【苏教版】数学必修四：教案学案.3.1 平面向量基本定理

§2．3 平面向量的基本定理及坐标表示§2．3.1 平面向量的基本定理编者：刘凯【学习目标、细解考纲】1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.运用平面向量的基本定理解决相关问题.【知识梳理、双基再现】1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使 。

其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。

2.不共线向量的夹角显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量,a b，作=,a =b ，则 叫做向量a 与b的夹角。

如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。

当 时，表示a 与b 同向；当 时，表示a与b反向。

3.垂直向量如果 ，就称a 与b垂直，记作 。

【小试身手、轻松过关】1.设,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ）A. 1e ，2eB. 1e +2e ，2eC. 1e ，22eD.1e ，1e +2e2. 设,1e 2e是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e +22e 和21e+2e D. 1e +2e 和2e3. 已知,1e 2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e ，并且a ，b共线，则下列各式正确的是（ ）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.设=a +5b ，=-2a +8b ，=3a -3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ【基础训练、锋芒初显】５．下列说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。

【关键字】高中高中数学 2.3.1 平面向量基本定理互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使得，我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1,e2}，a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.规律总结①由平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是惟一的.②a1e1+a2e2叫做e1,e2的一个线性组合，由平面向量基本定理知，若e1,e2不共线，那么由e1,e2的所有线性组合构成的集合{a1e1+a2e2,a1,a2∈R}就是平面内的全体向量，所以我们把e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出a1,a2的计算方法，但它却和平行向量基本定理一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的根底.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，从而使问题解决.2.平面向量基本定理的证明（选学）要证明这个定理要从两方面入手，首先要证明存在性，第二要证明惟一性.证明：在平面内任取一点O，作=e1,=e2,=a,由于e1与e2不平行，可以进行如下作图，过点A作的平行（或重合）直线，交直线于点M，过A点作的平行（或重合）直线，交直线于点N，于是依据平行向量基本定理，存在两个惟一的实数a1,a2分别有=a1e1,=a2e2所以=+=a1e1+a2e2.证明表示的惟一性：如果存在另一对实数x,y使=xe1+ye2,则a1e1+a2e2=xe1+ye2.即（x-a1）e1+(y-a2)e2=0.由于e1与e2不平行，如果x-a1,y-a2中有一个不等于0，不妨设y-a2≠0,则e2=e1,由平行向量基本定理得，e1与e2平行，这与假设矛盾，因此x-a1=0,y-a2=0即x=a1,y=a2.综上,平面向量基本定理得证.3.直线l的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点,如下图所示，则对直线l上任一点P，存在实数t,使关于基底{，}的分解式为(*)并且满足上式的点P一定在l上.（1）证明如下：设点P在直线l上，则由平行向量基本定理知，存在实数t,使=t=t(-)所以=+=+t-t=（1-t）+t设点P满足等式=（1-t）+t,则=t,即P在l上.（2）由上面的证明可知，对直线l上任意一点P，一定存在惟一的实数t满足向量等式（*）.反之，对每一个数值t,在直线l上都有惟一的一个点P与之对应；向量等式（*）叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.（3）在（*）式中，令t=，点M是的中点，则=（+）,这是线段中点的向量表达式.活学巧用【例1】如右图所示，四边形OADB 是以向量=a,=b 为邻边的平行四边形，又BM=BC ，CN=CD ，试用a,b 表示、、.解析：=-=a-b ，===a-b ，∴=+=b+a-b=a+b.又∵=a+b,得==a+b ，∴=-=a-b.【例2】如右图所示，在ABCD 中，AH=HD ，BF=MC=BC ，且=a,=b,沿向量,分解向量. 解析：“沿向量，分解向量”就是用向量，表示该向量.=-=b-b=b,=+=a+b.-=b-(a+b)=-a-b.=+=a+b.==a+b,-=b-(a+b)=-a+b.∴=a+b, =-a-b, =a+b,=-a+b.【例3】已知向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e1,问a 能否表示成a=λb+μc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.解析：能.假设a=λb+μc,将a 、b 、c 代λa=λb+μc 得-e1+3e2+2e3=(4λ-3μ)e1-(6λ-12μ)e2+(2λ+11μ)e3,即解得∴a=.【例4】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足=α+β,其中α、β∈R 且α+β=1,则点C 的轨迹方程为（ ）A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=.2x-y=0 D.x+2y-5=0解析：设=(x,y),=(3,1),=(-1,3).∵=α+β·,∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).∴又∵α+β=1,∴x+2y-5=0.应选D.答案：D【例5】如右图所示，设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠1),O 是平面上任一点，则（ ） A.OP =λλ++1OB OA B.OP =λλ-+1OB OA C.OP =λλ+-1OB OA D.OP =λλ--1OB OA 解析：由AP =λPB 得OP -OA =λ(OB -OP )，∴OP =λλ++1OB OA (λ≠-1). 答案：A【例6】O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(||||AC AC AB AB +),λ∈［0，+∞)，则P 点的轨迹一定过△A BC 的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：||,||AC AC AB AB 分别表示与AB ，AC 同向的单位向量. ||||AC AC AB AB +表示以点A 为起点 ，在△A BC 中，∠A 平分线上的向量，设为AQ ， ∵OP =OA +λ(||||AC AC AB AB +), ∴AP =λ(||||AC AC AB AB +)=λAQ , ∴AP 与AQ 共线，∴P 的轨迹一定通过△A BC 的内心.答案：B此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ， 又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解． 如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一 基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二 待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线． 所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一 学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二 应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ， 则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ， 又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ， 所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1， 即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。

2.3.1 平面向量基本定理教学目标：1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题．教学重点平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示． 教学难点：平面向量基本定理的理解.教学方法：引导发现、合作探究.教学过程：一、创设情境，揭示课题问题1 研究火箭升空的某一时刻的速度． 问题2 物理中的力的分解． 二、学生活动1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度.2．l 1→，l 2→是两个不共线的向量，a 是平面内的任一向量，如何将a 分解到l 1→，l 2→方向上去？三、构建数学 平面向量基本定理：探索 （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e r ，2e r ，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 教师引导学生分析设1e r ，2e r是不共线向量，a 是平面内任一向量．−→−OA =1e r −→−OM =1λ1e r −→−OC =a r =−→−OM +−→−ON =1λ1e r +2λ2e r−→−OB =2e r −→−ON =2λ2e r平面向量基本定理：如果1e r ，2e r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a r 1λ=1e r +2λ2e r ．我们把不共线向量1e r 、2e r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 注意：（1）1e r ,2e r均是非零向量，必须不共线．．．，则它是这一平面内所有向量的一组基底. （2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1λ，2λ是被a r ，1e r ，2e r唯一确定的实数．（3）由定理可将任一向量a r 在给出基底1e r 、2e r的条件下进行分解；同一平面内任一向量．．．．都可以表示为两个不共线向量的线性组合.（4）20λ=时，a r 与1e r 共线；10λ=时，a r 与2e r 共线；120λλ==时，0a =r r ． 基底：我们把不共线的向量1e r ,2e r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．正交分解：一个平面向量用一组基底1e r ,2e r 表示成a r 1λ=1e r +2λ2e r的形式，我们称它为向量a r 的分解，当1e r ,2e r 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a r的正交分解．思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？四、数学运用 1. 例题.例 1 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a r ,=−→−AD b r ,试用向量a r ,b r 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→−MD ．1e r2e ra COBAP例2 如图2-3-4，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的磨擦力→f ．例3 已知向量12,e e r r，求作向量-2.51e r ＋32e r作法：（1）取点O ，作−→−OA =-251e r −→−OB ＝32e r ；（2）作OACB ，−→−OC 即为所求-251e r ＋32e r．例4 设1e r ,2e r 是平面内的一组基底，如果−→−AB ＝31e r -22e r ，−→−BC ＝41e r ＋2e r ,−→−CD ＝81e r -92e r．求证：A ，B ，D 三点共线．变式 设12,e e r r 是两个不共线的向量，已知−→−AB ＝21e r ＋k 2e r ,−→−CB ＝1e r ＋32e r ,−→−CD ＝21e r -2e r，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解 −→−BD ＝−→−CD -=−→−CB (21e r -2e r )-(1e r ＋32e r )＝1e r -42e r ,∵A ，B ，D三点共线，∴−→−AB 与−→−BD 共线,即存在实数λ,使得−→−AB ＝λ−→−BD ， 即是12122(4)e ke e e λ+=-r r r r.由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨=-⎩，∴8k =-．例5 如图，−→−OA 、−→−OB 不共线，t AP =−→−−→−AB )(R t ∈, 用−→−OA 、−→−OB 表示−→−OP .变式1 如图,−→−OA ，−→−OB 不共线，P 点在AB 上，求证：存在实数1.=+μλμλ且 使−→−−→−−→−+=OB OA OP μλ.变式2 设−→−OA ,−→−OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且−→−−→−−→−+-=OB t OA t OP )1()(R t ∈．求证：A 、B 、P 三点共线．2．巩固：教材P71练习． 五、小结f－fWθθ P1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题；2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示．。