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勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，（a，b,c)叫做勾股数组。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。
古埃及人也应用过勾股定理。
在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3）已知c=25，b=15，求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析:(1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b=（2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13， CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，,。
专题02 勾股定理逆定理的应用题型一勾股数的应用1．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11，60，61 ；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．【解答】解：（1）11，60，61；故答案为：11，60，61．（2）后两个数表示为和，∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，∴n2+（）2＝（）2．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：，．2．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．【解答】解：（1）∵17＝42+12，15＝82﹣72，∴8，15，17是完美勾股数；∵41＝52+42，9＝52﹣42，∴9，40，41是完美勾股数；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a＝，由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0∴a＞1，0＜b＜5∵a和b均为正整数∴b的可能值为：1，2，3，4．当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，∵（）2+（）2＝240，（4 ）2＝240，∴（）2+（）2＝（4 ）2，∴b＝4符合题意．∴a＝；a＝31，b＝4．3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）A．47B．62C．79D．98【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．4．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组： （11，60，61） ．【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故答案为：（11，60，61）．5．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： 16，63，65 ．【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．6．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是 132+842＝852 ．【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52；第二个等式是52+122＝132；第三个等式是72+242＝252；第四个等式是92+402＝412；第五个等式是112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852，故答案为：132+842＝852．7．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【解答】解：（1）证明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2•2n2＝（2mn）2∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2∵m，n为正整数，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15∴a＝由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0∴a＞1，0＜b＜5∵a和b均为正整数∴b的可能值为：1，2，3，4．当b＝1时，a＝97307+＝1277，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，∵+＝240，＝240∴+＝∴b＝4符合题意．∴a＝；a＝31，b＝4．（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625∴152+202＝252∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．8．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．9．请认真阅读题意，并根据你的发现填空（1）将任何一组已知的勾股数中的每一个数都扩大为原来的正整数倍后，就得到一组新的勾股数，例如：3、4、5，我们把每一个数扩大为原来的2倍、3倍，则分别得到6、8、10和9、12、15，若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到 36，48，60 ，若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到 3n，4n，5n （2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数若勾股数为3、4、5．则有32＝4+5若勾股数为5、12、13，则有52＝12+13若勾股数为7、24、25，则有72＝24+25若勾股数为m（m为奇数）、n、 n+1 则有m2＝2n+1，用m表示n＝ 212m-当m＝17时，n＝ 144 ，此时勾股数为 17，144，145 ．【解答】解：（1）若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到36，48，60，若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到3n，4n，5n；（2）若勾股数为m（m为奇数）、n，n+1；用m表示n＝212m-；当m＝17时，n＝144；此时勾股数为17，144，145；故答案为：36，48，60；3n，4n，5n；n+1；212m-；144；17，144，145．题型二判断三角形形状10．（选做题）适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的有（ ）①②a＝b，∠A＝45°③④a＝2.5，b＝6，c＝6.5⑤∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°．A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①（14）2+（15）2≠（13）2，故不能构成直角三角形；②∵a＝b∴∠B＝∠A＝45°∴∠C＝90°，则三角形是直角三角形；③（）2+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形；④2.52+62＝6.52，故能构成直角三角形；⑤∵∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°∴∠B＝58°∴∠C＝180﹣32﹣58＝90°∴△ABC是直角三角形．故能构成直角三角形的有②④⑤共3个．故选：B．11．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）A．三个内角度数之比是3：4：5B．三边的平方之比是5：12：13C．三边长度之比是1：：D．三个内角度数之比是2：3：4【解答】解：当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180°×＝75°＜90°，故选项A不符合题意；当三边长的平方比为5：12：13时，因为（）2+（）2≠（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；当三边长度是1：：时，12+（）2＝（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项C符合题意；三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：180°×＝80°＜90°，故选项D不符合题意；故选：C．12．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．13．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【解答】解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB＝＝；BC＝＝；AC＝＝5；则AC2＝BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④+＝．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵Rt△ABC的面积为：ab或ch，∴ab＝ch，故①正确；②∵c2＜c2+h2，a2+b2＝c2，∴a2+b2＜c2+h2，∵ab＝ch，∴a2+b2+2ab＜c2+h2+2ch，∴（a+b）2＜（c+h）2，∴a+b＜c+h，故②正确；③∵（c+h）2＝c2+2ch+h2，h2+（a+b）2＝h2+a2+2ab+b2，∵a2+b2＝c2，（勾股定理）ab＝ch（面积公式推导）∴c2+2ch+h2＝h2+a2+2ab+b2，∴（c+h）2＝h2+（a+b）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，∵a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴＝h2，∴＝，∴+＝，∴+＝，故④正确．故选：D．15．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C 的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选：B．16．下列说法错误的是（ ）A．△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4【解答】解：A、△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；B、△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；C、△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，说法正确；D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或，说法错误；故选：D．17．下列说法中正确的个数为（ ）（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形，该说法正确；（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形，该说法正确；（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形，该说法正确；（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形，该说法正确．故选：D．18．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．【解答】解：∵a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0，∴（a﹣6）＝0，（b﹣8）＝0，（c﹣10）＝0，∴a＝6，b＝8，c＝10，∵62+82＝102，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．19．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．（2）猜想，当a2+b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形．。
初中数学如何使用勾股定理计算三角形的面积
勾股定理是一个三角形的重要定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和面积。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
以下是使用勾股定理计算三角形面积的方法：
假设已知一个直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，直角边和斜边的长度分别为a，b，c。
方法1：使用勾股定理和面积公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据三角形的面积公式，可得到以下关系：
-面积= (1/2) * 直角边1 * 直角边2
步骤3：将勾股定理中的等式代入面积公式，整理得到以下关系：
-面积= (1/2) * a * b
方法2：使用勾股定理和海伦公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据海伦公式，可得到以下关系：
-面积= √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]
其中，s为半周长，s = (a + b + c) / 2
需要注意的是，以上方法适用于直角三角形。
对于一般的三角形，我们可以先使用勾股定理判断是否为直角三角形，然后再进行计算。
通过以上方法，我们可以计算出三角形的面积。
在计算过程中，需要注意保持精度和正确使用长度单位。
勾股定理与三角形面积的计算勾股定理是数学中一条著名的几何定理，它描述了直角三角形中三个边之间的关系。
根据勾股定理，我们可以通过已知直角三角形的两个边长来计算第三边的长度。
此外，勾股定理还可以应用于计算三角形的面积，为我们解决各种实际问题提供了有力的工具。
一、勾股定理的表述及应用勾股定理可以用以下公式来表述：在一个直角三角形中，设直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
根据勾股定理，我们可以解决多种实际问题。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度为3和4，我们可以通过勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25因此，斜边的长度c为5。
二、三角形面积的计算三角形是几何中常见的形状之一，计算三角形的面积是我们经常遇到的问题之一。
根据勾股定理，我们可以利用三角形的底边和高来计算其面积。
计算三角形面积的公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。
在这个公式中，底边长度表示为b，高表示为h。
三、应用示例下面以一个具体的应用问题来演示勾股定理和三角形面积的计算。
例题：某个直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，请计算该直角三角形的斜边长度和面积。
解答：根据勾股定理，斜边的长度c可以通过以下计算得到：c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169因此，斜边的长度c为13cm。
接下来，我们根据三角形面积的计算公式来计算面积。
首先需要确定底边和高的长度。
由于直角边5cm和12cm分别垂直于底边，我们可以选择其中任意一条作为底边。
假设我们选择5cm作为底边，12cm作为高。
根据面积计算公式：面积 = 底边长度 ×高 / 2面积 = 5 × 12 / 2面积 = 60 / 2面积 = 30（平方厘米）因此，该直角三角形的面积为30平方厘米。
四、总结勾股定理与三角形面积的计算是几何学中重要的内容之一。
勾股定理的几何意义从面积关系勾股定理是几何学中一条重要的定理，它的几何意义不仅仅体现在直角三角形的边长关系上，还可以用来描述三角形的面积关系。
本文将以勾股定理的几何意义为切入点，从面积关系的角度来探讨这一定理。
一、勾股定理的基本形式勾股定理最常见的形式是：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
用公式表示即为：c² = a² + b²，其中c为直角三角形的斜边，a和b为直角三角形的两个直角边。
二、勾股定理的面积关系在直角三角形中，勾股定理不仅仅可以描述边长之间的关系，还能够揭示出三角形的面积关系。
根据勾股定理，我们可以得到以下推论：1. 推论一：直角三角形的面积公式设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理我们可以得到：c² = a² + b²。
进一步推导，可以得到直角三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b，其中S表示三角形的面积。
2. 推论二：直角三角形面积关于斜边的变化规律在直角三角形中，当两个直角边的长度确定时，斜边的长度也随之确定。
我们可以通过勾股定理来分析斜边对于三角形面积的影响。
我们可以看到斜边的长度越大，直角三角形的面积也越大。
这是因为斜边的长度增加，意味着直角三角形的底边和高也会相应增加，从而使面积增大。
当斜边的长度为定值时，直角三角形的面积也达到最大值。
这是因为根据勾股定理可知，斜边与两个直角边之间存在一种最优关系，使得直角三角形的面积取得最大值。
3. 推论三：直角三角形面积关于直角边的变化规律在直角三角形中，当斜边的长度确定时，两个直角边的长度也随之确定。
我们可以通过勾股定理来分析直角边对于三角形面积的影响。
根据勾股定理可知，直角边的长度与斜边的长度呈现一种关联关系。
当一个直角边的长度增加时，另一个直角边的长度会相应减小，从而使直角三角形的面积减小。
反之亦然。
三、勾股定理的应用举例1. 用勾股定理计算直角三角形的面积假设一个直角三角形的直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，即c = 5。
人教版八下数学专题二勾股定理的常见题型1.如图，有一块直角三角形纸片，AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD长．2.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN=2−√3，求CD的长．3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：(1) 线段CE的长度；(2) 点E到直线AC的距离．4.在甲村至乙村的公路旁一块山地正在开发．现C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围250m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁，请通过计算进行说明．5.如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口处宽AB 为 3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60∘角时，停止杆的端点C恰好与地面接触，此时CA=0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，则这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：√3≈1.73）6.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的试验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得PO⊥l，PO=100m，∠PBO=45∘．这时，一辆轿车在公路l上由B匀速驶向A，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3s，并测得∠APO=60∘．此路段限速每小时80km，试判断此车是否超速，并说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）7.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．8.在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB=2，求PC+PE的最小值．9.如图，有三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，2dm．点A和点B是三级台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离．10.阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的位置有以下三种情形：①如果AB∥x轴，则y1=y2，AB=∣x1−x2∣；②如果AB∥y轴，则x1=x2，AB=∣y1−y2∣；③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线和过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C的坐标为(x2,y1)，由①得AC=∣x1−x2∣，由②得BC=∣y1−y2∣，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2．(1) 若点A的坐标为(4,6)，点B的坐标为(1,2)，则AB=．(2) 若点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(6,6)，点P是x轴上的动点，直接写出AP+PB的最小值=．(3) 已知M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，利用数形结合思想，求出M的最小值．答案1. 【答案】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．△ADE是由△ACD翻折所得，∴AC=AE=6，EB=AB−AE=10−6=4．设CD=DE=x，在Rt△DEB中，∵DE2+EB2=DB2，∴x2+42=(8−x)2，∴x=3，即CD=3．2. 【答案】设CD=x，则BF=AB=x，BM=12BC=12x，在Rt△BFM中，MF=√BF2−BM2=√32x，又因为MN=AB=x，FN=2−√3，所以2−√3+√32x=x，解得x=2，即CD=2．3. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，由折叠的性质可知，∠ACE=∠ACB，∴∠EAC=∠ACE，∴EA=EC．在Rt△EDC中，DE2+CD2=CE2，即(8−EC)2+62=CE2，解得CE=254．(2) 设点E到直线AC的距离为ℎ，AC=√AB2+BC2=10，由三角形的面积公式可知，12×AE×CD=12×AC×ℎ，则ℎ=254×610=154，即点E到直线AC的距离为154．4. 【答案】如图，过C作CD⊥AB，垂足为点D．∵BC=400m，AC=300m，∠ACB=90∘，根据勾股定理得AB=500m．∵12AB⋅CD=12BC⋅AC，∴CD=240m．∵240m<250m，故有危险，AB段公路需要暂时封锁．5. 【答案】不能通过．理由如下：如图，在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB=3.3m，CA=0.7m，BF=2.5m，∴CF=AB−BF+CA=1.5m．∵∠ECA=60∘，∴∠CGF=30∘，∴CG=2CF=3m，∴GF=√CG2−CF2=√32−1.52=32√3≈2.6(m)，∵2.6<3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口通过．6. 【答案】此车超速．理由如下：∵∠POB=90∘，∠PBO=45∘，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB=OP=100m．∵∠APO=60∘，∴OA=√3OP=100√3≈173(m)，∴AB=OA−OB≈73m，∴733≈24(m/s)，24m/s≈86km/h>80km/h，∴此车超速．7. 【答案】将长方体表面展开，连接AB，分以下三种情形：（1）如图①，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得AB=√AD2+BD2=√202+152=√625=25．（2）如图②，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√302+52=√925=5√37．（3）如图③，BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=√BD2+AD2=√252+102=√725=5√29．由于25<5√29<5√37，因此爬行的最短距离为25．8. 【答案】如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，与AD交于点P，此时PE+PC最小．∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE即BE就是PE+PC的最小值．∵△ABC是一个边长为2的正三角形，BE⊥AC，AC=1，∴∠BEC=90∘，CE=12∴BE=√22−12=√3，∴PE+PC的最小值是√3．9. 【答案】如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程为x dm，由勾股定理得：x2=82+[(2+3)×3]2=172，解得x=17．∴蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离是17dm．10. 【答案】(1) 5(2) 3√10(3) M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，当M取最小值时，M表示点(x,0)到点(6,4)的距离与点(x,0)到点(3,2)的距离之和（或M表示点(x,0)到点(6,−4)的距离与点(x,0)到点(3,−2)的距离之和），=√(6−3)2+(4+2)2=3√5．此时M最小值【解析】(1) AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(4−1)2+(6−2)2=5．(2) 如图，∵点A的坐标为(3,3)，∴点A关于x轴对称的点Aʹ的坐标是(3,−3)，此时AP+PB=AʹB=√(6−3)2+(6+3)2=3√10．。
求勾股定理中的三角形面积综合练习题勾股定理是数学中一项重要的几何定理，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
根据勾股定理，我们可以计算出三角形的边长、角度以及面积等相关参数。
本文将以练习题的形式，通过求解不同的三角形面积问题，加深对勾股定理的理解与掌握。
练习题一：已知直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5cm，BC=12cm，求三角形ABC的面积。
解答：根据勾股定理，可计算出斜边AC的长度：AC = √(AB² + BC²)= √(5² + 12²)= √(25 + 144)= √169= 13由于直角三角形ABC的两条直角边已知，我们可以利用面积公式计算三角形ABC的面积：面积 = 1/2 * 直角边1 * 直角边2= 1/2 * AB * BC= 1/2 * 5 * 12= 30 平方厘米练习题二：已知直角三角形DEF，∠E=90°，DF=8cm，EF=15cm，求三角形DEF的面积和以直角边EF为斜边的矩形面积。
解答：同样根据勾股定理，可以计算出斜边DE的长度：DE = √(DF² + EF²)= √(8² + 15²)= √(64 + 225)= √289= 17三角形DEF的面积可由面积公式计算得出：面积 = 1/2 * 直角边1 * 直角边2= 1/2 * DF * EF= 1/2 * 8 * 15= 60 平方厘米矩形以直角边EF为斜边，所以其长度等于EF，宽度等于直角边DF的长度。
矩形的面积可由公式计算得出：面积 = 长度 * 宽度= EF * DF= 15 * 8= 120 平方厘米练习题三：已知直角三角形GHI，∠H=90°，GH=9cm，HI=40cm，求以斜边HI为直径的圆的面积。
解答：根据勾股定理，可计算出斜边GI的长度：GI = √(GH² + HI²)= √(9² + 40²)= √(81 + 1600)= √1681= 41以斜边HI为直径的圆的半径等于斜边HI的一半，即20cm。
专题01 基础巩固 + 技能提升【基础巩固】1. （2021·河南南阳期末）如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm ，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm ，则小正方形的边长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm【答案】D .【解析】解：设大直角三角形的两直角边分别是a cm 、b cm （a ＞b ），斜边是c cm ，那么有a 2+b 2=c 2，∵大正方形的边长是13cm ，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm ，∴a 2+52=132，解得：a =12（舍负），即a =12 cm ，∴小正方形的边长为：a -b =12-5=7 cm ．故答案为：D ．2. 已知三角形的三边长a 、b 、c 满足2(a ＋＋|c |＝0，则三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】C .【解析】解：由非负性知，a ，b =3，c 由a 2+c 2=b 2，知三角形形状为直角三角形故答案为：C ．3.（2021·山西临汾市期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．24B．52C．61D．76【答案】D.【解析】解：由题意知，∠ACB=90°，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故答案为：D．4.（2020·河南南阳期末）《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？=尺）这个问题的答案是（ ）（备注：1丈10A ．4尺B ．4.5尺C ．4.55尺D ．5尺【答案】C .【解析】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10−x ）尺，根据勾股定理得：x 2＋32＝（10−x ）2，解得：x ＝4.55故答案为：C ．5．（2021·福建泉州市期末）如图，等腰ABC V 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B .【解析】解：连接PA ，由作法知EF 是AC 的垂直平分线，∴AP =CP ，∴PC +PD =PA +PD ，线段PC +PD 的最小值是当A 、P 、D 三点共线时最短，∵点D 是BC 的中点，∴BD =CD =6，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：AD =8，即最小值为8故答案为：B ．6.（2021·平顶山市期末）如图，分别以Rt ABCV的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边6AB=，则图中阴影部分的面积为（）．A．6B．12C．16D．18【答案】D.【解析】解：如图，在Rt△AHC中，AC2=AH2+HC2，AH=HC，∴AC2=2AH2，∴HC=AH，同理：CF=BF BE=AE，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=6，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=12HC•AH+12CF•BF+12AE•BE，即22211112224++=(AC2+BC2+AB2) 14=(AB2+AB2)12=AB 2=18．故答案为：D ．7．（2021·开封市期末）若ABC V 的三边长a 、b 、c 满足222681050a b c a b c ++=++-，那么ABC V 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】B .【解析】解：由题意知：2226981610250a a b b c c +++++--=-，即222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=，∴a =3，b =4，c =5a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，故答案为：B ．8.（2021·福建厦门市期末）为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B .【解析】解：设喷头在点P ，则A (6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0）则AP =14-6=8m <10m ，A 需调整；BP =14-3=11m >10m ，B 不需调整；CP=m，C不需调整；DP=<10m，D需调整；故答案为：B.9. （2020·南阳期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2-的点为圆心、正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是__________．【答案】2--【解析】解：如图：由题意可知：CD＝CA=，∴点A表示的数为：2--，故答案是：2--．AC=，10．（2021·洛阳市期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边18cmBC=，点D在边BC上，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，24cm且与AE重合，则BD的长是______cm．【答案】15.【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===30cm，由折叠知，AE=CA=18，DE=CD，∴BE =12设BD =x ，则DE =CE =24-x ，在Rt △BDE 中，由勾股定理得：122+（24-x ）2=x 2，解得：x =15故答案为：15．11.（2021·江苏镇江市期末）如图，在ABC D 中，90,4,3C AC BC Ð=°==，点Р在射线CA 上，且12BPC BAC Ð=Ð，则2BP =_______．【答案】90.【解析】解：∵∠BPC =12BAC Ð，如图，设∠BPC =x ，则∠BAC =2x ，∴∠BPA =∠PBA∴AP =AB ，在Rt △BAC 中，由勾股定理得：AB =5，∴AP =5，∴CD =9，CB =3，在Rt △BPC 中，由勾股定理得：BP 2=90故答案为：90．12. （2021·重庆期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为______dm．2dm【答案】17.【解析】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为（2+3）×3=15 dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：最短距离为：17，故答案为：17．13.（2019·江苏徐州市期中）如图的实线部分是由 Rt △ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt △ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C ′处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC ′的延长线上的点 A ′处．若图中∠C =90°，DE =3cm ，BD =4cm ，则 DC ′的长为_____.【答案】125cm ．【解析】解：由折叠可知，∠B C ′D =∠C =90°，∠ADE =∠ A ′DE ，∠BDC =∠BDC ′，又∵∠ADE +∠ A ′DE + BDC +∠BDC ′=180°，∴∠BDE =90°，在Rt △BDE 中，DE =3cm ，BD =4cm ，∴BE cm ，由S △BDE ='1122BD DE BE C D ×=×即4×3=5 DC′，DC′=125cm．故答案为：125cm．14.（2019·吉林长春市月考）如图，一棵大树在一次强烈的台风中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高为___________米．【答案】18.【解析】解：如图，大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形，∴BC13==（米），∴大树在折断之前高为：5＋13＝18（米），故答案为：18．15.（2021·江苏镇江市期末）如图，平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如：点A、点B．请利用图中的“格点”完成下列作图或解答．（1）点A的坐标为；（2）在第三象限内标出“格点”C，使得CA=CB；（3）在（2）的基础上，标出“格点”D，使得△DCB≌△ABC；（4）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标为．【答案】（1）（1,3）；（2）图见解析；（3）图见解析；（4）（0,2）.【解析】解：（1）（1,3）；（2）如图所示：CB=5，CA5=，故点C即为所求点；（3）如图所示：点D即为所求点；（4）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，交y轴于点E，此时AE+BE取最小值，点E 的坐标为（0,2）．故答案为：（0,2）．16.（2020·成都月考）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．【解析】解：（1）会受到影响．过点A作AE⊥MN于点E，∵点A 到铁路MN 的距离为80米，∴AE ＝80m ，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB ＝AC ＝100m ，在Rt △ABE 中，∵AB ＝100m ，AE ＝80m ，∴BE ＝60m ，∴BC ＝2BE ＝120m ，∵火车的速度是180千米/时＝50m /s ，∴t ＝50BC ＝12050＝2.4s ．学校受到影响的时间是2.4秒．17.（2021·社旗县月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB Ð的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90°；（2）受台风影响；（3）7小时．【解析】解：（1）∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB =90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD ⊥AB 于D ，由S △ABC =12AC ·CB =12CD ·AB ，得：CD =240 km ∵以台风中心为圆心周围250 km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当CE =250 km ，CF =250 km 时，正好影响C 港口，由勾股定理得：DE =70 km ，故EF =140 km140÷20=7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．18.（2021·新乡市期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？【答案】6.5.【解析】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB −BE ＝AB −DC ＝1.3−0.8＝0.5m ，∴AC 1.3==m，∴1.3÷0.2＝6.5s，这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．19.（2020·长春市期末）已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）5．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE由折叠知，∠DEF=∠BEF∴∠BFE=∠BEF∴△BEF是等腰三角形（2）由折叠的性质得：BE=DE，设BE=DE=x，则AE=AD-DE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解得：x=5，即BE的长为5．20. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为 ．【答案】（1）32；（2）245．【解析】教材呈现：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°∵OP=OP，∴△POD≌△POE∴PD=PE定理应用：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5又AD平分∠CAB，DC⊥AC∴CD=DE又AD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED∴AC=AE=3∴BE=AB-AE=2设CD=DE=x，则BD=4-x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+22=（4-x）2，解得：x=32，即CD的长为32；（2）如图，过点M作MN⊥AD，交AB于点N，连接PN，则AD垂直平分MN，PM=PN，∴PC+PM=PC+PN，当C、P、N三点共线时，PC+PN取得最小值，最小值为CN的长，由垂线段最短得：当CN⊥AB时，CN取得最小值，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10，由面积得：CN=245，故答案为：245．21.阅读理解：（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？（探索新知）从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．（初步运用）（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．（迁移运用）如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a 、b 、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y ：斜边x ＝定值k ．【答案】【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）该风车状图案的面积是24；（4）403；【迁移运用】结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．【解析】初步运用：（1）由题意：b ＝2a ，可知c ，∴小正方形面积：大正方形面积＝22):(2)5:9a a +=，故答案为：5：9．（2）空白部分的面积为＝小正方形面积-两个直角三角形面积221()22a b a b +-´´´=28．故答案为：28．（3）AB +AC =24÷4＝6，设AC ＝x ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：222(3)3(6)x x ++=-，解得x ＝1，∴AO =3+1=4．∴风车面积=1434242´´´=．故该风车图案的面积是24．（4）设四边形MTKN 的面积设为x ，其余八个全等的三角形一个面积为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝40，∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝40，∴x +4y ＝403，∴S 2＝x +4y ＝403．故答案为：403．迁移运用：由补充知识可知大正三角形的高为k （a +b ），中心小正三角形的高为kc ，三个全等三角形的高为ka ．由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，则111()()3222a b k a b ka b c kc +´+=´´+´，∴22()3a b ab c +=+∴222a b ab c +-=．知识补充设30°所对直角边长度为m ，则x =2m ，由勾股定理得：ym ，∴y x ==22．（2020·四川成都市期中）如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB 或DE 的长度，显然是转化为求Rt ABC V 或Rt DEF △的斜边长．下面：以求DE 为例来说明如何解决：从坐标系中发现：()7,5D -，()4,3E -．所以()538DF =--=，()4711EF =--=，所以由勾股定理可得：DE ==．下面请你参与：（1）在图①中：AC =________，________，________．（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等BC =AB =()11,A x y ()22,B x y 1x 2x 1y 2y AC =BC =AB =()2,1A ()4,3B C ABC V AB腰三角形．请求出点的坐标．【答案】（1）4；3；5；（2）；（3）（5,0）或（0,5）．【解析】解：（2）结合图形可得：，，（3）若点C 在x 轴上，设C （x ，0），则AC =BC ，即AC 2=BC 2，即（2-x ）2+12=（4-x ）2+32解得：x =5．即C （5,0）若点C 在y 轴上，同理，得C （0,5）综上所述，C 点坐标为：（5,0）或（0,5）.【拓展提升】1. （2021·重庆渝北区期末）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为______．【答案】.【解析】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得：CA =8，∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，∴FC ＝AC ﹣AF ＝2，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE =，C 12y y -12x x -12AC y y =-12BC x x =-AB =ABCD Rt ABC △10AB ==6BC CE故答案为：．2.（2020·浙江嘉兴市期末）如图，内有一定点P，且，在上有一动点Q，上有一动点R，若周长最小，则最小周长是___________．.【解析】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，∴PQ=P1Q，PR=P2R ,此时△PQR周长最小，故△PQR的周长=PQ+QR+PR= P1P2，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP=OP2，∠BOP=∠BOP2，∴OP1=OP2=OP=1，∠P1OP2=2∠AOB=90°∴△P1OP2为等腰直角三角，∴P1P2，．45,AOB AOBÐ=°Ð1OP=OAOB PQRV3．（2021·浙江湖州市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.【答案】5.【解析】解： 由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，所以阴影部分面积=重叠部分面积，故答案为：5．4．（2021·浙江宁波期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()5,0A ，点B 在y 轴上运动，以AB 为边作等腰Rt ABC V ，90BAC Ð=°（点A ，B ，C 呈顺时针排列），当点B 在y 轴上运动时，点C 也随之运动．在点C 的运动过程中，OC AC +的最小值为______．【答案】.【解析】解：如图，过点A 作直线l ⊥x 轴，过C ，B 作CD ⊥l 于点D ，BE ⊥l 于点E ，∵∠DCA +∠CAD =90°，∠EAB +∠CAD =180°-90°=90°，∴∠DCA =∠EAB ，又∵∠CDA =∠AEB =90°，AB =AC ，∴∆CDA ≌∆ AEB （AAS ），∴BE =AD ，∴AD =BE =OA =5，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接CA ′，则点A ′在直线l 上，DA ′=DA =5，AC =A ′C ，∴OC +AC =OC +A ’C ，在∆COA ′中，OC +A ′C ≥OA ′，∴当O ，C ，A ′三点共线时，OC +AC 有最小值OA ′，由勾股定理得：OA ’===故答案为：．5．（2021·江苏扬州市期末）如图，ACB △和DCE V 都是等腰直角三角形，若∠ACB =∠DCE =90°，2AC =，3CE =，则22AD BE +=______．【答案】26.【解析】解：由AC =BC ，CD =CE ，∠ACE =∠BCE ，证得：△ACE ≌△BCD∴∠DBC =∠CAE ，∴∠AOB =∠ACB =90°∴OA 2+OD 2=AD 2，OD 2+OE 2=DE 2，OA 2+OB 2=AB 2，OB 2+OE 2=BE 2，∴AD 2+BE 2=AB 2+DE 2，∴AD 2+BE 2=2AC 2+2CE 2=8+18=26故答案为：26．6.（2020·湖北武汉市期末）如图，在ABC V 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AE 平分BAC Ð交BC 于E ，BD AE ^于D ，DM AC ^交AC 的延长线于M ，连接CD ，给出四个结论：①45ADC Ð=°；②12BD AE =；③AC BE AB +=；④2AB BC MC -=；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C .【解析】解：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB ＝90°，AE 平分∠CAB ，∴CE ＝EQ ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA ＝∠EQB ＝90°，由勾股定理得：AC ＝AQ ，∴∠QEB ＝45°＝∠CBA ，∴EQ ＝BQ ，∴AB ＝AQ +BQ ＝AC +CE ，∵BE ＞EQ =CE ，∴③错误；作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，∵∠CAD＝12∠CAB＝22.5°＝∠BAD，∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，∴∠DBC＝∠CAD，∵AC=BC，∠ACN＝∠BCD，∴△ACN≌△BCD（ASA），∴CN＝CD，AN＝BD，∵∠ACN+∠NCE＝90°，∴∠NCB+∠BCD＝90°，∴∠CND＝∠CDA＝45°，∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，∴AN＝CN，∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，∴CN＝NE，∠DCB=90°－67.5°=22.5°，∴BD＝AN＝EN＝12AE，∠ADC=180°－∠DAC－∠ACD=180°－22.5°－112.5°=45°，∴①正确，②正确；过D作DH⊥AB于H，∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，∠DBA＝67.5°，∴∠MCD＝∠DBA，∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，∴DM＝DH，∴△DCM≌△DBH，∴BH＝CM，由勾股定理得：AM＝AH，∴AC AB AC AH BH AC AM CMAM AM AM+++++==＝2AMAM＝2，∴AC+AB＝2AM，即AC+AB＝2AC+2CM，∴AB﹣AC＝2CM，∵AC＝CB，∴AB﹣CB＝2CM，∴④正确．故答案为：C．7．（2020·达州市期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为60m，现有一卡车在公路MN上以10km/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，请你算出该学校受影响的时间为多长？【答案】12秒.【解析】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB＝60（m），∴CD＝2CB＝120m，则该校受影响的时间为：120÷10＝12（s）．该学校受影响的时间为12秒．8.（2021·福建泉州市期末）如图，ABC D 中，,AB AC AD >是BC 边上的高，将ADC V 沿AD 所在的直线翻折，使点C 落在BC 边上的点E 处．（1）若20,13,5AB AC CD ===，求ABC D 的面积；（2）求证：22AB AC BE BC -=×．【答案】（1）126；（2）见解析.【解析】（1）解：∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AD =12，在Rt △BAD 中，由勾股定理得：BD =16，∴BC =BD +CD =16+5=21∴S △ABC = 12BC ·AD =126（2）证明：由折叠知，AC =AE ，CD =DE在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AC 2=AD 2+CD 2，在Rt △BAD 中，由勾股定理得：AB 2= BD 2 +AD 2，∴AB 2 －AC 2= BD 2 －CD 2=（BD +CD ）（BD －CD ）=BE ·BC .9.（2020·浙江绍兴市）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.（1）判断下列两个命题是真命题还是假命器（填“真”或“假”）①等边三角形必存在“和谐分割线”②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．命题①是_______命题，命题②是______命题；（2）如图2，Rt ABC V ．90°Ð=C ，30B °Ð=，AC =Rt ABC V 是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度：若不存在，请说明理由．【答案】（1）假，真；（2）2.【解析】解：（1）①从等边三角形一个顶点出发，所分成的两个三角形必定不是等边三角形，不与原三角形的三个内角分别相等，故等边三角形不存在“和谐分割线”，是假命题；②△ABC 中，∠ACB =2∠ABC ，CD 平分∠ACB ，则∠B =∠BCD =∠ACD ，即△BCD 是等腰三角形，在△ACD 和△ABC 中，∠A =∠A ，∠ACD =∠B ，∠ADC =∠ACB =2∠B ，故△ABC 必存在“和谐分割线”，正确，是真命题，故答案为：假，真；（2）作∠CAB 的平分线，∵∠C =90°，∠B =30°，∴∠DAB =∠B =30°，∴DA =DB ，∴∠DAB =∠B =∠CAD =30°，又∠C =∠C ，∠ADC =∠CAB =60°，∴△ADB 是等腰三角形，且△ACD 和△ABC 三个内角相等，∴线段AD 是△ABC 的“和谐分割线”，∴AD=2．10.（2020·南通市）如图，△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝，BC ＝cm ，点P 以1cm /s 的速度从点B 出发沿边BA →AC 运动到点C 停止，运动时间为ts ，点Q 是线段BP 的中点．（1）若CP ⊥AB 时，求t 的值；（2）若△BCQ 是直角三角形时，求t 的值；【答案】（1）2；（2）4或6＋﹣【解析】解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，∵CH ⊥AB ，∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°，∴AC 2﹣AH 2＝BC 2﹣BH 2，∴（）2﹣（6﹣x ）2＝（2﹣x 2，解得：x ＝2，∴当点P 与H 重合时，CP ⊥AB ，此时t ＝2．（2）由（1）可得：BH =2，CH =4，∴点P 的运动路程为1×t =t ，∴当点Q 与H 重合时，则有BP ＝2BQ ＝4，此时t ＝4；当CP ＝CB ＝时，CQ ⊥PB ，此时t ＝6＋（﹣）＝6＋﹣综上所述：当t ＝4或6+-，△BCQ 是直角三角形．11.（2020·福建泉州市月考）如图，中，，，，若动点P 从点C 开始，以每秒2个单位的速度按的路径运动一周．设出发的时间为t 秒．（1）若秒时，求的周长．（2）若是直角三角形，请直接写出时间t 的取值范围．（3）是否存在某一时刻t ，使得为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14+（2）0<t ≤4或t =365；（3）存在，t =3s 或6s 或132s ．【解析】解：（1）由题意易得：CP =2t ，t =2∴CP =4，∵AC =8，BC =6，∴AP =4，在Rt △BCP 中，由勾股定理得：BP=ABC V 10AB =6BC =8AC =C A B C ®®®2t =ABP △BPC △BCPV∵AB =10，∴△APB 的周长为：AP +AB +BP =14+（2）当∠BCP =90°时，由题意可得点P 在AC 上，∴当点P 与A 重合时，t =4s ，t 的取值范围为：0<t ≤4；当∠CPB =90°时，如图所示：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，AB =10，由面积得：CP =245，在Rt △APC 中，由勾股定理得：AP =325，∴点P 的运动路程为AC +AP =725，∴t =365，综上所述：当△BPC 为直角三角形时，0<t ≤4或t =365.（3）①当CP =CB 时，如图所示：∵BC =6，∴CP =6，∴2t =6，解得：t =3s ；②当CB =BP 时，∵BC=6，∴BP=6，∵AB=10，∴AP=4，∴点P的运动路程为AC+AP=12，∴2t=12，∴t=6s；③当CP=PB时，∴∠PCB=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠PCB+∠ACP=90°，∴∠A=∠ACP，∴AP=PC，∴AP=PB，∵AB=10，∴AP=5，∴点P的运动路程为AC+AP=13，∴2t=13，t=13 2综上所述：当t=3s或6s或132s时，使得△PCB为等腰三角形．12.（2019·福建省福州期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x 2+y 2＝z 2的方程．（1）请写出方程x 2+y 2＝z 2的两组正整数解： ．（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a ＝12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c ＝12（m 2+n 2），（其中m ＞n ，m ，n 是奇数），那么，以a ，b ，c 为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．【答案】（1）345x y z =ìï=íï=î或51213x y z =ìï=íï=î；（2）验证见解析．【解析】解：（2）以已知的a ，b ，c 为三边的三角形为直角三角形，理由：∵221()2a m n =-，b mn =，221()2c m n =+，422222241[()]2111424n m n m m a n ==-+\-，222b m n =，2242242211[()]211424c m m m n n n ==+++22a b \+22424111424m m n c n +==+以a ，b ，c 为三边的三角形为直角三角形，其中a ，b 为直角边，c 为斜边．13．（2020·浙江期末）如图1，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =．点D 在边AB 上，DE CD ^，且DE CD =，CE 交边AB 于点F ，连接BE ．（1）若AC =，7CD =，求线段AD 的长；（2）如图2，若CD CF =，求ABE Ð的度数；（3）若CD CF ¹，写出线段AC ，CD ，BE 长度之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）6-；（2）∠ABE =45°；（3）AC 2+BE 2=2CD 2．【解析】解：（1）如下图，过点C 作CM ⊥AB，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=12，∵CM⊥AB∴AM=CM=6，∵CD=7，在Rt△CDM中，由勾股定理得：DM∴AD=AM-DM=6-.（2）过点C作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，∴∠CMD=∠DNE=90°，∴∠MCD+∠MDC=90°，又∵DE⊥CD，∴∠MDC+∠NDE=90°，∴∠MCD=∠NDE，∴△CDM≌△DEN（AAS）∴CM=DN，DM=EN∴DM+MN=CM，∵AC=BC，∠ACB=90°，CM⊥AB∴AM=CM=BM∴BM=MN+BN=CM=DM+MN∴DM=BN=EN∴△BNE 为等腰直角三角形，∴∠ABE =45°.（3）由（2）可知，DM =BN =EN ，∴BE 2=EN 2+BN 2=2EN 2，又∵EN =DM ，∴BE 2=2DM 2，同理，AC 2=2CM 2，在Rt △CDM 中，CD 2=CM 2+DM 2∴CD 2= 12AC 2+12BE 2，∴AC 2+ BE 2 =2CD 2.14．（2021·四川成都期末）如图，已知等边ABC V ，点D 是BC 边上的一点，连接AD ，以AD 为边在右侧作等边ADE V ，连接CE ．（1）求证：ABD ACE △△≌；（2）若6BC =，2BD =时，求DE 的长；（3）过点A 作AF D E ^，交BC 于点F ，若DF =，试判断ADF V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）等腰三角形，理由见解析.【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =60°，又∵△ADE 是等边三角形，∴AD =AE ，∠DAE =60°，∴∠BAC =∠DAE ，即∠BAD +∠DAC =∠DAC +∠CAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD≌△CAE；（2）过点A作AH⊥BC，∵BC=6=AB，△ABC是等边三角形，∴BH=CH=3，又BD=2，∴DH=1，∵AH∴DE=AD=；（3）过点E作EG⊥BF，交BF的延长线于点G，连接EF，∵AF⊥DE，∴AF垂直平分DE，∴DF=EF，∴∠FDE=∠FED，设BD=a，则DF=EF a，∵BD=CE，∠B=∠ACE=∠ACB=60°，∴∠ECG=60°，∴CE=2CG=a，∴CG=12a，∴EG a，又∵EF，∴∠EFG=30°，∴∠AFE =∠AFD =（180°-30°）÷2=75°，∴∠ADF =180°-∠DAF -∠AFD =75°，∴AD =AF ，即△ADF 是等腰三角形．15．（2021·浙江杭州期末）如图，在ABC V 中，AB =，45B Ð=°，60C Ð=°．（1）求BC 边上的高线长；（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF V 折叠得到PEF V ，连接PA 、PE 、PF ．①如图2，当PF AC ^时，求AP 的长；②如图3，当点P 落在BC 上时，求证：PF FC =．【答案】（1）2；（2）；②见解析.【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，AB =，∠B =45°，设BD =AD =x ，则x 2+x 2=(2，解得：x =2，∴BC 边上的高为2；（2）①设AP 与EF 交于点O ，由折叠知：∠AFE=12∠AFP=12×90°=45°，EF垂直平分AP，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=180°-75°-45°=60°，∴∠EAO=30°，∵点E为线段AB的中点，AB=，∴AE，∴OE，∴AO=，∴AP=2AO；②由题意知，AE=PE，∵点E为线段AB的中点，∴AE=BE，∴AE=PE=BE，∴∠B=∠EPB，∠EAP=∠EPA，∴∠EPA+∠EPB=90°，即：AP⊥BC，∵∠C=60°，∴∠CAP=30°，∵AF=PF，∴∠APF=∠CAP=30°，∴∠CPF=90°-30°=60°，∴△CPF是等边三角形，。
专题02 勾股定理逆定理及应用一、知识点勾股定理的逆定理：两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
第三边即为直角三角形的斜边。
勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形二、标准例题：例1：如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 与∠DBC 都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．例2：课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股 数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、________、________；(2)若第一个数用字母a (a 为奇数，且a ≥3)表示，那么后两个数用含a 的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律4=32−12，12=52−12，24=72−12……，于是他很快表示了第二数为a 2−12，则用含a 的代数式表示第三个数为________；(3)用所学知识证明你的结论．三、练习1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．4，5，6C ．5，12，15D ．1，√3，22．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( ) A ．a=23 ,b=2 , c=54; B ．a=1.5 ,b=2 , c=2.5 C ．a=6 ,b=8 , c= 10; D ．a= 15,b=8 , c=173．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是 （ ） A ．∠A ＝∠C －∠B B ．a 2＝b 2－c 2 C ．a:b:c ＝2:3:4 D ．a ＝34，b ＝54，c ＝14．以下列数组为边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．2 ，3，4 B ．1，12，13 C ．1，√2，√3 D ．0.2，0.5，0.6 5．下列说法中，正确的有（ ）①如果∠A+∠B -∠C=0，那么△ABC 是直角三角形； ②如果∠A:∠B:∠C=5:12:13，则△ABC 是直角三角形； ③如果三角形三边之比为√7:√10:√17，则△ABC 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n 2−4、4n 、n 2+4（n ＞2），则△ABC 是直角三角形； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足√a −1+|b −1|+(c −√2)2=0,则△ABC 一定是（ ）三角形。
