所以，达国家规定体育活动时间的人约有24000×60%=14400（人）；故答案为：（1）120，（2）C，（3）达国家规定体育活动时间的人约有14400人．22．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1= S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 1 个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【考点】矩形的性质．【分析】（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0∴L1﹣L2＞0，∴L1＞L2，同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．五、（本大题共10分）23．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为s的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在三角形ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是三角形ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形ABC的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB 边上的黄金分割点）作直线DF，且DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是三角形ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF平行AD，交DC 于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．【考点】相似形综合题．【分析】（1）设△ABC边AB上的高为h，由三角形的面积得出=， =，由点D为AB上的黄金分割点，得出=，得出=，即可得出结果；（2）由三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，则≠，即可得出结果；（3）由DF∥CE和三角形的面积关系得出S△DEC=S△FCE，由S△DGC=S△FGC，推出S△ADC=S四边形AFGD+S△FGC=S+S△DGE=S△AEF，S四边形BEFC=S△BDC，再由=，得出=，即可四边形AFGD得出结果；（4）画法一：取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N点，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线；画法二：在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．【解答】（1）解：直线CD是△ABC的黄金分割线，正确，理由如下：设△ABC边AB上的高为h，∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h，∴=， =，∵点D为AB上的黄金分割点， =，∴=，∴直线CD是△ABC的黄金分割线；（2）证明：∵三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，∴S1=S2=S，即≠，∴三角形的中位线不可能是该三角形的黄金分割线；（3）证明：∵DF∥CE，∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，∴S△DEC=S△FCE，设直线EF与直线CD交于点G，如图1所示：∵S△DGC=S△FGC，∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，S四边形BEFC=S△BDC，∵=，∴=，∴直线EF也是△ABC的黄金分割线；（4）解：画法一：取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；如图2所示：画法二：在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，作直线MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线，如图3所示．六、（本大题共12分）24．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）已知了AB的长和B点的坐标，那么sin∠BAO==，因此∠BAO=60°（2）由函数的图形可知：当t=5时，三角形OPQ的面积是30，如果设点P的速度为a，那么AP=5a，那么P到AC的距离就是a，也就是P到OQ的距离为10﹣a．OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10﹣）×=30，解得a=1.6，a=2．由于抛物线的解析式为S=（at+2）（10﹣）×，经化简后可得出对称轴应该是t=，当a=1.6时，对称轴t=5.625显然大于5，与给出的抛物线的图形不相符，因此a=2是本题的唯一的解．也就是说P的速度是2单位/秒．（3）根据（2）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值，然后根据P，Q的速度和t的取值，可求出P点的坐标．（4）本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围，当∠OBQ的度数大于90°，∠OCQ的度数小于90°时，那么在AB，BC上分别有一个符合要求的点P，如果∠OBQ的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点．【解答】解：（1）∵顶点B的坐标为，AB=10，∴sin∠BAO==，∴∠BAO=60度．（2）点P的运动速度为2个单位/秒．（3）过P作PM⊥x轴，∵点P的运动速度为2个单位/秒．∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t，又∵∠APM=30°，∴AM=t，又OA=10，∴OM=（10﹣t），即为三角形OPQ中OQ边上的高，而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，∴P（10﹣t， t）（0≤t≤5），∵S=OQ•OM=（2t+2）（10﹣t），=﹣（t﹣）2+．∴当t=时，S有最大值为，此时P（，）．（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，21 由△OPH ∽△OPM 得：OM==11.5，所以OQ ＞OM ，从而∠OPQ ＞90度．所以当点P 在AB 边上运动时，∠OPQ=90°的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得OQ=12+=17.8， 而构成直角时交y 轴于（0，），=20.2＞17.8， 所以∠OCQ ＜90°，从而∠OPQ=90°的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P 有2个．。

高安二中2015—2016（下）高一期中考试数学（B）试题命题人：吴金兰注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上.2. 考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.下列判断正确的是（）A.第一象限角一定不是负角B.小于的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等2.设是等差数列{}的前n项和，已知，则A.13B.35C.49D.633.有以下说法：①若向量满足,且方向相同，则；②∣+∣≤∣+∣∣；③共线向量一定在同条直线上；④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.34.（）A. B. C. D.5.函数的定义域为[],值域为[0,1]则b-的值不可能是（）A. B. C. D.6.已知AB为圆的弦，C为圆心，且，则（）A. B. C. D.7.设,如果平行，则=（）A. B. C. D.8.已知{}是公差为1的等差数列,为{}的前n项和，若,则( )A. B. C. D.9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A.先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)C.先将所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.先将所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度10.函数其中A,B两点之间的距离为5，则的解析式是（）A. B.C. D.11.设A、B、C是圆O：上不同的三个点，，若存在实数满足，则点P()与圆的位置关系是（）A. B. C. D.不确定12.方程在[-2,4]内的所有根之和为（）A.8B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.sin()的值等于__________.14.在等差数列{}中，，则sin(2)=_________.15.已知，的夹角是=（-2，-4），，则在_________.16.下面有四个结论：①若为第一象限角，且,则②函数y=∣sin∣与y=∣tan∣的最小正周期相同;③函数④若函数的图像的一条对称轴为直线，则.其中正确结论的序号是_____________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求18.(本小题满分12分)⑴已知2sin的值⑵求函数19．（本小题满分12分）已知等差数列的公差，设的前n项和为，, (1)求及;(2)求m,k（m,k）的值，使得…+=65.20.(本小题满分12分)已知向量.(1)若函数的最小正周期是，求函数的单调递增区间；(2)若函数的图像的一个对称中心的横坐标为，求.21.(本小题满分12分)四边形ABCD中，（1）若，试求与y满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，y的值及四边形ABCD的面积.22.(本小题满分12分)如图，四边形OQRP为矩形，其中P、Q分别是函数一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图像与轴的交点.(1)求的解析式;(2)对于,方程恒有四个不同的实数根，求实数的取值范围。

江西省高安二中2016届高三第二次段考试卷英语试题（时量：120分钟分值：150分）第Ⅰ卷第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What time is it now?A. 6: 20.B. 6: 30.C. 6: 40.2. What does the man mean?A. They have left for the airport.B.They may be late for the plane.C. They are on the way to the airport.3. What kind of music does the woman like?A. Popular music.B.Classical music.C. Jazz music.4. What does the man suggest the woman do?A.Drink more water.B.Take some medicine.C. Go on a diet.5. What does the man tell the woman?A. There is another cat like his.B. He never loses his dog at all.C. She has mistaken it for his dog.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期中数学试卷（平行班）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等2．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．633．（5分）有下列说法：①若向量、满足||＞||，且与方向相同，则＞；②|+|≤||+||；③共线向量一定在同一直线上；④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（5分）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[0，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．C．πD．2π6．（5分）已知AB为圆C的弦，C为圆心，且||=2，则=（）A．﹣2B．2C．D．﹣7．（5分）设=（1，﹣2），=（m，1），如果向量+与2﹣平行，则•等于（）A．﹣B．﹣2C．﹣1D．08．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．129．（5分）要得到函数y=2cosx•sin（x+）﹣的图象，只需将y=sinx的图象（）A．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变）C．先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．先将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度10．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的解析式是（）A．y=2sin（x+）B．y=2sin（x+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）11．（5分）设A、B、C是圆O：x2+y2=1上不同的三个点，|+|=||，若存在实数λ、μ满足=λ+μ，则点P（λ，μ）与圆O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不确定12．（5分）方程=cos在[﹣2，4]内的所有根之和为（）A．8B．6C．4D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）的值等于．14．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a6=，则sin（2a4﹣）=．15．（5分）已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在方向上的射影等于．16．（5分）下列四个结论：①若α、β为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ②函数y=|sinx|与y=|tanx|的最小正周期相同③函数f（x）=sin（x+）在[﹣，]上是增函数；④若函数f（x）=asinx﹣bcosx的图象的一条对称轴为直线x=，则a+b=0．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知向，满足||=1，||=6，且•（﹣）=2，求：（1）与的夹角；（2）|2﹣|的模．18．（12分）（1）已知2sinx=sin（﹣x），求的值；（2）求函数f（x）=ln（sinx﹣）+的定义域．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d＞0，设{a n}的前n项和为S n，a1=1，S2•S3=36．（Ⅰ）求d及S n；（Ⅱ）求m，k（m，k∈N*）的值，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65．20．（12分）已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，设函数f（x）=•．（1）若函数f（x）的最小正周期是π，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为，求ω的最小值．21．（12分）四边形ABCD中，=（3，2），=（x，y），=（﹣2，﹣3）（1）若∥，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）同时又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．22．（12分）如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=sinwx （A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x 轴的交点．（1）求f（x）的解析式（2）对于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期中数学试卷（平行班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等【解答】解：A不正确，如﹣330°就是第一象限角．B不正确，如﹣30°是小于90°的角，但﹣30°并不是锐角．C正确，因为钝角大于90°且小于180°，它的终边一定在第二象限．D不正确，终边相同的角不一定相等，如30°和390°终边相同，但这两个角不相等．故选：C．2．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．63【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选：C．3．（5分）有下列说法：①若向量、满足||＞||，且与方向相同，则＞；②|+|≤||+||；③共线向量一定在同一直线上；④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：：（1）∵向量不能比较大小，故①错误；（2）∵|+|2=||2+||2+2=||2+||2+2||||cosθ，（||+||）2=||2+||2+2||||，∴|+|≤||+||，故②正确；（3）共线向量只需方向相同或相反即可，不一定在同一直线上，故③错误；（4）零向量与任一向量都是共线的，即零向量与任一向量平行，故④错误．故选：B．4．（5分）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：===sin30°=．故选：C．5．（5分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[0，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵y=sinx在[a，b]上的值域为[0，1]，∴≤b﹣a≤π．故选：D．6．（5分）已知AB为圆C的弦，C为圆心，且||=2，则=（）A．﹣2B．2C．D．﹣【解答】解取AB中点D，连结CD，则CD⊥AB，AD=．∴=AB×AC×cos∠CAD=AB×AD=2．故选：B．7．（5分）设=（1，﹣2），=（m，1），如果向量+与2﹣平行，则•等于（）A．﹣B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：∵=（1，﹣2），=（m，1），∴+=（m+1，﹣1），2﹣=（2﹣m，﹣5），又向量+与2﹣平行，∴﹣5（m+1）+（2﹣m）=0，解得m=﹣．∴=（，1），则•=1×（﹣）+（﹣2）×1=．故选：A．8．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．12【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4×（4a1+），解得a1=．则a10=+9×1=．故选：B．9．（5分）要得到函数y=2cosx•sin（x+）﹣的图象，只需将y=sinx的图象（）A．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变）C．先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．先将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度【解答】解：∵函数y=2cosx•sin（x+）﹣=2cosx（sinx•+cosx•）﹣= sin2x+﹣=sin（2+），∴把y=sinx的图象先向左平移个单位长度可得y=sin（2x+）的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin（2x+）的图象，故选：A．10．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的解析式是（）A．y=2sin（x+）B．y=2sin（x+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图象可知，A=2．又A，B两点之间的距离为5，A，B两点的纵坐标的差为4，得函数的半个周期=3，∴T=6．则ω===．∴函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）．由f（2）=﹣2，得sin（φ+）=﹣1，∴可得：φ+=2kπ﹣，k∈Z，可得：φ=2kπ﹣，k∈Z，又0≤φ≤π，∴当k=1时，φ=．则f（x）的解析式是：f（x）=2sin（x+）．故选：B．11．（5分）设A、B、C是圆O：x2+y2=1上不同的三个点，|+|=||，若存在实数λ、μ满足=λ+μ，则点P（λ，μ）与圆O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不确定【解答】解：∵|+|=||，∴•=0，∵=λ+μ，两边平方得：||2=λ2||2+μ2||2+2λμ•，∵A，B，C是圆O：x2+y2=1上不同的三个点，且•=0，∴||=||=||=1，即有λ2+μ2=1，则点（λ，μ）与圆O的位置关系是在圆上．故选：B．12．（5分）方程=cos在[﹣2，4]内的所有根之和为（）A．8B．6C．4D．0【解答】解：设f（x）=，g（x）=cos，分别如图所示：两个函数都关于点（1，0）成中心对称且共有A，B，C，D，4个交点，两组对称交点横坐标和为中心的4倍，故所有交点的横坐标之和为4，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）的值等于．．【解答】解：=sin（﹣+4π）=sin=故答案为：．14．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a6=，则sin（2a4﹣）=﹣．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a2+a6==2a4，∴sin（2a4﹣）==﹣cos=﹣．故答案为：．15．（5分）已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在方向上的射影等于﹣．【解答】解：在方向上的射影等于||cos＜，＞=•cos120°=2•（﹣）=﹣，故答案为：16．（5分）下列四个结论：①若α、β为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ②函数y=|sinx|与y=|tanx|的最小正周期相同③函数f（x）=sin（x+）在[﹣，]上是增函数；④若函数f（x）=asinx﹣bcosx的图象的一条对称轴为直线x=，则a+b=0．其中正确结论的序号是②④．【解答】解：①若α、β为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ不成立，不如α=390°，β=30°，满足α＞β，但sinα=sinβ，故①错误，②函数y=|sinx|的周期为π，y=|tanx|的最小正周期为π，两个函数的周期相同，故②正确，③当x∈[﹣，]，则x+∈[﹣，]，此时函数f（x）=sin（x+）在[﹣，]上不单调性，故③错误，④f（+x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，即可得2acos sinx=﹣2bsinsinx 对任意x∈R恒成立，即（a+b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，所以a+b=0，故④正确，故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知向，满足||=1，||=6，且•（﹣）=2，求：（1）与的夹角；（2）|2﹣|的模．【解答】解：（1）∵•（﹣）=•﹣2=2，又||=1，||=6∴•=3，即||||cos＜，＞=3，解得cos＜，＞=又0≤＜，＞≤π，所以与的夹角为（2）|2﹣|2=42﹣4•+2=28，∴|2﹣|=218．（12分）（1）已知2sinx=sin（﹣x），求的值；（2）求函数f（x）=ln（sinx﹣）+的定义域．【解答】解：（1）∵2sinx=sin（﹣x）=cosx，∴===．（2）要使函数有意义，则，即，即，即2kπ+＜x≤2kπ+，或2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，即函数的定义域为（2kπ+，2kπ+]∪（2kπ+，2kπ+），k∈Z．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d＞0，设{a n}的前n项和为S n，a1=1，S2•S3=36．（Ⅰ）求d及S n；（Ⅱ）求m，k（m，k∈N*）的值，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65．【解答】解：（Ⅰ）由a1=1，S2•S3=36得，（a1+a2）（a1+a2+a3）=36，即（2+d）（3+3d）=36，化为d2+3d﹣10=0，解得d=2或﹣5，又公差d＞0，则d=2，所以S n=n=n2（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65得，，即（k+1）（2m+k﹣1）=65，又m，k∈N*，则（k+1）（2m+k﹣1）=5×13，或（k+1）（2m+k﹣1）=1×65，下面分类求解：当k+1=5时，2m+k﹣1=13，解得k=4，m=5；当k+1=13时，2m+k﹣1=5，解得k=12，m=﹣3，故舍去；当k+1=1时，2m+k﹣1=65，解得k=0，故舍去；当k+1=65时，2m+k﹣1=1，解得k=64，m=﹣31，故舍去；综上得，k=4，m=5．20．（12分）已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，设函数f（x）=•．（1）若函数f（x）的最小正周期是π，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为，求ω的最小值．【解答】解：f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+=sin（2ωx+）+．（1）∴T==π，ω=1，∴f（x）=sin（2x+）+．令﹣2x+，解得+kπ≤x≤．∴f（x）的单调递增区间是[+kπ，]，k∈Z．（2）∵函数f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为，∴sin（）=0，∴=kπ，解得ω=3k﹣．∵ω＞0，∴当k=1时，ω取得最小值．21．（12分）四边形ABCD中，=（3，2），=（x，y），=（﹣2，﹣3）（1）若∥，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）同时又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．【解答】解：（1），；若∥，则∥；∴x（y﹣1）﹣y（x+1）=﹣x﹣y=0；即x与y满足的关系式为x+y=0；（2），；∵；∴；又x，y满足x+y=0，∴将y=﹣x带入上式解得：x=2，或﹣3；∴，或；∴，或；∴；∵；∴．22．（12分）如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=sinwx （A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x 轴的交点．（1）求f（x）的解析式（2）对于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，wx=，故P（，），wx=，故Q（，﹣），∵•=•﹣3=0，故w=；故f（x）=sin x；（2）结合函数f（x）在[0，3]上的图象，∵对于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，∴方程x2﹣ax+1=0在[0，）上有两个不同的解，∴，且解得2＜a＜；故实数a的取值范围为（2，）．。