《函数变化率》PPT课件

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函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

2
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上旳平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y）作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业进行检查，其连续监测结果如图所示（其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则

《函数的平均变化率》课件

在投资决策中，平均变化率可以帮助投资者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料的热容和导热系数可以通过测量温度随时间的变化率来计算。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传播速度是通过测量波峰或波谷随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整体表现，反映了函数值随自变量变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调性、凹凸性以及极值点等性质，是研究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可以了解函数在不同区间上的表现，从而对函数的整体性质有更深入的理解。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例，可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们了解成本随时间的变化趋势，从而制定出更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化，从而帮助企业做出更合理的生产和销售决策。

函数的增减性课件

通过回顾函数的增减性的概念和判定方法，巩固我们所学的知识。
在下一节课中，我们将探讨函数的其他性质和应用，在数学的世界中继续探索。
在定义域内，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)。
递减函数
在定义域内，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)。
常数函数
在定义域内，f(x)保持不变。
函数增减性的判定方法
1 导数法
通过计算函数的导数来判断函数的增减性。
2 变化率法
通过观察函数在不同区间上的变化率来判断函数的增减性。
函数增减性的应用
1
极值问题
通过分析函数的增减性，可以找到函数的极值点。
2
参数方程问题
通过确定参数方程的增减性，可以解决参数方程问题。
3
应用实例
通过在实际问题中应用函数的增减性，可以解决各种应用实例。
总结
今天我们学习了什么？
知识点回顾
下篇讲解预告
我们学习了函数的增减性的定义、判定方法和应用，并了解了如何解决各种应用实例。
函数的增减性ppt课件
欢迎来到本节课的ppt课件，我们将一起探讨函数的增减性的概念、图像表示、增减性的种类、判定方法以及应用实例等内容。
什么是函数的增减性？
函数的增减性指的是函数在定义域内的取值变化规律。它可以告诉我们函数在不同区间上是递增的、递减的还是保持不变的。
函数的增减性的定义
Байду номын сангаас
递增函数

《函数平均变化率》课件

函数平均变化率的性质
函数平均变化率与函数的斜率有着密切的关系，我们将深入探讨这一性质。此外，我们还将讨论函数平均变化率是否具有单调性。
实际应用
函数平均变化率在实际应用中具有广泛的用途。我们将通过两个应用案例来探讨其在统计个人收入变化率和计算公司股价变化率中的应用。
如何优化平均变化率
优化平均变化率的计算结果需要考虑统计样本的影响，并学习如何剔除异常值。这将使我们能够得到更准确的结果。
结论
函数平均变化率在数据分析中起着重要的作用。我们将总结其意义，并探讨其在数据分析中的实际应用。
参考文献
为了更深入地了解函数平均变化率，我们准备了一些参考文献，供您进一步研究和学习。
《函数平均变化率》PPT 课件
欢迎来到《函数平均变化率》课件！在本课程中，我们将探讨函数平均变化率的概念、计算变化率是指函数在某个区间内的平均变化速度。我们将介绍它的定义以及一些常见的应用场景。
如何计算函数平均变化率
函数平均变化率可以通过使用定义公式来计算。我们将提供详细的计算示例，帮助您更好地理解计算过程。

函数的单调性及函数的平均变化率精品课件

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栏目导引
第三章函数
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《变化率问题》课件

生物种群动态
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表示函数在某一点的变化率。通过求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念，它可以帮助我们计算面积、体积等。在变化率问题中，积分可以用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分学中系统地研究了变化率问题，奠定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题的应用领域不断扩大，如人工智能、大数据分析、复杂系统模拟等。

函数的平均变化率课件

10
目求录函| 数添加平标题均内变容化率
例2．如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时，由容器的形状可知，在固定的Δt时间内，随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
目录 | 添加标题内容
Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
目录 | 添加标题内容
Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：

《变化率和导数》课件

变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于某一点时函数值的变化量与自变量的变化量的比值定义为该点的变化率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率，可以用于研究函数的单调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学、生物学、物理学等。例如，边际分析、速度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个重要分支，将会在理论和应用方面得到更深入的研究。例如，在人工智能、大数据分析等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在解决实际问题中发挥更加重要的作用。

《变化率与导数》课件

五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求得的导数，几何方式的导数是通过像图形函数的斜率来求得的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线，割线是通过两点间的曲线段值的点，可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变化趋势，凹凸性描述了曲线的弯曲程度。
《变化率与导数》PPT课件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念：变化率是指某个量在单位时间内的变化量，它反映了事物变化的快慢和趋势。
- 导数的引入：导数是描述函数变化率的工具，它告诉我们函数在某个点上的斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度，可以通过两点间的纵坐标差值除以横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度，即经过该点的切线的斜率，可以通过极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化率，可以通过求斜率的极限来计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变化率，右导数是函数在某点右侧的变化率，它们可以不相等。
解析方式的导数与几何方式的导数

课件3：1.1.1 函数的平均变化率

C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．

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形曲线陡峭程度
数平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” ，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
探究活动
理解：
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 △x值不能为0， △ y 的值可以为0 2、若函数f (x)为常函数时， △y =0
3、变式
f (x2 ) f (x1) y f (x1 x) f (x1)
t

65 49
时：v＝
h(
65 ) 49 65

h(0) 0

0
49
二、跳水问题
高台跳水运动中，
v h h t2 h t1
t
t2 t1
平均变化率定义:
1.上述两个问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)
来表示
x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
问题2: 如图是一天当中气温变化的曲线图。
y
T(C )
B
28
C
15 A 12
0
12
t(h) 24
探究1.从A→B→C中,哪个时间段温度变化大?
探究2.如何用数学式刻画温度变化情况?
一、变化率问题
问题气球的平均膨胀率
吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2.若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)（即Δy）
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
注意：这里“Δx”是一个整体符号，而不是Δ与x的积。它表示：对于x1的一个“增量”，故：x2＝x1+Δx 同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)，故： y2＝y1+Δy
问题、气球变化率问题
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的
函数关系是：V (r) 4 r3
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r
(V
)

3
3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
r(1) 1
r(0) 0
存在函数关系： h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗
略地描述其运动Байду номын сангаас态?
h
请计算 h(t)=-4.9t2+6.5t+10
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
o
t
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
0

0.62(dm
/
L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了显然
r(2) r(1) 0.16(dm)
0.62>0.16
气球的平均膨胀率为rr((22V) 12r(1)) 0.1r6((dVm /1L))
V2 V1
问题高台跳水问题
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高
度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）
思考： y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的
平均变化率就等于斜率 k.
知识运用
例3. 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f (x) 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]。
x2 x1
x
x
知识运用
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11 8.6 6.5
3.5比较它们的实际意义3，你6 能从9 中 12 T(月) 得出什么结论？
解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为
4 （5）[0.9，1]；
3
（6）[0.99，1]； 1.9
2.1 （7）[0.999，1]. 1.99
2.001
1.999
例求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
解： △y=f (x+△x)- f (x)
=2△x ·x+(△x )2
y 2x x (x)2

x
x
2x x
第一章导数及其应用
1.1.1 变化率问题
问题1:如图, 是一座山的剖面示意图, 并在
上面建立平面直角坐标系, A是出发点, H是山顶, 爬山路线
y
H
CD
AB
用函数y=f(x)表示. 0 x0 x1 x2 xk xk+1
x
探究1.如图, 哪段路线最陡峭?
探究2.你怎样描述其陡峭程度?
探究3.如何用数学式刻画这个陡峭程度?
探究活动
气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均
速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到
函数上，归纳一下得出
函数 f x从 x1 x2的平均变化率
r(V2 ) r(V1)
h

V2 V1
t2 h t1

f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
t2 t1
y
例4.请分别计算出下面两个图象表示的函数h(t) 在区间[0，3]上的平均变化率。
h
h
h
10
10
10
O1
A
3t
O 1B
3t
O 1C
3t
10
10
10
3
3
3
观察这三个数据你有什么发现？
练习
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
fx2 fx1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
O
x1
x2
x
思考观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
f f x2 f x1
x
x2 x1
表示什么?
图1.1 1
直线AB的斜率
它是曲线y f ( x)上的点( x1，f ( x1 ))， ( x2，f ( x2 ))两点的割线的斜率.
Δy/Δx=( D)
A 、3
B、 3Δx-(Δx)2
C、 3-(Δx)2 D 、3-Δx
❖ 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
练习
3.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
6.5 3.5 1(kg /月) 30
从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
知识运用
例2、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f (x) g(x)及
的平均变化率。