数学建模-银行信誉度量化指标正式版

竞赛队编号（参赛学生不填写）：__________西北师范大学2010年数学建模竞赛指导教师：石玉仁竞赛题目（在AB上打勾）： A B银行客户贷款信誉度衡量摘要关于次贷风险的度量和防范是一个重要的研究内容，次贷风险的防范应该从信贷源头开始。

针对银行客户贷款问题，我们对客户登记表中的个人信息进行量化，并且建立了客户信用程度、偿还能力的评价指标——信誉度。

建立了多元线性回归方程以确定客户信誉度，应用层次分析法计算出回归系数。

计算回归系数过程中，首先构造了层与层之间的判断矩阵，并对所构造的判断矩阵进行严格的一致性检验，对于不满足一致性的判断矩阵，需重新构造，直至其满足一致性为止；其次，采用二次收敛的的方法，剔除了个别偏差很大专家意见的干扰，尽量减小主观影响因素；最后，通过求权向量，将筛选后剩余专家权重意见进行加权，取得综合权重。

所建的模型中，将二次收敛方法与层分析法结合起来，解决了层分析法的最大弊端不能很好的解决群体专家决策问题。

进而求出了比较精确的多元线性回归系数。

在此过程中，针对前面建立的模型，运用VB软件开发了客户信誉度评判系统，在应用过程中，只需向系统输入客户基本信息，该系统便可立即给出客户信用程度及偿还能力的评价指标。

从而辅助有关部门进行决策。

关键词：层次模型；线性回归；一致性检验；二次收敛1.问题重述2008年9月，美国次贷危机终于演变成了一场严峻的全球经济危机。

并且随后又爆发了希腊政府主权债务危机。

很明显，美国次贷危机和希腊主权债务危机都是因为信用关系链中断导致的金融危机。

当然，银行贷款也具有一定的风险，银行信贷风险的防范应该从信贷源头开始。

就银行客户而言，特别是信贷客户，其中的许多申请者具有很高的信用值，而有些则不是，对于银行来说其风险主要来自不了解哪些申请者是信誉度高的客户，哪些是信用度低的客户。

针对此问题，银行设置了贷款用户需要填写的《商业银行客户登记表》，以期望通过贷款用户在表中所填写的个人基本信息来确定出他们的信誉度，进而决策出是否进行贷款活动。

对于以上的背景情况，我们考虑影响用户信誉度的因素，建立合适的数学模型，并以此模型为基础，运用计算机编程，开发一套应用软件，使其很快的从客户所填写的基本信息中判断出此人的贷款信誉度，从而为银行提供一定的理论判断依据。

2.符号说明3.模型假设(1) 模型建立过程中，假设各个层之间的相互影响是独立的，而且每层中的所有元素对上一层的影响也相互独立的。

(2) 假设银行客户所填写的个人基本信息都是真实可靠的，不存在虚假性。

(3) 假设同一层因素对上层有影响，同时又受到下一层因素的影响作用。

4.模型建立与求解决策是人们进行选择或判断的一种思维活动，也是我们随时都会遇到的问题。

有些决策简单容易，如买什么菜，做怎样的饭，穿什么样的衣服等，但是有些决策却复杂困难，例如，中学毕业上大学，如何选择志愿，要考虑到本人的兴趣爱好，学习基础，专业前途等因素；假期到了，人们打算外出旅游，如何选择旅游景点，要考虑景色、费用、居住、饮食及交通等条件是否舒适方便；一个经济学家在进行社会、经济以及科学管理问题的决策时，所面临的常常是相互影响、相互制约的大量因素构成的复杂系统。

总之，人们的决策活动无论是简单的还是复杂的，他都是在系统的观点下的一个综合判断过程。

人们在处理类似上面举例的决策类问题时，要考虑的因素有多有少，有大有小，但有一个共同的特点是它们都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。

过去，人们主要依靠主观进行判断，缺乏科学性，但是随着社会的发展，大量的数学工具的使用，是我们有可能定性和定量结合地研究各种社会、经济等问题。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨迪教授于20世纪70年代正式提出的一种实用的多准则决策方法。

该方法是一种定量与定性结合，将人的主观判断用数量的形式表达和处理，已解决多因素复杂系统，特别是难以用数量形式描述的社会系统的分析方法。

他把复杂的问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组成递阶层次结构，然后应用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。

它特别适用于那些难以完全用定量进行分析的复杂问题。

它可以使人们的思维过程层次化。

逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据。

它具有实用性，灵活性和简洁性等优点。

在我们遇到的有关商业银行客户信誉度问题中，年龄，婚姻状况，是否本地户口，住宅性质，个人财产，本地定居时间构成了银行客户的顾客特征；工作类别，工作年限，分期付款占收入的比例，活期存款余额，存储账户金格构成了职业情况的5个因素；信用额度，信用历史，持卡时间，持卡消费种类，担保情况，担保人数量，分期付款计划有购成了信用卡状况。

而顾客状况，职业情况，信用卡状况有影响到银行客户的偿还能力和信用程度。

偿还能力和信用程度最终直接影响决定一个贷款客户的信誉度。

根据以上分析，我们建立如图1所示的层次分析结构。

A 层为标层，B 层,C 层，D 层都作为影响A 层的准则层。

将最底层中的每一个因素关于B 层中的元素偿还能力和信用程度进行量化，对每一个影响因素中的各种情况采用打分量化方法，分数1—5分，分数越高，表示银行客户该属性表现越好。

例如：对于偿还能力进行量化是，对于年龄这一影响因素，30岁以下打3分，理由是基本无固定收入，但具有较大的偿还潜力；30—40岁之间打4分，理由是大多数人工作基本确定，有了固定收入，具有很大的偿还潜力；40—49岁之间打5分，理由是大多数人随着工作时间增长，经验逐渐积累，收入处于增长状态，并且有一定的财富积累。

50—65岁打2分，虽然有财富积累，但接近退休，收入降低，偿还潜力下降；65岁以上打1分，理由是收入降低，身体状况下降，支出增多。

再例如对信用程度进行量化时，对于担保人数这一因素进行量化时，随着担保人数的增多，我们打的分依次增高，理由是担保人数越多，这位银行客户的信用程度相对来说比较好。

详细量化请见附页中的表一，表二。

4.1 量化各个信息以后根据模型假设，我们建立多元线性回归模型2211Y Y Y γγ+=其中，Y 代表客户信誉度，1Y 表示偿还能力，2Y 表示信用程度，1γ表示1Y 在Y 中所占的比重，2γ表示2Y 在Y 中所占的比重。

()1818171722111811X X X X X Y i i i βββββ++++==∑=()18'1817'172'21'1181''2X X X X X Y i i i βββββ++++==∑=其中()18,3,2,1 =i X i 代表影响信誉度Y 的最基本元素，)18,12( =i i β代表相对应i X 在1Y 中所占比重，，)18,12('=i i β代表相对应i X 在2Y 中所占比重。

4.2 运用层分析法来确定多元线性回归系数我们继续以图1所示的框架图作为层次分析法的递阶层次结构示意图：4.2.1 构造两两比较的判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层因素C 为准则层，所支配的下一层因素为n d d d ,,2,1 .我们确定因素n d d d ,,2,1 对于准则层C 相对的重要性即权重。

在我们所采用层分析法的中，元素的权重我们是不知道的，且不容易通过统计方法获得，且由于较多因素影响，即使统计出一定的数据，但也可能存在着较大的误差。

因此我们采用两两比较的方法。

设要比较n 个元素},,{2,1n d d d d =对准则层C 的影响确定他们在C 中所占的比重，每次取两个因素i d 和j d ，以ij a 表示i d 和j d 对C 的影响程度之比，得到一个两两比较的判断矩阵()nn ija A ⨯=观察构造出来的判断矩阵，它具有以下性质()()n j i a j i a a a ii jiij ij ,,2,1,1,1,0 ==≠=> 因此，我们又把判断矩阵A 称为正互反矩阵。

描述因素相互影响大小的ij a 的取值也做某种规定性的量化，我们在描述事物好坏，强弱时往往用相等、较强、强、很强、绝对强来表示差别程度，正像我们优秀、良好、中、及格、不及格大体区分考试成绩一样，一般的，ij a 的取值为9,7,5,3,1如下表所示：表1 比例尺度的取值方法采用这种比例标度是符合心理学理论的：心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上的差别能力在9~5级之间，采用9~11标度反应大多数人的判断能力。

其次，大量的社会调查表明，9~1的比例标度早已为人们所熟悉和采用。

再者，科学考察表明，9~1的比例标度已完全能引起人们感觉差别的事物的各种属性。

在我们所建立的模型中：我们采用四个不同的人给出四组判断矩阵，先检验使四组判断矩阵通过一致性检验，再采用二次收敛模型，排出意见较大的专家图1 银行客户信用度层分析结构图最后经过程序算出各个元素在偿还能力和信用程度中所占的综合比重。

(1)准则层对目标层的判断矩阵()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=17/1711A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15/1512A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=17/1913A ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16/1614A (2)子准则层C 对1B 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15/13/151434/1111B ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19/14/191545/1121B ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=17/13/171535/1131B ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14/12/141626/1141B (3)子准则层C 对2B 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=164/16/112/142112B ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=17/13/171363/1122B ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16/12/161222/1132B ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/144164/16/1142B (4)子准则层D 对1C 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=17/13/117571359933/1137915/13/11557/19/17/15/113/15/19/19/15/13111C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=15/13/1537/15119953119715/19/19/113/13/13/19/17/1315/175/1135121C()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16/13/112/1161297632/1154519/15/112/14/127/14/1215/116/15/145141C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16/16/112/12/161288662/1186418/18/112/14/128/16/1216/126/14/146131C(5)子准则层D 对2C 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113/153113/153331735/15/17/114/13/13/13/14112C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11353113/153331745/15/17/115/13/13/14/15122C()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=126/16/12/12/114/14/12/16412/1164212/12212132C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112/162112/162221732/16/17/113/12/12/13/13142C(6)子准则层D 对3C 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13335513/1113153/13/1113553/13/13/13/11333/15/115/13/1117/13/15/15/13/1115/1133375113C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1359335/13/1117513/13/1113313/19/17/13/1113/15/13/15/13/1113/17/13/1113315/1533575123C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=142426424/1114/1116/14/1114/1116/12/14414616/1114/1124/14/1116/12/112/12/166142133C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1332/1452/13/1114/12/123/13/1114/12/123/124414514/1224/1124/15/12/12/15/12/115/1233145143C(7)子准则层D 对'1C 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=15/1114651359713/113/19715/131354/19/15/13/112/16/17/17/15/1211'1C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=15/1113751339913/113/17513/131533/19/17/15/1117/19/15/13/1112'1C()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14413/12/14/1113/14/13/14/1112/14/13/113215/12/134451323323/113'1C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12212/112/11116/12/12/11114/12/11111132641123/1223/12/114'1C(8)子准则层D 对'2C 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=114/12/12/1114/12/12/144153225/112/1223/1211'2C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1115/18/11116/16/11113/15/156315/1865512'2C()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12/1257/121133/12/11153/15/13/15/115/1733514'2C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1116/18/11114/16/11114/16/164414/1866413'2C(9)子准则层D 对'2C 的判断矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/14/122/18/13/1411644/14411625/142/16/16/116/15/1124/12/1615/14845551534/14/114/15/111'3C ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1222/1422/12/1114/125/15/12/1113/122/15/124314314/12/12/14/113/14/12/1223/1313/125514312'3C()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/14/122/18/11411644/14411624/142/16/16/116/16/12/124/12/1614/14844641624/14/124/16/113'3C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12/12/1146/12/1211239/15/1211235/15/112/12/1117/13/14/13/13/1117/12/16957715255325/11)4('3C4.2.2 两两比较的判断矩阵的一致性检验：我们构造的两两比较的判断矩阵是正互反矩阵，但不一定是一致阵。