上海大学附属中学2017-2018学年高一上学期第一次诊断测试数学试题Word版含答案

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。

2017学年复旦附中高一上期中一. 填空题1.已知全集，，，则__________【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出，最后求出．【详解】由题意得，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．2.命题“如果，那么且”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果，那么且”的逆命题为“如果且，那么”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．3.已知集合，，则__________【答案】【解析】【分析】分别求出集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．4.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设，∵“”是“”的充分不必要条件，∴ ，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5.设，则满足的集合的个数为__________【答案】8【解析】【分析】分别写出满足条件的集合后可得所求集合的个数．【详解】由题意得，满足题意得集合为，，，，，，共8个．故答案为8．【点睛】解题时要根据集合中元素的个数为标准进行求解，考查理解能力和判断能力，属于基础题．6.函数的定义域为，则的值为__________【答案】2【解析】【分析】由题意得不等式的解集为，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数的定义域为，∴不等式的解集为，∴是方程的两个根，∴，整理得，解得．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．7.已知函数，无论取什么实数，函数的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为，然后令且，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由变形得，解方程组得，所以函数的图象过的定点的坐标为．故答案为．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为（为参数）的形式，则以方程组的解为坐标的点即为定点．8.已知关于的方程有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令，则有，解不等式可得所求范围．【详解】令，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴，即，解得，∴实数的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．9. 给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】试题分析：（3）中时不等式不成立，故正确的只有（1）（2）（4）.考点：不等式的基本性质.10.若，则的最小值为__________【答案】2【解析】【分析】将原式变形后根据基本不等式求解．【详解】∵，∴．由题意得，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．11.设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为3，故有m<-3，由此求得m的取值范围．【详解】∵，不等式对任意实数恒成立，∴对任意实数恒成立，又表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．12.对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】先根据条件求出；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到，最后结合不等式的知识可求出的最小值．【详解】∵A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴，∴，解得．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴，∴．∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为．故答案为．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．二. 选择题13.设实数、、、均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【详解】（1）若，则，所以不等式即为，若，则可化为，所以两个不等式的解集相同，若，则可化为，此时两个不等式的解集不相同，所以充分性不成立．（2）若关于x的不等式与的解集相同，则，由于、、、均不为0，①若，则不等式的解为，由两不等式的解集相同可得，可得，即必要性成立．②若，同理可得，即必要性成立．综上可得“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的的必要不充分条件．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是准确把握充分必要条件的判断方法，解题时要结合定义求解；二是注意分类讨论思想方法在解题中的应用．本题具有综合性，考查分析问题和解决问题的能力．14.解析式为，值域为的函数有（）A. 4B. 6C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】根据的值求出相应的的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由，解得；由，解得．所以函数的定义域可为，共9种情况．故选D．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．15.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题的个数为（）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当成立时，总可以推出成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．16.设、、为实数，，，记集合，，若、分别为集合、的元素个数，则下列结论不可能是（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】D【解析】【分析】分和两种情况对方程根的个数进行进行分析后可得正确的结论，进而得到不可能的结论．【详解】①若，,，当时，；当时，；当时，．②若，,，则当时，；当时，；当时，．所以只有D不可能．故选D．【点睛】解答本题的关键是由方程根的情况得到、取值的所有可能，然后再根据选项进行判断，考查分析问题和分类讨论在解题中的应用，具有一定的综合性和难度．三. 解答题17.已知集合，是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出所有的的值组成的集合；若不存在，请说明理由.【答案】【解析】【分析】若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，进而可得答案【详解】存在满足条件．理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，①当，即时，由，解得，满足题意．②当，由A有且仅有一个元素得，解得．综上可得或，∴所有的的值组成的集合．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】时，总造价最低为132000元.【解析】【分析】设的长为米，进而得到宽为米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设的长为米，则宽为米，由题意得总造价为，当且仅当，即时等号成立．所以当净水池的长米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19.已知，集合，集合.（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），当，，当，，当，；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式得出集合A、B；（2）根据A∩B=B得出B⊆A，讨论B=和B≠时，求出满足条件的实数的取值范围．【详解】（1）由题意得．当，即时，；当，即时，；当，即时，．（2）∵，∴B⊆A．①当时，，满足B⊆A；②当时，，满足B⊆A；③当时，，由B⊆A得或，解得或，又，∴或．综上可得或，∴实数的取值范围为．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20.已知函数，，满足.（1）求实数的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数的图像，并且根据图像判断：若关于的方程有两个不同实数解，求实数的取值范围（直接写结论）【答案】（1）；（2）图象见解析，.【解析】【分析】（1）直接由f（2）=-2求得m的值；（2）把m值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解的实数k的取值范围．【详解】（1）∵，，且，∴，即，解得或，又，∴．（2）由（1）得，当时，，∴函数在和上为减函数；当时，，∴函数在上为增函数，且．画出函数图象如下图：..............................由图可知，要使关于x的方程有两个不同实数解，则，∴实数k的取值范围是．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21.已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数、，用表示集合中定义域为区间的函数的集合.定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”，的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.【答案】（1）属于集合；（2）；（3）略.【解析】【分析】（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明f（x）属于集合M．（2）若p（x）∈M，则有，然后可求出当时，p（x）∈M．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h（x）的“绝对差上确界”T的值．【详解】（1）设，则，∵，∴，∴∴，∴函数属于集合．（2）若函数，属于集合，则当时，恒成立，即对恒成立，∴对恒成立．∵，∴，∴，解得，∴存在实数，使得，属于集合，且实数的取值范围为．（3）取，则对区间的任意划分：，和式，∴集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。

2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．6.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a >-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x 的最小值为__________11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A .4 B.6 C.8 D.915.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1 B.2 C.3 D.416.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0 B.{S }=1且{T }=1 C.{S }=2且{T }=2 D.{S }=2且{T }=3三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________【答案】{1,2}-【分析】先求出集合B ，再求出U C B ，最后求出U A C B ⋂．【详解】由题意得{}{}2|0,1B x x x ===，∴()()(),00,11,U C B ∞=-⋃⋃+∞，∴{}1,2U A C B ⋂=-．故答案为{}1,2-．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的逆命题为“如果0a >且0b >，那么0a b +>”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________【答案】[4,14]-【分析】分别求出集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}(){}{}22|23|14|4A y y x x y y x y y ==--==--=≥-，{}{}{}22|213|(1)14|14B y y x x y y x y y ==-++==--+=≤，∴[]4,14A B ⋂=-．故答案为[]4,14-．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合,A B ，属于简单题．4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________【答案】13a >【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设{}1|,|12322A x a x a B x a x a ⎧⎫=≤≤+=-<<+⎨⎬⎩⎭，∵“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，∴A B ，∴1232121322a a a a a a ⎧⎪-<+⎪-<⎨⎪⎪+<+⎩，解得13a >，∴实数a 的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn 图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．【答案】4【详解】根据M ∪N ⊆{a ，b ，c}而M 中没有c 元素，所以N 集合中一定要有c 元素，可能有a,b 元素且N 为非空集合，所以N 可以为{c}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c}共4个．故答案为46.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________【答案】2【分析】由题意得不等式()()2213160ax a x -+-+≥的解集为[]2,1-，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数()f x =的定义域为[]2,1-，∴不等式()()2213160a x a x -+-+≥的解集为[]2,1-，∴2,1x x =-=是方程()()2213160a x a x -+-+=的两个根，∴()()()()2241616013160a a a a ⎧---+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，整理得2223203100a a a a ⎧--=⎨+-=⎩，解得2a =．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a 的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】()2,1--【分析】将函数解析式变形为()230x m x y +---=，然后令20x +=且30x y ---=，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由()123y m x m =-+-变形得()230x m x y +---=，解方程组2030x x y +=⎧⎨---=⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的图象过的定点的坐标为()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为(,)(,)0kf x y g x y +=（k 为参数）的形式，则以方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解为坐标的点即为定点．8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________【答案】(3,1)-【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令()224f x x kx k k =+++-，则有()10f <，解不等式可得所求范围．【详解】令()224f x x kx k k =+++-，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴()21140f k k k =+++-<，即2230k k +-<，解得31k -<<，∴实数k 的取值范围为()3,1-．故答案为()3,1-．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a>-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【分析】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.【详解】（1）若a b >，c d >，则a c b d +>+，因此a d b c ->-，即（1）正确；（2）若22a x a y >，根据不等式性质，可得x y >；即（2）正确；（3）若1a =，1b =-，满足a b >，但不满足11a b a>-；（3）错误；（4）若110a b <<，则0b a <<，因此()20ab b b a b -=-<，即2ab b <；故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x的最小值为__________【答案】2【分析】将原式变形后根据基本不等式求解．【详解】∵2x <，∴20x ->．由题意得2254(2)11==(2)+2222x x x x x x x -+-+-≥=---，当且仅当122x x-=-，即1x =时等号成立．∴2542x x x-+-的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________【答案】3m <-【分析】12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3，故有m<-3，由此求得m 的取值范围．【详解】∵()2f x x =-，不等式()()3f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，∴12m x x <+--对任意实数x 恒成立，又12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴123x x +--≥-，∴3m <-，∴实数m 的取值范围是(),3-∞-．故答案为(),3-∞-．【点睛】本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出12x x +--的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________【答案】22t 【分析】先根据条件求出()2t x a b t -<<+-；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a b t +=，最后结合不等式的知识可求出22a b +的最小值．【详解】∵A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，∴()x a b t a b -+-<+，∴()a b x a b t a b --<-+-<+，解得()2t x a b t -<<+-．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴()220a b t +-=，∴a b t +=．∵222a b ab +≥，∴()()22222222a ba b ab a b t +≥++=+=，∴2222t a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴22a b +的最小值为22t ．故答案为22t ．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到a b t +=这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.【详解】若1122a b a b =，取111a b ==，221a b ==-，则10x +>与10x -->的解集不同，所以“1122a b a b =”不是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的充分条件；若1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，且110a x b +>与220a x b +>的解集相同，此时必有1212b b a a -=-，所以1122a b a b =成立，所以“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要条件.综上，“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题.14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A.4B.6C.8D.9【答案】D【分析】根据y 的值求出相应的x 的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由2215x +=，解得x =；由22119x +=，解得3x =±．所以函数的定义域可为}}{}{}{}{},3,,3,,3,----{}}{}3,3,3,3,3,3---，共9种情况．故选D ．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x 的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．15.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x ²，∴f(x+1)>(x+1)²>x ²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C ．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当()2f x x >成立时，总可以推出()()211f x x +>+成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．16.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0B.{S }=1且{T }=1C.{S }=2且{T }=2D.{S }=2且{T }=3【答案】D【详解】∵2()()(),f x x a x bx c =+++当()0f x =时至少有一个根x a =-，当240b c -=时，()0f x =还有一根2b x =-，只要b ≠﹣2a ，()0f x =就有2个根；当b =﹣2a ，()0f x =是一个根当240b c -<时，()0f x =只有一个根；当240b c ->时，()0f x =只有二个根或三个根；当a =b =c =0时{S }=1，{T }=0当a ＞0，b =0，c ＞0时，{S }=1且{T }=1当a =c =1，b =﹣2时，有{S }=2且{T }=2故选：D 三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.【答案】11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，进而可得答案【详解】存在11,8M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭满足条件．理由如下：若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，①当10m -=，即=1m 时，由320x -=，解得23x =，满足题意．②当10m -≠，由A 有且仅有一个元素得()10Δ=9+81=0m m -≠-⎧⎨⎩，解得18m =-．综上可得=1m 或18m =-，∴所有的m 的值组成的集合11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】15AB =时，总造价最低为132000元.【分析】设AB 的长为x 米，进而得到宽BC 为200x 米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设AB 的长为x 米，则宽BC 为200x 米，由题意得总造价为200200400(22)5100560200y x x x =+⨯⨯+⨯⨯+⨯450(2)12000x x=++12000≥+132000=，当且仅当4502x x=，即15x =时等号成立．所以当净水池的长15AB =米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞-⋃-，当1a >-，[31,1]B a a =---+，当1a =-，{2}B =，当1a <-，B =∅；（2）(,0)[3,)-∞⋃+∞.【分析】（1）解不等式得出集合A 、B ；（2）根据A∩B=B 得出B ⊆A ，讨论B=∅和B≠∅时，求出满足条件的实数a 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()(](]2236|0|0,21,311x x x x A x x x x ⎧⎫+-⎧⎫--=≤=≤=-∞-⋃-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭．当10a +<，即1a <-时，B =∅；当10a +=，即1a =-时，{}2B =；当10a +>，即1a >-时，{}[]|12131,1B x a x a a a a =--≤+≤+=---+．（2）∵A B B ⋂=，∴B ⊆A ．①当1a <-时，B =∅，满足B ⊆A ；②当1a =-时，{}2B =，满足B ⊆A ；③当1a >-时，[]31,1B a a =---+，由B ⊆A 得31113a a -->-⎧⎨-+≤⎩或12a -+≤-，解得20a -≤<或3a ≥，又1a >-，∴10a -<<或3a ≥．综上可得0a <或3a ≥，∴实数a 的取值范围为()[),03,-∞⋃+∞．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）【答案】（1）1m =；（2）图象见解析，()2,0-.【分析】（1）直接由f （2）=-2求得m 的值；（2）把m 值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同实数解的实数k 的取值范围．【详解】（1）∵()214x m f x x +-=-，0m >，且()22f =-，∴221224m +-=--，即12m +=，解得1m =或3m =-，又0m >，∴1m =．（2）由（1）得()2,042424,04x x x x x f x x x x x ⎧≥≠⎪⎪-==⎨-⎪-<⎪-⎩且，当04x x ≥≠且时，()22(4)882444x x f x x x x -+===+---，∴函数()f x 在[0,4)和(4,)+∞上为减函数；当0x <时，()22(4)882444x x f x x x x -+=-=-=-----，∴函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且()()200f x f -<<=．画出函数图象如下图：由图可知，要使关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，则20k -<<，∴实数k 的取值范围是()2,0-．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.【答案】（1）()f x 属于集合M ；（2）[1,1]-；（3）略.【分析】（1）利用已知条件，通过任取1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，证明()()1212f x f x x x -≤-成立，说明f （x ）属于集合M ．（2）若p （x ）∈M ，则有121222a a x x x x -≤-++，然后可求出当[]1,1a ∈-时，p （x ）∈M ．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h （x ）的“绝对差上确界”T 的值．【详解】（1）设1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()2212121212f x f x x x x x x x -=-=-+，∵121111,2222x x -≤≤-≤≤，∴1211x x -≤+≤，∴1201x x ≤+≤∴()()221212121212f x f x x x x x x x x x -=-=-+≤-，∴函数()f x 属于集合M ．（2）若函数()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，则当[)12,1,x x ∈-+∞时，()()1212p x p x x x -≤-恒成立，即121222a a x x x x -≤-++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立，∴12(2)(2)a x x ≤++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立．∵[)12,1,x x ∈-+∞，∴12(2)(2)1x x ++≥，∴||1a ≤，解得11a -≤≤，∴存在实数a ，使得()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，且实数a 的取值范围为[1,1]-．（3）取1009,1008p q =-=，则对区间[]1009,1008-的任意划分：01110091008n n x x x x --=<<⋅⋅⋅<<=，和式()()()()()()()()1110211i i i n n n h x h x h x h x h x h x h x h x =--∑-=-+-++-10211n n x x x x x x -≤-+-++- 10211=()()()n n x x x x x x --+-++- 0n x x =-1008(1009)=--2017=，∴集合[]1009,1008M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界”2017T =．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。

上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（）A. B.C. D.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121xf x xg x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜18.设a R ∈，函数()331x x af x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f xe x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x ax b =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数【答案】C【详解】∵函数()1,(0),1,(0)x f x x ->⎧=⎨<⎩∴当a b >时，()()()()()b 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选C3.如图中，哪个最有可能是函数2x xy =的图象（）A. B.C. D.【答案】A【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【详解】y ′22221222x x x xx ln xln --==，令y ′＞0，解得：x 12ln ＜，令y ′＜0，解得：x 12ln ＞，故函数在（﹣∞，12ln ）递增，在（12ln ，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数 B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________【答案】4【分析】根据题意得()()10x a x -+=的两根为1-和4，从而可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，所以不等式()()10x a x -+>的解集为()(),14,-∞-+∞ 即方程()()10x a x -+=的两根为1-和4，所以4a =，故答案为：4.6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．【答案】4a ≤【详解】试卷分析：由A B A ⋂=⇔A B ⊂，所以当A φ=时，满足A B ⊂，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|0A x a =<，由A B ⊂可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤.考点：1.集合的运算；2.分类讨论的思想.7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】3π【分析】直接利用平面性质求出圆心角即可．【详解】由题意可知：△ABC 为等边三角形，所以圆心角等于3π.故答案为3π．【点睛】本题考查圆心角的求法，基本知识的考查．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．【答案】3【分析】由题意可得函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 过（1，4），代入求得a 的值．【详解】函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），即函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的图象经过点（1，4），∴4＝log 2（1+1）+a ∴4＝1+a ，a ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．【答案】（1，+∞）【分析】根据题意，将f （x ）＞0变形为73x ＞1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】若()123f x x x -=-，则满足f （x ）＞0，即1321x x＞，变形可得：73x ＞1，函数g （x ）73x =为增函数，且g （1）＝1，解可得：x ＞1，即x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩，＜，是（﹣∞，+∞）上的增函数，必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得76≤a ＜7，即a 的取值范围为：776⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．【答案】0【分析】求出x ≥0时函数的零点个数，结合奇偶性即可得到结果．【详解】当x ≥0时，f （x ）＝lg （x 2+3x +2），令lg （x 2+3x +2）＝0，即x 2+3x +1＝0，解得x32-±（舍去）．因为函数是定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），所以函数的零点个数为：0个．故答案为0．【点睛】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．【答案】7【分析】利用已知条件求出a 、b 、c 、d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可．【详解】f （x ）＝x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，可得：111684228127933a b c d a b c d a b c d ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，∴b ＝﹣6a ﹣25；c ＝11a +61；d ＝﹣6a ﹣36，∴14[f （4）+f （0）]14=（256+64a +16b +4c +2d ）12=（128+32a +8b +2c +d ）12=（128+32a ﹣48a ﹣200+22a +122﹣6a ﹣36）12=⨯14＝7．【点睛】本题考查求函数的值，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．【答案】4【分析】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y ＝f ﹣1（x ）在[1516-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y ＝f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值【详解】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[1516-，2]，可得y ＝1f x -（）在[1516-，2]上为增函数，因此y ＝f （x ）+1f x -（）在[0，2]上为增函数，∴y ＝f （x ）+1f x -（）的最大值为f （2）+1f -（2）＝2+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0，4]【分析】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），进而得到实数a 的取值范围．【详解】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则a ≥0，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），即4+3a ≥a 2，解得：﹣1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0，4]，故答案为[0，4]【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．【答案】（0，1）【分析】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，利用线性规划知识即可得到结果.【详解】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒21224010420b b a a b b a ⎧-⎪⎪⎪-⎨⎪++⎪++⎪⎩＜＜＞＞＞⇒242410420b b a a b b a --⎧⎪⎪⎨++⎪⎪++⎩＜＜＞＞＞，如图画出数对（a ，b ）所表示的区域，目标函数z ＝f （1）=a +b +1∴z 的最小值为z ＝a +b +1过点（1，﹣2）时，z 的最大值为z ＝a +b +1过点（4，﹣4）时∴f （1）的取值范围为（0，1）故答案为（0，1）【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121x f x x g x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．【答案】①②③④【分析】由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，结合条件可得f （x ）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．【详解】函数f （x ）＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，f （x 1）+f （x 2）1222x x =+＞=2•1222x x +=2f （122x x +），故①正确；由x ＞0，x ＝0时，x 0成立；由x ＜0，x 2+1＞x 2-x ，即x 0，由f （﹣x ）+f （x ）＝log 2（x 2+1﹣x 2）＝0，即有f （x ）为奇函数；又g （﹣x ）+g （x ）＝2222121x x -++=--22221221x x x ⋅++=--0，可得g （x ）为奇函数．函数()(()22121x f x log x g x =+=+-，均为奇函数，故②正确；若函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，且满足f （4﹣x ）＝f （x ），则f （4﹣x ）＝﹣f （2﹣x ），即f （2+x ）＝﹣f （x ），可得f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即f （x ）为最小正周期为4的函数，可得f （2018）＝f （4×504+2）＝f （2），那么f （2）＝f （2018），故③正确；设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k （a ＞0，a ≠1）的两根，可得log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，则x 1x 2＝1，故④正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜【答案】当a ＞1或-1＜a ＜0时，不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a =±时，解集为∅．当0＜a ＜1或a ＜-1时，不等式的解集为122a a x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪<<⎨⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．【分析】原不等式即（log 2x ﹣a ）•（log 2x 1a -）＜0，分类讨论a 与1a 的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．【详解】关于x 的不等式：()2212110log x a log x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜，即()222110log x a log x a-++（）＜，即221•0log x a log x a--（）（）＜．当1a a ＞时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，21log x a a ＜＜，122a a x ＜＜，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a a=时，即1a =±时，不等式即()22log 0x a -<，显然它无解，即解集为∅．当1a a <时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，21log x a a ＞＞，122a a x ＞＞，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．18.设a R ∈，函数()331x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围【答案】（1）1a =-；（2）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （0）00331a +==+0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，()33a f x ＜+变形可得3（a ﹣1）＜a （3x +1），分3种情况讨论，求出a 的取值范围，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，函数()331x x a f x +=+，其定义域为R ，若f x （）为奇函数，则()0030031a f +==+，解可得1a （经检验适合）=-；故1a =-；（2）根据题意，()33a f x +＜，即33313x x a a ++<+，变形可得：1313x a a ＜-+，即3131x a a -+（）＜（），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3331x a a -+＜，若3331x a a -+＜恒成立，必有331a a -≤，解可得32a ≤，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3331x a a ->+，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f x e x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．【答案】(1)32(2)12a ≤≤(3)27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤【详解】（1）32；（2）即12()()f x f x ≤恒成立，得211x a x a -+≤-+，即211x a x a -+--≤对x R ∈恒成立，因211x a x a a -+--≤-，故只需11a -≤，解得02a ≤≤，又16a ≤≤，故a 的取值范围为12a ≤≤．（3）112212(),()(),(){(),()().f x f x f xg x f x f x f x ≤=>①当12a ≤≤时，由（2）知211()()x a g x f x e -+==，当21[1,3]x a =-∈时，min ()1g x =．②当2<6a ≤时，(21)10a a a --=->，故21a a ->．x a ≤时，(21)112()()x a x a f x e e f x -+--++=>=，12()()x a g x f x e -+==；21x a ≥-时，(21)112()()x a x a f x e e f x ---+=<=，211()()x a g x f x e-+==；21a x a <<-时，由(21)112()()x a x a f x e e f x -+--+=≤=，得322a x -≥，其中32212a a a -<<-，故当32212a x a -≤<-时，|21|1()()x a g x f x e -+==；当322a a x -<<时，12()()x a g x f x e -+==.因此，当2<6a ≤时，1232(),,2(){32(),.2a f x x g x a f x x -≥=-<令211()x a f x e e -+==，得1222,2x a x a =-=，且32222a a -<-，如图，(ⅰ)当622a a ≤≤-，即46a ≤≤时，min 2()()g x f a e ==；(ⅱ)当22621a a -<≤-，即742a ≤<时，27min 1()(6)a g x f e -==；(ⅲ)当216a -<，即722a <<时，min 1()(21)1g x f a =-=．综上所述，27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x axb =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.【分析】（1）由f （x ）﹣g （x ），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y ＝x -ax 为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a 的值．【详解】（1）229112x x f x g x x ++-=+（）（）1252x x （）-+=+，可得y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，且22x +≥，11022x ≤+＜，可得存在12p =，函数y 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，则函数25g x x （）=+是函数()229112x x f x x ++=+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”；（2）证明：1122x f x g x x -=-（）（）（，由12x y =（，12y x =-在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的最大值为1；由1x =时，11022y =-=，2x =时，131044y ＜=-=-，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数12g x x =（）不是函数12x f x =（）（），x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g x ax =（）是函数()f x x =+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”，可得y x ax =+为[0，+∞）的减函数，可得导数'10y a =-≤在[0，+∞）恒成立，可得1a -≥，由x ＞01=≤，则11a -≥，即2a ≥；又y x ax =+在[0，+∞）的值域为（0，1]，()1a x >-，x =0时，显然成立；x ＞0时，1a -，可得11a -≤，即2a ≤．则a =2．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。