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高等数学-积分换元法

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高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分

高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
则由积分(3)确定的函数 ( x )在 [a , b]上可微，并且
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,

( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，

《高等数学》换元积分法

《高等数学》换元积分法

常用的几种配元形式:
万 能 凑 幂 法
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例6. 求 解: 原式
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例7. 求 解: 原式
例8. 求 解: 原式
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例9. 求 解法1
解法2
两法结果一样
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例10. 求 解法1
2. 求 提示: 法1
法2
法3
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则
故
原式
注: 当
时
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例2. 求 解:
想到公式
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例3. 求 解:
想到
(直接配元)
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例4. 求 解:
类似
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例5. 求 解:
∴ 原式 =
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解法 2 同样可证
或
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例11. 求 解: 原式
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例12 . 求 解:
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例13. 求 解:
∴原式 =
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例14. 求 解: 原式
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设
可导, 则有
第一类换元法 第二类换元法

高等数学-4_2换元法

高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x


(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )

tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）

sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x

(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x

1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1

1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )

重积分换元法与分部积分法

重积分换元法与分部积分法

重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。

在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。

重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。

在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。

重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。

对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。

通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。

分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。

在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。

分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。

对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。

通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。

综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。

通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。

二元函数求极限的积分换元法综述

二元函数求极限的积分换元法综述

二元函数求极限的积分换元法综述在高等数学中，求二元函数的极限是一个非常重要的概念。

对于一些复杂的函数，直接求解其极限可能会比较困难。

而积分换元法是一种常用的有效方法，可以简化二元函数极限的求解过程。

本文将对积分换元法在求解二元函数的极限中的应用进行综述。

一、积分换元法简介积分换元法是一种常用的积分求解技巧，它通过引入新的变量替代原变量，从而将原积分转化为更加简单的形式。

在二元函数求极限中，我们可以借鉴积分换元法的思想，将原二元函数转化为与之等价的更容易求解的函数形式。

二、二元函数求极限的积分换元法步骤1. 确定变量替换对于给定的二元函数，我们首先需要确定合适的变量替换。

通常情况下，我们选择将二元函数中的一个自变量表示为另一个自变量的函数形式。

2. 进行变量替换根据确定的变量替换，我们将原二元函数中的自变量进行对应的替换。

这样可以将原二元函数转化为只含有一个变量的函数。

3. 求解极限通过变量替换，我们得到了一个只含有一个变量的函数。

接下来，我们可以使用常规的一元函数求极限的方法，对这个函数进行求解。

4. 还原变量在求解极限后，我们需要将之前引入的新变量还原为原二元函数的自变量。

这样可以得到最终的极限结果。

三、实例分析以求解二元函数 f(x,y) = sin(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) 在点 (0,0) 处的极限为例，综合使用积分换元法进行求解。

1. 确定变量替换我们可以将 x^2 + y^2 表示为 r^2，其中 r 表示点 (x, y) 到原点的距离。

2. 进行变量替换根据变量替换 r^2 = x^2 + y^2，我们将原二元函数中的自变量进行替换。

这样可以得到性质更简单的新的函数 f(r) = sin(r^2) / r^2。

3. 求解极限通过变量替换，我们将二元函数的极限转化为一元函数的极限。

对新函数 f(r) 使用一元函数求极限的方法，我们得到lim(r→0) f(r) = 1。

定积分的换元法

定积分的换元法

换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势

高等数学-换元积分法


a
a
14
换元积分法
a
2
1
x2
dx
1 a
arctan
x a
C
例
求
x2
1 8x
dx 25
解
x2
1 8x
dx 25
1 ( x 4)2
dx 9
1
d( x 4)
32 ( x 4)2 dx 32 ( x 4)2
1 arctan x 4 C
3
3
15
换元积分法
1 dx arcsinx C 1 x2
2 sin xd(sin x) u sin x 2 udu u2 C
sin x2 C
6
换元积分法
xdx x1 C
1
法三 sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) u cos x 2 udu
u2 C cos x2 C
注 同一个积分用不同的方法计算,可能 得到表面上不一致的结果,但是实际上都 表示同一族函数.
解
法一
csc
xdx
1 dx sinx
2 sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
lntan x C ln(csc x cot x) C
分 步 凑
2
（使用了三角函数恒等变形）
25
换元积分法
a2
1
x2 dx
(a
0)
10
注 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用 积化和差公式来化简.

高等数学 - 06 不定积分的积分方法


２．第二换元积分法 第 换 积 方 是 择 的 分 量 u =ϕ( x), 但 一 元 分 法 选 新 积 变 对 些 积 数 需 作 反 式 换 ， 令 =ϕ(t), 有 被 函 则 要 相 方 的 元 即 x 把 t作 新 分 量 才 积 结 ， 为 积 变 ， 能 出 果 即 x =ϕ ( t )
似 (4) 类 得
∫
cot xdx = ln| sin x | +C.
sec x(sec x +tan x) sec2 x +sec xtan x dx = ∫ dx (5) ∫sec xdx = ∫ tan x +sec x tan x +sec x
1 =∫ d(tan x +sec x) = ln| sec x +tan x | +C . (tan x +sec x)
微 法 用 的 点 于 题 未 明 该 凑 分 运 时 难 在 原 并 指 应 把 需 解 经 , 果 熟 列 哪 部 凑 dϕ(x),这 要 题 验 如 记 下 一 一 分 成 些 分 ,解 中 会 我 以 示 微 式 题 则 给 们 启 ． 1 2 dx 1 = 2d( x)， dx = d(ax +b)， xdx = d(x )， x 2 a 1 x x dx = d(ln| x |)， sin xdx = −d(cos x)， e dx=d(e )， x cos xdx = d(sin x)， 2 xdx =d(tanx)， 2 xdx =− (cotx) sec csc d ， dx dx = d(arcsin x)， = d(arctanx)． 2 2 1+ x 1− x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．

高等数学定积分的换元法4

a
2 0
a cos t dt 2 2 a sin t + a (1 − sin t )
π 2 0
=∫
π 2 0
cos t 1 cos t − sin t dt = ∫ 1 + dt sin t + cos t 2 sin t + cos t
π 2 0
1 π 1 = ⋅ + [ln sin t + cos t ] 2 2 2
π 2 π 2
= ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x )dx;
0 0
（2）设 x = π − t ）
⇒ dx = − dt ,
x = π ⇒ t = 0,
0
x=0
π
⇒ t = π,
π
∫0 xf(sinx)dx = −∫ (π − t ) f [sin(π − t )]dt
= ∫ (π − t ) f (sint )dt,
dt 1 ( = > 0) dx 2x + 1
于是
∫ 0
4
x+2 1 2 22 dx = ∫ (t + 3)dt = 2x + 1 21 3
3
由此可见， 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元， 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量， 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 积分， 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a)
= Φ( β ) − Φ(α ) = ∫α f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt.

高等数学《换元法》课件

4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
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1 1 1 ∫ 3 + 2 xdx = 2 ∫ 3 + 2 x ⋅ ( 3 + 2 x )′dx 1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln( 3 + 2 x ) + C . 2 u 2 2
一般地
∫Leabharlann 1 f (ax + b )dx = [ ∫ f ( u)du]u= ax + b a
1 1 1 1 x − 4 d dx = ∫ = 2∫ 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
1 dx . 例7 求 ∫ x 1+ e 1 1+ ex − ex dx = ∫ dx 解 ∫ x x 1+ e 1+ e
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
例12 求 cos 3 x cos 2 xdx .
∫
1 解 cos Acos B = [cos( A− B) + cos( A+ B)], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
= [ ∫ f ( u)du]u=ϕ ( x ) 由此可得换元法定理
定理1 定理1
u 可导， 具有原函数， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
则有换元公式
∫ f [ϕ( x)]ϕ′( x)dx = [∫ f (u)du]u=ϕ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
∫ g( x )dx
化为 f [ϕ( x )]ϕ′( x )dx .
∫
观察重点不同，所得结论不同 观察重点不同，所得结论不同.
例1 求 sin 2 xdx .
∫
1 解（一） ∫ sin 2 xdx = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 = − cos 2 x + C ; 2 解（二） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
1 1− u 1 1 − cos x = ln + C = ln + C. 2 1+ u 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C .
∫
例14 设 f ′(sin 2 x ) = cos 2 x , 求 f ( x ) . 解 令 u = sin 2 x ⇒
则有换元公式 ∫ f ( x )dx = 证
[∫ f [ψ (t )]ψ ′(t )dt ]
的反函数. 其中ψ ( x ) 是 x = ψ (t ) 的反函数.
t =ψ ( x )
的原函数, 设 Φ(t ) 为 f [ψ ( t )]ψ ′( t ) 的原函数 令F ( x ) = Φ[ψ ( x )]
2
x
(
)
(
)
t
4 − x2
例18 求
∫
1 dx (a > 0). 2 2 x −a
解 令x = a sec t
dx = a sec t tan tdt
∫
1 a sec t ⋅ tan t dx = ∫ dt 2 2 x −a a tan t
x
0, π t ∈ 2
= ∫ sec tdt = ln(sec t + tan t ) + C
∫ f ( x)dx =[∫ f [ψ(t )]ψ′(t )dt]t=ψ ( x)
第二类积分换元公式
例16 求
∫
1 dx (a > 0). 2 2 x +a
2
解 令 x = a tan t ⇒ dx = a sec tdt
− π, π t ∈ 2 2
∫
1 1 dx = ∫ ⋅ a sec 2 tdt a sec t x2 + a2
例11 求 sin 2 x ⋅ cos 5 xdx . 解
∫
sin 2 x ⋅ cos 5 xdx = ∫ sin2 x ⋅ cos4 xd(sin x) ∫
= ∫ sin 2 x ⋅ (1 − sin 2 x )2 d (sin x ) = ∫ (sin x − 2 sin x + sin x )d (sin x )
在一般情况下： 在一般情况下： 设 F ′( u) = f ( u), 则 f ( u)du = F ( u) + C .
∫
如果 u = ϕ ( x )（可微） 可微）
Q dF [ϕ ( x )] = f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
5.3积分换元法 5.3积分换元法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 利用复合函数，设置中间变量
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
dΦ dt 1 则 F ′( x ) = ⋅ = f [ψ ( t )]ψ ′( t ) ⋅ , dt dx ψ ′( t )
= f [ψ ( t )] = f ( x ).
说明 F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数,
∴
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C = Φ[ψ( x )] + C ,
= ∫ sec tdt = ln(sec t + tan t ) + C
x = ln + a
x +a + C. a
2 2
x2 + a2 t
x a
例17 求 x
∫
3
4 − x dx .
2
解 令 x = 2 sin t
dx = 2 cos tdt
3
− π, π t ∈ 2 2
x dx . 例4 求 ∫ 3 (1 + x ) x x + 1−1 dx = ∫ dx 解 ∫ 3 3 (1 + x ) (1 + x) 1 1 ]d (1 + x ) = ∫[ 2 − 3 (1 + x ) (1 + x ) 1 1 C2 =− + C1 + 2 + 1+ x 2(1 + x ) 1 1 =− + + C. 2 1 + x 2(1 + x )
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
二、第二类换元法 问题 ∫ x 5 1 − x 2 dx = ?
解决方法 改变中间变量的设置方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 x = sin t ⇒ dx = cos tdt ,
= 2 ∫ sin xd (sin x ) = (sin x ) + C ;
2
解（三） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
= −2 ∫ cos xd (cos x )= − (cos x ) + C .
2
1 dx . 例2 求 ∫ 3 + 2x 1 1 1 ⋅ ( 3 + 2 x )′, = ⋅ 解 3 + 2x 2 3 + 2x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例9 求 原式= ∫
∫
(
1 dx . 2x + 3 + 2x − 1
2x + 3 − 2x − 1 dx 2 x + 3 + 2 x − 1 )( 2 x + 3 − 2 x − 1 )
cos x = 1 − u,
2
f ′( u ) = 1 − u ,
1 2 f ( u) = ∫ (1 − u )du = u − u + C , 2 1 2 f ( x) = x − x + C . 2
例15 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
（使用了三角函数恒等变形） 使用了三角函数恒等变形）
解（二） ∫ csc xdx = ∫
1 sin x dx = ∫ 2 dx sin x sin x
1 d (cos x ) = −∫ u = cos x 2 1 − cos x 1 1 1 1 + du = − ∫ = −∫ du 2 2 1− u 1+ u 1− u
1 1 = ∫ 2 x + 3dx − ∫ 2 x − 1dx 4 4 1 1 = ∫ 2 x + 3d ( 2 x + 3) − ∫ 2 x − 1d ( 2 x − 1) 8 8 1 1 3 3 = ( 2 x + 3 ) − ( 2 x − 1) + C . 12 12