下载文档原格式
勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例１.在ABCC∠=︒．∆中，90⑴已知6AC=，求BC的长AB=，15AC=，8BC=．求AB的长⑵已知17跟踪练习：1.在ABC∠=︒.C∆中，90（1）若a=5,b=12,则c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C分别对的边为a，b，c，则下列结论正确的是( )A、 B、 C、 D、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A、2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（）A、 B、 C、1 D、25.已知等边三角形的边长为2cm，则等边三角形的面积为（）A、 B、 C、1 D、6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.8.已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，CD=2，那么BD等于（）A、4B、6C、8D、9.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、2S、3S之间有何关系并说明理由。
1（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、1S、3S之间有何关系2面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米跟踪练习：1.如图（8），水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A 、12米B 、13米C 、14米D 、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A 、8米B 、10米C 、12米D 、14米题型三：勾股定理和逆定理并用——例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41 那么△DEF 是直角三角形吗为什么注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
《勾股定理》练习一、选择——基础知识运用1．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．4 B．3 C．5 D．4.54．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c25．一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为（）A．4 B．5 C．6 D．76．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=169，S2=144，则S3=（）A．50 B．25 C．100 D．30二、解答——知识提高运用7．在四边形ABCD中（见图），线段BC长5，∠ABC为直角，∠BCD为135°，AC=AD，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12，线段ED的长为5，求四边形ABCD的面积。
8．画一个直角三角形，分别以它的三条边为边向外作等边三角形，要求：（1）画出图形；（2）探究这三个等边三角形面积之间的关系，并说明理由。
9．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD拼成一个凸四边形ABCD．（1）画出四边形ABCD；（2）求出四边形ABCD的对角线BD的长。
10．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中AE=3√3，AB=5√3，∠EBC=30°，求BC。
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：若是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来： 勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦． 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四， 弦五 〞形式的勾股定理，此后代们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考据勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②依照同一种图形的面积不相同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：1方法一： 4 SS 正方形 EFGH S 正方形 ABCD ， 4 ab (b a)2c 2，化简可证．方法二：DCHEG F b aA cBb aacbccbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三AaD角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1ab c 22ab c 2大正方形面2积 为 S (a b)2 a 2 2ab b 2所 以 a 2 b 2c 2 方 法 三 ：bcE ca B bCS 梯形1 ( a b) (a b) ，S 梯形 2S ADE S ABE2 1 ab 1 c 2 ，化简得证222３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭穿了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色， 所以在应用勾股定理时， 必定了然所察看的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，那么ca 2b 2 ， bc 2 a 2 ， ac 2 b 2 ②知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实责问题 ５ .勾股定理的逆定理若是三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边 ①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转化为形 〞来确定三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和a 2b 2 与较长 边的平方c 2 作比较，假设它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；假设222，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；222，时，以 a ，b，a b c假设 a b c c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b，边长 a ，b， c 满足斜边c 及 a2b2c2可是一种表现形式，不能认为是唯一的，如假设三角形三a2c2b2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能够说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2b2c2中， a ，b，c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数②记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n, n2 1 〔 n2,n 为正整数〕；2n1,2n22n,2n22n1n为正整数〕m2n2 ,2 mn,m2n2〔 m n,m，n为正整数〕〔７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增加辅助线〔平时作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详细计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不能不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而获得错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实责问题或详细的几何问题中，是密不能分的一个整体．平时既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常CA B D见图形：C CC30°A B A D B B D A10、互抗命题的看法若是一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，命题。
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数c ba HG FE D C B A b a c ba cc a b c a b a b c c b a E DC B A７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D C B A AD B C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题◆类型一 三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013cm2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt△ABC 的面积是( )A ．48cm 2B ．24cm 2C ．16cm 2D ．11cm 24．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )A ．7cmB ．10cmC ．(5＋37)cmD ．12cm5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6◆类型三 巧妙利用割补法求面积6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD 的面积．7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.参考答案与解析1．D2.355 解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB＝12＋22＝5，∴12×5h＝32，∴h＝355.故答案为355.3．D 4.D 5.C6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE＝12AD＝12×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝AC2－AE2＝132－52＝12.∴S四边形ABCD ＝S△ABC＋S△CAD＝12AB·BC＋12AD·CE＝12×5×12＋12×10×12＝90.7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AE2－AB2＝82－42＝43.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝CE2－DC2＝42－22＝23.∴S四边形ABCD ＝S△ABE－S△CDE＝12AB·BE－12CD·DE＝12×4×43－12×2×23＝6 3.8．81。
勾股定理（提高）知识点讲解及例题解析【学习目标】1. 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．会运用方程思想解决问题．3. 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．用方程思想解决问题． 【要点梳理】【勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系的数量关系. .（（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的来，达到了解决问题的目的. .（（3）理解勾股定理的一些变式：）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+- 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（11）所示的正方形的正方形. .图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（22）所示的正方形的正方形. .图（图（22）中，所以.方法三：如图（方法三：如图（33）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形梯形. .，所以.要点三、勾股定理的作用 1.1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.2. 用于解决带有平方关系的证明问题；用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 3. 利用勾股定理，作出长为利用勾股定理，作出长为的线段的线段..【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝2，CD CD＝＝1，∠，∠A A ＝4545°，∠°，∠°，∠B B ＝∠＝∠D D ＝9090°，求多边形°，求多边形ABCD 的面积．的面积．【答案与解析】解：延长AD AD、、BC 相交于点E∵ ∠∠B ＝9090°，∠°，∠°，∠A A ＝4545°° ∴ ∠∠E ＝4545°，∴°，∴°，∴ AB AB AB＝＝BE BE＝＝2 ∵ ∠∠ADC ADC＝＝9090°，∴°，∴°，∴ ∠∠DCE DCE＝＝4545°，°，°， ∴ CD CD＝＝DE DE＝＝1∴ 12222ABE S=´´=△，111122DCE S =´´=△．∴ 13222ABE DCE ABCD S S S =-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．决面积问题． 举一反三：【变式】（20182018•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC=2BC=2BC=2，，S △ABC =3=3，∠ABC=135°，求，∠ABC=135°，求AC AC、、AB 的长．的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D ， 在△ABC 中，∵S △ABC =3=3，，BC=2BC=2，， ∴AD===3=3，，∵∠ABC=135°，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3BD=AD=3，，在Rt△ADC 中，中，CD=2+3=5CD=2+3=5CD=2+3=5，， 由勾股定理得，由勾股定理得，AC=AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．形的面积．【思路点拨】欲求Rt Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解． 【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则，则2222262a b a b ì++=+ïí+=ïî 即即2264a b a b ì+=ïí+=ïî①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③ ③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．思想解决问题．3、（2018春•黔南州期末）春•黔南州期末）长方形纸片长方形纸片ABCD 中，中，AD=4cm AD=4cm AD=4cm，，AB=10cm AB=10cm，按如图方式折叠，使点，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF EF，，求DE 的长．的长．【思路点拨】在折叠的过程中，在折叠的过程中，BE=DE BE=DE BE=DE．从而设．从而设BE 即可表示AE AE．在直角三角形．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．中，根据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】解：设DE=xcm DE=xcm，则，则BE=DE=x BE=DE=x，，AE=AB AE=AB﹣﹣BE=10BE=10﹣﹣x ，△ADE 中，中，DE DE 22=AE 22+AD 22，即x 22=（1010﹣﹣x ）22+16+16．．∴x=（cm cm））． 答：答：DEDE 的长为cm.思路点拨】其中一只猴子从另一只猴子从B→D→A于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：解：如图②所示，由题意可得： 12AA ¢=，12392A B p ¢=´´=在在Rt Rt△△AA AA′′B 中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ¢¢=+=+=则则AB AB＝＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是所以需要爬行的最短路程是15cm ．。
部编人教版八年级数学下册勾股定理专题（含解答）目录1.勾股定理与特殊角问题－－化斜为直2.勾股定理与半夹角模型3.勾股定理与面积问题4.勾股定理与2和3问题5.勾股定理与分类讨论6.折叠中勾股定理与方程7.勾股定理与旋转问题8.借助勾股定理求最值专题一 勾股定理与特殊角问题－－作垂化斜为直【方法技巧】①含ο30角的直角三角形中，勾∶股∶弦＝2:3:1②含ο45角的直角三角形中，勾∶股∶弦＝2:1:1重点强化一 ο30 或ο45 或ο60→作垂线→ 构成特殊直角三角形1. （2019年盐城）如图，在△ABC 中 ， ,45,30,26οο=∠=∠+=C B BC 求AC 的长。
重点强化二 ο75 或ο105 →作垂线→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形2. 如图，在△ABC 中，的长。
求AB AC A B ,32,75,45==∠=∠οο3. 如图，在△ABC 中 ，的长。
求BC AC BAC C ,2,105,45==∠=∠οο重点强化三， ο120 或ο135 →作垂线→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形4. 如图，在△ABC 中 ，的长。
求AC AB B C ,32,30,120==∠=∠οοABC5. 如图，在，在△ABC 中 ，的长。
和求BC AC AB B C ,22,135,30==∠=∠οο重点强化四 ο15 或ο5.22 →加倍→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形6.（1）【阅读材料】，如图1：在Rt △ABC 中的值。
求CDAC D C ,5.22,90οο=∠=∠图1 图2 解：在CD 上截取BD ＝AB ，则ο452=∠=∠D ABC12a)12(a ,a 12a2,a ,a -=+++==＝）＝（＝又＝则＝设CD AC CB BD CD BD AB BC AC Θ （2）【实际运用】如图2：在Rt △ABC 中的值。
求CDAC D C ,15,90οο=∠=∠参考答案1.解：如图：过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵,45,30οο=∠=∠C B21326213226,2133,3＝）（＝＝＝＝＝－－＝又+++∴+=+∴∴==BC AC BC DC AC BCDC DCDC BC DCBC BD DCAD AD BD ΘΘ ,45,30,26οο=∠=∠+=C B BC2. 解：过点A 作AD 垂直于BC 于DοοοΘ60,75,45=∠∴=∠=∠C A B在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，,60,45οο=∠=∠C B,2,23AD AB AC AD ==∴ ,32=AC Θ又2332232=••=∴AB3.解：过点A 作AD 垂直于BC 于D A B C D.30,105,45οοοΘ=∠∴=∠=∠B BAC C在Rt △ABD 和Rt △ADC 中AC DC AD BD 22,3==∴ 2,=AC DC AD ＝又Θ1222,32223=•==••∴DC BD ＝ ,DC BD BC +＝又Θ13+∴＝BC4.解：过点C 作CD 垂直于AB 于D在△ABC 中,30,120οοΘ=∠=∠B C ,30ο=∠∴A DB AD =∴ ,32=AB Θ又,3=∴AD在Rt △ADC 中，632332=•=•=∴AD AC5.解：过点A 作CB 延长线的垂线于D,45,135οοΘ=∠∴=∠BDA B在Rt △ADB 中AB BD AD 22==∴ 22222,22=•==∴=BD AD AB Θ 在Rt △ADC 中,30οΘ=∠C AD CD AD AC 3,2==∴32,4==∴CD AC232-=-=∴DB CD BC6. 解：如图，过点A 作AB 交DC 于B ，使ο30=∠ABC在△ADC 中，,15,90οοΘ=∠=∠D C ,75ο=∠∴DBCοΘ30=∠ABCBA BD BAD =∴=∠,15οΘAC BC BD BA AC 3,2121===∴ 3232132-=+=+=+=∴AC AC AC BC BD AC CD AC专题二 勾股定理与夹半角模型【方法技巧】夹半角，巧旋转，线集中，勾股解。
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为22()2S a b a a b b =+=++ 所以22a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长cbaHG F ED CBAbacbac ca bcab a bc cbaED CB A边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换（平移或轴对称）进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程（距离）•用计算法求平面中最短问题1 •如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________________ 步路（假设2步为i m，却踩伤了花草.2•小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设A吐80 km, BO20 km,/ ABC= 120° .请你帮助小明解决以下问题：⑴求A, C之间的距离.（参考数据.21"4.6）（2）若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 km/h, “武黄城际列车”的平均速度为180 knYh,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）（第2题）用平移法求平面中最短问题3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm, 30 cm, 10 cm A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（）A. 13 cmB. 40 cm4. 如图，已知/ B=Z C=Z D=Z E= 90°，且A吐CD- 3, BO 4, DE= EF=2,则AF的长是 __________ .用对称法求平面中最短冋题5. 如图，在正方形ABC［中, AB边上有一点E, AE= 3，E吐1,在AC上有一点P,使EP+ BP最短，求EP+ BP的最短长度.6•高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA = 2 kn, BB = 4 kn, A B'= 8 km要在高速公路上A'、B' 之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离.BA■7M A1'h r f N（第6题）用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题1rJ I(第7题)7•如图，已知圆柱体底面圆的半径为—，高为2, AB CD分别是两底面的n直径•若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是____________ (结果保留根号)•类型2圆锥中的最短问题8. 已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1) 此图形的名称为 _______ .(2) 请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_________ .(3) 如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4) SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程.类型3正方体中的最短问题9. 如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处.(1) 请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.类型4长方体中的最短问题10. 如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm 8 cm 30 cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.（第10题）专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律•利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：⑴运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；⑵ 在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；⑶利用勾股定理列方程求出x;⑷进行相关计算解决问题.巧用全等法求折叠中线段的长1. （中考泰安）如图①是一直角三角形纸片，/ A= 30°, BO4 cm将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点A 落在DC 的延长线上的点 A 处，如图③，贝朋痕DE 的长为（）巧用对称法求折叠中图形的面积2. 如图所示，将长方形 ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C'处，BC 交AD于 E ，AD= 8，A 吐4,求厶BED 的面积.巧用方程思想求折叠中线段的长 3. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中, E 是边CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE 延长EF 交BC 于点G 连接AG.⑴ 求证：△ ABG^^ AFG ⑵求BG 的长.（第3题）巧用折叠探究线段之间的数量关系4. 如图，将长方形ABCC 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交ADC. 2「2 cmD. 3 cm（第2于点E,交BC于点F,连接CE.(1)求证：AE= AF= CE= CF;b, c三者之间的数量关系式.⑵设AE= a, ED= b, DOc,请写出一个a,专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为jn（n为正整数）的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程（组）,有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题.利用勾股定理求线段长1. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，/ ABG90°，点D为AC边的中点，过D点作DEIDF,交AB于E,交BC于F,若AE= 4, FO3,求EF的长.利用勾股定理作长为冷的线段2. 已知线段a,作长为,13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为.^3a.利用勾股定理证明线段相等3. 如图，在四边形ABFC中, Z ABC= 90°, CDLAD AD = 2AW—CD.求证: AB= BC.利用勾股定理证明线段之间的平方关系4. 如图，/ C= 90°, AM= CM MPLAB于点P. 求证：B P=B C+A P.利用勾股定理解非直角三角形问题5. 如图，在△ABC中，/利用勾股定理解实际生活中的应用6•在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行50驶速度不能超过60 km/h即§ m/s，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上.另外一条公路在y轴上，AO 为其中的一段.（1）求点B和点C的坐标；⑵一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速.（参考数据：,：3~ 1.7）（第6利用勾股定理探究动点问题7.如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, A吐5 cm, AO3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.⑴求BC边的长；⑵当厶ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3) 当厶ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.答案专训11. 4(第2题)2. 解：⑴如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.vZ ABC= 120°，A Z BCE= 30°.在Rt△ CBE中，v BO20 km,二BE= 10 km由勾股定理可得CE= 10 3 km在Rt△ ACE中, v AC= AU+ CE= (AB+ BE)2+ CE= 8 100 + 300= 8 400，•••AC= 2^/21^20X 4.6 = 92(km).80 i⑵选择乘“武黄城际列车” •理由如下：乘客车需时间t i=器=13（h），乘92 20 1“武黄城际列车”需时间t2-180+40= i90（ h）.1 1 一T 13>1g0，A选择乘“武黄城际列车”._ s~\（第3题）3. C点拨：将台阶面展开，连接AB如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线.因为BC= 30X 3+ 10X 3= 120（cm），AC= 50 cm,在Rt△ ABC中，根据勾股定理，得AB=AC + BC= 16 900,所以A吐130 cm所以壁虎至少爬行130 cm4. 105. 解：如图，连接BD交AC于O,连接ED与AC交于点P,连接BP.（第5题）易知BDLAC,且BO= OD 二BF= PD 贝U BF+ EF= ED,此时最短.T AE= 3 , AD= 1 + 3 = 4,由勾股定理得E D=A E + A D= 32+ 42= 25 = 52,••• ED= BP+ E吐5.6. 解：如图，作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口 .此时A B两城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AC的长.作ADL BB 于点D,在Rt△ ADC中, AD= A B'= 8 km, DC= 6 km•I AC= ；A D+D C= 10 km,• ••这个最短距离为10 kmB* **«* = *«M Jkw"c（第6题）7. 2 2点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA D D,连接2 1 AC如图•线段AC就是小虫爬行的最短路线•根据题意得A吐一X2n X- = 2. n 2在Rt△ ABC中，由勾股定理，得AC = AB+ BC = 22+ 22= 8,二AO -'8 = 2 . 2.J )c p1J .fJ*A£i J(第7题)8 •解：⑴圆锥⑵扇形⑶把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.⑷在Rt△ ASC中，由勾股定理，得AC = 102+ 52= 125,二AC= “25= 5 ,5 故蜗牛爬行的最短路程为5 5.9. 解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC -和AG.⑵如图，AC 1=『+( 4+ 4) 2= 4 5.AC= / (4 + 4) 2+ 42= 4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 4.5.10. 解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC在Rt△ EBC中，E吐12+ 8 = 20(cm)，BC= *X 30= 15(cm).由勾股定理，得EC= ^202+ 152= 25(cm).⑵如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE= ,673 cm>25 cm⑶如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE=p 122+(30+ 8+ 15) 2= Q2 953( cm)>25 cm综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm（第10题）专训21. A2. 解：由题意易知AD// BC •••/2=73.•••△BC D与厶BCD关于直线BD对称，•••7 1 = 7 2. •••/ 1 = 7 3.二E吐ED.设E吐x，贝U ED= x, AE= AD- ED= 8 -x.在Rt△ ABE中，AB + AE = BE,•42+ (8 —x)2= x2. • x = 5.1 1•DE= 5. • S^BED= ~DE4 AB=：X 5X 4= 10.2 2解题策略：解决此题的关键是证得ED= EB然后在Rt△ ABE中，由BE= AB + A E,利用勾股定理列出方程即可求解.3. (1)证明：在正方形ABCD中, AD= AB 7 D=7 B= 90°.•••将△ ADS沿AE对折至△ AFE•AD= AF, DE= EF,7 D=7 AFE= 90°.•AB= AF,7 B=7 AFG= 90°.又••• AG= AG • Rt△ AB® Rt△ AFGHL).(2)解：ABG^^AFQ • BG= FG.设BG= FG= x,则GC= 6 —x ,••• E为CD的中点，•CE= DE= EF= 3 ,•EG= 3 + x.•在Rt△ CEG中 , 3 + (6 —x) = (3 + x),解得x= 2.•BG= 2.4. (1)证明：由题意知,AF= CF, AE= CE, 7 AFE=7 CFE 又四边形ABCD是长方形,故AD// BC,• 7 〈CFE.：/ AFE=7 AEF.•i AE= AF= EC= CF.(2)解：由题意知，AE= EO a, ED= b, DO c,由/ D= 90°知，E D + DC =CE,即卩b2+ c2= a2.专训3（第1题）1. 解：如图，连接BD.•••等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，••• BD丄AQ BD平分/ ABC等腰三角形三线合一)，二/ ABD=Z CBD= 45 又易知/ C= 45°,•••/ ABD=Z CBD=Z C.••• BD= CD.v DEI DF, BDL AC，•••/ FDC^Z BDF=Z EDB^Z BDF.•••/ FDC=Z EDB.在厶EDB与△ FDC中,Z EBD=Z C,BD= CDZ EDB=Z FDC•••△ EDB^A FDCASA,••• BE= FO 3.二A吐7,贝U BC= 7.二BF= 4.在Rt△ EBF中，EF= BE + BF= 32+ 42= 25,••• EF= 5.2. 2a；3a3. 证明：v CDL AD, •••/ ADC= 90°,即厶ADC是直角三角形. 由勾股定理，得AD+ cD= A C.又v A D= 2AB —cD,••• A D+C D = 2AB.••• AC= 2AB.VZ ABC= 90°,.・仏ABC是直角三角形.由勾股定理，得A W+B(C=A C,:.A^+B C = 2AB,故B(C= A B,即卩A吐BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可.4. 证明：如图，连接BM.V PML AB,•••△AMP均为直角三角形.••• B E+P M = B M, A P+P M= A M.同理可得B C+C M= B M.••• B0+ P M = B C+C M.又V CM= AM•••cM= A M=A P+P M.••• B0+ P M = B C+A P+P M.••• B0= B C + A P.5. 思路导引：过点A作AD丄BC于D,图中出现两个直角三角形一一Rt△ACD 和Rt△ ABD这两个直角三角形有一条公共边AD借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系解：如图,过点A作ADL BC于点D.•••Z ADC 90°又VZ C= 60° ,:丄 CA9 90°—/ C= 30°,二CD= qAO 5.•••在Rt△ ACD中, AD= AC—CD = T0f 5 3.•••在Rt△ ABD中，BD= AB —AD = 11.•BO B» CD= 11 + 5= 16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题.6. 思路导引：⑴ 要求点B和点C的坐标，只要分别求出0B和0C的长即可. (2)由(1)可知BC的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，50并与3比较即可.解：⑴在Rt△ AOB中,v/ BA6 60°,1•/ AB0= 30°,二0A= 2AB.•/ 0A= 100 m •- AB= 200 m由勾股定理，得0吐AB —0A= 2002—1002= 100 3( n).在Rt△ A0C中, v/ CA0= 45°,•/ 0C=/ 0A(= 45°.•0C= 0A= 100 m • B( —100 3, 0) , C(100, 0).⑵•这辆汽车超速了.7. 解：(1)在Rt△ ABC中, BC= A B— AC= 52—32= 16,• BC= 4 cm(2)由题意知BP= t cm,①如图①，当/ APB为直角时，点P与点C重合，BP= BC= 4 cm,即t = 4;②如图②，当/ BAP为直角时，B吐t cm, CF= (t —4)cm, AC= 3 cm,在Rt△ ACP中, AP= 32+ (t —4)2,在Rt△ BAP中，AB + AP = BP,即52+ [32+ (t —4)2] = t2,解得t =孚⑶①如图①，当B 吐AB 时，t = 5;②如图②，当 A 吐AP 时，B 吐2BO8 cm, t = 8;（第7题⑶）③ 如图③，当B 吐AP 时，A 吐B 吐t cm, CP= |t — 4| cm AO3 cm,综上所述：当△ ABP 为等腰三角形时, AH打 <■①塚 ? 尸 5 （第7题⑵）t = 4 或 t 25 ~4 故当△ ABP 为直角三角形时,在 Rt △ ACP 中, AP = AC + CP ,所以 t 32 + (t — 4)2,解得 t = 25 J.。
巧用勾股定理解决几何问题一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1. 构造直角三角形根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。
如：在ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面积。
答案：12。
2. 利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。
（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少？答案：3。
（2）求折断物体长度时，使用方程如：一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是多少？答案：9120尺。
3. 分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。
如：已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm，求第三边的长。
答案：5cm 或7cm 。
4. 数形结合思想几何与代数问题的综合。
如：在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树10米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？答案：7.5米。
二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1. 含有30°角的直角三角形（1）30°角所对的直角边是斜边的一半；（2）60°角所对的直角边是30°角所对直角边的3倍。
2. 等边三角形高等于边长的23倍。
总结：（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。
（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。
例题 A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2=A 2B=a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，…，A n+1A n+2⊥A n B ，垂足为A n+2，则线段A n+1A n+2（n 为自然数）的长为（ ）A. n a2 B. 1)2( n a C. 2a D. na 2解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A 2A 3及A 3A 4的长，找出规律即可解答． 答案：∵△A 1A 2B 是直角三角形，且A1A 2=A 2B=a ，A 2A 3⊥A 1B ，∴A 1B=22a a =a 2， ∵△A 1A 2B 是等腰直角三角形，∴A 2A 3=A 1A 3=21A 1B=22a =12a ， 同理，△A 2A 3B 是等腰直角三角形，A 2A 3=A 3B=22a ，A 3A 4⊥A 2B ，A 2B=a ，A 3A 4=A 2A 4=21A 1B=2a 22， ∴线段A n+1A n+2（n 为自然数）的长为n a2．故选A 。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一 三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013cm2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( ) A ．48cm 2 B ．24cm 2 C ．16cm 2 D ．11cm 24．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( ) A ．7cm B ．10cm C ．(5＋37)cm D ．12cm5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6◆类型三 巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．7．如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2，求四边形ABCD 的面积．【方法6】◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．参考答案与解析1．D2.355 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为355.3．D 4.D 5.C 6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE ＝12×5×12＋12×10×12＝90. 7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°.∴AE ＝2AB ＝8.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝82－42＝4 3.∵∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴CE ＝2CD ＝4.在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE ＝CE 2－DC 2＝42－22＝2 3.∴S四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE ＝12AB ·BE －12CD ·DE ＝12×4×43－12×2×23＝6 3. 8．819．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，易证四边形AOLP 是矩形，OK ＝BE ＝3.∵∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBF ＝90°.又∵∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∴∠OBF ＝∠ACB .在△ACB 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠FOB ，∠ACB ＝∠OBF ，BC ＝FB ，∴△ACB ≌△OBF (AAS)．同理：△ACB ≌△PGC ≌△LFG ≌△OBF ，∴KO ＝OF ＝LG ＝3，FL ＝PG ＝PM ＝4，∴KL ＝3＋3＋4＝10，LM ＝3＋4＋4＝11，∴S 矩形KLMJ ＝KL ·ML ＝10×11＝110.。
