【精品】2016-2017年河南省南阳市高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈R，e|x|≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤54．等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（）A．130 B．260 C．156 D．1685．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，无极小值 D．极小值﹣27，无极大值6．已知a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．27．已知f（x）=2e x sinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y=0 B．y=2x C．y=x D．y=﹣2x8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足，若，则a2017=（）A．B．2 C．﹣1 D．111．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或12．已知双曲线的离心率为，则圆（x﹣6）2+y2=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（）A．23 B．24 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．在等比数列{a n}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n=．14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=．15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为．16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且•=0，则|+|=．18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）若gx）=f（x）e x，求g（x）的单调区间．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若•＜0，求实数k的取值范围．2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈R，e|x|≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题【考点】四种命题．【分析】根据复合命题判断A，B，D，根据极值的意义判断C，从而求出答案．【解答】解：命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，故A正确；命题p：∀x∈R，e|x|≥1，是真命题，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0是假命题，则p ∨q为真命题，故B正确；若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为假命题，比如：y=x3中，f′（0）=0，但x=0不是y=f（x）的极值点，故C错误；若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题，故D正确；故选：C．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．3．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C4．等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（）A．130 B．260 C．156 D．168【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，∴a7=10，∴S13==13a7=13×10=130．故选：A．5．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，无极小值 D．极小值﹣27，无极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，x取不到3，无极小值．当x=﹣1时，y极大值=5；故选C6．已知a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．2【考点】基本不等式．【分析】是3a与3b的等比中项，可得3a•3b=，即a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3a•3b=，解得a+b=1．则=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值为4．故选：B．7．已知f（x）=2e x sinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y=0 B．y=2x C．y=x D．y=﹣2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程．【解答】解：f（x）=2e x sinx的导数为f′（x）=2e x（sinx+cosx），即有函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=2e0（sin0+cos0）=2，切点为（0，0），则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即为y=2x．故选：B．8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由内角和是π，据诱导公式消去C，再由两角和与差的公式变换整理，观察整理的结果判断出△ABC一定是等腰三角形．【解答】解：∵sinC=2sin（B+C）cosB，∴sin（A+B）=2sinAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0∴sin（A﹣B）=0∴A﹣B=0，即A=B故△ABC一定是等腰三角形，故应选B．9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．10．已知数列{a n}满足，若，则a2017=（）A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣（n∈N*），可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：由，且，得a2=2，a3=﹣1，，…=a n，数列的周期为3．∴a n+3a2017=a672=a1=．×3+1故选：A．11．已知三个数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A．B ．C ．或D ．或【考点】双曲线的简单性质；等比数列的性质．【分析】利用等比数列的定义即可得出m 的值，再利用椭圆与双曲线的离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵三个数2，m ，8构成一个等比数列，∴m 2=2×8，解得m=±4．①当m=4时，圆锥曲线表示的是椭圆，其离心率e====；②当m=﹣4时，圆锥曲线表示的是双曲线，其离心率e====．故选C ．12．已知双曲线的离心率为，则圆（x ﹣6）2+y 2=1上的动点M 到双曲线C 的渐近线的最短距离为（ ）A ．23B ．24C ．D ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由双曲线的离心率为，转化求解双曲线的一条渐近线到圆（x ﹣6）2+y 2=1上的点的最短距离．【解答】解：双曲线的离心率为，可得=，可得，，b=4a，则b2=16（c2﹣b2），解得双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵双曲线的一条渐近线到圆（x﹣6）2+y2=1上的点的最短距离为：=﹣1=．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．在等比数列{a n}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，则q（a2+a4）=20q=40，解得q=2，∴=20，解得a1=2．则数列{a n}的前n项和S n==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，可得sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=．当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．故答案为：．15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0），当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，z最大值是2，故答案为：2．16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线y2=3x的准线方程为：x=﹣，抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，可得点M到该抛物线焦点的距离为：1+=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且•=0，则|+|=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出F1，F2的坐标、焦点坐标，由两个向量的数量积等于0得，PF1⊥PF2，勾股定理成立，可求|pF1|2+|PF2|2，计算所求式子的平方，可得所求式子的值．【解答】解：由题意知，a=1，b=3，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），∵P在双曲线上，且，∴PF1⊥PF2，∴|pF1|2+|PF2|2=（2c）2=40，所求式子是个非负数，所求式子的平方为：∴|pF1|2+|PF2|2﹣2 •=40﹣0=40，则=2，故答案为2．18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先化简p，q，（1）p是q的充分不必要条件得到，解得即可；（2）非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m（1）∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣1，8]是[1﹣2m，1+2m]的真子集．∴∴m≥．∴实数m的取值范围为m≥．（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．∴，∴1≤m≤．∴实数m的取值范围为1≤m≤．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值可求B的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，∴，又∵B是三角形的内角，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴．20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5﹣d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{b n}的通项公式（II）根据（I）及等比数列的前n项和公式可求S n，要证数列{S n+}是等比数列⇔即可．【解答】解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5所以{b n}中的依次为7﹣d，10，18+d依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）故{b n}的第3项为5，公比为2由b3=b1•22，即5=4b1，解得所以{b n}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为（II）数列{b n}的前和即，所以，因此{}是以为首项，公比为2的等比数列21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）若gx）=f（x）e x，求g（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（2）由（2）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若•＜0，求实数k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意知，解出即可得出椭圆的标准方程．（II）直线方程与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，利用平面向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，∴椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，∴x1=﹣2，y1=0①，由（*）式，，②可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k，③由①②③，，，∵，∴．即，整理得20k2+4k﹣3＜0．解得：．2017年3月13日。

2016年河南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=（ ） A ．{1，3} B ．{3，5} C ．{5，7} D ．{1，7}2．（5分）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2D ．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ） A ．B ．C ．2D ．35．（5分）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（，则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．（5分）将函数y=2sin （2x +）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（的函数为（ ）A ．y=2sin （2x +）B ．y=2sin （2x +）C ．y=2sin （2x ﹣）D ．y=2sin （2x ﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（，则它的表面积是（ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π8．（5分）若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则（，则（ ） A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b9．（5分）函数y=2x 2﹣e |x |在[﹣2，2]的图象大致为（的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x ，y 的值满足（值满足（ ）A ．y=2xB ．y=3xC ．y=4xD ．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（所成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 12．（5分）若函数f （x ）=x ﹣sin2x +asinx 在（﹣∞，在（﹣∞，++∞）单调递增，则a 的取值范围是（取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，]C ．[﹣，]D ．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x ，x +1），=（1，2），且⊥，则x= ． 14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣）= ．15．（5分）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2﹣2ay ﹣2=0相交于A ，B 两点，若|AB |=2，则圆C 的面积为的面积为． 16．（5分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为的利润之和的最大值为 元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知分）已知{{a n }是公差为3的等差数列，数列的等差数列，数列{{b n }满足b 1=1，b 2=，a n b n +1+b n +1=nb n ．（Ⅰ）求（Ⅰ）求{{a n }的通项公式； （Ⅱ）求（Ⅱ）求{{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ．（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，如果备件不足再购买，则每个则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C 于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式||f（x）|＞1的解集．（Ⅱ）求不等式2016年河南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=（ ） A ．{1，3} B ．{3，5} C ．{5，7} D ．{1，7} 【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x |2≤x ≤5}， 则A ∩B={3，5}． 故选：B ．2．（5分）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2D ．3【解答】解：（1+2i ）（a +i ）=a ﹣2+（2a +1）i 的实部与虚部相等， 可得：a ﹣2=2a +1， 解得a=﹣3． 故选：A ．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（率是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C ．4．（5分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ）A ．B ．C ．2D ．3【解答】解：∵a=，c=2，cosA=， ∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b 2﹣8b ﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D ．5．（5分）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为：，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的， 可得：，4=b 2（），∴，=3，∴e==． 故选：B ．6．（5分）将函数y=2sin （2x +）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（的函数为（ ）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂）直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（，则它的表面积是（A．17π B．18π C．20π D．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图： 可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（，则（ ）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，正确；∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c ＞log b c ，故A 错误； a c ＞b c ，故C 错误； c a ＜c b ，故D 错误； 故选：B9．（5分）函数y=2x 2﹣e |x |在[﹣2，2]的图象大致为（的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵f （x ）=y=2x 2﹣e |x |， ∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x |=2x 2﹣e |x |， 故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e 2∈（0，1），故排除A ，B ； 当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x ， ∴fʹ（x ）=4x ﹣e x =0有解，故函数y=2x 2﹣e |x |在[0，2]不是单调的，故排除C ， 故选：D10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x ，y 的值满足（值满足（ ）A ．y=2xB ．y=3xC ．y=4xD ．y=5x 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1， 则x=0，y=1，不满足x 2+y 2≥36，故n=2， 则x=，y=2，不满足x 2+y 2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x 2+y 2≥36， 故y=4x ， 故选：C11．（5分）平面α过正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（所成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解答】解：如图：α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABA 1B 1=n ， 可知：n ∥CD 1，m ∥B 1D 1，∵△CB 1D 1是正三角形．m 、n 所成角就是∠CD 1B 1=60°．则m 、n 所成角的正弦值为：．故选：A ．12．（5分）若函数f （x ）=x ﹣sin2x +asinx 在（﹣∞，在（﹣∞，++∞）单调递增，则a 的取值范围是（取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，]C ．[﹣，]D ．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f （x ）=x ﹣sin2x +asinx 的导数为fʹ（x ）=1﹣cos2x +acosx ， 由题意可得fʹ（x ）≥0恒成立， 即为1﹣cos2x +acosx ≥0， 即有﹣cos 2x +acosx ≥0，设t=cosx （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当0＜t ≤1时，3a ≥4t ﹣，由4t ﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1， 可得3a ≥﹣1，即a ≥﹣； 当﹣1≤t ＜0时，3a ≤4t ﹣，由4t ﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1， 可得3a ≤1，即a ≤．综上可得a 的范围是的范围是[[﹣，]．另解：设t=cosx （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0， 由题意可得5﹣4+3a ≥0，且5﹣4﹣3a ≥0， 解得a 的范围是的范围是[[﹣，]．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x= ．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）= ． 【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2， 4π ．则圆C的面积为的面积为【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，两点，且||AB|=2，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在216000的利润之和的最大值为不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知分）已知{{a n}是公差为3的等差数列，数列的等差数列，数列{{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{{a n}的通项公式；（Ⅰ）求（Ⅱ）求{{b n}的前n项和．（Ⅱ）求【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{{a n}是公差为3的等差数列，又∵∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，即数列∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心． 由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2． 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在则每个500元．现需决策在购买机器时应如果备件不足再购买，则每个机器使用期间，如果备件不足再购买，同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C 于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0， ∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得fʹ（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由fʹ（x）＞0，可得x＞1；由fʹ（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则fʹ（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由fʹ（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由fʹ（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由fʹ（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由fʹ（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增， 且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，OK=OAsin30°==OA，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心．四点所在圆的圆心．设设T 是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心． ∵OA=OB ，TA=TB ， ∴OT 为AB 的中垂线， 同理，OC=OD ，TC=TD ， ∴OT 为CD 的中垂线， ∴AB ∥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x 2+（y ﹣1）2=a 2．∴C 1为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x 2+y 2﹣2y +1﹣a 2=0．①由x 2+y 2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a 2=0； （Ⅱ）C 2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴x 2+y 2=4x ，② 即（x ﹣2）2+y 2=4．由C 3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x ， ∵曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，∴y=2x 为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x ﹣2y +1﹣a 2=0，即为C 3 ， ∴1﹣a 2=0， ∴a=1（a ＞0）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式||f（x）|＞1的解集．（Ⅱ）求不等式【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由||f（x）|＞1，可得（Ⅱ）由时，||x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当x≤﹣1时，时，||3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，当﹣1＜x＜时，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；时，||4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3． 当x≥时，综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：lP A'ABlC PA B D运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为的最小值为MFEACBP2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2016-2017学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣9=0}，则下列式子表示正确的有（）①3∈A；②{﹣3}∈A；③∅⊆A；④|3，﹣3|⊆A．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．命题p：∀x，y∈R，x2+y2≥0，则命题p的否定为（）A．∀x，y∈R，x2+y2＜0 B．∀x，y∈R，x2+y2≤0C．∃x0，y0∈R，x02+y02≤0 D．∃x0，y0∈R，x02+y02＜03．函数f（x）=的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）4．已知函数f（x）在[﹣3，4]上的图象是一条连续的曲线，且其部分对应值如表：则函数f（x）的零点所在区间有（）A．（﹣3，﹣1）和（﹣1，1）B．（﹣3，﹣1）和（2，4） C．（﹣1，1）和（1，2） D．（﹣∞，﹣3）和（4，+∞）5．过点A（3，）与圆O：x2+y2=4相切的两条直线的夹角为（）A．B．C．D．6．已知命题p：已知函数f（x）的定义域为R，若f（x）是奇函数，则f（0）=0，则它的原命题，逆命题、否命题、逆命题中，真命题的个数为（）A．0 B．2 C．3 D．47．已知数列{a n}满足a n=a n﹣1+a n﹣2（n＞2），且a2015=1，a2017=﹣1，则a2000=（）A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣188．已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[1，+∞）9．下列函数是偶函数的是（）①f（x）=lg|x|；②f（x）=e x+e﹣x；③f（x）=x2（x∈N）；④f（x）=x﹣．A．①②B．①③C．②④D．①④10．已知x、y满足不等式组，若直线x﹣y﹣a=0平分不等式组所表示的平面区域的面积，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．1﹣2D．1﹣11．已知a，b是两个正实数．且•=（）b，则ab有（）A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最大值212．函数f（x）=cosx+ax是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某几何体的三视图如图所示，则其体积为．14．已知两直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0的交点在第一象限，则实数a的取值范围是．15．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为平方里．16．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2有共同的左右焦点F1，F2，两曲线的离心率之积e1•e2=1，D是两曲线在第一象限的交点，则F1D：F2D=（用a，b表示）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前三项依次为1,1,23a a a -++，则此数列的第n 项为（ ） A ．25n - B ．23n - C ．21n - D ．21n +2.不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -的值等于（ ） A ． -14 B ． 14 C ． -10 D ．10 3.下列说法中不正确的命题个数为（ ）①命题“2,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“2000,10x R x x ∃∈-+>”②命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b =A ． 0B ．1C ．2D ． 34.在ABC ∆中，60A =，2AB =，且ABC ∆的面积为2，则BC 的长为（ ）A ．B ．2 5.若{}n a 是等差数列，首项10a >，560a a +>，560a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 的值是（ ）A ． 6B ．7 C. 8 D ．106.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>3，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C. 2211612x y -= D ．221128x y -=7.已知函数32()23f x x x a =-+的极大值与极小值和为11，那么a 的值是（ ） A ． 0 B ． 1 C. 5 D ．68.已知变量,x y 满足430140x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y -的取值范围是（ ）A ．6[2,]5-B ． [2,0]- C. 6[0,]5D ．[2,1]-- 9.三次函数323()212f x ax x x =-++的图象在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间(1,3)上的最小值是（ ） A ．83 B ．116 C. 113 D ．5310.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，(1cos )cos b C c A -=，2b =，则ABC ∆的面积为（ ） AB．3D或11.设12,F F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．B．C. D． 12.已知正数,,a b c 满足12c e a ≤≤，ln ln c b a c c =+，则ln ba的取值范围是（ ） A ．1[1,ln 2]2+ B ．[1,)+∞ C. (,1]e -∞- D ．[1,1]e - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题:[1,2]p x ∀∈，20x a -≥；命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为 ．14.已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是(2,0)，则k = ．15.已知圆224x y +=与双曲线2221(0)4x y b b -=>的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形ABCD 的面积为2b ，则b = ．16.已知抛物线22y px =过点1(4M ，,A B 是抛物线上的点，直线,,OA OM OB 的斜率依次成等比数列，则直线AB 恒过点 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知函数32()(,)f x mx nx m n R =+∈在2x =时有极值，其图像在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行． （1）求,m n 的值；（2）求函数()f x 的单调区间． 18. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1{}nb 的前n 项和．19. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（1）求C ；（2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长． 20. （本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x ax x a R =-+-∈．（1）当3a =时，求函数()f x 在1[,2]2上的最大值和最小值； （2）函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围． 21. （本小题满分12分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，直线l 过点(1,0)-交椭圆E于,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）求OAB ∆面积的最大值． 22. （本小题满分12分）如图，(1,2)A 、1(,1)4B -是抛物线2(0)y ax a =>上的两个点，过点,A B 引抛物线的两条弦,AE BF ．（1）求实数a 的值；（2）若直线AE 与BF 的斜率是互为相反数，且,A B 两点在直线EF 的两侧． ①直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由； ②求四边形AEBF 面积的取值范围．试卷答案1—12：BCBBDA DADDCD13}{1,2=-≤a a a 或14．1 15．．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭17解：（Ⅰ）nx mx x f 23)(2/+=())(2n mx x x f += （R n m ∈,）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行∴''(2)0(1)3f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1240323m n m n +=⎧⎨+=-⎩ 解得：13m n =⎧⎨=-⎩（2）由（1）得2()36f x x x =-， 令2360x x ->，解得2x >或0x <∴()f x 在(2,)+∞为增函数，在(,0)-∞为增函数， 令240x -<，解得02x <<， ∴()f x 在(0,2)为减函数------10分18解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()12n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+19解：（1）()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅=6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=+20解：（I ）3a =时，21231(21)(1)'()23x x x x f x x x x x-+--=-+-=-=-.函数()f x 在区间1(,2)2仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1[,2]2最大值是(1)2f =.又153(2)()(2ln 2)(ln 2)2ln 20244f f -=--+=-<，故1(2)()2f f<. 故函数在1[,2]2上的最小值为(2)2ln 2f =-.（II ）2121'()2x ax f x x a x x-+-=-+-=，若()f x 既有极大值又有极小值，则首项必须'()0f x =有两个不同正根12x x ，，即2210x ax -+=有两个不同正根.故a应满足2080002a a aa ∆>⎧⎧->⎪⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎪⎩21解：（1）由题意得1b =，由2231c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩（3分） ∴椭圆E 的标准方程为2213x y +=.（4分） （2）依题意可设直线l 的方程为1x my =-,由22131x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22(3)220m y my +--=，（6分）2248(3)0m m ∆=++>，设1122(,)(,)A x y B x y 、，则1221222323m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，（8分）设23(3)m t t +=≥，则（10分） ∵3t ≥∴当113t=，即3t =时，OAB △的面积取得最大值30m =．（12分）22.解：（1）把点()1,2A 代入拋物线方程得4a =.------2分 （2）①设点()()1122,,,E x y F x y ,直线():12A E y k x =-+,则直线11:14B F y k x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,联立方程组()2124y k x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩,消去y 得：()()222242420k x k k x k +--+-=,()()()22221112222222424,12,(,)k k k k k k x y k x E k k k k ---+-+==-+=∴联立方程组21144y k x y x⎧⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,消去y 得：222211241024k x k k x k ⎛⎫⎛⎫---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()222222222244114,,141644k k k k x x y k x k k k --+⎛⎫===---= ⎪⎝⎭, 得()222244,4k k k F k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故12124EF y y k x x -==--. -------7分 ②设直线:4EF y x b =-+,联立方程组244y x b y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得：()2216840x b x b -++=,()221846416640,4b b b b ∆=-+-=+>>-,,A B 两点分别在直线EF 的两侧,()60b b ∴-<,故06b <<,2121221,416b b x x x x ++==,12EF x ∴=-=设12,d d 分别为点11,A B 到直线EF 的距离,12d d ==,()(12113156,2844AEBF S d d EF b b ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭, ∴四边形AEBF 面积的取值范围是315,44⎛⎫⎪⎝⎭. -------12分。

河南省南阳市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题文（扫描版）2017年春期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1--12 BCADD BABDC BC二、填空题13．1和3 14．)1,1[- 15．)1,0( 16． 2232++n n三、解答题:17．解：复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当a<0，b>0时，z 对应的点位于复平面的第二象限；复数z 对应的点的坐标是直线方程的解，则这个点就在这条直线上．(1)由()2201230m m m m m +⎧=⎪-⎨⎪+-≠⎩,解得m ＝0，或m ＝－2. 故当m ＝0，或m ＝－2时，z 为纯虚数． …………………………………3分(2)由()2201230m m m m m +⎧<⎪-⎨⎪+->⎩,解得m<－3. 故当m<－3时，z 对应的点位于复平面的第二象限． ……………………6分 (3)由()21m m m +-＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，解得m ＝0或m ＝－2.故当m ＝0或m ＝－2时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上． …………………10分18.解：（1）由⎩⎨⎧=+=,sin ,cos 1ααy x ）πα2,0[∈得点P 的轨迹方程1)1(22=+-y x …………………………………3分 又由,cos sin 9,)4sin(29θθρπθρ+=+=得9cos sin =+∴θρθρ ∴曲线C 的直角坐标方程为09=-+y x . …………………………………6分 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心（1，0），到直线09=-+y x 的距离为24， ………………………………………10分 又圆的半径为1，所以124min -=PQ ，max ||PQ 不存在 …………12分19．解：(1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3()∑=-712i it t＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，()()∑=--71i i iy y t t＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，()()()∑∑==---=71271ˆi i i i it t y y t tb＝1428＝0.5， t b y aˆˆ-=＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3. ……………………………………………………6分 (2)由(1)知，b ＝0.5>0，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2017年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．……………………12分 20.解：（1）表格为数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计物理成绩优秀 5 2 7物理成绩不优秀1 12 13 合计61420……………………………………………4分（2）提出假设0H ：学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系.根据上述列联表可以求得802.8137146)21125(2022≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，当0H 成立时，879.72>k 的概率约为0.005，而这里8.802>7.879，所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系． …………………………………………………8分 （3）基本事件有36种（1，1）（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）（1，6） （2，1）（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）（2，6） （3，1）（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）（3，6）（4，1）（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）（4，6） （5，1）（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（5，6） （6，1）（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）（6，6） 设抽到12号为事件A ，则A 发生包含有4种：（２，6），（6，2），（3，4），（4，3） 所以，抽到12号的概率91364)(==A P ．……………………………………………12分 21. 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y)，则由条件知点M 的坐标为(x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) …………………………………6分(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ．……8分 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3．…………………………………10分所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23． …………………………………………………12分 22.解：(1)∵y ′＝2nx ，∴ n nx 2|y n x x ='=， …………………………………………………………………2分 切线l n 的方程为：y －n ·x 2n ＝2nx n (x －x n )．即：2nx n ·x －y －n ·x 2n ＝0， ……………………………………………………………4分令x ＝0，得y ＝－nx 2n ，∴Q n (0，－nx 2n )． ……………………………………………5分 (2)设原点到l n 的距离为d ，则d ＝|－nx 2n |2nx n2＋1＝nx 2n1＋4n 2x 2n， |P n Q n |＝x 2n ＋2nx 2n 2. …………………………………………………………………7分所以d |P n Q n |＝n |x n |1＋4n 2x 2n ≤n |x n |2·1·|2n ·x n |＝14， ……………………………………………10分 当且仅当1＝4n 2x 2n ，即x 2n ＝14n2(x n >0)时，等号成立，此时，x n ＝12n ，所以，P n )41,21(n n . …………………………………………………12分（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈R，e|x|≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤54．等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（）A．130 B．260 C．156 D．1685．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，无极小值 D．极小值﹣27，无极大值6．已知a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．27．已知f（x）=2e x sinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y=0 B．y=2x C．y=x D．y=﹣2x8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足，若，则a2017=（）A．B．2 C．﹣1 D．111．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或12．已知双曲线的离心率为，则圆（x﹣6）2+y2=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（）A．23 B．24 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．在等比数列{a n}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n=．14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=．15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为．16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且•=0，则|+|=．18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）若gx）=f（x）e x，求g（x）的单调区间．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若•＜0，求实数k的取值范围．2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈R，e|x|≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题【考点】四种命题．【分析】根据复合命题判断A，B，D，根据极值的意义判断C，从而求出答案．【解答】解：命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，故A正确；命题p：∀x∈R，e|x|≥1，是真命题，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0是假命题，则p ∨q为真命题，故B正确；若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为假命题，比如：y=x3中，f′（0）=0，但x=0不是y=f（x）的极值点，故C错误；若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题，故D正确；故选：C．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．3．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C4．等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（）A．130 B．260 C．156 D．168【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，∴a7=10，∴S13==13a7=13×10=130．故选：A．5．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，无极小值 D．极小值﹣27，无极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，x取不到3，无极小值．当x=﹣1时，y极大值=5；故选C6．已知a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．2【考点】基本不等式．【分析】是3a与3b的等比中项，可得3a•3b=，即a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3a•3b=，解得a+b=1．则=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值为4．故选：B．7．已知f（x）=2e x sinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y=0 B．y=2x C．y=x D．y=﹣2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程．【解答】解：f（x）=2e x sinx的导数为f′（x）=2e x（sinx+cosx），即有函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=2e0（sin0+cos0）=2，切点为（0，0），则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即为y=2x．故选：B．8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由内角和是π，据诱导公式消去C，再由两角和与差的公式变换整理，观察整理的结果判断出△ABC一定是等腰三角形．【解答】解：∵sinC=2sin（B+C）cosB，∴sin（A+B）=2sinAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0∴sin（A﹣B）=0∴A﹣B=0，即A=B故△ABC一定是等腰三角形，故应选B．9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．10．已知数列{a n}满足，若，则a2017=（）A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣（n∈N*），可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：由，且，得a2=2，a3=﹣1，，…=a n，数列的周期为3．∴a n+3a2017=a672=a1=．×3+1故选：A．11．已知三个数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A．B ．C ．或D ．或【考点】双曲线的简单性质；等比数列的性质．【分析】利用等比数列的定义即可得出m 的值，再利用椭圆与双曲线的离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵三个数2，m ，8构成一个等比数列，∴m 2=2×8，解得m=±4．①当m=4时，圆锥曲线表示的是椭圆，其离心率e====；②当m=﹣4时，圆锥曲线表示的是双曲线，其离心率e====．故选C ．12．已知双曲线的离心率为，则圆（x ﹣6）2+y 2=1上的动点M 到双曲线C 的渐近线的最短距离为（ ）A ．23B ．24C ．D ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由双曲线的离心率为，转化求解双曲线的一条渐近线到圆（x ﹣6）2+y 2=1上的点的最短距离．【解答】解：双曲线的离心率为，可得=，可得，，b=4a，则b2=16（c2﹣b2），解得双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵双曲线的一条渐近线到圆（x﹣6）2+y2=1上的点的最短距离为：=﹣1=．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．在等比数列{a n}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，则q（a2+a4）=20q=40，解得q=2，∴=20，解得a1=2．则数列{a n}的前n项和S n==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，可得sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=．当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．故答案为：．15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0），当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，z最大值是2，故答案为：2．16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线y2=3x的准线方程为：x=﹣，抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，可得点M到该抛物线焦点的距离为：1+=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且•=0，则|+|=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出F1，F2的坐标、焦点坐标，由两个向量的数量积等于0得，PF1⊥PF2，勾股定理成立，可求|pF1|2+|PF2|2，计算所求式子的平方，可得所求式子的值．【解答】解：由题意知，a=1，b=3，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），∵P在双曲线上，且，∴PF1⊥PF2，∴|pF1|2+|PF2|2=（2c）2=40，所求式子是个非负数，所求式子的平方为：∴|pF1|2+|PF2|2﹣2 •=40﹣0=40，则=2，故答案为2．18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先化简p，q，（1）p是q的充分不必要条件得到，解得即可；（2）非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m（1）∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣1，8]是[1﹣2m，1+2m]的真子集．∴∴m≥．∴实数m的取值范围为m≥．（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．∴，∴1≤m≤．∴实数m的取值范围为1≤m≤．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值可求B的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，∴，又∵B是三角形的内角，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴．20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5﹣d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{b n}的通项公式（II）根据（I）及等比数列的前n项和公式可求S n，要证数列{S n+}是等比数列⇔即可．【解答】解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5所以{b n}中的依次为7﹣d，10，18+d依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）故{b n}的第3项为5，公比为2由b3=b1•22，即5=4b1，解得所以{b n}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为（II）数列{b n}的前和即，所以，因此{}是以为首项，公比为2的等比数列21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）若gx）=f（x）e x，求g（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（2）由（2）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若•＜0，求实数k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意知，解出即可得出椭圆的标准方程．（II）直线方程与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，利用平面向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，∴椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，∴x1=﹣2，y1=0①，由（*）式，，②可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k，③由①②③，，，∵，∴．即，整理得20k2+4k﹣3＜0．解得：．2017年3月13日。

2016-2017学年河南省商丘市九校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）A．￢P：∃x∈R，x≤sinx B．￢P：∀x∈R，x≤sinxC．￢P：∃x∈R，x＜sinx D．￢P：∀x∈R，x＜sinx2．（5分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）3．（5分）动点P到两定点F1（0，﹣4），F2（0，4）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．4．（5分）双曲线﹣=﹣1的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．5．（5分）已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）A．0B．﹣C．0 或﹣D．0 或16．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题7．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则等于（）A．11B．﹣11C．﹣8D．58．（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．9．（5分）如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜1或m＞2C．﹣1＜m＜2D．﹣1＜m＜1或m＞210．（5分）已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（）A．e B．﹣e C．D．11．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）A．[0，π）B．（，）C．（，）∪（，）D．（0，）∪（，π）12．（5分）f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f （x）的导函数，若f′（1）=2，则a的值为．15．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是．16．（5分）数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，则通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；=4求b，c的值．（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC18．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．19．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的离心率为，△ABO的面积为2．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）求p的值．20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．（1）求实常数m的值．（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．21．（12分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a=1，若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．2016-2017学年河南省商丘市九校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）A．￢P：∃x∈R，x≤sinx B．￢P：∀x∈R，x≤sinxC．￢P：∃x∈R，x＜sinx D．￢P：∀x∈R，x＜sinx【解答】解：∵命题P：∀x∈R，x＞sinx为全称命题，∴命题P的否定形式为：∃x∈R，x≤sinx故选：A．2．（5分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．3．（5分）动点P到两定点F1（0，﹣4），F2（0，4）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：动点P到两定点F1（0，﹣4），F2（0，4）的距离之和为10，∵10＞8=|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1（0，﹣4），F2（0，4）为焦点的椭圆，且a=5，c=4，则b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴动点P的轨迹方程是．故选：B．4．（5分）双曲线﹣=﹣1的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：令，得，即双曲线的渐近线为，故选：A．5．（5分）已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）A．0B．﹣C．0 或﹣D．0 或1【解答】解：y=x2﹣1的导数为y′=2x，∴曲线y=x2﹣1在点x0处的切线斜率为2x0y=1﹣x3的导数为y=﹣3x2，∴曲线y=1﹣x3在点x0处的切线斜率为﹣3x02∵y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，∴2x0=﹣3x02解得x0=0或﹣．故选：C．6．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故选：C．7．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则等于（）A．11B．﹣11C．﹣8D．5【解答】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，q3=﹣8，解得q=﹣2，所以=═﹣11，故选：B．8．（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．=（4﹣）×1=．故S△ABC故选：C．9．（5分）如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜1或m＞2C．﹣1＜m＜2D．﹣1＜m＜1或m＞2【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（|m|﹣1）（m﹣2）＞0，解得﹣1＜m＜1或m＞2．故选：D．10．（5分）已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（）A．e B．﹣e C．D．【解答】解：由题意，令kx=lnx，则k=，记f（x）=，∴f'（x）=．f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，可以得到f（x）的取值范围为（﹣∞，]这也就是k的取值范围，∴k的最大值为：．故选：C．11．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）A．[0，π）B．（，）C．（，）∪（，）D．（0，）∪（，π）【解答】解：设直线y=k（x﹣），与双曲线方程联立，消去y，可得（1﹣k2）x2+2k2x﹣2k2﹣1=0∵x1x2＞0∴＞0，∴k2＞1，即k＞1或者k＜﹣1①又x1+x2＞0，∴＞0，可得k＞1或者k＜﹣1，②又△=（8k4）﹣4（1﹣k2）（﹣2k2﹣1）＞0解得k∈R③由①②③知k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．又斜率不存在时，也成立，∴＜α＜．故选：B．12．（5分）f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）【解答】解：设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是4．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案为：414．（5分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f （x）的导函数，若f′（1）=2，则a的值为2．【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=2，∴a=2．故答案为2．15．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是3．【解答】解：由双曲线得a2=16，b2=9，∴=5．取焦点F（5，0），其渐近线y=±．∴焦点F（5，0）到渐近线的距离d==3．故答案为3．16．（5分）数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，则通项公式a n=．【解答】解：∵数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，∴当n=1时，a1=S1=1；当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1时，2n﹣3≠a1，所以有a n=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；=4求b，c的值．（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；=4=×2c×，∴c=5，（Ⅱ）S△ABC∴b==．18．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为19．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的离心率为，△ABO的面积为2．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）求p的值．【解答】解：（I）由双曲线的离心率为，所以e===，由此可知=，双曲线﹣=1的两条渐近线方程为y=±x，即y=±x；（II）由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由，得，即A（﹣，﹣p）；同理可得B（﹣，p）．所以|AB|=p，由题意得△ABO的面积为•p•=2，由于p ＞0，解得p=2，所求p 的值为2．20．（12分）已知函数f （x ）=﹣4x +m 在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．（1）求实常数m 的值．（2）求函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值． 【解答】解：（1）∵f （x ）=﹣4x +m ，∴f′（x ）=x 2﹣4=（x +2）（x ﹣2）， 令f′（x ）=0，解得x=﹣2，或x=2， 列表讨论，得：∴当x=﹣2时，f （x ）取极大值， ∵函数f （x ）=﹣4x +m 在区间（﹣∞，+∞）上有极大值，∴，解得m=4．（2）由m=4，得f （x ）=，当x=2时，f （x ）取极小值f （2）=﹣．21．（12分）已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x ﹣2≥m 2﹣3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤ax 成立． （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当a=1，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x ﹣2≥m 2﹣3m 恒成立， ∴（2x ﹣2）min ≥m 2﹣3m ， 即m 2﹣3m ≤﹣2， 解得1≤m ≤2，即p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．（Ⅱ）∵a=1，且存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤ax 成立∴m≤1，即命题q满足m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p、q一真一假．当p真q假时，则，即1＜m≤2，当p假q真时，，即m＜1．综上所述，m＜1或1＜m≤2．故答案为：（1）m∈[1，2]…（5分）（2）m∈（﹣∞，1）∪（1，2]…（10分）22．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ， ∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2， ∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， ∴c=a ，∴e==．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式x＜x2的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．04．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°5．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）A．6B．12C．18D．97．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A．120°B．90°C．60°D．30°8．（5分）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能9．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；③△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件；④若p∨q为真命题，则p、q均为真命题．A．0B．1C．2D．310．（5分）已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）11．（5分）已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．14．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．18．（12分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，BC=，M是AD的中点，N是B1C1中点．（1）求证：NA1∥CM；（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；（3）求直线A1B和平面A1MCN所成角．19．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．21．（12分）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n且；（Ⅰ）写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式，并写出推证过程；（Ⅲ）令，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式x＜x2的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：不等式x2＞x，移项得：x2﹣x＞0，因式分解得：x（x﹣1）＞0，可化为：或，解得：x＜0，或x＞1，则原不等式的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞2，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．0【解答】解：∵抛物线的标准方程为，∴，准线方程为，令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即故选：B．4．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B．5．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．6．（5分）已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）A．6B．12C．18D．9【解答】解：由题意可得等差数列的前13的和S13===39解之可得a7=3，又a6+a8=2a7故a6+a7+a8=3a7=9故选：D．7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A．120°B．90°C．60°D．30°【解答】解：以D为原点，建立如图所示的空间直线坐标系D﹣xyz，设正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为2，则G（0，0，1），B（2，2，0），B′（2，2，2），E（1，2，0），∴，，∵=﹣2+0+2=0，∴，∴异面直线GB与B′E所成的角为90°．故选：B．8．（5分）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到•=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB为直角三角形．故选：A．9．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；③△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件；④若p∨q为真命题，则p、q均为真命题．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，正确；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，正确；③△ABC中，由正弦定理可得，因此sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此sinA＞sinB是A＞B的充要条件，正确；④若p∨q为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可，因此不正确．综上可得：正确的命题个数为3．故选：D．10．（5分）已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵b＞a＞0，ab=2，∴b＞＞a＞0．则==f（b），f′（b）==，可得：b∈时，函数f（b）单调递增；b∈时，函数f （b）单调递减．因此f（b）在b=+1时取得最大值，∴f（b）≤=﹣4．∴的取值范围是（﹣∞，﹣4]．故选：A．11．（5分）已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知∴故选：B．12．（5分）过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设l的参数方程为，代入抛物线方程整理得t2+（﹣2p﹣8）t+32+8p=0．∴|AP1|•|AP2|=|t1•t2|=32+8p．又|P1P2|2=（t1+t2）2﹣4t1t2=8p2+32p，|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，∴8p2+32p=32+8p，即p2+3p﹣4=0．∴p=1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为2．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：214．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于1．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k==1．故答案为：1．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（3，3，0），A（3，0，0），C（0，3，0），C1（0，3，3），D1（0，0，3），=（﹣3，3，0），=（﹣3，0，3），=（0，3，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），∴点B到平面ACD1的距离：d===．故答案为：．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得：4+bc=b2+c2≥2bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc•sinA=×=，故答案为：，．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．∴结合A+B+C=π，可得B=．（1）∵，c=2，∴由正弦定理，得sinC===．∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π﹣B﹣C=．因此，△ABC的面积为S==×=．（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．∴由正弦定理，得b2=ac又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣ac=ac，整理得（a﹣c）2=0，可得a=c∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．18．（12分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，BC=，M是AD的中点，N是B1C1中点．（1）求证：NA1∥CM；（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；（3）求直线A1B和平面A1MCN所成角．【解答】证明：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则B（，1，0），A（，0，1），D1（0，0，1），C（0，1，0），M（，0，0），N（，1，1），∴=（，﹣1，0），=（，﹣1，0），∴=，∴NA1∥CM；（2）∵=（，1，﹣1），=（0，1，1），=（，﹣1，0），∴•=0+1﹣1=0，•=0，∴D1B⊥MN，D1B⊥CM，又MN∩CM=M，∴D1B⊥平面A1MCN，又D1B⊂平面A1BD1，∴平面A1MCN⊥平面A1BD1．（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角的正弦值为=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角为．19．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．21．（12分）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n且；（Ⅰ）写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式，并写出推证过程；（Ⅲ）令，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵n=1时可得，∴a 1=2把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；（Ⅱ）8S n=a n2+4a n+4 (1)8S n+1=a n+12+4a n+1+4 (2)（2）﹣（1）得8a n+1=a n+12﹣a n2+4a n+1﹣4a n（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣4）=0∵a n+1+a n＞0∴a n+1﹣a n﹣4=0a n+1﹣a n=4∴{a n}是以2为首项，4为公差的等差数列．a n=a1+（n﹣1）d=4n﹣2（III）∴T n=b1+b2+…+b n==．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．【解答】解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（0，1）．设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，∴，，解得，．而点M在椭圆C1上，∴，化为，联立，解得，故椭圆的方程为．（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，把y=kx代入，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且．，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF +S△AEF===≤=．当且仅当时上式取等号．∴四边形AEBF面积的最大值为．。

2016-2017学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨q 2．（5分）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=13．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2B．C．D．35．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，B是A，C的等差中项，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b38．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln29．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB等于（）A．B．C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n 取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．911．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点A（3，﹣1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．16．（5分）设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（写出一般式）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（Ⅰ）解不等式＞0（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．18．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．19．（12分）已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1=2，且a1，a2，a5成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，求使得S n＞60n+800成立的最小正整数n的值．20．（12分）椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．22．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨q 【解答】解：∵命题q是假命题，命题p是真命题，∴“p∧q”是假命题，即A错误；“p∨q”是真命题，即B正确；“￢p∧q”是假命题，即C错误；“￢p∨q”是假命题，故D错误；故选：B．2．（5分）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【解答】解：由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由2c=4，e==，解得c=2，a=2，b==2，即有椭圆方程：+=1．故选：C．3．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：A．ab﹣ac=a（b﹣c）＞0，正确．B．c（b﹣a）＞0，不正确．C．取b=0时，不正确；D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．故选：A．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2B．C．D．3【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选：B．5．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，B是A，C的等差中项，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵B是A，C的等差中项，∴2B=A+C，由A+B+C=180°得B=60°，∵a=1，b=，∴由正弦定理得，，则sinA===，∵0°＜A＜180°，a＜b，∴A=30°，即C=180°﹣A﹣B=90°，故选：D．6．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）7．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．8．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．9．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB等于（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选：B．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n 取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a 4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．11．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．12．（5分）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点A（3，﹣1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为4．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），准线方程x=﹣1，点A（3，﹣1）在抛物线内，由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4，故答案为：4．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为21．﹣a n=2n，【解答】解：∵a n+1∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2×1+33=+33=n2﹣n+33．则==2＞2﹣2，可得n=6时，的最小值为21．故答案为：21．16．（5分）设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y=0（写出一般式）【解答】解：∵曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，∴g'（1）=2，g（1）=3∵f（x）=g（x）+x2，∴f'（x）=g'（x）+2x即f'（1）=g'（1）+2=4，f（1）=g（1）+1=4∴切点坐标为（1，4），斜率为4∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y=0故答案为：4x﹣y=0．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（Ⅰ）解不等式＞0（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．【解答】解：（1）由不等式=＞0，由穿根法可知：﹣2＜x＜1，或x＞3，∴不等式的解集为{x丨﹣2＜x＜1，或x＞3}；（2）证明（﹣1）（﹣1）（﹣1）=••，=≥=8，当且仅当a=b=c时取等号，18．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．19．（12分）已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1=2，且a1，a2，a5成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，求使得S n＞60n+800成立的最小正整数n的值．【解答】解：（I）若a1，a2，a5成等比数列，则a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，d≠0．则2a1=d，a1=2，解得d=4．∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（II）S n==2n2，S n＞60n+800即2n2﹣60n﹣800＞0，化为n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40．∴使得S n＞60n+800成立的最小正整数n的值为41．20．（12分）椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由右焦点为，得，由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a=2c，即则b2=a2﹣c2=9所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于点D，由对称性知：，由得得，所以，当且仅当，时取等号，所以△OAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．22．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，由韦达定理得，x1x2=﹣1，∴，∴N点的坐标为．设抛物线在点N处的切线l的方程为，将y=2x2代入上式得，∵直线l与抛物线C相切，∴，∴m=k，即l∥AB．（Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB，又∵M是AB的中点，∴．由（Ⅰ）知=．∵MN⊥x轴，∴．又=．∴，解得k=±2．即存在k=±2，使．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在yxo[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。