北大2017博雅试题及答案
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2017北大博雅试题及答案
（2017北大博雅）01、空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平等，记与z 轴平行的棱的中点为A ，正方体与x 轴的交点为B ，则A 、B 、C 三点的电场强度 D
A 、全部为0
B 、全部不为0
C 、有两个满足至少在两个方向上的分量不为0
D 、有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0
解：答案：D
根据对称性，O 点的电场为零。
A 点的电场Z 分量为零，但X 、Y 分量不等于零。
B 点的电场只有X 分量。
（2017北大博雅）02、如图，用轻绳悬挂一带电小球A ，绳长为L ，小球质量为m ，现将一无穷远处的相同小球B 移到图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功
解：答案：)cos 1(3θ-=mg W
如图位置处于平衡
22
2sin
2
(2sin )2kq F mg l θ
θ
=
=
电势能的增量 2
2
1E 4sin 2(1cos )
2
2sin
2
P kq mg mgl l θ
θθ
∆=
==-
重力势能的增量 2E (1cos )
P mgl θ∆=-
则，外力做功
12W E E 3(1cos )
P P mgl θ=∆+∆=-
（2017北大博雅）03、如图，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边的方向射入一光束，其折射后在底面发生全反射并从另一个侧面射出。
已知三棱镜的材料的折射率为2，求θ满足的条件。
解：第一次折射。
入射角
0190i θ
=-
折射定律 1
1
sin sin i n r =
解得
1cos arcsin
2r θ
=
光线在底面发生全反射的临界角C 与折射率n 的关系 1sin C n =
解得 0
45C = 发生全反射的条件是
21i r θ
=+大于临界角C ，则有
0452cos arcsin
>+θθ
（2017北大博雅）04、长度分别为L 1和L 2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m 1
和m 2的两个小球，处于静止状态，如图所示，中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的拉力。
解：m1相对于悬点O 做圆周运动，根据牛顿定律，有
2
1121
1v T m g T m L --=
m2相对于m1做圆周运动，此时m1的向心力加速度为21v L ，m1是一个非惯性系，故m2所受到的惯性力为2
2v L ，方向竖直向下，根据牛顿定律，有
22
2222
12v v T m g m m L L --=
由上二式可得
)
(22
122212111L v L v m g m L v m g m T ++++= )
(22
12222L v L v m g m T +++=
（2017北大博雅）05、一平行板电容器，面积为S ，板间距为d ，与电动势为U 的恒定电源串联，现将一厚度为d ，面积为S 、相对介电常数为ε的电介质插入极板之间，求该过程中外力做的功。
解：插入电介质前电容器的电容为
14S C kd π=
，插入电介质后电容为24S
C kd επ=
这个过程中外力做的功是 222
2111(1)
228SU W C U C U kd επ=-=-
（2017北大博雅）06、如图，真空中有四块完全相同且彼此相近的大金属板A 、B 、C 、
D 平行放置，表面涂黑（可看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持T 1和T 4，且T 1>T 4。
当达到热稳定时，求B 板的温度。
解：温度为T2的B 板左、右侧的单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为
4412Q ()
B T T σ=-左
4432Q ()
B T T σ=-右
达到热稳定时，有 Q +Q 0
B B =右左
由上得
444
1322T T T +=
温度T3的C 板左、右侧的单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为
4423Q ()
T T σ=-C 左
4443Q ()
T T σ=-C 右
达到热稳定时，有 Q +Q 0
C =C 右左
由上得
444
2432T T T +=。
