福建高考数学试题理科

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔 〕〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔 〕 〔A 〕圆柱 〔B 〕圆锥 〔C 〕四面体 〔D 〕三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔 〕 〔A 〕8〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =， 则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不 正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函 数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔 〕 〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =，AB =OAB ∆的面积为1122=； 当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ． 【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键．〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕()f x 是偶函数 〔B 〕()f x 是增函数 〔C 〕()f x 是周期函数 〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔 〕〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔 〕〔A 〕 〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ． 【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔 〕 〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()552345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ． 【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为 ． 【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于 ． 【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒， 则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23． 【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 〔单位：元〕．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 ．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =． 【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． 〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； 〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：解法一： 〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=． 〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 解法二：2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+， 〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==． 〔2〕22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．〔1〕求证：AB CD ⊥；〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-． 设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题． 〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾 客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====． 即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕． 〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可 能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同 理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．〔1〕求双曲线E 的离心率；〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =． 〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=． 假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=． 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ． 由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<， 所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=． 【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <． 解：解法一：〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递 增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②假设01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只 要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：〔1〕同解法一．〔2〕同解法一．〔3〕对任意给定的正数c，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >， 所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． 〔1〕求矩阵A ；〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ． 〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特 征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t=-⎧⎨=-⎩，〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕． 〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤≤【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．〔1〕求a 的值；〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +1 2．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 3．在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-4．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a6．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==7．已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中 点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．515arccos B ．4πC ．510arccosD ．2π9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+11．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程0)(=x f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

Ax0 +Bx+CA2 +B22 5y一．选择题2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题共50 分)1．已知复数z 的共轭复数z =1+ 2i （i为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】z 的共轭复数z = 1+ 2i ，则z = 1- 2i ，对应点的坐标为(1, -2) ，故答案为D．2．已知集合A ={1, a}, B ={1, 2, 3},则“a = 3”是“A ⊆B ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a = 3 ⇒A ⊆B, A ⊆B ⇒a = 2 ，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线x2-24=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．25【答案】Cx2-B．452C．2 55D．4 55x22【解析】4y =1 的顶点坐标为(±2, 0) ，渐近线为-y4= 0 ，即x ± 2 y = 0 ．带入点到直线距离公式±2d == =．12 + (±2)2 54．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【答案】B【解析】由图知道60 分以上人员的频率为后 4 项频率的和，由图知道P = (0.03 + 0.025 + 0.015 + 0.01) *10 = 0.8故分数在60 以上的人数为600*0．8=480 人．5．满足a, b∈{-1, 0,1, 2}，且关于x 的方程ax2 + 2x +b = 0 有实数解的有序数对(a, b)的个数为（）A．14B．13C．12D．10【答案】B【解析】方程ax2 + 2x +b = 0 有实数解，分析讨论①当a = 0 时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4 个值．故有4 种有序数对②当a ≠ 0时，需要∆= 4 - 4ab ≥ 0 ，即ab ≤1．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．n nn n(a, b) 共有4*4=16 中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的k =10 ，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n-1}的前10项和B．计算数列{2n-1}的前9项和C．计算数列{2n-1}的前10项和D．计算数列{2n-1}的前9项和【答案】C【解析】第一循环：S = 1, i = 2，i < 10 第二条：S = 3, i = 3, i < 10第三条：S = 7, i = 4, i < 10 …．．第九循环：S=29-1,i=10,i=10．第十循环：S=210-1,i=11,i>10，输出S．根据选项，S = 1(1 - 210 )1- 2，故为数列2 n-1的前10 项和．故答案A．7．在四边形ABCD 中，AC = (1, 2) ，BD = (-4, 2) ，则四边形的面积为（）A．【答案】CB．2 C．5 D．10【解析】由题意，容易得到AC ⊥BD ．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和1 1即S= ( AO * DO +AO * BO +CO * DO +CO * BO) =2 2( AC * BD ) ．容易算出AC = 5, BD = 2 ，则算出S=5．故答案C8．设函数f (x) 的定义域为R，x0 (x0 ≠ 0) 是f (x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x ∈R, f (x) ≤ f (x0 ) B．-x0 是f (-x) 的极小值点C．-x0 是-f (x) 的极小值点D．-x0 是-f (-x) 的极小值点【答案】D【解析】A．∀x ∈R, f (x) ≤ f (x0 ) ，错误．x0 (x0 ≠ 0) 是f (x) 的极大值点，并不是最大值点．B．-x0 是f (-x) 的极小值点．错误．f (-x) 相当于f (x) 关于y 轴的对称图像，故-x0 应是f (-x) 的极大值点C．-x0 是-f (x) 的极小值点．错误．-f (x) 相当于f (x) 关于x 轴的对称图像，故x0 应是-f (x) 的极小值点．跟-x没有关系．D．-x0 是-f (-x) 的极小值点．正确．-f (-x) 相当于f (x) 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{a n }的公比为q，记b n =a m( n-1)+1 +a m( n-1)+2 + ... +a m( n-1)+m ,c =a ⋅a ⋅...⋅a (m, n ∈N* ), 则以下结论一定正确的是（）n m(n-1)+1 m(n-1)+2 m(n-1)+mA．数列{b }为等差数列，公差为q mC．数列{c}为等比数列，公比为q m2【答案】C【解析】等比数列{an }的公比为q,B．数列{b }为等比数列，公比为q2mD．数列{c}为等比数列，公比为q m m5553⨯ 222 2⎨ 2= a ⋅ a,2= a ⋅ ac = a ⋅ a ⋅...⋅ a , c = a ⋅ a⋅ ...⋅ a,am +222m +2am +mm2m +m112m2m +1m +2m +mc = a⋅ a ⋅ ...⋅ a, ∴c 2= c ⋅ c ∴数列{c }为等比数列，32 m +1 2 m +22 m +m213nc a ⋅ a ⋅...⋅ a a ⋅ a ⋅...⋅ a ⋅ q2m2 2 = m +1 m +2 m +m = 1 2 m= q 2m = q m 故选 C c 1 a 1 ⋅ a 2 ⋅...⋅ a m a 1 ⋅ a 2 ⋅...⋅ a m10 ． 设 S ， T ， 是 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 如 果 存 在 一 个 从 S 到 T 的 函 数 y = f (x ) 满 足 ：(i )T = { f (x ) | x ∈ S }; (ii ) 对任意 x 1 , x 2 ∈ S , 当 x 1 < x 2 时，恒有 f (x 1 ) < f (x 2 ) ，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ． A = N *, B = NC ． A = {x | 0 < x < 1}, B = R 【答案】DB ． A = {x | -1 ≤ x ≤ 3}, B = {x | x = -8或0 < x ≤ 10}D ． A = Z , B = Q【解析】根据题意可知，令 f (x ) = x -1，则 A 选项正确； ⎧5 x + 5(-1 < x ≤ 3)令 f (x ) = ⎪22⎪⎩-8(x = -1)1，则 B 选项正确；令 f (x ) = tan π(x - )，则 C 选项正确；故答案为 D ．2二．填空题11．利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a ，则时间“ 3a -1 > 0 ”发生的概率为 2【答案】31- 1【解析】 3a -1 > 0∴ a > 1 a 产生 0~1 之间的均匀随机数∴ a ∈ 31 ( ,1) 3 ∴ p =3 = 2 1 312．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示， 且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 【答案】12π【 解 析 】 由 图 可 知 ， 图 形 为 一 个 球 中 间 是 内 接 一 个 棱 长 为 2 的 正 方 体 ，∴ R 球 = 2= 3 ∴S 表 = 4πR = 12π13．如图∆ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD ⊥ AC ，sin ∠BAC = 的长为【答案】 3, AB = 3 2, AD = 3则 BD sin ∠BAC = sin(∠BAD +π= cos ∠BAD =2 232【解析】2) 33 1+ 3BD 1 1 3 n +1n n n n 2C 1dx + 2C xdx + 2C x 2dx +...+ 2C x n dx +...= ( ) ( ) ( ) [( ) ∴根据余弦定理可得cos ∠BAD =AB 2 + AD 2 - BD 22 AB ⋅ AD∴ 2 2 = (3 2)2 + 32 - BD 2 ∴ = 3 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3x 2 y 214．椭圆Γ : + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左．右焦点分别为 F 1 , F 2，焦距为 2c ，若直线 y = 3(x + c ) 与椭圆Γ 的一个交点 M 满足∠MF 1F 2 = 2∠MF 2 F 1 ，则该椭圆的离心率等于【答案】 -1π 2π【 解 析 】 由 直 线 方 程 y = 3(x + c ) ⇒ 直 线 与 x 轴 的 夹 角 ∠MF 1F 2 = 3 或 3， 且 过 点F （-c,0） ∠MF F = 2∠MF F ∴ ∠MF F = 2∠MF F =π即 1 1 2 2 1 1 2 2 13F 1M ⊥ F 2 M ∴在RT ∆F 1MF 2中 F 1F 2 = 2c , F 1M = c , F 2 M = 3c ∴ 由 椭 圆 的 第 一 定 义 可 得2a = c +3c ∴ c = a 2 = 3 -115．当 x ∈ R , x < 1时，有如下表达式:1+ x + x 2+ ... + x n+ ... =1 . 1- x1 1 1 1 1 1 两边同时积分得： ⎰2 1dx + ⎰ 2 xdx + ⎰ 2 x 2dx + ... + ⎰ 2 x n dx + ... = ⎰ 2 dx . 0 0 0 0 0 1- x 从而得到如下等式：1⨯ + ⨯1 2 + 1 ⨯1 3+ ... +1 ⨯ 1n +1+ ... = ln 2. ( ) ( )2 2 23 2请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：( ) n +1 2 C 0⨯ 1 + 1 C 1 ⨯ ( 1 )2 + 1 C 2 ⨯ ( 1 )3 + ... + 1 C n ⨯ ( 1 )n +1=n 2 2 n 2 3 n 2n +1 n 2 1 【答案】 [( ) -1]n +1 2【解析】由C 01+ C 1 x + C 2 x 2 + ... + C n x n + ... = (1+ x )n1 1 1 1 1 ⎰0 n⎰0n ⎰0n ⎰0n ⎰0从而得到如下等式：C 0⨯ 1 + 1 C 1 ⨯ 1 2 + 1C 2 ⨯ 1 3 +...+ 1 C n ⨯ 1 n +1 = 13 n +1 -1] n 2 2 n 2 3 n 2 n +1n 2 n +1 2三．解答题 16．（本小题满分 13 分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中2 奖率为 3，中将可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 25，中将可以得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X ，求 X ≤ 3的概率； （2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分3两边同时积分得：2(1+x )n dx .的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分 13 分． 2 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为 32，小红中奖的概率为 5，两人中奖与否互不影响，记“这 2人的累计得分 X ≤ 3”的事件为 A ，则 A 事件的对立事件为“ X = 5”，P ( X = 5) = 2 ⨯ 2 = 4 ，∴ P ( A ) = 1 - P ( X = 5) = 113 5 15 15∴这两人的累计得分 X11≤ 3的概率为 ． 15（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X 2 ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2 X 1 ) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2 )2 2由已知： X 1 ~ B (2, 3) ， X 2 ~ B (2, 5)∴ E ( X ) = 2 ⨯ 2 = 4 ， E ( X ) = 2 ⨯ 2 = 41 3 3 25 5∴ E (2 X ) = 2E ( X ) = 8， E (3X ) = 3E ( X ) = 121 1 3 E (2 X 1 ) > E (3X 2 )2 25∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = x - a ln x (a ∈ R )（1）当 a = 2时，求曲线 y = （2）求函数 f (x ) 的极值．f (x ) 在点 A (1, f (1)) 处的切线方程； 本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分 类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分 13 分． 解：函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) ， f '(x ) = 1 - a．x（Ⅰ）当 a = 2 时， f ( x ) = x - 2 ln x ， f '( x ) = 1 - 2( x > 0) ，x∴ f (1) = 1, f '(1) = -1，∴ y = f (x )在点 A (1, f (1)) 处的切线方程为 y -1 = -(x -1)， 即 x + y - 2 = 0 ．（Ⅱ）由 f '( x ) = 1 - a = x - a, x > 0可知：x x①当a ≤ 0 时， f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 为(0, +∞) 上的增函数，函数 f (x ) 无极值； ②当a > 0 时，由 f '(x ) = 0 ，解得 x = a ；x ∈(0, a )时， f '(x ) < 0 ， x ∈(a , +∞) 时， f '(x ) > 0∴ f ( x ) 在 x = a 处取得极小值，且极小值为 f (a ) = a - a ln a ，无极大值． 综上：当 a ≤ 0 时，函数 f (x )无极值i i ⎪ i ⎩ ⎩ 当a > 0 时，函数 f (x )在 x = a 处取得极小值 a - a ln a ，无极大值．18．（本小题满分 13 分）如图，在正方形OABC 中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为(10, 0) ，点C 的坐标为(0,10) ．分别将线段OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A 1 , A 2 ,....A 9 和 B 1 , B 2 ,....B 9 ，连结OB ，过 A 做 x 轴的垂线与OB 交于点 P (i ∈ N * ,1 ≤ i ≤ 9) ．iiii（1）求证：点 P (i ∈ N *,1 ≤ i ≤ 9) 都在同一条抛物线上，并求该抛物线 E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ，若 ∆OCM 与 ∆OCN 的面积比为 4 :1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分 13 分． 解：（Ⅰ）依题意，过 A (i ∈ N *,1 ≤ i ≤ 9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x = i B (10,i ) ，∴直线OB 的方程为 y = i xi i10⎧ x = i 1 设 P 坐标为(x , y ) ，由 ⎪ i 得： y = x 2 ，即 x 2 = 10 y ， i⎨ y = x10 ⎩ 10∴ P (i ∈ N *,1 ≤ i ≤ 9) 都在同一条抛物线上，且抛物线 E 方程为 x 2= 10 y （Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y = kx + 10 ⎧ y = kx + 10 2 由 ⎨ x 2 = 10 y 得 x -10kx -100 = 0此时 ∆ = 100k 2+400 > 0 ，直线l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N⎧ x 1 + x 2 = 10k设： M (x 1, y 1 )N (x 2 , y 2 ) ，则 ⎨ x ⋅ x = -100S ∆OCM = 4S ∆OCN ∴ x 1 ⎩ 1 2= 4 x 2又 x 1 ⋅ x 2 < 0 ，∴ x 1 = -4x 2 分别带入 ⎧ y = kx + 10 ，解得 k = ± 3⎨ x 2 = 10 y2直线l 的方程为 y = ± 3 x +10 ，即3x - 2 y + 20 = 0或3x +2 y - 20 = 0219．（本小题满分 13 分）如图，在四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，侧棱 AA 1 ⊥ 底面ABCD ，AB / / DC ，AA 1 = 1， AB = 3k ， AD = 4k ， BC = 5k ， DC = 6k (k > 0) ． （1）求证： CD ⊥ 平面ADD 1A 1;36k 2+13 ⎧ ⎨（2）若直线 AA 与平面 AB C 所成角的正弦值为 6 ，求 k 的值；1 17（3）现将与四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f (k ) ， 写出 f (k ) 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及 表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能 力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分 13 分． 解：（Ⅰ）取CD 中点 E ，连接 BE Q AB / / DE ， AB = DE = 3k ∴四边形 ABED 为平行四边形 ∴ BE / / AD 且 BE = AD = 4k 在V BCE 中， Q BE = 4k , CE = 3k , BC = 5k∴ BE 2 + CE 2 = BC 2 ∴∠BEC = 90︒,即 BE ⊥ CD ，又Q BE / / AD ，所以CD ⊥ AD Q AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， CD ⊂ 平面 ABCD ∴ AA 1 ⊥ CD ，又 AA 1 I AD = A ， ∴CD ⊥ 平面 ADD 1 A 1（Ⅱ） 以 D 为原点， DA , DC , DD 1 的方向为 x , y , z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A (4k , 0, 0) ， C (0, 6k , 0) ，B 1 (4k , 3k ,1) ， A 1 (4k , 0,1)所以 AC = (-4k , 6k , 0) ， AB 1 = (0, 3k ,1) ， AA 1 = (0, 0,1)uuur⎪ AC ⋅ n = 0设平面 AB 1C 的法向量 n = (x , y , z ) ，则由 ⎨uuur⎪⎩ AB 1 ⋅ n = 0⎧-4kx + 6ky = 0得 ⎩ 3ky + z = 0 取 y = 2 ，得 n = (3, 2, -6k )uuur设 AA 与平面 AB C 所成角为θ，则sin θ=| cos 〈 AA , n 〉 |= 1=1 1= 6 ，解得 k = 1．故所求 k 的值为 1 7（Ⅲ）共有4 种不同的方案⎧72k 2+ 26k , 0 < k ≤ 5 f (k ) = ⎪18⎨⎪ 36k 2 + 36k , k > 5 ⎩ 1820．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x ) = sin(ωx +ϕ)(ω> 0, 0 < ϕ< π) 的周期为π，图像的一个对u uu r u u u r AA , n 1 | AA 1 | ⋅ | n |2 2 ( , ) π称中心为( , 0) ，将函数 f (x ) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），在将4所得图像向右平移 π个单位长度后得到函数 g (x ) 的图像．2（1）求函数 f (x ) 与 g (x ) 的解析式；π π（2）是否存在 x 0 ∈ ( , ) ，使得 f (x 0 ), g (x 0 ), f (x 0 )g (x 0 ) 按照某种顺序成等差数列？若存在，请6 4确定 x 0 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数 a 与正整数 n ，使得 F (x ) =f (x ) + ag (x ) 在(0, n π) 内恰有 2013 个零点．本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导 数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分 14 分． 解：（Ⅰ）由函数 f (x ) = sin(ωx +ϕ) 的周期为π，ω> 0 ，得ω= 2 π又曲线 y = f (x ) 的一个对称中心为( , 0) ，ϕ∈ (0,π)4π π π故 f ( ) = sin(2 ⨯+ϕ) = 0 ，得ϕ= ，所以 f (x ) = cos 2x4 4 2将函数 f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）后可得 y = cos x 的图象，再将πy = cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g (x ) = sin x2π π 1 1（Ⅱ）当 x ∈ ( , ) 时， < sin x < ， 0 < cos 2x <6 4 2 2 2所以sin x > cos 2x > sin x cos 2xπ π问题转化为方程 2 cos 2x = sin x + sin x cos 2x 在( , ) 内是否有解6 4 π π设G (x ) = sin x + sin x cos 2x - 2 cos 2x ， x ∈ ( , )6 4则G '(x ) = cos x + cos x cos 2x + 2 sin 2x (2 - sin x )因为 x ∈ π π ，所以G '(x ) > 0 ， G (x ) 在 6 4 π π ( , ) 内单调递增 6 4 π 1 π又G ( ) = - < 0， G ( ) = > 06 4 4 2π π且函数G (x ) 的图象连续不断，故可知函数G (x ) 在( , ) 内存在唯一零点 x 0 ，6 4π π即存在唯一的 x 0 ∈ ( , ) 满足题意6 4（Ⅲ）依题意， F (x ) = a sin x + cos 2x ，令 F (x ) = a sin x + cos 2x = 0当sin x = 0，即 x = k π(k ∈ Z ) 时，cos 2x = 1，从而 x = k π(k ∈ Z ) 不是方程 F (x ) = 0 的解，所以方程 F (x ) = 0 等价于关于 x 的方程 a = - cos 2x， x ≠ k π(k ∈ Z )sin x现研究 x ∈ (0,π) U (π, 2π) 时方程解的情况cos 2x ⎢0 1⎥ y y y y ⎨ 令 h (x ) = -，x ∈ (0,π) U (π, 2π)sin x则问题转化为研究直线 y = a 与曲线 y = h (x )在 x ∈ (0,π) U (π, 2π) 的交点情况' cos x (2 s in 2 x +1) 'π 3πh (x ) = ，令 h (x ) = 0 ，得 x = 或 x =sin 2 x 2 2当变化时， 和 '变化情况如下表当 且 趋近于时， 趋向于当 x < π且 x 趋近于π时， h (x ) 趋向于-∞ 当 x >π且 x 趋近于π时， h (x ) 趋向于 +∞当 x < 2π且 x 趋近于 2π时， h (x ) 趋向于 +∞故当 a > 1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x )在(0,π) 内有无交点，在(π, 2π) 内有2 个交点； 当 a < -1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x )在(0,π) 内有2 个交点，在(π, 2π) 内无交点；当 -1 < a < 1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x )在(0,π) 内有2 个交点，在(π, 2π) 内有 2 个交点由函数 h (x ) 的周期性，可知当 a ≠ ±1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x )在(0, n π) 内总有偶数个交点， 从而不存在正整数 n ，使得直线 y = a 与曲线 y = h (x )在(0, n π) 内恰有 2013个交点；当 a = ±1时， 直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在 (0,π) U (π, 2π) 内有 3 个交点， 由周期性， 2013 = 3⨯ 671 ， 所以n = 671⨯ 2 = 1342综上，当 a = ±1， n = 1342 时，函数 F (x ) = f (x ) + ag (x ) 在(0, n π) 内恰有 2013个零点21．（本题满分 14 分） （1）（本小题满分 7 分）矩阵与变换 已知直线l : ax + y = 1在矩阵 A =⎡1 2⎤ 对应的变换作用下变为直线l ': x + by = 1．⎣ ⎦（1）求实数 a , b 的值；（2）若点 p (x , y ) 在直线l 上，且 A ⎛ x 0 ⎫ = ⎛ x 0 ⎫，求点 p 的坐标．⎝ ⎪ ⎪0 ⎭ ⎝ 0 ⎭本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分 7 分． 解：解：（Ⅰ）设直线l : ax + y = 1上任意一点 M (x , y ) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M '(x ', y ')⎛ x ' ⎫ ⎛ 1 2⎫ ⎛ x ⎫ ⎛ x + 2y ⎫ ⎧x ' = x + 2 y由 y '⎪ = 0 1⎪ y ⎪ =y ⎪ ，得 ⎨ y ' = y ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩又点 M '(x ', y ') 在l '上，所以 x ' + by ' = 1，即 x + (b + 2) y = 1⎧依题意 ⎨ a = 1 ⎧ a = 1 ，解得⎨⎩b + 2 = 1 ⎩b = -1 （Ⅱ）由 A ⎛ x 0 ⎫ = ⎛ x 0 ⎫ ，得 ⎧x 0 = x 0 + 2y 0解得 y = 0⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎩ 0 = y 0 y 0又点P(x0 , y) 在直线l 上，所以x12 故点 P 的坐标为(1, 0)（2）（本小题满分 7 分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点 A 的极坐标为 π ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ- π= a ，且点 A 在直线l 上． ( 2, ) ) 4 4（1）求 a 的值及直线l 的直角坐标方程； ⎧x = 1+ cos α（2）圆 c 的参数方程为 ⎨ ⎩y = sin α ，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归 与转化思想，满分 7 分．π解：（Ⅰ）由点 A ( 2, ) 在直线ρcos(θ- 4 ) = a 上，可得 a = 4所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ ρsin θ= 2从而直线l 的直角坐标方程为 x + y - 2 = 0（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为(x -1)2 + y 2 = 1所以圆心为(1, 0) ，半径 r = 1以为圆心到直线的距离 d =< 1，所以直线与圆相交 2（3）（本小题满分 7 分）不等式选讲设不等式 x - 2 < a (a ∈ N * ) 的解集为 A ，且 3 ∈ A ， 1∉ A ． 22（1）求 a 的值；（2）求函数 f (x ) = x + a + x - 2 的最小值． 本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分 7 分．解：（Ⅰ）因为3 ∈ A ，且 2 1 ∉ A ，所以 2 3 - 2 < a ，且 2 1 - 2 ≥ a 2 解得 1 < a ≤ 3 ，又因为 a ∈ N * ，所以 a = 12 2（Ⅱ）因为| x +1| + | x - 2 |≥| (x +1) - (x - 2) |= 3当且仅当(x +1)(x - 2) ≤ 0 ，即 -1 ≤ x ≤ 2时取得等号，所以 f (x ) 的最小值为3 2 π。

2013年福建省高考数学试卷及解析（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45【答案】C【解析】 2214x y -=0=．带入点到直线距离公式d ==4[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++= 故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)S -=，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A C ．5 D ．10【答案】C．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............m m m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ． 二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，212R R ππ∴==球13．如图ABC ∆中，已知点D 在3AD ==则BD 的长为_______________【解析】sin sin(BAC BAD ∠=∠∴3∴=14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________ 1【解析】由直线方程()y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）1222M F F M F F ∠=∠∴122123M F F M F F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn nnnnC dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115．（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =（2）求函数()f x 的极值．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)iP i N i ∈≤≤． （1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形//BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =u u u r ，1(0,0,1)AA =u u u r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分．解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x = （Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<，10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于的方程cos 2x当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分． 解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉解得1322a <≤，又因为*a N ∈（Ⅱ）因为|1||2||(1)x x x ++-≥+当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即1-≤。

2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i 2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A ．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．?考点：虚数单位i及其性质；交集及其运算．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．解答：解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）A ．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x考点：函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A11 B9 C 5 D 3．．．．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解答：解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A ．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．解答：解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A ．B．﹣2 C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．解答：解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l?α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．点评：本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x 2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A ．6 B．7 C．8 D．9考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．解答：解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A ．13 B．15 C．19 D．21考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．解答：解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A ．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：创新题型；导数的概念及应用．分析：根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．解答：解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．解答：解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r+1=?x5﹣r?2r，令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．考点：余弦定理的应用．专计算题；解三角形．题：分析：利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．解答：解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．点评：本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．考点：定积分的简单应用；几何概型．专题：导数的综合应用；概率与统计．分析：分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．解答：解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2，故答案为：（1，2]．点评：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．考点：通讯安全中的基本问题．专题：创新题型；新定义．分析：根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．解答：解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．点评：本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1=，P（X=2==，P（X=3==，所以X的分布列为：X 1 2 3PEX=1×+2×+3×=．点评：本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．解答：解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE?平面ADE，GM?平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．点评：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．解答：解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．点评：本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．19．（13分）（2015?福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x=m）在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：创新题型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=），从而可求||＜1，即可得解．（ii）由题意可得sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+j），当﹣＜m＜1时，可求α﹣β=3π﹣2（b+j），由cos（α﹣β）=2sin2（β+j）﹣1，从而得证．解答：解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=）依题意，sin（x+j）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．（ii）因为α，β是方程sin（x+j）=m在区间[0，2π）内有两个不同的解，所以sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=π﹣2（β+j）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=3π﹣2（β+j）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+j）=2sin2（β+j）﹣1=2（）2﹣1=．点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）（2015?福建）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）令F （x ）=f （x ）﹣x=ln （1+x ）﹣x ，x ＞0，求导得到F ′（x ）＜0，说明F （x ）在（0，+∞）上单调递减，则x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）令G （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ln （1+x ）﹣kx ，x ∈（0，+∞），可得k ≤0时，G ′（x ）＞0，说明G （x ）在（0，+∞）上单调递增，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；当0＜k ＜1时，由G ′（x ）=0，求得．取，对任意x ∈（0，x 0），恒有G ′（x ）＞0，G （x ）在上单调递增，G （x ）＞G （0）=0，即f （x ）＞g （x ）；（3）分k ＞1、k ＜1和k=1把不等式|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2的左边去绝对值，当k ＞1时，利用导数求得|f （x ）﹣g （x ）|＞x 2，满足题意的t 不存在．当k ＜1时，由（2）知存在x 0＞0，使得对任意的任意x ∈（0，x 0），f （x ）＞g （x ）．令N （x ）=ln （1+x ）﹣kx ﹣x 2，x ∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t 不存在．当k=1，由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，|f （x ）﹣g （x ）|=g （x ）﹣f （x ）=x ﹣ln （1+x ），令H （x ）=x ﹣ln （1+x ）﹣x 2，x ∈[0，+∞），则有x ＞0，H ′（x ）＜0，H （x ）在[0，+∞）上单调递减，故H （x ）＜H （0）=0，说明当x ＞0时，恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2，此时，任意实数t 满足题意．解答：（1）证明：令F （x ）=f （x ）﹣x=ln （1+x ）﹣x ，x ＞0，则有F ′（x ）=﹣1=﹣，∵x ＞0，∴F ′（x ）＜0，∴F （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴F （x ）＜F （0）=0，∴x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：令G （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ln （1+x ）﹣kx ，x ∈（0，+∞），则有G ′（x ）=﹣k=，当k ≤0时，G ′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴G （x ）＞g （0）=0，故对任意正实数x 0均满足题意．当0＜k ＜1时，令G ′（x ）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln （1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．综上，k=1．点评：本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015?福建）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．解答：解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．点评：本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015?福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．解答：解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y﹣m=0．（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015?福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．考点：一般形式的柯西不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．解答：解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i 2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．?2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9C．5D．34．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2 C．D．26．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2B．1C．0D．﹣17．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x 2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．99．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．三、解答题16．（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）（2015?福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x=m）在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．20．（7分）（2015?福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015?福建）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015?福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015?福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( )A．x 0∈R ，0e 0x≤B．x ∈R ，2x＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A．B． C ．3 D ．59．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC________．14．数列{a n }的通项公式cos12n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．北京天梯志鸿教育科技有限责任公司三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2．B∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3．D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4．D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5．C∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6．C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，北京天梯志鸿教育科技有限责任公司∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==． 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x 2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-≤⎪⎩P (如图3)． 故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确． 11．答案：2解析：∵T r ＋1＝4C r a r x 4－r ，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a ＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3． 13．答案：4-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个…； a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个…； a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1 009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018． 15．答案：0) 解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，北京天梯志鸿教育科技有限责任公司作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是3x =故123x x x =设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m(］＝10<，∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2ααcos α＋14sin 2αα·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34． 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α4sin2α－4sin2α－14(1－cos2α) ＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a -×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )．北京天梯志鸿教育科技有限责任公司要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a －az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·cos ||||a a AD AD θ--== n n ．∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos30°3a=， 解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1．所以b ==故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k kx x m m m-+-+++=， 整理，得(4x 1－4)km＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1． 故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ． 方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ，此时P (0，Q (4，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++= ， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0， 所以a ＝0，即f (x )＝e x －e x ．此时f ′(x )＝e x －e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0． 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P (x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点．因为g (x 0)＝0，且g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)．(1)若a ≥0，当x ＞x 0时，g ′(x )＞0，则x ＞x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0； 当x ＜x 0时，g ′(x )＜0，则x ＜x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0． 故g (x )只有唯一零点x ＝x 0．由P 的任意性，a ≥0不合题意．北京天梯志鸿教育科技有限责任公司(2)若a ＜0，令h (x )＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)，则h (x 0)＝0，h ′(x )＝e x ＋2a ．令h ′(x )＝0，得x ＝ln(－2a )，记x ′＝ln(－2a )，则当x ∈(－∞，x *)时，h ′(x )＜0，从而h (x )在(－∞，x *)内单调递减；当x ∈(x *，＋∞)时，h ′(x )＞0，从而h (x )在(x *，＋∞)内单调递增．①若x 0＝x *，由x ∈(－∞，x *)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0；x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0，知g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *．②若x 0＞x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )＜h (x 0)＝0，g (x )＞g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)＞0． 又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＜e x 1＋ax 2－［e＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－［e ＋f ′(x 0)］，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a ＜0，则必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0．所以g (x 2)＜0．故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点，即g (x )在R 上至少有两个零点．③若x 0＜x *，仿②并利用3e 6xx >，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点． 综上所述，当a ＜0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由 0 1x a y b '⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x ax y bx y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x ax y bx y '=⎧⎨'=+⎩ 又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1． 依题意得222,22,a b b ⎧+=⎨=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩ 因为a ＞0，所以1,1.a b =⎧⎨=⎩②由①知， 1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，2 1 0 1 0 1 01 1 1 1 2 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ， 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝ 1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． (2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0)． 又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1)， 故直线OP的平面直角坐标方程为3y x =． ②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0)， 所以直线l30y +-=．又圆C的圆心坐标为(2，，半径r＝2，圆心到直线l的距离32d r==<，故直线l与圆C相交．(3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m＝1．②由①知111123a b c++=，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(11123a b c ++)≥29＝．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题）.1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M 的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年福建，理1，5分】已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12i z =+，则12i z =-，对应点的坐标为(1,2)-，故选D ． （2）【2013年福建，理2，5分】已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3a A B =⇒⊆，2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件，故选A ．（3）【2013年福建，理3，5分】双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）（A ）25 （B ）45（C （D【答案】C【解析】2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =C ． （4）【2013年福建，理4，5分】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40)50,，[50)60,，[60)70,，[70)80,，[80)90,，[90)100,加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）（A ）588 （B ）480 （C ）450 （D ）120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为6000.8480⨯=人，故选B ．（5）【2013年福建，理5，5分】满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的 个数为（ ）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对；②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为12（,），21（,），22（,）．(,)a b 共有4*416=中实数对，故答案应为16313-=，故选B ．（6）【2013年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）（A ）计算数列{}12n -的前10项和 （B ）计算数列{}12n -的前9项和（C ）计算数列{}21n -的前10项和 （D ）计算数列{}21n -的前9项和【答案】A【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和，故选A ．（7）【2013年福建，理7，5分】在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ） （A（B） （C ）5 （D ）10 【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即11(****)(*)22S AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD =+++=，则算出5S =，故选C ．（8）【2013年福建，理8，5分】设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）（A ）0,()()x R f x f x ∀∈≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点（C ）0x -是()f x -的极小值点 （D ）0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点；B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点；C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确，故选D ．（9）【2013年福建，理9，5分】已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++，(1)1(1)2(1)...n m n m n m n m c a a a -+-+-+=⋅⋅⋅则以下结论一定正确的是（ ）（A ）数列{}n b 为等差数列，公差为m q （B ）数列{}n b 为等比数列，公比为2m q （C ）数列{}n c 为等比数列，公比为2m q （D ）数列{}n c 为等比数列，公比为mm q 【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q ，()()2221111121m mm m a a q a a qa a ++==⋅=⋅ 同理可得 22222m m a a a ++==⋅，22m m m m m a a a ++==⋅，112...m c a a a =⋅⋅⋅，212...m m m mc a a a +++=⋅⋅⋅，321222...m m m m c a a a +++=⋅⋅⋅2213c c c ∴=⋅∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故选C ． （10）【2013年福建，理10，5分】设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（ⅰ）(){}f x x =∈T S ；（ⅱ）对任意12,x x ∈S ，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）（A ）*A N =，B N = （B ）{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或 （C ）{}01A x x =<<，B ∈R （D ）A =Z ，B =Q 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年福建，理11，4分】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为 ．【答案】23【解析】13103a a ->∴>，a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==． （12）【2013年福建，理12，4分】已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ． 【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表．（13）【2013年福建，理13，5分】如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为 ．【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，BD ==．（14）【2013年福建，理14，4分】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左．右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ．1-【解析】由直线方程)y x c +⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点()1,0F c -12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12Rt F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =+∴==-．（15）【2013年福建，理15，4分】当x ∈R ，1x <时，有如下表达式：2111n x x x x+++++=-，两边同时积分得：1111122222200000111ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰． 从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+++= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请根据以下材料所蕴含的数学思想方法计算：23101211111112223212n n nn n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭_．【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n n n n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：1111101222222201......(1).n n n nnnnC dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111113()()...()[()1]222321212n n n n n n n C C C C n n ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2013年福建，理16，13分】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解：（1）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5X =”，()22453515P X ==⨯=，()()111515P A P X ∴=-==，∴这两人的累计得分3X ≤的概率为1115．（2）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B ，124()233E X ∴=⨯=，224()255E X =⨯=，118(2)2()3E X E X ∴==，2212(3)3()5E X E X ==，12(2)(3)E X E X >，∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．（17）【2013年福建，理17，13分】已知函数()()ln f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x ()f x 的极值． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1af x x'=-． （1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，(1)1,(1)1f f '∴==-，()y f x ∴=在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．（2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =；(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴在x a =得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上：当0a ≤时，函数()f x 无极值当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值．（18）【2013年福建，理18，13分】如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,A A A 和129,B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点()*,19i P i N i ∈≤≤． （1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程； （2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线的方程．解：（1）依题意，过()*,19i A i N i ∈≤≤且与x 轴垂直的直线方程为x i =，(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10i y x =设i P 坐标为(,)x y ，由10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得：2110y x =，即210x y =， ∴*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210x y =．（2）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为10y kx =+，由21010y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2101000x kx --=，此时2100+4000k ∆=>，直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N ．设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，4OCM OCN S S ∆∆=，∴124x x =，又120x x ⋅<，∴124x x =-分别带入21010y kx x y=+⎧⎨=⎩，解得32k =±直线的方程为3+102y x =±，即32200x y -+=或3+2200x y -=．（19）【2013年福建，理19，13分】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥ 底面ABCD ，//AB CD ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，()60DC k k =>．（1）求证：CD ⊥平面11ADD A ；（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼 接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明 理由）．解：（1）取CD 中点E ，连接BE ，//AB DE ，3AB DE k ==，∴四边形ABED 为平行四边形，//BE AD ∴且4BE AD k ==，在BCE 中，4,3,5BE k CE k BC k ===222BE CE BC ∴+=，90BEC ∴∠=︒，即BE CD ⊥，又//BE AD ，所以CD AD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =，CD ∴⊥平面11ADD A ．（2）以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k ，所以(4,6,0)AC k k =-，1(0,3,1)AB k =，1(0,0,1)AA =，设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩， 取2y =，得(3,2,6)n k =-，设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA n AA n AA n θ=〈〉=⋅26673613k k ==+，解得1k =．故所求k 的值为1． （3）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩．（20）【2013年福建，理20，14分】已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ-+><<的周期为π，图像的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()()()0000,,f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由；（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x ==在()0,n π内恰有2013个零点．解：（1）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=，又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =，将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =．（2）当(,)64x ππ∈时，12sin 22x <<，10cos 22x <<，所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>，问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解，设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-，因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=>，且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内 存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意．（3）解法一：依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=，当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时， cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈，现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况． 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈，则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈的交点情况，22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=． 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞；当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞， 故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点， 从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在()0,n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在()()0,,2πππ内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，67121342n ∴=⨯=， 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在()0,n π内恰有2013个零点．解法二：依题意，()2sin cos22sin sin 1F x a x x x a x =+=-++．现研究函数()F x 在(0]2π，上的零点的情况． 设sin t x =，()()22111p t t at t =-++-≤≤，则函数()p t 的图象是开口向下的抛物线，又()010p =>，()11p a -=--，()11p a =-．当1a >时，函数()p t 有一个零点10()1t ∈-， （另一个零点21t >，舍去）， ()F x 在(0]2π，上有两个零点1x ，2x ，且1x ，22()x ππ∈，；当1a <-时，函数()p t 有一个零点1)1(0t ∈， （另一个零点21t <-，舍去），()F x 在(0]2π，上有两个零点1x ，2x ，且1x ，20()x π∈,；当11a -<< 时，函数()p t 有一个零点10()1t ∈-，，另一个零点2)1(0t ∈，，()F x 在(0)π,和(2)ππ，分别有两个零点． 由正弦函数的周期性，可知当1a ≠±时，函数()F x 在(0)n π,内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 有一个零点10()1t ∈-，，另一个零点21t =；当1a =-时，函数()p t 有一个零点11t =-，另一个零点2)1(0t ∈，，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(0]2π，有3个零点． 由正弦函数的周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=．综上，当1a =，1342n =或1a =-，1342n =时，()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2013年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=．（1）求实数,a b 的值； （2）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．解：（1）设直线:1l ax y +=上任意一点(),M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(),M x y ''' 由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy y'=+⎧⎨'=⎩，又点(),M x y '''在l '上，所以1x by ''+=， 即()21x b y ++=，依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩，解得00y =，又点()00,P x y 在直线上， 所以01x =故点P 的坐标为()1,0．（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为)4π，直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．解：（1）由点4A π⎫⎪⎭在直线cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上，可得a cos sin 2ρθρθ+=，从而直线的直角坐标方程为20x y +-=． （2）由已知得圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，所以圆心为()1,0，半径1r =，以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交． （21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-5：不等式选讲）设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值． 解：（1）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥，解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a =．（2）因为()()12123x x x x ++-≥+--=，当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3．。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1 B. 12- C. 12D.1 1．【答案】：B [解析]∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-.故选B 2.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 A ． { x ∣0≤x ≤2} B { x ∣0<x<2} C ． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x ≤0或x ≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x =<或}2x >∴}{02CuA x x =≤≤.故选A3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 53C.- 2 D 3 3．【答案】：C [解析]∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 4.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+24．【答案】：D[解析]∵2sin (sin )[sin()]222222x x xx πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．2 B .4 C. 8 D .166．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在122,//,//m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。