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24.4 解直角三角形 集体备课稿主备人：张丽华第三课时教学目标1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
4、 学习仰角与俯角。
教学重难点重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
教学过程一、情境导入读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i ,即i =l h .坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有 i ＝l h =tan a显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.二、课前热身分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。
三、合作探究例4 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）解 作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ．由题意可知DE ＝CF ＝4.2（米），CD ＝EF ＝12.51（米）．在Rt △ADE 中，因为︒===32tan 2.4AEAE DE i 所以 )(72.632tan 2.4米≈︒=AE 在Rt △BCF 中，同理可得)(90.728tan 2.4米≈︒=BF 因此 AB ＝AE ＋EF ＋BF图5图6≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答： 路基下底的宽约为27.13米．三、课堂练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB 的坡度i 1＝1∶3，斜坡CD 的坡度i 2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0.1米）（2）斜坡CD 的坡角α.（精确到1°）四、学习小结内容总结坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
24.4 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角 知识点 1 坡度与坡角 1．以下对坡度的描述正确的是( ) A. 坡度是指坡面与水平面夹角的度数 B. 坡度是指坡面的铅垂高度与水平长度的比 C. 坡度是指坡面的水平长度与铅垂高度的比 D. 坡度是指坡面的水平长度与坡长的比 2．若斜坡AB的坡角为56°19′，坡度i≈3∶2，则( ) A．sin56°19′≈1.5 B．cos56°19′≈1.5
C．tan56°19′≈1.5 D．tan56°19′≈23
3．如果坡角的余弦值为31010，那么坡度为( ) A．1∶10 B．3∶10 C．1∶3 D．3∶1 4．［2017·济南］如图24－4－24，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅垂高度与水平长度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竹竿上距离竹竿底端1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为( )
A. 34 B．3 C. 35 D．4
图24－4－24 5．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为________．
图24－4－25 5．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为________． 6．［教材例4变式］渠道的横断面如图24－4－26，渠口宽AD＝4 m，渠底宽BC＝2 m，AD∥BC，AB＝CD，渠深1 m，求渠壁的坡度和坡角α .
图24－4－26 2
知识点 2 坡面距离、坡面的水平距离(或铅垂高度) 7．［2017·温州］如图24－4－27，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已
知cosα＝1213，则小车上升的高度是( ) A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
图24－4－27 8．如图24－4－28是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平长度为12米，坡面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( ) A．4 3米 B．6 5米 C．12 5米 D．24米
图24－4－28 9．如图24－4－29，在坡度为1∶2的山坡上种树，要使株距(相邻两棵树的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A．6 m B．3 5 m C．3 m D．12 m
图24－4－29 10．［2017·泰州］小明沿着坡度i为1∶3的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了______m. 11．某地下车库的入口处有一斜坡AB，其坡度i＝5∶12，且AB＝26 m，则车库的深度为___________________m. 12．如图24－4－30，一人乘雪橇沿坡度为1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s＝10t＋2t2.若滑到坡底的时间为4秒，求此人下降的高度为多少米．
图24－4－30 3
13．［教材练习变式］［2017·重庆］如图24－4－31(示意图)，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则该建筑物AB的高度为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( ) A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
图24－4－31 14．如图24－4－32所示，小刚早晨起来去爬山，他从山脚沿坡度为1∶1的坡面前进了100 m到达B点，后又沿坡角为60°的坡面前进了200 m到达山顶C点，则此山高为__________m.
图24－4－32 15．［2016·泸州］如图24－4－33，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 3米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿坡面坡度i＝1∶3的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度.(Ｋ参考数据：sin53°≈0.8，
cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值 )Ｋ
图24－4－33 16．［2017·黔东南州］如图24－4－34，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°.根据有关部门的规定，当∠α≤39°时，才能避免滑坡危险， 4
学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)
图24－4－34
17．如图24－4－35，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC＝90米，且B，C，D在同一条
直线上，坡面坡度为12(即tan∠PCD＝12)． (1)求该建筑物的高度(即AB的长)； (2)求此人所在位置点P的铅垂高度(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)．
图24－4－35 5
教师详答 1．B 2.C 3.C 4.B 5.30° 6．解：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F. ∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形， ∴EF＝AD，AE＝DF. 又∵AB＝DC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF， ∴BE＝CF. ∵AD＝4 m，BC＝2 m， ∴BE＝CF＝1 m， ∴渠壁的坡度i＝1∶1， 即tanα＝1， ∴α＝45°. 答：渠壁的坡度为1∶1, 坡角α为45°. 7．A [解析] 如图，假设AC＝13米，作CB⊥AB于点B，
∵cosα＝1213＝ABAC， ∴AB＝12(米)， ∴BC＝AC2－AB2＝132－122＝5(米)， ∴小车上升的高度是5米． 故选A.
8．B [解析] 在Rt△ABC中，∵BCAC＝i＝12，AC＝12米， ∴BC＝6米． 根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝6 5米． 故选B. 9．B 10．25 [解析] 如图，过点B作BE⊥AC于点E， ∵坡度i＝1∶3，
∴tanA＝1∶3＝33， ∴∠A＝30°. ∵AB＝50 m，
∴BE＝12AB＝25 m， ∴小明沿垂直方向升高了25 m. 故答案为25. 6
11．10 12．解：如图，由题意知t＝4时，s＝72，i＝1∶3.设BC＝x，则AC＝3x， 由勾股定理得AB＝2x＝72， ∴x＝36， ∴BC＝36， ∴此人下降的高度为36米．
13．A [解析] 作DE⊥BC于点E，作AF⊥DE于点F，如图． 设DE＝x米，则CE＝2.4x米，由勾股定理，得 x2＋(2.4x)2＝1952，
解得x＝75， ∴DE＝75米，CE＝2.4x＝180米， EB＝BC－CE＝306－180＝126(米)．
∵AF∥DG， ∴∠1＝∠ADG＝20°， ∴tan∠1＝tan∠ADG≈0.364.
∵AF＝EB＝126米，tan∠1＝DFAF≈0.364， ∴DF≈0.364AF＝0.364×126≈45.86(米)， ∴AB＝FE＝DE－DF≈75－45.86≈29.1(米)． 故选A.
14． (50 2＋100 3) 15．解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，则四边形CEBF是矩形． ∵斜面DB的坡度i＝1∶3，∴∠BDE＝30°. 在Rt△BED中，BD＝30， ∴BE＝BD·sin30°＝15，ED＝BD·cos30°＝15 3， ∴BF＝CE＝CD－ED＝45 3. 在Rt△AFB中，∠ABF＝53°，
∴AF＝BF·tan∠ABF≈45 3×43＝60 3， ∴AC＝AF＋FC＝AF＋BE≈60 3＋15. 答：楼房AC的高度约为(60 3＋15)米． 16．[解析] 假设点D水平移动到点D′的位置时，恰好有∠D′CE＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE，CE，CE′的长，进而可得出结论． 解：假设点D水平移动到D′的位置时，恰好有∠D′CE＝39°，过点D作DE⊥AC于点E， 7
过点D′作D′E′⊥AC于点E′， ∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×32＝6 3(米)，CE＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)． ∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形， ∴D′E′＝DE＝6 3米． ∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝D′E′tan39°≈6 30.81≈12.8(米)， ∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)， ∴DD′＝EE′≈7米． 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
17．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝90，∠ACB＝60°， ∴AB＝BC·tan60°＝90 3. 答：该建筑物的高度为90 3米． (2)过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AB于点F，则四边形BEPF是矩形， ∴PE＝BF，PF＝BE. 设PE＝x，则BF＝PE＝x.
在Rt△PCE中， tan∠PCD＝PECE＝12， ∴CE＝2x. ∵AF＝AB－BF＝90 3－x， PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x，
且在Rt△APF中，∠APF＝45°， ∴AF＝PF，即90 3－x＝90＋2x. 解得x＝30 3－30. 答：此人所在位置点P的铅垂高度为(30 3－30)米．
