高中数学选修导数考点精题精讲

高二数学的三个专题讲座人教实验版选修2－2【本讲教育信息】一. 教学内容：选修2－2的三个专题讲座［知识分析］专题一 导数中几个常见易错点导数是高考考查的重点内容之一，同学们在解题时往往由于概念不清，方法不当而出错，下面我们对常见错误及原因进行分析。

一. 错误理解导数定义例1 设)x (f 在0x 处可导，则h)h x (f )h x (f lim000h --+→等于（ ）A. )x (f 20'B. )x (f 210' C. )x (f 0' D. )x (f 40'错解：选（C ）．分析：导数定义中，增量x ∆形式有多种，但不论x ∆选择哪种形式，相应的y ∆也应选择正确的形式。

该例中函数值增量为00f (x h)f (x h)+--，自变量增量应为00(x h)(x h)2h +--=，而不是h 。

故/000h 0f (x h)f (x h)lim f (x )h→+--≠ 正解：h)h x (f )h x (f lim000h --+→h)h x (f )x (f )x (f )h x (f lim00000h --+-+=→ h )h x (f )x (f limh )x (f )h x (f lim 000h 000h --+-+=→→ ).x (f 20'=故选（A ）。

二. 忽视导数几何意义的条件例2 已知曲线3x 31y =上的一点)38,2(P ，求过点P 的该曲线的切线方程。

错解：23x )x 31(y ='='，42|y 22x =='=，即过点P 的切线的斜率为4。

所以过点P 的切线方程为)2x (438y -=-。

即016y 3x 12=--。

分析：此解法混淆了“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”，本例中的点P 8(2,)3可能是切点，也可能不是切点。

正解：设切点为（00y ,x ），则切线的斜率20x x x |y k 0='==。

第01讲导数的概念、运算及几何意义（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想2能通过函数图象直观理解导数的几何意3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，需加强复习备考1.函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝0lim x ∆→ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx。

2.函数)(x f y =的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.八大常用函数的求导公式（1）0='C （C 为常数）（2）1)(-='n nnx x ，例：455)(x x ='，535252)(-='x x ，766)(---=x x ，212121)()(-='='xx x （3）xxee =')(（4）aa a x xln )(='（5）xx 1)(ln ='（6）ax x a ln 1)(log ='（7）x x cos )(sin ='（8）xx sin )(cos -='4.导数的四则运算（1）和的导数：[])()()()(x g x f x g x f '+'='+（2）差的导数：[])()()()(x g x f x g x f '-'='-（3）积的导数：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='（前导后不导+前不导后导）（4）商的导数：)()()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡，0)(≠x g 5.复合函数的求导公式函数))((x g f y =中，设)(x g u =（内函数），则)(u f y =（外函数）'⋅'='∴x u u y y 6.导数的几何意义（1）导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆．（2）直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点),(00y x P ，斜率为k ，则直线的点斜式方程为：()00x x k y y -=-【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为()00x x k y y -=-；（2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标))(,(11x f x P '；第二步：写出过))(,(11x f x P '的切线方程为))(()(111x x x f x f y -'=-；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程))(()(111x x x f x f y -'=-，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)()2e 1x y x -=+；(2)()()cos 31ln 21y x x =---+；(3)2sin 2cos y x x =+；(4)y x=．(5)sin o e c s x x x y =-(6)()tan ln y x x =+-(7)sin cos22x y xx =-(8)ln(1)e xx y -=2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)222e e x xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+；(3)43sin 3cos 4y x x =⋅；(4)()ln ln 11x xy x x =-++．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数(1)ln 3y =；(2)3y x -=；(3)cos ()e xxf x =；(4)()()22131y x x =-+；(5)()ln f x =；(6)1cos sin xy x+=．2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．(1)e x y x =(2)2ln 1xy x =+；(3)2sin(13)y x =-(4)3ln 4y x =-.3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角1．（全国·高考真题）曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A ．2eB ．eC ．2D ．12．（全国·高考真题）曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线313y x =上有一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线的斜率为．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6考点三、求在曲线上一点的切线方程1．（2021·全国·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．2．（2023·全国·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2024·全国·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．231．（2024·全国·模拟预测）函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=2．（2024·河北保定·三模）曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．133．（2024·湖北·模拟预测）写出函数()ln 2e xx xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：．考点四、求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．2．（2024·贵州·模拟预测）过点(1,3)P -作曲线323y x x =-的切线，请写出切线的方程.1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线()21y f x x x ==-+的两条切线，则这两条切线方程为（）A ．y x =和y x =-B ．3y x =-和3y x =C ．y x =和3y x=-D ．y x =-和3y x=2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()()2e 22x f x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条考点五、已知切线（斜率）求参数1．（全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．2．（2024·湖南长沙·二模）已知0m >，0n >，直线2ey x m =+与曲线2ln 4y x n =-+相切，则11m n +的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．11．（2024·四川遂宁·三模）曲线2y x ax =+在点()1,P b 处切线的斜率为3，则实数=a ．2．（2024·浙江绍兴·二模）函数()ln f x x a x =+在点()1,1处的切线与直线2y x =平行，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln g x x ax x =+，若曲线()y g x =在1x =处的切线方程为6y x b =+，则a b +=．考点六、两条切线平行、垂直问题1．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．2．（2023·四川凉山·一模）函数()21ln 2f x x a x =+在区间()1,2的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围为（）A ．()2,1-B ．()2,1--C ．()2,0-D ．()3,2--3．（2024·河北邢台·二模）已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．(,12-∞-B ．()12,0C ．(,12∞-D ．(0,122．（山东·高考真题）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()133(0)e x x f x ax x -+=-+>的图象经过,A B 两点，且()f x 的图象在,A B 处的切线互相垂直，则a 的取值范围是（）A ．()3,0-B ．533,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．53,02⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭D ．5353,22⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭7．（2024·河南·三模）已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．考点七、公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .2．（全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．3．（2024·广东茂名·一模）曲线ln y x =与曲线22y x ax =+有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线:l y kx =是曲线()1e xf x +=和()lng x x a =+的公切线，则实数a =．2．（2024·上海·三模）设曲线()e x f x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为.3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线2y x =与()e 0xy t t =≠恰有两条公切线，则t 的取值范围为（）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()24,0,e ∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()24,0e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭考点八、切线（方程）的综合应用1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1．（2024·全国·模拟预测）若直线2y x b =-与曲线2()e 2(1)x f x ax a =->-相切，则b 的最小值为（）A ．e-B ．－2C ．－1D ．01．2．（2024·全国·模拟预测）若直线y x =与曲线log a y x =（0a >且1a ≠）无公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,e B ．11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()e,+∞D ．1ee ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线y ax b =+与曲线e x y =相切于点()00,e xx ，若()0,3x ∈-∞，则a b +的取值范围为（）A ．(],e -∞B ．(3e ,e ⎤-⎦C ．()0,e D ．(30,e ⎤⎦一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（2024·河北保定·三模）已知二次函数()y ax x b =-（0b ≠且1b ≠）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-3．（2024·全国·模拟预测）若函数()234ln f x x x x =+-，点P 是曲线()y f x =上任意一点，则点P 到直线:30l x y --=的距离的最小值为（）A ．B ．2C ．D ．624．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线23ay x x x=++在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，则=a （）A ．3B ．92C ．7D ．1125．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为（）A ．1B C ．D ．6．（2024·河南·模拟预测）函数()2ln f x x x =-与直线0x y +=相切于点A ，则点A 的横坐标为（）A ．1eB ．1C ．2D ．e二、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线()2ln x f x x a=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为π3,则a 的值为.8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A ，B 分别为曲线2e x y x =+和直线33y x =-上的点，则AB 的最小值为.9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()1h '的值为.10．（2024·四川·模拟预测）已知0,0m n >>，直线11ey x m =++与曲线ln 3y x n =-+相切，则m n +=．一、单选题1．（2024·四川德阳·二模）已知直线1y ax =-与曲线()()ln e f x x =相切，则a 的值为（）A ．1eB ．1CD ．e2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l 与曲线ln()y x a =+和圆2212x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．0或2B ．2-或0C ．1－或0D ．0或13．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线l 与曲线()ln y x a =+和圆222x y +=都相切，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．1-或34．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()121e ,e 4x f x g x x -==，若直线l 是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，则l 的方程为（）A ．e 0x y -=B ．e e 0x y --=C ．0x y -=D ．10x y --=5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线()3f x x x =-，()2g x x a =+都相切，则a 的范围为（）A ．[)1,-+∞B ．51,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,27⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知01a <<，若曲线ln x y a a =与直线e y x =相切，则=a ．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线2y x =为曲线e ax b y +=的一条切线，则ab 的最大值为.9．（2024·山东临沂·二模）若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为.10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AMBN的取值范围为.1．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.2．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.4．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为.5．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．6．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-7．（2018·全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．8．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=9．（2018·全国·高考真题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=10．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为．。

32个超越函数问题超越函数，指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数，如三角函数、对数函数、反三角函数、指数函数就是超越函数。

导数是研究超越函数问题的基本方法。

1. 已知t tx x t x f 3ln )1()(2+++=，R t ∈. 若x x f 4)(≥对任意),1[+∞∈x 恒成立，求t 的取值范围.【解析】：由043ln )1(2≥-+++x t tx x t ，令043ln )1()(2≥-+++=x t tx x t x ϕ，首先由10)1(≥⇒≥t ϕ，此时xt x tx x 142)(2++-='ϕ，令142)(2++-=t x tx x h ，所以0)1(816≤+-=∆t t ，所以0)(≥x h 恒成立，即0)(≥'x ϕ，)(x ϕ在),1[+∞递增，故044)1()(≥-=≥t x ϕϕ，1≥t2. 已知x x x a x f -++=221)1ln ()(，a 为非零实数.)(x f y =有两个极值点21x x <，求证21)(12<x x f . 【解析】：a x --=11，a x -=12，所以02121)1ln(021)(21)(21)(2222222212>-++⇔>+⇔<-⇔<x x x a x x f x x f x x f 021)1l n ()1(222>-++⇔x x x令x x x x g 21)1ln()1()(-++=，)1,0(∈x ，因为021)1ln()(>++='x x g ，所以0)0()(=>g x g ，得证.3. 设函数)1(ln )(2-≥--=a x ax x x f ，记)(x f 极小值为H ，求H 的最大值.【解析】：设0)(0='x f ，则01200=--ax x ，有4820++=a a x ，0212ax x =-. )(x f 在),0(0x 递减，在),(0+∞x 递增. 则0200020ln 1ln x x x ax x H -+-=--=.记)1(48)(2-≥++=a a a a g ，当0≥a 时，)(a g 为增函数； 当01<≤-a ，aa a g -+=82)(2为增函数.所以21)1(0=-≥g x . 2ln 4321max +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h H4. 已知函数x ax x f 221)(2+=，x x g ln )(=. 求0>a ，使得方程)12()()(+-'=a x f x x g 在),1(e e内有且只有两个不相等的实数根. 【解析】：设)0(ln )21()(2>--+=x x x a ax x H ，即)(x H 在区间),1(e e内有且只有两个零点. )0()1)(12(1)21(2)(>-+=--+='x x x ax x a ax x H令0)(='x H ，解得1=x 或ax 21-=（舍）当)1,0(∈x 时，0)(<'x H ，)(x H 是减函数； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x H ，)(x H 是增函数；)(x H 在区间),1(e e内有且只有两个不相等的零点.只需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>⎪⎭⎫ ⎝⎛0)(0)(01min e H x H e H ，1212-+<<⇒e e e a5. 已知x a x x f ln 2)(2+=，R a ∈. 若0)(>x f 对任意),1[+∞∈x 恒成立，求a 取值范围.【解析】：0ln 22>+x a x 对),1[+∞∈x 恒成立.（1）当1=x 时，有R a ∈；（2）当1>x 时，0ln 22>+x a x ，xx a ln 22->.令)1(ln 2)(2>-=x x x x g ，得xx x x g 2ln 2)1ln 2()(--='； 若e x <<1，则0)(>'x g ； 若e x >，则0)(<'x g得)(x g 在),1(e 上递增，在),(+∞e 上递减.故)1(ln 2)(2>-=x xx x g 的最大值为e e g -=)(.所以e a ->.6. 设函数x x p px x f ln 2)(--=，xex g 2)(=，若在],1[e 上至少存在一点0x ，使得)()(00x g x f >成立，求实数p 的取值范围.【解析】：因为xex g 2)(=在],1[e 上是减函数， 所以2)(min =x g ，e x g 2)(max =，即]2,2[)(e x g ∈，①当0≤p 时，由2知)(x f 在],1[e 递减20)1()(max <==⇒f x f ，不合题意；②当10<<p 时，01],1[≥-⇒∈xx e x ， 所以221ln 21ln 21ln 2)1()(<--=--≤--≤--=ee e e e x x x x x x p xf 不合题意③当1≥p 时，)(x f 在],1[e 上是增函数，20)1(<=f ，又)(x g 在],1[e 上是减函数，故只需min max )()(x g x f >，],1[e x ∈，而e ee p ef x f ln 2)1()()(max --==2)(min =x g ，即2ln 2)1(>--e e e p ，解得142->e e p . 综上，p 的范围),14(2+∞-e e.7. |)2(|ln 2)(x a x a xx h -++=，),1[+∞∈x ，求证：2)(≥x h 解：当2≥a 时，022)(2≥-+-='a x ax x h ，故2)1()(≥≥h x h ，当2<a 时，x a x a xx h )2(ln 2)(-++=，0)1](2)2[(22)(22=-+-=+--='x x x a a x ax x h ，解得022<--=ax 或1=x ，)1,0(∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 是减函数；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 是增函数；故24)1()(min >-==a h x h ，即2)(>x h . 综上所述：2)(≥x h8. 已知函数)(ln 22)(2R a x a x x x f ∈++-=.有两个极值点1x ，2x ，且21x x <，证明：42ln 25)(2->x f . 【解析】：xax x x a x x f +-=+-='2222)(2，则1x ，2x 是0222=+-a x x 的两个根，所以1212<<x ，22222x x a -=，所以22222222ln )22(22)(x x x x x x f -++-=， 令t t t t t t g ln )22(22)(22-++-=，121<<t ，t t t g ln )42()(-='，所以0)(>'t g ，则)(t g 在)1,21(∈t 上为增函数，所以42ln 25)21()(-=>g t g9. 已知函数x x x x x f +-++-=23)1ln()(.方程xbx x f =---3)1()1(有实根，求b 范围.【解析】：32ln x x x x b -+=在0>x 上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域.令2ln )(x x x x h -+=，由xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+='.因为0>x ， 所以当10<<x 时，0)(>'x h ；当1>x 时，0)(<'x h . 所以0)1()(=≤h x h ,又因为0>x ，所以)(x g 的值域为]0,(-∞.10. 已知函数)()(2R a e ax x f x ∈-=.若)(x f 有两个极值点1x ，2x ，求a 取值范围.解：设x e ax x f x g -='=2)()(，若0≤a 时，)(x g 单调递减，舍； 若0>a 时，由0)(='x g ，得a x 2ln =，当)2ln ,(a x -∞∈时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增， 当),2(ln +∞∈a x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， 所以022ln 2)2(ln )(max >-==a a a a g x g ，得2ea >.11. 已知函数)1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x .若存在1x ，2x ]1,1[-∈，使得1)()(21-≥-e x f x f ，求实数a 的取值范围.【解析】：只要1)()(min max -≥-e x f x f .)(x f 在]0,1[-上是减函数，在]1,0[上是增函数， 所以1)0()(min ==f x f . 因为a aa f f ln 21)1()1(--=--， 令)0(ln 21)(>--=a a aa a g ，因为0)(>'a g ，所以)(a g 在),0(+∞上是增函数. 而0)1(=g ，故当0>a 时，0)(>a g ； 当10<<a 时，0)(<a g ， 所以，当1>a 时，1)0()1(-≥-e f f ，即1ln -≥-e a a ， 而函数a a y ln -=在),1(+∞∈a 上是增函数，解得e a ≥；当10<<a 时，1)0()1(-≥--e f f ，即1ln 1-≥+e a a函数a a y ln 1+=在)1,0(∈a 上是减函数，解得ea 10≤<综上所求a 的取值范围为),[]1,0(+∞ee12. 已知x bx ax x f 4)(23++=极小值为-8，)(x f y '=图像经过点)0,2(-，如图所示. 若函数k x f y -=)(在]2,3[-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.【解析】：x x x x f 42)(23+--=.即k x x x =+--4223在]2,3[-上有两个不相等实根.443)(2+--='x x x f ，令0)(='x f ，解得2-=x 或2=x ，可列表如下：由表可知，8-=k 或273<<-k 13. 已知xx x k k x f 24ln )4()(-++=，0>k .若),4[+∞∈k ，曲线)(x f y =上总存在相异两点),(11y x M ，),(22y x N 使得曲线)(x f y =在M ，N 两点处切线互相平行，求21x x +的取值范围.【解析】：)()(21x f x f '=' ）且21210,(x x x x ≠>，即144144222211--+=--+x x k k x x k k ， 即2121)4()(4x x kk x x ⋅+=+，而221212⎪⎭⎫⎝⎛+<⋅x x x x ，所以22121)2)(4()(4xx k k x x ++=+令k k k g 4)(+=，0)2)(2(41)(22>-+=-='k k k k k g ，所以5)4()(=≥g k g ，所以516416≤+kk ，所以21x x +的取值范围是),516(+∞.14. 已知函数)0(2121ln )(2≠+-=a x x a x f 对任意),1[+∞∈x ，都有0)(≤x f ，求a 的取值范围.【解析】：当0<a 时，)(x f 在),1[+∞上单调递减. 所以)(x f 在),1[+∞上的最大值为0)1(=f . 当1≤a ，)(x f 在),1[+∞上单调递减. 所以)(x f 在的最大值为0)1(=f .当1>a ，)(x f 在),1[a 上单调递增，所以)1()(f a f >，0)(>a f ，矛盾. 综上a 的取值范围是]1,0()0,( -∞15. 已知函数))((ln )(2R a x x a x x f ∈--=. 求)(x f 在]2,1[的最大值.【解析】：xax ax a ax x x f 1221)(2++-=+-='，0>x ；当0=a 时，0)(>'x f ，)(x f 在]2,1[上递增，2ln )2()(max ==f x f ； 当0≠a 时，令12)(2++-=ax ax x g ，]2,1[∈x当0<a 时，)(x f 在]2,1[上递增，a f x f 22ln )2()(max -==；当0>a 时，若0)1(≤g ，0)(<'x f 在]2,1[恒成立，)(x f 递减，0)1()(max ==f x f ；若0)1(>g ，0)2(<g ，即：161<<a 时，)(x f '在)48,1[2a a a a ++上大于零，]2,48(2a a a a ++上小于零， 所以)48()(2max a a a a f x f ++=84848ln 22-+++++=a a a a a a a .若0)1(>g ，0)2(≥g ，0)(>'x f 在]2,1[恒成立，)(x f 在]2,1[递增，所以a f x f 22ln )2()(max -==综上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+++++-084848ln 22ln 22a a a a aa a a 116161≥<<≤a a a16. 已知函数()()x xx f +=1ln 。

专题五导数与函数的最值基本知识点1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值：假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．例题分析一、求函数的最值例1(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36 C．12 D．0(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－e B．－1 C．－e D．0(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．解析(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.(2)f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x －3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2) 2∴当x ＝－3时，f (x )取最小值－60； 当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4.答案 (1)D (2)B (3) 最小值－60；最大值4. 归纳总结：求函数最值的四个步骤： 第一步，求函数的定义域； 第二步，求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； 第三步，列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表；第四步，求极值、端点值，其中最大者便是最大值，最小者便是最小值． (对应训练一)求下列函数的最值．(1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．解析 (1)f (x )＝2x 3－12x ，∴f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0解得x ＝－2或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因为f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(对应训练二)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝__________.解析 f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈[－2,2]． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2， 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值．∴f (0)＝m ＝1． 答案 1二、已知函数的最值求参数例2 已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解析 函数的定义域为[1，e]，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1，e]上是增函数， f (x )min ＝f (1)＝ln 1＋a ＝32，∴a ＝32∉(－∞，1]，故舍去．②当1<a <e 时，令f ′(x )＝0得x ＝a ，函数f (x )在[1，a ]上是减函数，在[a ，e]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋a a ＝32.∴a ＝e ∈(1，e)，故符合题意．③当a ≥e 时，f ′(x )≤0，函数f (x )在[1，e]上是减函数，f (x )min ＝f (e)＝ln e ＋a e ＝32，∴a ＝12e ∉[e ，＋∞)，故舍去，综上所述a ＝ e.归纳总结：解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a 的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a 的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值．(对应训练一)若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b (a >0)，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．解析 f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3a (x 2－4x )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，因为x ∈[－1，2]，所以x ＝0. 因为a >0，所以f (x )，f ′(x )随x 变化情况如下表：x(－(所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，所以当x＝2时，f(x)取最小值，则－16a＋3＝－29，所以a＝2，所以a＝2，b＝3.(对应训练二)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．解析h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表．当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.(对应训练三)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．解析依题意，显然a≠0.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f′(x )＋－f(x ) －7a ＋b↗极大值↘－16a ＋b由上表知，当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以f (0)＝b ＝3. 又f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，故f (－1)＞f (2)， 所以当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，a ＝2. (2)若a ＜0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1(－1,0)(0,2)2f′(x )－＋f (x )－7a ＋b↘极小值↗－16a ＋b所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，所以f (0)＝b ＝－29. 又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，故f (2)＞f (－1)． 所以当x ＝2时，f (x )取得最大值， 即－16a －29＝3，a ＝－2.综上所述，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.三、含参数的最值问题例3 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋2k ln x . (1)若k ＝－2，求函数的递减区间；(2)当k >0时，记函数g (x )＝f ′(x )，求函数g (x )在区间(0,2]上的最小值． 解析 (1)当k ＝－2时，f (x )＝(x ＋1)2－4ln x ，f ′(x )＝2x ＋2－4x (x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <1.故函数的递减区间为(0,1)． (2)∵g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2k x ＋2∴g ′(x )＝2－2kx2.∵k >0，x ∈(0,2)，∴当k ≥4时，g ′(x )<0， g (x )在(0,2]上为减函数． 因此，g (x )有最小值g (2)＝k ＋6；当0<k <4时，在(0，k ]上g ′(x )<0，在[k ，2]上g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，k ]上为减函数，在[k ，2]上为增函数． 故g (x )有最小值g (k )＝4k ＋2.综上，当0<k <4时，g (x )在区间(0,2]上的最小值为4k ＋2；当k ≥4时，g (x )在(0,2]上的最小值为k ＋6.归纳总结：含参数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性不同，从而导致最值的变化．因此，需要分类讨论.(对应训练)已知函数f (x )＝ln x x .(1)求f (x )在点(1，0)处的切线方程； (2)求函数f (x )在[1，t ]上的最大值．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1－ln xx 2. (1)f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －1. (2)令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当1<t <e 时，f (x )在[1，t ]上单调递增，f (x )max ＝f (t )＝ln tt，当t ≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，t ]上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e ，综上，f (x )max ＝⎩⎨⎧ln tt，1<t <e ，1e，t ≥e.四、导数的综合应用例4 设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解析 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12.又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2，故a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． ∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，为－8 2.当x ＝3时，f (x )取得最大值，为18. (对应训练)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．解析 (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由第一问知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1，2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.专题训练1．函数f (x )＝x 3－3x (－1<x <1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值 解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．因为－1<x <1，所以x 2<1.所以3(x 2－1)<0，即f ′(x )<0. 所以f (x )是(－1，1)上的减函数，f (1)<f (x )<f (－1)， 故f (x )在－1<x <1时既无最大值，也无最小值，故选C.2．函数y ＝xex 在[0，2]上的最大值是( )A ．当x ＝1时，y ＝1eB ．当x ＝2时，y ＝2e 2C ．当x ＝0时，y ＝0D ．当x ＝12时，y ＝12e解析 因为y ′＝1－xe x，所以当y ′＝0时，x ＝1.又因为当0<x <1时，y ′>0， 当1<x <2时，y ′<0，所以x ＝1是y ＝x e x 的极大值点，所以在[0，2]上y max ＝1e .答案 A3．当函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为( ) A ．0 B ．π6 C ．π3 D ．π2解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x . 令x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6. 答案 B4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A ．2B ．1C ．233 D ．0解析 因为f (x )在x ＝π3处有最值，所以x ＝π3是函数f (x )的极值点．又因为f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x (x ∈R)，所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 答案 A5．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22.6．函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( )A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值解析 f ′(x )＝2x ＋x ·(2x )′＝2x ＋x ·2x ·ln 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1ln 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－1ln 2，＋∞时，f ′(x )>0， 故函数在x ＝－1ln 2处取极小值，也是最小值． 答案 D7．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12， ∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎡⎭⎫0，π6上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故应选B. 答案 B8．若函数f (x )在区间[a ，b ]上满足f ′(x )>0，则f (a )是函数的最________值，f (b )是函数的最________值．解析 由f ′(x )>0知，函数f (x )在区间[a ，b ]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (b )为最大值．答案 小 大9．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时的最大值，最小值分别是________． 解析 f ′(x )＝cos x －sin x ，令f ′(x )＝0，即tan x ＝1，而x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以x ＝π4.又f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，函数的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1. 答案 2，－110．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)．∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ，∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案 2011．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值． 解析 (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点， 代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4， ∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：11∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.答案 (1) a ＝2，b ＝－4 (2) 1312．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最大值． 解析 (1)f ′(x )＝a x －2bx .由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0f （1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12. (2)由第一问，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x. 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在(1e，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减， 所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝－12. 答案 (1) ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12(2) －12。

第2节 导数的运算1.基本初等函数的导数公式表y ＝f (x )y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1，n 为正整数y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q) y ′＝μx μ－1，μ为有理数 y ＝a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝a x ln a y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos xy ＝－sin_x例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 12 (2)y ＝5x 3 (3)y ＝log 2x (4)y ＝2sin x 2cos x2 （5）y=2018sin60°[精解详析] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 25-＝355x 2；(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2； (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2′＝(sin x )′＝cos x .（5）0练习：下列导数运算正确的是（ ） A ．（sinx ）'=﹣cosx B ．C ．（3x ）'=3xD ．解：（sinx ）′=cosx ；（log2x ）′=；（3x ）′=3x ln3；（）′=﹣，故选：B ． 例2：函数y=2x 在x=0处的导数是（ ）A．0 B．1 C．ln2 D．解：∵y′=2x ln2，∴y′|x=0=ln2，故选：C．练习：函数y=在x=1处的导数值为（）A．﹣B．2 C．1 D．解：∵，∴f′（1）=．故选：D．例3：若函数f（x）=sinx，则=（）A．B．C．1 D．0 解：根据题意，f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f（x）+f′（x）=sinx+cosx，则=sin+cos=+=；故选：B．练习：已知函数f（x）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16 解：函数的导数f′（x）=﹣2x﹣3=﹣，则f′（）=﹣=﹣16，故选：D．例4：若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±2 解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x0）=20，∴5x04=20，得x04=4，则x0=±，故选：B．练习：设f（x）=lnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A ．2B ．C ．D ．ln2解：f （x ）=lnx ，则f′（x ）=， f′（x 0）=2， 可得x 0=． 故选：B ．2．导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则法则语言叙述[]f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 例5：已知函数，且f'（x 0）=4，则x 0= ． 解：函数的导数f′（x ）=2x ﹣8，∵f'（x 0）=4， ∴2x 0﹣8=4，即2x 0=12得x 0=3．故答案为：3．练习：已知函数y=ax 2+b 在点（1，3）处的导数为2，则= ． 解：函数y=ax 2+b 的导数为y′=2ax ，由函数在点（1，3）处的切线斜率为2，可得f （1）=a +b=3，f′（1）=2a=2，解得a=1，b=2．则=2．故答案为2例6：已知函数f（x）的导数为f′（x），若有f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（2）=（）A．﹣12 B．12 C．6 D．﹣6解：根据题意，f（x）=3x2+2xf′（2），则导数f′（x）=6x+2f′（2），令x=2可得：f′（2）=12+2f′（2），解可得f′（2）=﹣12，故选：A．练习：（1）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=．解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．（2）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1解：∵f（x）=f′（）sinx+cosx，∴f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，则f′（）=f′（）cos﹣sin=f′（）﹣，则f′（）==﹣（），则f（x）=﹣（）sinx+cosx，则f（）=﹣（）sin+cos=﹣（）×+=﹣1，故选：D．例7：设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinxC．2e x sinx D．﹣2e x（sinx+cosx）解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选：D．练习：已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=alnx+ax=alnx+a，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．例8：函数的导数是（）A．B．﹣sinxC．D．解：根据导数的运算法则可得，y′====﹣故选：C．练习：设f′（x）是函数的导函数，则f'（0）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．解：根据题意，，其导数f′（x）==﹣，则f'（0）=﹣1；故选：C．例9：已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x ）=e x lnx +•e x ； ∴f′（1）=e•ln1+1•e=e ． 故答案为：e ． 练习：已知函数f （θ）=，则 f′（0）= ．解：函数f （θ）=，则 f′（θ）==所以f′（0）= 故答案为例10：设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[精解详析] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分)由①②得⎩⎨⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．(9分)令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．(10分)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)练习：设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3（1）求f（x）的解析式（2）求f（x）在点（3，f（3））处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）函数f（x）=ax+（a，b∈Z），导数f′（x）=a﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，可得f（2）=2a+=3，f′（2）=a﹣=0，解方程可得a=1，b=﹣1，（分数舍去），则f（x）=x+；（2）由f（x）的导数为f′（x）=1﹣，可得在点（3，f（3））处的切线斜率为1﹣=，切点为（3，），则在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣=（x﹣3），令x=0，可得y=﹣=；令y=0，可得x=3﹣=﹣，则切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为××=．。