2020高考数学讲练试题基础巩固练六文含2019高考+模拟题2

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题基础巩固练（六）理（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019·吉林省名校一模）设复数z满足错误!＝i，则|z｜＝( ）A．1 B。

错误!C．3 D。

错误!答案D解析∵复数z满足错误!＝i，∴z－i＝2i＋1，可得z＝3i＋1.则｜z|＝错误!＝错误!.故选D.2．(2019·长春高三质量监测)命题“∀x∈R，e x≥x＋1”的否定是（)A．∀x∈R，e x<x＋1 B．∃x0∈R,e错误!≥x0＋1C．∀x∉R，e x<x＋1 D．∃x0∈R，e错误!〈x0＋1答案D解析命题“∀x∈R，e x≥x＋1”的否定是∃x0∈R，e错误!<x0＋1,故选D.3．(2019·辽宁葫芦岛一模)函数f(x)＝x sin2x＋cos x的大致图象有可能是( ）答案A解析因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且f（－x）＝－x sin(－2x）＋cos(－x)＝x sin2x＋cos x＝f(x),则函数f（x）是偶函数，排除D.由f(x)＝x·2sin x cos x＋cos x＝0，得cos x(2x sin x＋1)＝0，得cos x＝0,当x∈(0，2π)时，x＝π2或错误!，由2x sin x＋1＝0得sin x＝－错误!，作出函数y＝sin x和y＝－错误!在(0,2π)内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点,综上，f（x)在（0，2π）内有四个零点，排除B，C。

故选A.4．（2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程:错误!＋错误!＝(R＋r)错误!。

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（一）理（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·江西九校高三联考)已知集合A ＝{|x 1－x x≥0}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1]B ．[0,1]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 ∵集合A ＝{|x 1－x x ≥0}＝{x |0<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}＝{|x x >12}，∴A ∩B ＝{|x 12<x ≤1}＝⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.故选C.2．(2019·南昌一模)已知复数z ＝a ＋i2i(a ∈R )的实部等于虚部，则a ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1答案 C 解析 ∵z ＝a ＋i 2i＝－a ＋－2i2＝12－a 2i 的实部等于虚部，∴12＝－a2，∴a ＝－1.故选C.3．(2019·陕西宝鸡中学期中)设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c 答案 D解析 因为a ＝20.1>20＝1,0＝ln 1<b ＝ln 52<ln e ＝1，c ＝log 3910<log 31＝0，所以a >b >c .故选D.4．(2019·安庆高三上学期期末)函数f (x )＝x ＋sin x|x |＋1的部分图象大致是( )答案 B解析 ∵函数f (x )的定义域是R ，关于原点对称，且f (－x )＝－x －sin x |－x |＋1＝－x ＋sin x|x |＋1＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，当x ≥0时，f (x )＝x ＋sin xx ＋1＝x ＋1＋sin x －1x ＋1＝1＋sin x －1x ＋1≤1，排除A ，故选B.5．(2019·厦门科技中学高三开学考试)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C ，从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12B.13C.23D.25 答案 B解析 在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为S ＝82－1623＝823.由几何概型的概率计算公式可得，点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.6．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC→|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →||AC →|·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.7．(2019·北京北大附中一模)已知平面区域Ω： ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －18≤0，x ≥2，y ≥0夹在两条斜率为－34的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m .若点P (x ，y )∈Ω，则z ＝mx －y 的最小值为( )A.95 B ．3 C.245 D ．6 答案 A解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分，∵平面区域Ω夹在两条斜率为－34的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m ，则m ＝|3×2－18|5＝125.令z ＝mx －y ＝125x －y ，则y ＝125x －z ，由图可知，当直线y ＝125x －z过B (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为245－3＝95.故选A.8．(2019·济南市一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．80B ．48C ．32D ．16 答案 B解析 根据三视图可知原几何体为四棱锥P －ABCD ，AB ＝BC ＝4，PC ＝3，其表面积为4×4＋12×3×4＋12×3×4＋12×4×5＋12×4×5＝48.故选B.9．(2019·绍兴市适应性试卷)袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球(5≥n >m ≥1，p ≥4)，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则( )A ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)B ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)C ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) D ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) 答案 D解析 设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P (ξ1＝0)＝0.9，P (ξ1＝1)＝0.1，∴E (ξ1)＝0×0.9＋1×0.1＝0.1，D (ξ1)＝(0－0.1)2×0.9＋(1－0.1)2×0.1＝0.09， ξ2的可能取值为0或1，P (ξ2＝0)＝0.5，P (ξ2＝1)＝0.5，∴E (ξ2)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D (ξ1)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25，∴E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)．故选D. 10．(2019·兰州市一诊)若点P 是函数y ＝2sin xsin x ＋cos x图象上任意一点，直线l 为点P处的切线，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4答案 C解析 ∵y ＝2sin xsin x ＋cos x ，∴y ′＝2cos xx ＋cos x －2sin xx －sin xx ＋cos x2＝2cos 2x ＋2sin 2x 1＋2sin x cos x ＝21＋sin2x. ∵－1<sin2x ≤1，∴0<1＋sin2x ≤2，∴11＋sin2x ≥12，则y ′＝21＋sin2x≥1.∴直线l斜率的范围是[1，＋∞)．则直线l 的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.故选C.11．(2019·贵阳一模)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y2＝2px (p >0)的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2 答案 C解析 抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由题意可得c ＝p2，即p ＝2c ，由直线AB 过点F ，结合对称性可得AB 垂直于x 轴，令x ＝c ，代入双曲线的方程，可得y ＝±b 2a，即有2b 2a ＝2p ＝4c ，由b 2＝c 2－a 2，可得c 2－2ac －a 2＝0，由e ＝c a，可得e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2(负值舍去)，故选C.12．(2019·四川省泸州市二诊)已知函数f (x )＝(e x－a )·(x ＋a 2)(a ∈R )，则满足f (x )≥0恒成立的a 的取值个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0，当a ＝0时，f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0化为e x·x ≥0，则x ≥0，与x ∈R 矛盾； 当a ＜0时，e x－a ＞0，则x ＋a 2≥0，得x ≥－a 2，与x ∈R 矛盾；当a ＞0时，令f (x )＝0，得x ＝ln a 或x ＝－a 2，要使f (x )≥0恒成立，则－a 2＝ln a ，作出函数g (a )＝－a 2与h (a )＝ln a 的图象如图，由图可知，a 的取值个数为1个．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·济南市3月模拟)已知平面向量a ，b 满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．答案 23解析 ∵a ＝(1，3)，∴|a |＝12＋32＝2.∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0. 设a ，b 之间的夹角为θ，则|a |2－|a ||b |cos θ＝0， 4－2×3×cos θ＝0，∴cos θ＝23.14．(2019·广东省百校联盟联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－16的二项展开式中含x 4项的系数为________．答案 21解析 ∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－16＝C 06·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6－C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5＋C 26·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4－…，故该二项展开式中含x 4项的系数为C 06·C 16＋C 26·C 04＝21.15．(2019·辽宁省辽南协作体一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为b 23sin B，若6cos A cos C ＝1，b ＝3，则∠ABC ＝________.答案π3解析 ∵△ABC 的面积为b 23sin B ＝12ac sin B ， ∴b 2＝32ac sin 2B ，∴由正弦定理可得，sin 2B ＝32sin A sin C sin 2B ，∴sin A sin C ＝23，∵6cos A cos C ＝1，可得cos A cos C ＝16，∴cos ∠ABC ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝23－16＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π3.16．(2019·昆明高三质量检测)经过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线交于点C .若点A 位于第一象限，且B 是AC 的中点，则直线l 的斜率等于________．答案 2 2解析 解法一：如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为P ，D ，过B 作AP 的垂线，垂足为M ，根据抛物线的定义及题中条件知|AM |＝|PM |＝|BD |.设|BD |＝m ，则|AP |＝|AF |＝2m ，|BF |＝m ，|AM |＝m ，所以在Rt △ABM 中，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3m ，所以cos ∠BAM ＝13，所以k l ＝tan ∠BAM ＝2 2.解法二：如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为P ，D ，过B 作AP 的垂线，垂足为M ，根据抛物线的定义及题中条件知|AM |＝|PM |＝|BD |.根据抛物线中焦点弦的性质知，1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1⇒1|AF |＋1|BF |＝1|AP |＋1|BD |＝12|BD |＋1|BD |＝32|BD |＝1⇒|BD |＝32， 所以|AF |＝|AP |＝2|BD |＝3，|AB |＝32＋3＝92，|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32， 所以k l ＝tan ∠BAM ＝3232＝2 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝c2＋c 2－222×3c ×c，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.18．(本小题满分12分)(2019·朝阳二模)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：(1)求a 的概率；(2)从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数，试求E (X )与E (Y )的值；(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数x 1和观众评分的平均数x 2，用x 1＋x22作为该选手最终得分．请直接写出x 与x 1＋x22的大小关系．解 (1)由题图知a ＝0.3，某场外观众评分不小于9的概率是12.(2)X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝C 24C 11C 35＝35，P (X ＝3)＝C 34C 35＝25.所以X 的分布列为所以E (X )＝2×35＋3×25＝125.由题意可知，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝np ＝32. (3)x <x 1＋x22.19．(本小题满分12分)(2019·唐山市第一中学一模)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC ＝27.因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7. 因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则|AD →|2＝14(AC →＋AB →)2，所以AD ＝ 3.因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .因为PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PB . (2)解法一：因为AD ⊥平面PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连接DE .则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角． 在Rt △DAE 中，由已知，得∠AED ＝45°， 则AE ＝AD ＝ 3.在Rt △PAB 中，设PA ＝a ，则PB ＝AB 2＋PA 2＝4＋a 2. 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即 4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3.所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×2×4×sin120°×23＝4.解法二：如图，分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝a ，则点B (2,0,0)，D (0，3，0)，P (0,0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2,0，a )． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0.取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，23a .因为n ＝(0,1,0)为平面PAB 的法向量， 则|cos 〈m ，n 〉|＝cos45°＝22，即|m·n ||m ||n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3. 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×2×4×sin120°×23＝4.20．(本小题满分12分)(2019·甘肃省甘谷第一中学高三第七次检测)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率是53，过点P (0，1)作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时|AB |＝3 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)当k 变化时，在x 轴上是否存在点M (m,0)，使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，可得⎩⎪⎨⎪⎧274a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝53，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点C (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2＋18kx －27＝0，显然Δ>0，且x 1＋x 2＝－18k 4＋9k2，所以x 0＝x 1＋x 22＝－9k 4＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝44＋9k2. 当k ≠0时，设过点C 且与l 垂直的直线方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9k 4＋9k 2＋44＋9k 2， 将M (m,0)代入，得m ＝－54k＋9k.若k >0，则4k ＋9k ≥24k×9k ＝12，若k <0，则4k＋9k ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4k＋－9k ≤－2－4k－9k ＝－12，所以－512≤m <0或0<m ≤512.当k ＝0时，m ＝0，综上所述，存在点M 满足条件，m 的取值范围是－512≤m ≤512.21．(本小题满分12分)(2019·西藏拉萨二模)已知函数f (x )＝ax －b e x，且函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线斜率为a －1.(1)求b 的值；(2)求函数f (x )的最值；(3)当a ∈[1,1＋e]时，求证：f (x )≤x . 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a －b e x， 又∵f ′(0)＝a －b ＝a －1，∴b ＝1. (2)f ′(x )＝a －e x.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减，f (x )没有最值； 当a >0时，令f ′(x )<0，得x >ln a ， 令f ′(x )>0，得x <ln a ，∴f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递增，在区间(ln a ，＋∞)上单调递减，∴f (x )在x ＝ln a 处取得唯一的极大值，即为最大值，且f (x )max ＝f (ln a )＝a ln a －a . 综上所述，当a ≤0时，f (x )没有最值；当a >0时，f (x )的最大值为a ln a －a ，无最小值． (3)证明：要证f (x )≤x ，即证(a －1)x ≤e x， 令F (x )＝e x－(a －1)x ，当a ＝1时，F (x )＝e x >0，∴(a －1)x ≤e x成立； 当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x－(a －1)＝e x－eln (a －1)，当x <ln (a －1)时，F ′(x )<0；当x >ln (a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在区间(－∞，ln (a －1))上单调递减，在区间(ln (a －1)，＋∞)上单调递增， ∴F (x )≥F (ln (a －1))＝e ln (a －1)－(a －1)ln (a －1)＝(a －1)[1－ln (a －1)]．∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0,1－ln (a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0， ∴F (x )≥0，即(a －1)x ≤e x 成立，故原不等式成立．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·福建漳州第二次质量监测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4，转换为极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8ρsin θ＋16＝0. (2)曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. 转换为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝4，x 2＋y 2－4y ＝0，整理出公共弦的直线方程为x ＋y －4＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·福建漳州第二次质量监测)已知f (x )＝|x ＋a |(a ∈R )． (1)若f (x )≥|2x －1|的解集为[0,2]，求a 的值；(2)若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)不等式f (x )≥|2x －1|，即|x ＋a |≥|2x －1|，两边平方整理，得3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2≤0，由题意知0和2是方程3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2＝0的两个实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧0＋2＝2a ＋43，0×2＝1－a23，解得a ＝1.(2)因为f (x )＋|x －a |＝|x ＋a |＋|x －a |≥|(x ＋a )－(x －a )|＝2|a |， 所以要使不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，只需2|a |≥3a －2， 当a ≥0时，不等式化为2a ≥3a －2，得0≤a ≤2； 当a <0时，不等式化为－2a ≥3a －2，得a <0. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，2]．。

2019-2020年高考模拟考试文科数学试卷（2）含答案注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．参考公式：1、锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．2、球的体积公式，其中为球的半径．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1、设为虚数单位，则复数（）A．B．C．D．2、设集合，，则（）A．B．C．D．3、若向量，，则（）A．B．C．D．4、下列函数为偶函数的是（）A．B．C．D．5、已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．6、在中，若，，，则（）A．B．C．D．7、某几何体得三视图如图所示，它的体积为（）A．B．C．D．8、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于（）A．B．C．D．9、执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）A．B．C．D．10、对任意两个非零的平面向量和，定义．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且和都在集合中，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、函数的定义域为．12、若等比数列满足，则．13、由正整数组成的一组数据，，，，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为．（从小到大排列）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线与的交点坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图所示，直线与圆相切于点，是弦上的点，．若，，则．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）16、（本小题满分12分）已知函数，．求的值；设，，，，求的值．17、（本小题满分12分）某小区在一次对岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计至岁大于岁总计由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？若全小区节能意识强的人共有人，则估计这人中，年龄大于岁的有多少人？按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽人，再在这人中任取人，求恰有人年龄在至岁的概率．18、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当点为边的中点时，证明：平面；证明：无论点在边的何处，都有；求三棱锥的体积．19、（本小题满分14分）已知数列的首项，前项和为，，．求数列的通项公式；设，数列的前项和为，证明：． 20、（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）． 求椭圆的标准方程；求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值． 21、（本小题满分14分）已知函数（）． 当时，求函数的单调区间；若对于任意都有成立，求实数的取值范围；若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．参考答案一、选择题（一）必做题11、 12、 13、，，， （二）选做题14、 15、 三、解答题：16、解：33sin 23sin 3cos 4432332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………3分()2293sin 23sin 3sin 323235f παπαππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………………………5分55363sin 23sin 3cos 2122123213f βπβπππββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………………………………7分 ，………………………………8分 ，…………………10分()4123563cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭ (12)分17、解：因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关……3分 年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有人…………7分 年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为，从这5人中任取2人，有10种，分别是，{}{}{}{}{}{}{}{}{}234121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B B B B B B B ………10分设表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则中的基本事件有共4种…………………11分故所求概率为……………………12分 18、证明：、分别为、的中点 …………………1分 平面，平面平面…………………3分 证明：平面，平面 …………………4分 是矩形…………………5分 ，平面，平面平面…………………6分 又平面…………………7分 又，点是中点…………………8分 ，平面，平面平面…………………9分 平面…………………10分解：作交于，则平面，且………………11分 又…………………12分三棱锥的体积为…………………14分 19、解：由题意得…………………………1分两式相减得1112)23(2)n n n n n n n a a S S a a a n +-+-=-=⇒=≥（…………………2分 所以当时，是以3为公比的等比数列 因为，所以，，对任意正整数成立是首项为，公比为的等比数列…………………………………5分 …………………………………6分 证明：由知，……………………………………………………………………7分2311111123()4()()3333n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯ ①23111111112()3()(1)()()333333n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ② ①-②得2312111111()()()()333333n n n T n -=+++++-⨯………………………9分………………………………………………………10分 所以……………………………………………………11分 因为，所以………………………12分 又因为，所以数列单调递增，所以所以……………………………………………………14分 20、解：（1）由题意得 ① 因为椭圆经过点，所以 ② 又 ③由①②③解得，…………………………………………………3分 所以椭圆的方程为…………………………………………………4分 以OM 为直径的圆的圆心为，半径故圆的方程为……………………………………………5分 因为以为直径的圆被直线截得的弦长为 所以圆心到直线的距离………………7分 所以，即 故，或 解得，或 又，故所求圆的方程为………………………………………9分 方法一：过点作的垂线，垂足设为 直线的方程为，直线的方程为由，解得，故…………………………11分…………………………………………………12分又2||||||2ON OK OM =⋅==所以线段的长为定值…………………………………………………14分 方法二：设，则， ，…………………………………………………11分 又为定值…………………………………………………14分 21、解：当时，，得…1分 因为所以当时，，函数单调递增 当或时，，函数单调递减所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和………4分 方法1：由，得因为对于任意都有成立 即对于任意都有成立即对于任意都有成立，…………6分 令，要使对任意都有成立必须满足或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩………………………………………………8分即或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………9分所以实数的取值范围为………………………10分 方法2：由，得因为对于任意都有成立所以问题转化为，对于任意都有………6分 因为，其图象开口向下，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 所以，由，得，此时………7分②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减 所以由，得，此时……8分综上①②可得，实数的取值范围为……………10分 设点是函数图象上的切点 则过点的切线的斜率为所以过点的切线方程为………11分 因为点在切线上所以()()32211220332at t t t at t -+-+=-+--，即……………12分若过点可作函数图象的三条不同切线则方程有三个不同的实数解……………13分 令，则函数与轴有三个不同的交点 令，解得或 因为，，所以必须，即所以实数的取值范围为……………14分.。

2019-2020年高三第二次高考模拟考试数学（文）含答案本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M={1,2}，N={}，则MNA．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}2．i为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．向量a=(2，-9)，向量b=(-3，3)，则与a-b与同向的单位向量为A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)4．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是A．若l m，m，则B．若，l ∥m，则mC．若，m，则D．若，m，则5．若P是的充分不必要条件，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设1311321,log2,log32a b c⎛⎫===⎪⎝⎭，则A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>a>b7．阅读如图所示的程序框图，则输出的A的值是A．15 B．21C．28 D．368．已知双曲线(a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为a，则双曲线的离心率为A．3 B．2 C．D．9．将函数21()sin22xf x x=+的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移得到函数g(x)，则函数g(x)的解析式为A ．B ．C ．D ．10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为 A ． B ． C ．4 D ．11．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sinB=，cosB=，则a+c=A ．B ．C ．D ．12．已知，则满足不等式的实数t 的集合为A ．[e -1，e]B ．[e -2，e 2]C ：[0，e 2]D ．[e -2，e]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．若，则= ．14．有一底面半径为l ，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 .15．已知实数x ，y 满足不等式组1200x x y kx y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若目标函数仅在点(1，k)处取得最小值，则实数k 的取值范围是 ．16．已知点A(，)在抛物线C ：y 2=2p x (p>0)的准线上，点M 、N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若=3，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分l2分)已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且*112,2,n n a a S n N +==+∈．．(I)求数列{ a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =，求数列{b n }的前n 项和． 18．(本小题满分12分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90％的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，使用微信的人中75％是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中手是青年人．(I)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表； 2×(II)由列联表中所得数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?(Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A “选出的2人均是青年人”的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19，(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面ABC 为等边三角形，AB=4，AA 1=5，点M 是BB 1中点．(I)求证：平面A l MC 平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求点A 到平面A 1MC 的距离．20．(本小题满分12分)椭圆C ：(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-1，0)、F 2(1，0)，椭圆C 的上顶点与右顶点的距离为，过F 2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)点M 在直线戈x =2上，直线MA 、MB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2=2，求证：点M 为定点．21．(本小题满分12分) 函数，(I)若函数，求函数的极值；(II)若2()()(2)xf xg x x x e +<--在x ∈(0，3)恒成立，求实数m 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答。

2019-2020年高三4月巩固性训练 文科数学 含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1.锥体的体积公式： ，其中是锥体的底面积，是锥体的高;2. 统计中的公式：，其中，，，，.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 复数A. B. 1 C. D. 2. 设集合，则集合M ，N 的关系为 A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.84. 已知圆上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为 A ．9 B ．3 C ．2 D ．25. 一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为6. 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z =x +2y 的最大值为A.1B.4C.5D.67. 在等比数列中，，，则A ．64B ．32C ．16D ．128 8. 为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A 不患疾病A 合计男 20 5 25 女101525第3题图第5题图合计 30 2050下面的临界值表供参考：0.05 0.010 0.005 0.0013.8416.6357.87910.828A. B. C. D. 9. 函数是A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 10. 设是空间两条直线，,是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当时，“”是“”的必要不充分条件B ．当时，“”是“”的充分不必要条件C ．当时，“”是“∥”成立的充要条件D ．当时，“”是“”的充分不必要条件 11. 函数的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数，若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13. 若向量，， ，则实数 .14. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，点为坐标原点，则此双曲线的离心率为 . 15. 在中，，，，则 .16. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)设函数()sin()sin()3cos 33f x x x x ππωωω=++-+ (其中＞0)，且函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为.（1）求ω的值；（2）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间的最大值和最小值.18. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”， “十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB的中点． 求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.20. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且，数列满足，且.（1）求数列,的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 21．(本小题满分13分)已知函数的图象如右图所示． （1）求函数的解析式；（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．22. (本小题满分13分)已知点F 1和F 2是椭圆M :的两个焦点，且椭圆M 经过点. （1）求椭圆M 的方程； （2）过点P (0,2)的直线l 和椭圆M 交于A 、B 两点，且,求直线l 的方程；（3）过点P (0,2)的直线和椭圆M 交于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点C ，求证：直线CB 必过y 轴上的定点，并求出此定点坐标.第21题图 A B FCC 1 E A 1 B 1第19题图xx 年4月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C 13. 14.2 15. 1或 16.9 17.解：（1）=. ………………………………3分 ∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴. ………………………………5分∴. ………………………………6分 （2）由（1）得，∴. ………………………………8分 由x 可得， ……………………………10分 ∴当，即x =时，取得最大值;当，即x =时，取得最小值. …………12分 18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为， 再结合频率分布直方图可知. ………………………………2分 ∴a =100×0.020×10×0.9=18， ………………………………4分 , ………………………………6分 （2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人． ………………………………8分 设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B 3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件， ………………………………10分 其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为. ………………………………12分 19. 证明：（1） 在平面内，作，O 为垂足． 因为，所以，即O 为AC 的中点，所以.……3分 因而．因为侧面⊥底面ABC ，交线为AC ，，所以底面ABC ．所以底面ABC . ……6分 （2）F 到平面的距离等于B 点到平面距离BO 的一半，而BO =. ……8分 所以111111113113133232324A EFC F A EC A EC V V S BO A E EC --=====. ……12分20.解：（1）当，； …………………………1分当时， ，∴ . ……………2分∴是等比数列，公比为2，首项， ∴. ………3分 由，得是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项，∴ . ………………………………6分 （2） ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分． ……………………………12分21.解：（1）∵， …………………………………………2分由图可知函数的图象过点，且.得 , 即. ………………………………………………4分 ∴. ………………………………………………5分 （2）∵, ………………………………6分∴ . …………………………………………8分∵ 函数的定义域为, …………………………………………9分 ∴若函数在其定义域内为单调增函数，则函数在上恒成立，即在区间上恒成立. ……………………………10分 即在区间上恒成立. 令，，则（当且仅当时取等号）. …………………12分∴ . …………………………………………………………………………13分 22.解：（1）由条件得：c =，设椭圆的方程，将代入得 ，解得，所以椭圆方程为. --------4分（2）斜率不存在时，不适合条件；----------------------5分 设直线l 的方程，点B (x 1,y 1), 点A (x 2,y 2), 代入椭圆M 的方程并整理得：.0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得.且. -------------------7分 因为,即，所以.代入上式得，解得，所以所求直线l 的方程：. --------------------9分 （3）设过点P (0,2)的直线AB 方程为：，点B (x 1,y 1), 点 A (x 2,y 2), C (-x 2,y 2). 将直线AB 方程代入椭圆M : ，并整理得： ，0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得.且.设直线CB 的方程为：， 令x =0得：2221212121122112222++=++=+--=x x x kx x x y x y x x x y x x y y y .----------11分将代入上式得：.所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为. ---------12分当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。

2019-2020数学高考模拟试题附答案一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．352．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对3．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与BB ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D4．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．C ．10D ．5．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．277．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-28．已知向量)a =r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且a b ⋅=r r b =r（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．12⎛ ⎝⎭C ．14⎛ ⎝⎭D ．()1,09．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.15 12．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．12二、填空题13．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________15．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.17．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 18．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．19．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．已知直线35:{132x tl y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.24．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.25．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．A解析：A【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.3．C解析：C【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.4．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-r r，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ⋅=-r r ．则2a b +==r r ．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().n n ni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑6．B解析：B 【解析】 【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v 即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．8．B解析：B 【解析】 【分析】设()(),0b x y y =≠r，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b r的坐标. 【详解】设(),b x y =r ，其中0y ≠，则33a x y b ⋅=+=r r.由题意得221330x y x y y ⎧+=⎪⎪+=⎨≠⎪⎩，解得123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r . 故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像. 11．D解析：D【解析】由题意，x=34564+++=4.5，∵ˆy=0.7x+0.35，∴y=0.7×4.5+0.35=3.5，∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3，故选D．12．C解析：C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.二、填空题13．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.14．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：3+【解析】21a b Q +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去解析：【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．17．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++18．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2【解析】【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．【详解】45100a b ==Q ，4log 100a ∴=，5log 100b =，10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．19．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即解析：2+【解析】【分析】由题意可得00b y x a=，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c e a =，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b y x a=，① 又12MF MF ⊥，可得00001y y x c x c ⋅=-+-， 即为22200y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，可得22b pa =，且2p c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --=由c e a=，可得2410e e --=，解得2e =+【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．20．8【解析】【详解】由题意知a∈Pb∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8【解析】【详解】由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．三、解答题21．（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】 试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②（2）将352132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②得253180t t ++=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.22．(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =和x=0. 【解析】【分析】（I ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得： 曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=-即()()22219x y -++=（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程： ()()22cos 2sin 19t t αα-++=整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ，解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=- 则()()2212121244cos 2sin 1625AB t t t t t t αα=-=+-=-+=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得3tan 24παα==或，直线l 的普通方程为34y x =和x=0 【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.23．（1）3,2a c ==；（2）2327 【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B = 由正弦定理，得42sin sin 9cC B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1()3B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 3c C B b ===a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 24．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有()()22224d d +=+，∴240d d -=，解得4d =或0d =.∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），∴最小正整数41n =.25．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2x x ≤【解析】试题分析：(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；(2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2x x ≤.试题解析：（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0， ()f x ∴是偶函数；（3）又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1 x x . {|}2。

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（四）理（含2019高考+模拟题)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·河北武邑中学二次调研)设i 是虚数单位，若复数z ＝错误!，则错误!＝( ）A.12－12i B ．1＋错误!i C ．1－错误!iD.错误!＋错误!i 答案 A解析 由z ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，得错误!＝错误!－错误!i.故选A 。

2．（2019·浙江百校联考)已知集合A ＝｛x |2x ≥1｝,B ＝｛x |y ＝ln （1－x ）}，则A ∩B 等于（ )A ．｛x |x ≥0}B ．｛x |x ＜1}C ．｛x ｜0≤x ＜1｝D ．{x |0＜x ＜1}答案 C解析集合A＝｛x｜2x≥1｝＝{x｜x≥0}，B＝｛x|x〈1｝,所以A∩B＝{x｜0≤x＜1｝，故选C.3．(2019·石家庄二模)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中正确的是（)A．支出最高值与支出最低值的比是8∶1B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同答案D解析由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6∶1,故A错误;由题图可知,4至6月份的平均收入为错误!×(50＋30＋40)＝40万元，故B错误；由题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份,故C错误；由题图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确．故选D。

4．(2019·赤峰市高三二模)已知正项等比数列｛a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S8＝17S4，则a5＝( ）A．8 B．－8 C．±16 D．16答案D解析设等比数列｛a n}的公比为q。

2019-2020年高考数学模拟试题二文（含解析）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设集合，，若，则的值为（）A．B．1 C．D．0【答案】D【解析】试题分析：由题意得且，则，，所以.考点：集合的运算与集合的元素.2．复数为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是( ）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，共轭复数为，对应的点为.考点：复数的运算，复平面.3．已知命题p、q，“为真”是“p为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当为真时为，为假，则为假，故是充分的，但当为假时，为假时它也成立，可能为真，此时为假．故不必要，因此选A．考点：逻辑连接词，充分与必要条件．4．函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】试题分析：由题意有，因此其是周期为的奇函数．考点：函数的单调性与周期．5．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A．1 B.2 C．3 D.4【答案】B【解析】试题分析：由题意，棱锥的高为，底面面积为，∴.考点：三视图，体积．6．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A. B. C ． D ．【答案】D【解析】试题分析：球的半径为，则，，设正方体的棱长为，于是，．考点：正方体的外接球．7．如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．B ． C. D ．0【答案】B【解析】试题分析：本题算法实质是求数列的前项和，根据余弦函数的性质，这人数列是周期为6的周期数列，且，因此20136335332cos cos cos 133S S S πππ⨯+===++=- 考点：程序框图，周期数列，数列的和．8．已知⊙M 的圆心在抛物线上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则⊙M 的方程是（ ）211 正(主)视图 侧(左)视图俯视图A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：题设中抛物线的准线为，设点坐标为，则，又，联立解得，因此圆的方程为，展开整理得得．考点：圆的一般方程．9．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】试题分析：由题意，，所以，，因此从图象上可看出，只要向右平移个单位，就能得到的图象．考点：三角函数的图象．10．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A． B. C．D．【答案】C【解析】试题分析：考察函数，当时，是增函数，取值范围是，当时，是增函数，取值范围是，即的值域是，函数有零点，即方程有解，也即方程有解，故取值范围是．考点：函数的零点与参数取值范围问题．11．已知函数，若，且，则=（）A．2 B．4 C.8 D．随值变化【答案】B【解析】试题分析：如图是函数的简图，其图象关于直线对称，由得：，，所以．考点：函数的图象与性质．12．设是双曲线的两个焦点，是上一点，，的最小内角为，则曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【答案】B【解析】试题分析：由题意，不妨设，又，所以有，，而，故，由余弦定理得222=+-⋅⋅⋅︒，变形得，．a a c a c(2)(4)(2)242cos30考点：双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）13．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为___________ .【答案】144【解析】试题分析：设甲校抽了人，乙校抽了人，则，解得，所以共抽取的试卷数为．考点：分层抽样．14．设变量x, y满足约束条件，则目标函数的最小值为______ .【答案】【解析】试题分析：如图，作出可行域是内部（含边界），再作直线，平移直线，当过点时，取得最小值．考点：线性规划．15．已知直线与圆交于、两点，是原点，C是圆上一点，若，则的值为_______ .【答案】2【解析】试题分析：由得四边形是菱形，则，所以．考点：向量的加法法则与圆的半径．16．在△ABC中，角所对的边分别为，，，则△ABC的面积为.【答案】【解析】试题分析：由题意有，解得，又，所以．考点：正弦定理，三角形的面积．评卷人 得分 三、解答题（题型注释）17．数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由题中所给条件得，即，这是前项和与项的关系，我们可以利用把此式转化为数列的项的递推式，从而知数列是等比数列，通项易得，这样等差数列的，，由基本量法可求得等差数列的通项公式；（2）数列是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前项和应该用裂项相消法求得，而当求得后，所要证的不等式就显而易见成立了.（1）∵是和的等差中项，∴当时，，∴当时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴ ，即∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，设的公差为，，，∴ ∴ 6分（2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ∵,∴ 12分考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式。

基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝()A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝()A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·湛江二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为()A．9 B．27 C．54 D．81答案 B解析根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1＋a3，变形可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3；又a2－a1＝2，即a1(q－1)＝2，则q＝3，a1＝1，则a n＝3n－1，则有a4＝33＝27.故选B.5．(2019·绍兴市适应性试卷)函数f(x)＝(x3－x)ln |x|的图象是()答案 C解析因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－(x3－x)ln |x|＝－f(x)，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，函数的定义域为{x|x≠0}，由f(x)＝0，得(x3－x)ln |x|＝0，即(x2－1)ln |x|＝0，即x＝±1，即函数f(x)有两个零点，排除D，f(2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·四川省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S＝110，则判断框处为()A ．k <10?B ．k ≥11?C ．k ≤10?D ．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·淄博一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B－12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C.10．(2019·山东济南高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( ) A.23 B.34 C.43 D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12， ∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·石家庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355 D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ， 则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a＝2a 103a ＝35， 在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a ＝135＝655.故选B.12．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·烟台一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 15．(2019·唐山一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·河南省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎨⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e 3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x (x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎨⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”． 对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x ＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln (e 3x ＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e 3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·四川攀枝花高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·石家庄质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C .又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)， cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·拉萨一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－2＋1x 2－2 ＝2k －2·x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4. ②①代入②，得k 1＋k 2＝2k －2·8k22k 2＋1－48(k 2－1)2k 2＋1－16k 22k 2＋1＋4＝2k －2，又k 3＝k －22，所以k 1＋k 2＝2k 3， 故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·武汉一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414， ∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元． (ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k 1000p k (1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.21．(本小题满分12分)(2019·长春三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x ＋a ln x . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点，∴由(1)可知2a ＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)．令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x 1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0，∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0，即b 1－b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2，∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1.令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0，∴b 1－b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0，∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0，∴b 1－b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·陕西模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)． (1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线． (2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·陕西模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号． ∴7a ＋4b 的最小值为94.。

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 素养提升练（六）文（含2020高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020·正定中学二模)已知集合A ＝{x |y ＝ln (x 2－3x －4)}，B ＝{|x x －2x －1≥0，全集U ＝R ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．[1,2]B ．[－1,2)∪(3,4]C ．[－1,3)D ．[－1,1)∪[2,4]答案 D解析 集合A 满足x 2－3x －4＞0，(x －4)(x ＋1)＞0，则A ＝{x |x ＞4或x ＜－1}，∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，集合B 满足x ≥2或x ＜1，则(∁R A )∩B ＝[－1,1)∪[2,4]．故选D.2．(2020·马鞍山二中一模)已知a －3ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 由已知得a －3i ＝(b ＋2i)·i ＝－2＋b i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，所以z ＝a －b i ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应点(－2,3)在第二象限，故选B.3．(2020·江淮十校联考)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 答案 C解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，所以C 错误，故选C.4．(2020·东北三校联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝( ) A ．－79 B.79 C.89 D ．－89答案 B解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79.故选B.5．(2020·太原五中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且7S 2＝4S 4，则公比q 的值为( )A ．1B ．1或12 C.32 D ．±32答案 C解析 若q ＝1，则7S 2＝14a 1,4S 4＝16a 1，∵a 1≠0，∴7S 2≠4S 4，不符合题意；若q ≠1，由7S 2＝4S 4，得7×a 11－q 21－q ＝4×a 11－q 41－q ，∴q 2＝34，又q ＞0，∴q ＝32.故选C.6．(2020·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1 D.12答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A. 7．(2020·日照一中三模)已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )A ．4B ．5 C.13 D.26 答案 D解析 三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥A －BCD ，如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，连接CE ，AF ，由三视图可得，AE ＝4，BD ＝4，BE ＝3，ED ＝1，BF ＝2，FD ＝2，CF ＝3.所以CE 2＝CF 2＋FE 2＝9＋1＝10，AC 2＝CE 2＋AE 2＝10＋16＝26，AB 2＝BE 2＋AE 2＝9＋16＝25，AD 2＝AE 2＋DE 2＝16＋1＝17，BC 2＝DC 2＝FD 2＋CF 2＝22＋32＝13，所以最长的棱为AC ，其长度为26.故选D.8．(2020·常州高中模拟)已知直线l ：2x ＋y －8＝0上的两点A ，B ，且|AB |＝4，点P 为圆D ：x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，则△PAB 的面积的最大值为( )A ．53＋2B ．25＋3C ．43＋2D ．45＋4 答案 D解析 圆D ：x 2＋y 2＋2x －3＝0变形为(x ＋1)2＋y 2＝4，可知圆心D (－1,0)，D 到直线AB 的距离d ＝|－2－8|22＋12＝25，则圆上P 点到直线的距离的最大值为25＋2，可知(S △PAB )max ＝12×(25＋2)×4＝45＋4，故选D. 9．(2020·吉林实验中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －34x ＋12，x ＜1，log a x －a ，x ≥1满足∀x 1，x 2∈R 且都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 答案 C解析 由题意知f (x )是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －34＜0，0＜a ＜1，a －34＋12≥－a ，解得18≤a ＜34，故选C.10．(2020·盐城二模)已知在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.20π3 B ．6π C .22π3D ．8π 答案 A解析 ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，所以△ABD 与△BDC 均为正三角形．过正三角形BDC 的中心O 1作OO 1⊥平面BDC (O 为四面体ABCD 的外接球的球心)．设M 为BD 的中点，外接球的半径为R ，连接AM ，CM ，OA ，过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，则OO 1＝OG ＝MO 1＝MG .∵MA ＝32×2＝3，∴MG ＝OG ＝13×3＝33，GA ＝233.在直角三角形AGO 中，GA 2＋GO 2＝OA 2，即⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝R 2，R 2＝53，∴四面体ABCD 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝20π3.故选A.11．(2020·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40° B．2cos40° C.1sin50° D.1cos50°答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D. 12．(2020·安庆一中模拟)已知函数f (x )＝16x 3＋12bx 2＋cx 的导函数f ′(x )是偶函数，若方程f ′(x )－ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1－12e 2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－12e 2，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－12e 2，－12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12e 2，－12答案 A解析 ∵f (x )＝16x 3＋12bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝12x 2＋bx ＋c .∵f ′(x )是偶函数，∴b ＝0，∴f ′(x )＝12x 2＋c .∵方程f ′(x )－ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，∴12x 2＋c －ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，即ln x －12x 2＝c 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，可化为φ(x )＝ln x －12x 2(x ＞0)的图象与y ＝c 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点．∵φ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，φ′(x )＞0，φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，当x ∈(1，e]时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，e]上单调递减，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，φ(x )max＝φ(1)＝－12.又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－12e 2，φ(e)＝1－12e 2，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞φ(e)，∴－1－12e 2≤c ＜－12.故选A.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2020·济南一中模拟)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－1，k )，且a ⊥b ，则a ＋4b 与a 的夹角为________．答案π4解析 由a ⊥b 可知a ·b ＝0，即－3＋4k ＝0，k ＝34，故b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，34，a ＋4b ＝(3,4)＋4⎝⎛⎭⎪⎫－1，34＝(－1,7)，cos α＝a ＋4b ·a |a ＋4b ||a |＝22，所以所成的角为π4. 14．(2020·洛阳一高二模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －m ≤0，且目标函数z ＝3x －2y 的最大值为180，则实数m 的值为________．答案 60解析 当m ≤0时，不符合题意；当m ＞0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝3x －2y 可变形为y ＝32x －z 2，作出直线y ＝32x 并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点A (m,0)时，z ＝3x －2y 取得最大值为180，所以3m －0＝180，解得m ＝60.15．(2020·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.答案1225 7210解析 如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC，∴BD ＝BC ·sin∠Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos∠BDC ＋cos ∠C ·sin∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210. 16．(2020·潍坊一中三模)直线l ：x ＝my ＋2经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，过原点的直线经过弦AB 的中点D ，并且与抛物线交于点E (异于原点)，则|OE ||OD |的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 因为l ：x ＝my ＋2恒过定点(2,0)，即抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2,0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋2，整理，得y 2－8my －16＝0，Δ＞0恒成立，所以y 1＋y 2＝8m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝8m 2＋4，所以弦AB 的中点D 的坐标为(4m 2＋2,4m )，直线OD 的方程为y ＝4m 4m 2＋2x ，即y ＝2m2m 2＋1x ，由题意可知，m ≠0，与抛物线C ：y 2＝8x 联立可得y E ＝42m 2＋1m，而|OE ||OD |＝|y E ||y D |＝2m 2＋1m 2＝2＋1m2＞2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2020·浙江名校高考联盟二模)已知数列{a n ＋1}的前n 项和S n满足S n ＝2a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求a n 关于n 的表达式； (2)若b n ＝log 2(a n ＋1)，求数列{(a n ＋1)b n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题可知S n ＝(a 1＋1)＋(a 2＋1)＋(a 3＋1)＋…＋(a n ＋1)＝2a n ， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋n ＝2a n .① 当n ＝1时，a 1＋1＝2a 1，得a 1＝1，当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋n －1＝2a n －1， ② ①－②，得a n ＋1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1＋1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n－1.(2)由(1)知b n ＝log 2(a n ＋1)＝log 22n＝n ， 则(a n ＋1)b n ＝n ×2n，T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1两式相减得－T n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×2n－12－1－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2所以T n ＝2＋(n －1)×2n ＋1.18．(本小题满分12分)(2020·长沙一模)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过1小时不超过1小时男生 20 8女生12m(1)求m ，n ；(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828K 2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)根据分层抽样法，抽样比例为n 960＝20＋8560，∴n ＝48；∴m ＝48－20－8－12＝8.(2)根据题意完善2×2列联表，如下：超过1小时不超过1小时合计 男生20828女生 12 8 20 合计321648计算K 2＝48×20×8－12×8232×16×20×28≈0.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关． (3)参加社区服务时间超过1小时的频率为3248＝23，用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6×23＝4(人)．19．(本小题满分12分)(2020·山东菏泽模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，△BCD ，△PAD 都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AD ＝2AB ＝4，CD ＝2 3.(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，求三棱锥C －PDE 的体积． 解 (1)证明：因为AD ＝4，AB ＝2，BD ＝23， 所以AD 2＝AB 2＋BD 2，所以AB ⊥BD ，∠ADB ＝30°.又因为△BCD 是等边三角形，所以∠BDC ＝60°，所以∠ADC ＝90°，所以DC ⊥AD . 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD . (2)过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，连接GE . 因为BG ∥CD ，BG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BG ∥平面PCD .当BE ∥平面PCD 时，因为BG ∩BE ＝B ， 所以平面BEG ∥平面PCD .因为EG ⊂平面BEG ，所以EG ∥平面PCD .又平面PAD ∩平面PDC ＝PD ，所以EG ∥PD ，所以PE PA ＝DGDA.在直角三角形BGD 中，BD ＝23，∠BDG ＝30°， 所以DG ＝23cos30°＝3，所以PE PA ＝DG DA ＝34，在平面PAD 内，过点E 作EH ⊥PD 于点H . 因为CD ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，所以CD ⊥EH . 因为PD ∩CD ＝D ，所以EH ⊥平面PCD ， 所以EH 是点E 到平面PCD 的距离． 过点A 作AM ⊥PD 于点M ，则AM ＝32×4＝2 3. 由AM ∥EH ，得EH AM ＝PE PA ＝34，所以EH ＝332.因为S △PCD ＝12×4×23＝43，所以V C －PDE ＝V E －PDC ＝13×43×332＝6.20．(本小题满分12分)(2020·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.21．(本小题满分12分)(2020·开封一模)设函数f (x )＝(x －1)e x－k2x 2.(1)当k ＝e 时，求f (x )的极值；(2)当k ＞0时，讨论函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x e x－kx ＝x (e x－k )，当k ＝e 时，f ′(x )＝x (e x－e)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (1)＝－e2.(2)①当0＜k ＜1时，令f ′(x )＞0，解得x ＜ln k 或x ＞0，f (x )在(－∞，ln k )和(0，＋∞)上单调递增，在(ln k,0)上单调递减，当k ＝1时，f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴当0＜k ≤1时，当x ∈(－∞，0)时，f (x )≤f (x )max ＝f (ln k )＝(ln k －1)k －k2ln 2k ＝－k2[(ln k －1)2＋1]＜0，此时f (x )无零点，当x ∈[0，＋∞)时，f (0)＝－1＜0，f (2)＝e 2－2k ≥e 2－2＞0，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[0，＋∞)上有唯一的零点， 故函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点． ②当k ＞1时，令f ′(x )＞0，解得x ＜0或x ＞ln k ，f (x )在(－∞，0)和(ln k ，＋∞)上单调递增，在(0，ln k )上单调递减，当x ∈(－∞，ln k )时，f (x )≤f (x )max ＝f (0)＝－1＜0，此时f (x )无零点， 当x ∈[ln k ，＋∞)时，f (ln k )＜f (0)＝－1＜0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k k ＋122＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤e k ＋1－k ＋122，令g (t )＝e t －12t 2，t ＝k ＋1＞2，则g ′(t )＝e t－t ，令h (t )＝g ′(t )，h ′(t )＝e t－1，∵t ＞2，h ′(t )＞0，g ′(t )在(2，＋∞)上单调递增，g ′(t )＞g ′(2)＝e 2－2＞0，∴g (t )在(2，＋∞)上单调递增，得g (t )＞g (2)＝e 2－2＞0，即f (k ＋1)＞0，所以f (x )在[ln k ，＋∞)上有唯一的零点，故函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点．综合①②知，当k ＞0时函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有且只有一个零点． (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2020·山西太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝1＋3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)射线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，若射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l的交点为B ，求线段AB 的长．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝1＋3sin α，可得⎩⎨⎧x ＝3cos α，y －1＝3sin α，所以x 2＋(y －1)2＝3cos 2α＋3sin 2α＝3， 所以曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝3.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23，所以32ρsin θ＋12ρcos θ－23＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0. (2)解法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2－2y －2＝0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 将θ＝π6代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0，所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ＝4，即ρ2＝4， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －12＝3，y ＝33x x ≥0，解得A (3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －43＝0，y ＝33x x ≥0，解得B (23，2)，所以|AB |＝23－32＋2－12＝2.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2020·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围．解 (1)解法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3，解得x ≥0，即0≤x ≤12，当12＜x ＜2时，f (x )＝x ＋1≤3， 解得x ≤2，即12＜x ＜2，当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0,2]．解法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象，不等式的解集为[0,2]．(2)解法一：由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )＞ax 对任意x ∈R 恒成立，即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，当直线y ＝ax 过点A (2,3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况， 所以－3≤a ＜32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32.解法二：不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )＞ax 对任意x ∈R 恒成立， ①当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3＞ax ，即(a ＋3)x －3＜0恒成立，若a ＋3＜0，显然不符合题意，若a ＋3＝0，即a ＝－3，则－3＜0恒成立，符合题意，若a ＋3＞0，即a ＞－3，只需(a ＋3)×12－3＜0即可，解得a ＜3，又－3＜a ，所以－3≤a ＜3.②当12＜x ＜2时，f (x )＝x ＋1＞ax ，即(a －1)x －1＜0恒成立，若a －1＜0，即a ＜1，则(a －1)x －1＜0恒成立，符合题意， 若a －1＝0，即a ＝1，则－1＜0恒成立，符合题意，若a －1＞0，即a ＞1，只需(a －1)×2－1≤0即可，解得a ≤32，故1＜a ≤32所以a ≤32.③当x ≥2时，f (x )＝3x －3＞ax ，即(a －3)x ＋3＜0恒成立，若a －3＜0，即a ＜3，只需(a －3)×2＋3＜0即可，解得a ＜32，故a ＜32，若a －3＝0，即a ＝3，显然不符合题意，若a －3＞0，即a ＞3，则(a －3)x ＋3＞0恒成立，不符合题意，所以a ＜32.综上所述，－3≤a ＜32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32.。