黄冈中学2013届高三11月月考数学(理)

湖北省黄冈中学襄樊五中高三数学理科11 月联考试卷一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选顶中，只有一顶是切合题目要求的．1．已知复数z1＝3＋ i,z2＝ 2－ i, 则 z1z2在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．把直线y＝－ 2x 按向量 a＝（－ 2, 3）平移后所得直线方程为A ． y ＝－ 2x－ 3B． y＝－ 2x＋ 3C． y＝－ 2x＋ 4D． y＝－ 2x－ 13．函数 y＝f （）的反函数的图象与y 轴交于点 P（ 0, 2），则方程 f（）＝0 的根为x xA ． 4B． 3C． 2D． 1 4．以下函数在x＝ 0 处连续的是A ． f （ x）＝1, x0,B． f（x）＝ lnx x1, x0.C．f （x）＝| x |1, x 0,D．f （x）＝0, x 0,x1, x0.5．以下命题中，正确的选项是①数列 { （－ 1）n 3 }没有极限；②数列 { （－ 1）n 2} 的极限为0；n③数列 {3 n2n3(2)} 的极限为 3 ；④数列 {( 3) n} 没有极限．A ．①②B．①②③C．②③④D．①②③④6．若函数 f （）2＋ 2ax 与 g（ x）＝（ a＋ 1）1－x在区间 [1,2]上都是减函数，则 a 的x＝－ x取值范围是A ．（－ 1, 0）B ．（－ 1, 0）0,1C．（0, 1）D．0,17．已知命题 p:函数 y＝ log （ ax＋2a）（ a>0,且 a1）的图象必过定点（－ 1, 1）；命题 q：a假如函数 y＝（f x－ 3）的图象对于原点对称，那么函数 y＝（f x）的图象对于（ 3, 0）点对称．则A ．“p 且 q”为真B．“p 或 q”为假C． p 真 q 假D． p 假 q 真．已知y ＝f（）是偶函数，当x>0时，f（x）＝x4且当 x[ 3, 1]时, nf (x)m8x,x 恒建立，则m－n 的最小值是A ．1B．2C． 1D．4 3339．记知足以下条件的函数f x 的会合为 M:当 |x | ≤ 1,x|| ≤1时 , |f（ x ）－ f（ x ）| ≤x4|－ x |．若（）121212有函数 g（x）＝ x2＋ 2x－1, 则 g（ x）与 M的关系是A ． g（ x） M B． g（ x） M C． g（ x）M D．不可以确立10．已知 f （x）是 R 上的偶函数， g（x）是 R 上的奇函数 ,且对于 x R, 都有 g（ x）＝ f （ x－ 1），则 f（2007 ）的值为A ． 1B．－ 1C． 0D．不确立二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡相应地点上。

湖北省黄冈中学2013届高三上学期11月月考数学（理）试题(2012-11-3)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)-的值为（ ）A ．32-B ．12-C ．32D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+，即原式sin60=-，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（ ）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ． 答案：C 4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π 解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为俯视图正 视 图 侧视图3 41P 10(0,)a，则线段AB 的长为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则7112a a +的最小值为（ ） A ．16B ．8C ．22D ．4解析：由已知2414(22)8a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，7117112228a a a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b -，②1a b +，③1b a +，④1ba-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（ ）A ．cos 2,sin 2a b θθ==B ．sin 2,cos 2a b θθ==C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos2tan ,cos2,sin 2cos 1cos2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M AB =，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．15[,]22B ．25[,]22C ．110[,]22D ．210[,]22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影部分所示，而22(1)d x y =+-表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ． 10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2OB OC OP +=(),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC Cλλ++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2OB OCOD +=，∴2OB OC OP +=()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ++()||cos ||cos AB ACOD AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD DP AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCDP BC BC AB B AC C AB B AC Cλλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=，∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C ． 答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上． 11．1220x e dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xx e dx e e ==-⎰．答案：1(1)2e - 12．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i =+，则复数z 的模为_______________． 解析：由11z i i i=+得1212izi i i zi i +-=+⇒==-，∴222(1)5z =+-=．答案：513．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：2214412r k k =+-≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______． 解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去； 当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x xe e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式．解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分 （2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证），故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3n n n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23af a -=<成立，则616a -<-<， 即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分 若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分）18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长； （2）求AO BC ⋅的值． 解答：（1）由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==，∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-， ∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BCR A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分 （2）由已知AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分 同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点． （1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；（3）求点G 到平面BCE 的距离． 解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B ，(1,3,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为13(,,1)22F ，∴33(,,0)22BF =-，显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分 （2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =， 则n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,3,1)CB =-，(1,3,2)CE =--，BA DCG EBADCG FEzx y∴30320x y z x y z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设3y =，则12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==． ……………………12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， …………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分 （2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos ACDBCES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE 5=，CE 22=，∴221||()622BCE CES CE BE ∆=⨯-=，而23||34ACD S AC ∆==，∴2cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ， 由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，6BCE S ∆=，3CG =， BA DCGE∴3332246BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===即为点G 到平面BCE 的距离．………………12分 20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：（1）由已知4b =，且55c a =，即2215c a=，∴22215a b a -=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016y x +=； ……………………3分由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =， ∴所求弦长221402||11||9MN x x =+-=； ……………………6分 （2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， ∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分 以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-=-=-+-∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分 （注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x mx x x-+=--，m ∈R ． （1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值； （3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围． 解答：（1）由已知/211()0sin g x xx θ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立， 即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>， 故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥， 即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln ef x x x-+=--，(0,)x ∈+∞， ∴/2221121()e e x f x x x x---=-=， 令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：x (0,21)e -21e -(21,)e -+∞/()f x+0 -()f x极大值(21)1ln(21)f e e -=---即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m eF x f x g x mx x x +=-=--，当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m mx x -≤，且22ln 0e x x--<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m eF x m x x x +-++=+-=， ∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立， 故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴max ()()4mF x F e me e==--， 令40m me e -->，则241e m e >-， 故所求m 的取值范围为24(,)1ee +∞-． ……………………14分。

湖北省黄冈中学高三11月月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线tan 07x y π+=的倾斜角是（ D ）A ．7π- B ．7π C ．57π D ．67π[提示]：6tan tan 77k ππ=-=． 2．如果0,10a b <-<<，那么下列不等式中正确的是（ A ）A ．2a ab ab <<B ．2ab a ab <<C ．2a ab ab <<D ．2ab ab a <<[提示]：由已知可知2101b b -<<<<，又0a <，2a ab ab ∴<<．3．两条直线1:(1)3l ax a y +-=，2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则a 的值是 ( C ) A ．5- B ．1 C ．13-或 D ．03-或 [提示]： (1)(1)(23)0a a a a ⋅-+-⋅+=．4．曲线224x y +=与曲线{22cos 22sin x y θθ=-+=+ （[0,2)θπ∈）关于直线l 对称，则直线l 的方程为( D )A ．2y x =-B ．0x y -=C ．20x y +-=D ．20x y -+= [提示]： 两圆圆心(0,0)、(2,2)-关于直线l 对称，易求直线为20x y -+=．5．不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ A ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞[提示]：由绝对值的意义知不等式左边的最大值为4，23441a a a a∴-⇒-或．6．在ABC ∆中，若对任意的实数m ，有||||BA mBC AC -，则ABC ∆为（ A ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上均不对 [提示]：当m 变化时，||BA mBC -为动线段|'|AC 的长度，因而可以确定ABC ∆为直角三角形．7．设D 是由{()()0x y x y y -+所确定的平面区域，记“平面区域D 被夹在直线1x =-和x t=（[1,1]t ∈-）之间的部分的面积”为S ，则函数()S f t =的大致图象为（ B ） [提示]：由题意知当[1,0]t ∈-时，21(1)2S t =-；当[0,1]t ∈时，21(1)2S t =+．8．设()()(),F x f x f x x =+-∈R ，[,]2ππ--是函数()F x 的单调递增区间，将()F x 的图像按向量(,0)a π=平移得到一个新的函数()G x 的图像，则()G x 的一个单调递减区间是（ D ） A ．[,0]2π- B ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2]2ππ[提示]：()()()()F x f x f x F x -=-+=，∴()F x 为偶函数，()F x 在[,]2ππ--单调递增， () [,]2F x ππ∴在单调递减，()G x ∴的单调递减区间为3[,2]2ππ．9．定义域为R 的函数1,(2)()|2|1,(2)x f x x x ⎧≠⎪=-⎨=⎪⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x ，则12345()f x x x x x ++++=（ B ） A ．14 B ．18 C ．112 D ．116[提示]：由题意知()1()(1)f x f x m m ==≠或．由123()11,3,2f x x x x =⇒===，由4511()2,2f x m x x m m =⇒=+=-，123451()(10)8f x x x x x f ∴++++==． 10．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+ ， 则对任意正整数,()m n m n >都成立的是（ C ） A ．||2n m m n a a ⋅-> B ．||2n m m na a --> C ．1||2n m n a a -< D ．1||2n m n a a ->[提示]：12sin(1)sin(2)sin ||||222n m n n m n n m a a ++++-=++⋅⋅⋅+12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n m n n m ++++++⋅⋅⋅+1112111112211||||||12222212n m n n m n m ++++-<++⋅⋅⋅+==--12n <． 二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上． 11．在锐角ABC ∆中，1,2BC B A ==，则cos ACA 的值等于 .[答案] 2提示：设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=12．已知两点(2,2)P --和(0,1)Q -，在直线2x =上取一点(2,)R m ，使PR RQ+最小，则m 的值为 ．[答案] 43-[提示]：先求点P 关于2x =的对称点'(6,2)P -，则'P Q 的方程为116y x =--，其与2x =的交点为4(2,)3-，m ∴=43-．13．已知‚A ‚B C 三点共线，O 为这条直线外一点，存在实数m ，使30mOA OB OC -+= 成立，则点A 分BC 的比为___________． [答案] 13-提示：由题意知2m =，A 分BC 的比为13-．14．方程240x ax b ---=恰有两个不相等实根的充要条件是 ．[答案]22a -<<且 20a b +>提示：作()|24|,()f x x g x ax b =-=+的图像，则(2)0g >且||2a <．15．关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22||||=+y x 的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 ． [答案] ①②④⑤提示：将(,)x y 替换为(,)x y --，(,)y x --可知①②正确；该曲线与坐标轴无交点可知，该曲线不是封闭曲线，③不正确；方程可变形为222222x y x y xy xy +=⇒（当且仅当2x y ==时取等），与圆无公共点，且与曲线D 有四个交点，④⑤正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC =. （Ⅰ）求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若6b c +=，求a 的值．16．[解答] （Ⅰ）25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==， 由3AB AC ⋅=得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==（Ⅱ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知(1,2)a =-，点(8,0),(,),A B n t (sin ,)C k t θ (0)2πθ．（Ⅰ）若AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；（Ⅱ）若AC 与a 共线，当4k >时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ⋅． 17．[解答]（Ⅰ）(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=2225||||,564(3)5OA AB n t t =∴⨯=-+=， 得8t =±，(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--．（Ⅱ）(sin 8,)AC k t θ=-AC 与a 共线， 2sin 16t k θ∴=-+2324sin (2sin 16)sin 2(sin )t k k k k θθθθ=-+=--+，44,10k k >∴>>，∴当4sin k θ=时，sin t θ取最大值为32k ， 由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==，(8,0)(4,8)32OA OC ∴⋅=⋅=．18．（本小题满分12分）已知函数()log (1)a f x x =+，点P 是函数()y f x =图像上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数()y g x =的图像．（Ⅰ）当01a <<时，解关于x 的不等式2()()0f x g x +≥；（Ⅱ）当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围． 18．[解答]由题意知：P 、Q 关于原点对称，设(,)Q x y 是函数()y g x =图像上任一点，则(,)P x y --是()log (1)a f x x =+上的点，所以log (1)a y x -=-+，于是()log (1)a g x x =--．（Ⅰ）由2()()0f x g x +得2101010(1)1x x x x x ⎧+>⎪->⇒-<⎨⎪+-⎩，∴01a <<时，不等式的解集为{10}x x-<（Ⅱ）2()()2log (1)log (1)a a y f x g x x x =+=+--，当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，即[0,1)x ∈时，2(1)log 1ax mx +-恒成立，22(1)(1):log log 11m ma a x x a a x x++≥∴≤--即恒成立，设2(1)4()(1)4,0110,11x x x x x x x ϕ+==-+-≤<∴->--min ()1x ϕ∴=（此时0x =），01maa ∴=， 0m ∴．19．（本小题满分12分）已知点(3,0)R -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ，且满足230PM MQ +=，0RP PM ⋅=．（Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设11(,),A x y 22(,)B x y 为轨迹C 上两点，且110,0x y >>，(1,0)N ，求实数λ，使AB AN λ=，且163AB =． 19． [解答] (Ⅰ)设点(,)M x y ，由230PM MQ += 得(0,),(,0)23yx P Q -，由0,RP PM ⋅=得3(3,)(,)022y yx -⋅=即24(0)y x x =>．（Ⅱ）由题意可知N 为抛物线2:4C y x=的焦点，且 A B 、为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点．当直线AB 斜率不存在时，得A(1，2)，B(1，-2)，|AB|1643=<，不合题意； 当直线AB 斜率存在且不为0时，设: (1)AB l y k x =-，代入24y x =得22222(2)0k x k x k -++=则AB 212222(2)4162243k x x k k +=++=+=+=，解得32=k ， 代入原方程得031032=+-x x ，得1213,3x x ==或121,33x x ==，由AB AN λ=，得21143N x x x x λ-==-或4．20．（本小题满分13分）如图，1l 、2l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且3MO km=，点N 到1l 、2l 的距离分别为4km 和5km ．（Ⅰ）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（Ⅱ）若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km 26km ，求该校址距点O 的最近距离（注：校址视为一个点）．20．[解答]（Ⅰ）分别以2l 、1l为x 轴，y 轴建立如图坐标系．据题意得(0,3),(4,5)M N ，531,402MN k -∴==- (2,4),MN 中点为∴线段MN 的垂直平分线方程为：42(2)y x -=--），故圆心A 的坐标为（4，0），5)30()04(22=-+-=r 半径 ，∴弧MN 的方程：22(4)25x y -+=（0≤x ≤4，y ≥3） （Ⅱ）设校址选在B （a ，0）（a ＞4），.40,26)(22恒成立对则≤≤≥+-x y a x整理得：2(82)170a x a -+-≥，对0≤x ≤4恒成立（﹡） 令2()(82)17f x a x a =-+- ∵a ＞4 ∴820a -< ∴()f x 在[0，4]上为减函数 ∴要使（﹡）恒成立，当且仅当{{244 5(4)(8-2)417a a a f a a >>⋅+-即解得，即校址选在距O 最近5k m 的地方．21．（本小题满分14分）已知函数()(01)1x f x x x =<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n f n n N -*∈处的切线在y 轴上的截距为nb ．（Ⅰ）求数列{na }的通项公式；（Ⅱ）若数列2{}n n nb a a λ-的项仅5255b a a λ-最小，求λ的取值范围；（Ⅲ）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+，01x <<，数列{}n x 满足：112x =，01n x <<，且1()n n x g x +=，其中n N *∈．证明：2223212112231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<．21．[解答]（Ⅰ）令1x y x =-，解得1y x y =+，由01x <<，解得0y >， ∴函数()f x 的反函数1()(0)1x f x x x -=>+，则11()1n n nn a a f a a -+==+，得1111n n a a +-=．1{}n a ∴是以2为首项，l 为公差的等差数列，故11n a n =+．（Ⅱ）∵1()(0)1xf x x x -=>+，∴121[()](1)f x x -'=+，∴1()y f x -=在点1(,())n f n -处的切线方程为21()1(1)n y x n n n -=-++，令0x =， 得22(1)n n b n =+，∴2222(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ-=-+=---，∵仅当5n =时取得最小值，∴4.5 5.52λ<<，解之911λ<<，∴ λ的取值范围为(9,11)．（Ⅲ）2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+22212[]1111x x x x x x x x -=+⋅=+-++，(0,1)x ∈． 则121(1)1nn n n n n x x x x x x ++-=-⋅+，因01n x <<，则1n n x x +>，显然12112n n x x x +>>>>．121111121(1)21448222121n n n n n n nn x x x x x x x x +++-=-⋅≤⋅<=+-++-+∴211111111()112111()()()()8n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--+=-=--<-∴2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++1223121111111[()()()]8n n x x x x x x ++-+-++-1112111211())88n n x x x ++++=-=-∵111,2n n x x x +=>，∴1112n x +<<，∴1112n x +<<，∴11021n x +<-<∴2223212112231131()()()2112152)88816n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++++=-<<=．。

质量检测(一)测试内容：集合、常用逻辑用语不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|2<x<4}，那么集合A∩B等于( ) A．{x|x>3} B．{x|2<x<3}C．{x|3<x<4} D．{x|x<4}解析：A∩B＝{x|x>3}∩{x|2<x<4}＝{x|3<x<4}，故选C.答案：C2．(2012年合肥第一次质检)集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{4} B．{4，－1}C．{4,5} D．{－1,0}解析：本题主要考查集合的运算与韦恩图．由图可知阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为B＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因此(∁U B)∩A＝{4，－1}，选B.本题为容易题．答案：B3．(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A＝{0，m2}，B＝{1,2}，则“m ＝1”是“A∪B＝{0,1,2}”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当m＝1时，m2＝1，A＝{0,1}，A∪B＝{0,1,2}，若A∪B＝{0,1,2}，则m2＝1或m2＝2，m＝±1或m＝±2，故选B.答案：B4．若a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是( )>1b>1b>－b D．|a|>－b解析：∵1a－1b＝b－aab>0，∴A一定成立；∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴－a>－b，即C一定成立；|a|＝－a；∴|a|>－b⇔－a>－b，成立，∴D成立；当a＝－2，b＝－1时，1a－b＝1－2＋1＝－1＝1b，所以B不一定成立，故选B.答案：B5．设A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A ＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B等于( ) A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：∵A＝[0,2]，B＝(1，＋∞)，∴A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.答案：A6．(2012年厦门模拟)设命题p：若a>b，则1a<1b，q：若1ab<0，则ab<0.给出以下3个复合命题，①p∧q；②p∨q；③綈p∧綈q.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：p 为假命题，q 为真命题，所以只有②正确，故选B. 答案：B 7．在算式“4△＋1□＝30□×△”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小．则这两个正整数构成的数对(□，△)应为( )A ．(4,14)B ．(6,6)C ．(3,18)D ．(5,10)解析：题中的算式可以变形为“4×□＋1×△＝30”．设x ＝□，y ＝△，则4x ＋y ＝＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝5，y ＝10时取等号，所求的数对为(5,10)．故选D.答案：D8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( )>12 ＋1b≤1≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D9．(2012年广东番禺模拟)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]解析：若p 真，则a ≥e；若q 真，则16－4a ≥0⇒a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．故选A.答案：A10．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：可行域如图所示：由⎩⎨⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解，∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D11．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时， 由⎩⎨⎧a －2<0Δ＝4a －22＋4×4a －2<0，解得－2<a <2，∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C 12．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．－2≤b ≤2B ．－2≤b <2C ．－2<b <2D ．b ≤2解析：A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件， 则有－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1， 所以－2<b <2，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是______． 答案：∃x ∈R ，f (x )<m14．(2012年安徽)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：①作出可行域，如图中阴影部分；②作出零线x －y ＝0并平移，判断A ，B 点坐标； ③由⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3解得A (1,1)，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，x ＝0解得B (0,3)，∴(x －y )max ＝1－1＝0，(x －y )min ＝0－3＝－3，∴x －y ∈[－3,0]．答案：[－3,0]15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件．解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1. ∵q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q . 答案：充分不必要16．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是______________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2，∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．设全集U＝R，函数y＝log2(6－x－x2)的定义域为A，函数y＝1x2－x－12的定义域为B.(1)求集合A与B；(2)求A∩B，(∁U A)∪B.解：(1)函数y＝log2(6－x－x2)要有意义需满足6－x－x2>0，解得－3<x<2，∴A＝{x|－3<x<2}．函数y＝1x2－x－12要有意义需满足x2－x－12>0，解得x<－3或x>4，∴B＝{x|x<－3或x>4}．(2)A∩B＝Ø，∁U A＝{x|x≤－3或x≥2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤－3或x≥2}．18．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A 与B的差集，记作A－B.据此回答下列问题：(1)若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，求A－B；(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；(3)若集合A＝{x|0<ax－1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}，有A－B＝Ø，求实数a的取值范围．解：(1)根据题意知A－B＝{1,2}．(2)(3)A ＝{x |0＜ax －1≤5}，则1＜ax ≤6， 当a ＝0时，A ＝Ø，此时A －B ＝Ø，符合题意； 当a >0时，A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，6a ，若A －B ＝Ø，则6a ≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫6a ，1a ，若A －B ＝Ø，则6a >－12，即a <－12.综上所述：实数a 的取值范围是a <－12或a ≥3或a ＝0. 19．(1)求函数y ＝2xx 2＋1在x >0时的最大值；(2)已知x ＋y ＋xy ＝2，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 而x ＋1x ≥2，故0<1x ＋1x ≤12，则0<2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1x即x ＝1时，y 的最大值为1.(2)由xy ＝2－(x ＋y )及xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22得 2－(x ＋y )≤x ＋y 24，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0.解得x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥23－2， 当且仅当x ＝y 且x ＋y ＋xy ＝2，即x ＝y ＝3－1时，x ＋y 的最小值为23－2.20．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠Ø.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：若|f (a )|＝|1－a3|<2成立，则－6<1－a <6， 即当－5<a <7时p 是真命题；若A ≠Ø，则方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0有实数根， 由Δ＝(a ＋2)2－4≥0，解得a ≤－4，或a ≥0， 即当a ≤－4，若a ≥0时q 是真命题；由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假， p 真q 假时，⎩⎨⎧－5<a <7－4<a <0，∴－4<a <0.p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤－5或a ≥7a ≤－4或a ≥0，∴a ≤－5或a ≥7.故知所求a 的取值范围是(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)．21．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大解：设甲、乙两种产品每天分别生产x 吨和y 吨，则每天所得的产值为z ＝7x ＋10y 万元．依题意，得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.(※)由⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝160，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2007，y ＝907.由⎩⎨⎧5x ＋2y ＝200，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70019，y ＝15019.设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，907，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019，则不等式组(※)所表示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分)．令z ＝0，得7x ＋10y ＝0，即y ＝－710x .作直线l 0：y ＝－710x .由图可知把l 0平移至过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019时，即x ＝70019，y ＝15019时，z 取得最大值6 40019. 答：每天生产甲产品70019吨、乙产品15019吨时，能获得最大的产值6 40019万元． 22．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即x 10，0<x ≤10)，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z倍．(1)设y ＝ax ，其中a 是满足13≤a <1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y ＝23x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围． 解：(1)由题意知某商店定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10元，npz 元， 因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝⎛⎭⎪⎫1－y 10， ∴z ＝1100(10＋x )(10－y )，在y ＝ax 的条件下， z ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －51－a a 2＋100＋251－a 2a ， 由于13≤a <1，则0<51－a a ≤10，要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x ＝51－aa .(2)由z ＝1100(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x >1，解得0<x <5.。

(吨)0.0.0.0.0.第6题图黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．纯虚数z 满足23z -=，则z 为 AB． C ． D ．5或1-2．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3．已知双曲线的焦距为A ．2212y x -= B ．2212x y -= C ．2212y x -=或2212x y -= D ．2212x y -=或2212y x -= 4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是 A ．36 B ．32C ．24D ．20 5．已知cos(63πα+=，则sin(26πα-的值为 A ．13 B ．13-C ．D ．- 6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计， 得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为 A ．2， 2.5B ．2.25， 2.02C ．2.25， 2.5D ．2.5， 2.25第9题图侧视图俯视图正视图第8题图第127．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过19，则方格边长最长为(单位：cm )A ．3B ．4C ．5D ．6 8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．16π9．如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=， CD xOA yBC =+，则xy +的值为A ．B ．13-C ．23D ． 10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是 A ．（0，12） B ．（1,12） C ．（1，2） D ．（2，3） 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． （一）必考题（11 — 14题）11．1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含4x 项的系数为 ． 12．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．M第16题图13．已知(0,)x y z ∈+∞、、，且2221ln ln ln 3x y z ++=，则2x yz的最大值为 ． 14．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a ={}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a >时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）已知抛物线C 的极坐标方程为2sin 8cos 0ρθθ-=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r= ．16．（几何证明选讲）如图，过半径为4的O 上的一点A 引半径为3的O '的切线，切点为B ，若O 与O '内切于点M ，连结AM 与O '交于C 点，则ABAM= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，a =(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin )2n B C B C =-，且m n ⊥． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积．ACMPQ D第19题图18．（本小题满分12分）某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为23和13，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．20．（本小题满分12分） 数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+ 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，第21题图12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则[][]2211()()()()()bt t a t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰（其中12()()a tb t ϕϕ==、）． 如22221cos2(sin )cos (sin )cos 2tt t t dt tdt dt πππ+'====⎰⎰⎰⎰． 阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．（Ⅲ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，P 和P '分别为NG MH 、的中点，问22MH PF NG P F ⋅'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．（本小题满分14分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对12,(0,)x x ∀∈+∞，都有[]11221212ln ln ()ln()ln2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．数学（理）试卷答案BBCD ABAC AC11答案：15- 12答案：5 13答案：14答案：（1）1n a =；（21-或1215 16答案：121答案：B解析：设()z bi b R =∈9b =∴=z =．2答案：B解析：甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y +=”此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题． 3答案：C解析：由题易知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：D解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有32232224A A A =，然后减去0在首位的情况，有22224A A =，故322223222220A A A A A -=．5答案：A解析：由cos()63πα+=得，1cos(2)33πα+=-， 所以1sin(2)sin(2)cos(2)63233ππππααα-=+-=-+=． 6答案：B解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.52.252+= 中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.0120.5 2.020.25+⨯=． 7答案：A解析：设方格边长为x ，则221()39x x x -≤⇒≤．8答案：C解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233V πππ=⨯+⨯=．9答案：A解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++设1OA =，建立如图所示坐标系，则1(,12CD =-(1,0)OA =-，1(,22OC =-，故3x y +=10答案：C解析：由题2()log f x x C -=（C 为常数），则()f x 故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，记21()()()2log ln 2g x f x f x x x '=--=-在(0,)+∞上为增函数 且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2g g -=-<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 11答案：15-12答案：5解析：由题意，得：5,016,18,2n k n k n k ==⇒==⇒==4,32,41,5n k n k n k ⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 13答案：解析：2222222(ln ln ln )[2(1)(1)](2ln ln ln )x y z x y z +++-+-≥-- 14答案：（1）1na =-；（21或12- 解析：（Ⅰ）若a 时，11a ==-,则21a ===． （Ⅱ）当13a >时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈．①当1(1,2)a ∈时，211a a a 1=〈〉=-，故1112a a a -=⇒=（12a =舍去） ②当1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或1215解析：将2sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即28y x =，得(2,0)F 16答案：12解析：作两圆的公切线MDE ，连结AO ，CO '，则2AB AC AM =所以222AB AM AC ACAM AM AM == 由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠，2CO M EMA '∠=∠， 则AOM CO M '∠=∠,AO CO ',所以434AC OO AM AO '-==，即12AB AM ==. 17答案：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 02B C B C -+-= 即()cos 2B C +=-，因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=- 所以c o s,4A A π==． 4分 （2）由3,44A CB ππ==-，故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-==+ 由3(0,)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3B π=． 8分由正弦定理，2sin sin a bA B==，得b =故1sin sin()243ab C ππ=+=． 12分ME18答案：（Ⅰ）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则所求概率为1212114333381P C =⋅⋅⋅=. 4分 （Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. 则22215(2)()()339P ξ==+=，12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=1221216(6)()3381P C ξ=== 故ξ的分布列为10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=12分 19解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ． 由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴==，所以13AN AC =． 若13t =，即13PM ANPC AC==， //PA MN ∴由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ． 4分 （II ）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ， 由 ∠BAD=60°得△ABD 为正三角形，又∵Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ8分 以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （），Q （0，0，0），P （0，0设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n = 取平面ABCD 的法向量()3,0,0=，设所求二面角为θ，则21cos ==θ 故二面角M BQ C --的大小为60°． 12分 20解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，11121(1)33n n n a a --+=++ 两边同时乘以13n -得，1213(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+故{}n b 是公差为2的等差数列．又01322b =⨯=， 所以22(1)2n b n n =+-=． 6分 方法2：2n ≥时，12113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333n n n a a --=+- 整理得12n 11111213()3(1)2333n n n n n n b b a a -------=++-+=，故{}n b 是公差为2的等差数列． (Ⅱ)由(Ⅰ)得，13(1)2n n n b a n -=+=，故1123n n a n -+=， 所以12(1)133(1)1313n n n S -==-- 8分 则111111323331111(3)313333n n n n nn n n m S m S m m m m --+----==-=-------- 因为13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得21(3)3131n m m >--+ *(3)310,1,2n m m N m -->∈∴=当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)． 12分21解答：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=． 3分 （Ⅱ）由22198x y +=知，y =3sin ()26x t t ππ=-≤≤1S ==62(3sin )t ππ-=⎰262cos tdt ππ-=62(1cos2)t dt ππ-+621sin 2)|2x x ππ-=+=3322204()|3S x ===根据对称性， “盾圆C ”的面积为122()S S -=． 7分 （Ⅲ）设过2F 的直线为1(0)x my m =+≠，(,)(,)(,)(,)M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y 、、、联立221198x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，则2216896489M H M H m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则44N G N G y y my y +=⎧⎨=-⎩由M N G H P P '、、、、、共线，所以2222N GM H M HN G y y MH PF y y y y NG P F y y +-⋅=⋅+'-代入韦达定理整理得，222431689MH PF mm NG P F m ⋅=='+故22MH PF NG P F ⋅'为定值3． 13分 22答案：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． （4分）（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． （8分） （Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立， 即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()l n [()l n2]()l n [()l n2]k k k k F x x x x x xx xx ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． （13分）（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-． （14分）薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试考试时间：2014年1月20日下午14：30—16：30本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★★★ 祝考试顺利 ★★★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数20132(12a i i i i+⋅-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． B ．1- C ．14 D ．14-2．已知,b c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥且直线a c ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A ．48 B ．56 C ．64 D ．724.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①()sin cos f x x x =；②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =+；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，12()log (1)f x x =-，则2011()4f -=（ ） A ．2- B ．12C ．D ．2 7.双曲线221x y a-=的一条渐近线与圆()2222x y -+=相交于,M N 两点，且2MN=，则此双曲线的离心率第3题图为（ ）AB．3 8．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤ 且02OP OB ≤⋅≤ ，则点P 到点C的距离大于14的概率为（ ） A ．5164π- B ．564π C ．116π- D ．16π9．已知数列{}n a 的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则60S =（ ） A ．1840 B ．1880 C ．1960 D ．198010．已知函数()()()212ln f x a x x =---，1()xg x xe -=(a R ∈,e 为自然对数的底数)，若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，则a 的取值范围是（ ）A ．25-1e e -⎛⎤∞ ⎥-⎝⎦，B ．22,e e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．222e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． 2522,1e e e e --⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11—14题）11．已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=___________．12．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为___________． 则a 与b的夹角的取13．已知20a b =≠ ，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅= 有实根，值范围是___________．14.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．）， 第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1）试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个；（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲） 如图所示，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆O 上两点，如果第14题图46E ︒∠=，32DCF ︒∠=，则A ∠的度数是___________．16. （选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，过点18,2P π⎛⎫⎪⎝⎭引圆10sin ρθ=的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则线段AB 的长为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()f x m n =⋅，其中()sin cos m x x x ωωω=+ ，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=- ，0ω>，()f x 的相邻两条对称轴间的距离大于等于2π．（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c，3a b c =+=，当ω的值最大时，()1f A =，求ABC ∆的面积．18.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖．．长方体沉淀高度为b 米．已知箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）（1）求出,a b 满足的关系式；（2）问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数最小（A 、B 孔的面积忽略不计） ？19. 如图所示，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ︒∠=∠=，1,2AB AD CD a PD ====．（1） 若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； （2） 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．第15题图第18题图20．设数列{}n a 的首项112a =，且11(214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数）（为奇数），记211()4n n b a n N *-=-∈． （1）求23,a a ；（2）证明：{}n b 是等比数列； （3）求数列31n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MA MB ⊥；(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线,使得21S S =3217?请说明理由．22．已知函数1ln ()xf x x +=． （1）若函数在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()()221!1n n n e n N -*+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦．湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试参考答案（附评分细则）一、选择题二、填空题11．[)2,6 12．2ln 2 13．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．(1)()61n - (2)15．99︒16．120138．动点(,)P a b 满足的不等式组为022022a b a b ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域可知P 的运动区域为以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心且边的正方形，而点P 到点C 的距离小于或等于14的区域是以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心且半径为14的圆以及圆的内部，所以22145164P ππ⎛⎫-==- 9．222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22cos 3n n π=， 所以()()()22232313115323139222k k k a a a k k k k --++=----+=-，其中k N *∈ 所以60S =()5912202018905018402++⋅⋅⋅+-⨯=-=10．易得函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1()(]'2222()2,0,a x a f x a x e x x⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=--=∈当22x a =-时，'()0f x =，()f x 在22x a=-处取得最小值222ln 22f a a a ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭由题意知，()f x 在(]0,e 上不单调，所以202e a <<-，解得22e a e-<所以对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，当且仅当a 满足条件202f a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭且()1f e ≥因为(1)0f =，所以202f a ⎛⎫≤⎪-⎝⎭恒成立，由()1f e ≥解得251e a e -≤- 综上所述，a 的取值范围是25,1e e -⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦14. 观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第n层的点数为()61(2)n n -≥；（2）n 层六边形点阵的总点数为()16121n +⨯++⋅⋅⋅+-=()131n n +-令()131169n n +-=解得7n =-（舍去）或8n = 所以8n = 三、解答题17．解：（1）22()cos sin sin f x m n x x x x ωωωω=⋅=-+=cos 22x x ωω=2sin 26x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭----------------------------3分 因为0ω>，所以函数()f x 的周期22T ππωω== 由题意可知22T π≥，即T π≥，ππω≥----------------------------5分 解得01ω<≤-----------------------------6分（2）由（1）可知ω的最大值为1，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()1f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭----------------------------7分 而132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，所以3A π=-------------------------9分 而2222cos b c bc A a +-=，所以223b c bc +-= ① 而()22229b c b c bc +=++= ②联立①②解得：2bc =-------------------------11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==-------------------------12分 18．解： （1）由题意可得242600,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩，即2300,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩------------------------6分注：若没写0,0a b >>，扣两分，少写一个扣1分（2）因为该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，所以当ab 最大时，该杂质的质量分数最小由均值不等式得2a b +≥（当且仅当2a b =时取等号）所以2a b ab ab ++≥+，即30ab +≤（当且仅当2a b =时取等号）-----------------------8分即0+-≤，0>≤18ab ≤-----------------------10分所以当且仅当218a b ab =⎧⎨=⎩即()()63a m b m =⎧⎪⎨=⎪⎩时，ab 取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小 -------------------12分19．20．解： （1）21321313,4428a a a a =+=== ------------------2分（2）证明： 因为2114n n b a -=-，所以121221211111111142424424n n n n n b a a a a ++--⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------------5分即112n n b b +=，------------------6分而1111044b a =-=≠，所以{}n b 是以14为首项，公比为12的等比数列-----------7分 注：若没写10b ≠，扣一分（3）1111122n n n b b -+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以31nn b +=()1312n n ++ 所以()()()23131123212312n n T n +=⨯++⨯++⋅⋅⋅++()()()()3412231123212322312n n n T n n ++=⨯++⨯++⋅⋅⋅+-++--------8分两式相减得：()()2341312322216n n n T n ++=+-++⋅⋅⋅+---------10分 即()23228n n T n +=-+ --------12分21．解：（1）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==。

2014届高三上数学测试题（13）（理科）考查范围：函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何命题人：张智一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合{}a A ,2,0=,{}2,1a B =,若{}16,4,2,1,0=B A ,则a 的值为 (B ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 2.复数 ,1i z -=则=+z z1D A.i 2321+B.i 2321- C.i 2323- D.i 2123- 3．“,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“方程22cos 1x y α+=表示焦点在x 轴上的双曲线”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[答案]A （教材选修2-1 80P 页第4题改编）4.设非零向量a b c 、、，满足||||||a b c ==，||||a b c +=，则sin ,a b <>= ( ) A ． 12-B ．12 C． D4.【答案】D.法一:【解析】∵||||a b c +=∴||||||a b c a +==，∴解得：222||a b b b ∙=-=- ∴21cos ,2||||||a b a b a b a b b ∙∙<>===-∴3sin ,a b <>=法二:利用向量几何意义画图求解.5. 已知点(,)(0,0)M a b a b >>是圆22:1C x y +=内任意一点，点(,)P x y 是圆上任意一点，则实数1ax by +- ( A ) A ．一定是负数 B ．一定等于0 C ．一定是正数 D ．可能为正数也可能为负数6.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图，则20131()6n n f π==∑（ ） A ．1- B ． 12C ．1D ．0 6.【答案】C 【解析】根据图像1254126πππω⨯=-，解得2ω=，把点(,1)6π的坐标代入，得1sin(2)6πϕ=⨯+，结合2πϕ<得6πϕ=，故()sin(2)6f x x π=+，213145161()1,(),(),()1,(),()6626266262f f f f f f ππππππ===-=-=-=， 函数的最小正周期是π，在一个周期内的各个函数值之和为0，201363353=⨯+， 20131()(2011)(2012)(2013)(1)(2)(3)16i n f f f f f f f π==++=++=∑。

数学试题（理科）命题人：黄冈中学 张智 审题人： 黄冈中学 袁小幼 校对人：黄冈中学 张智 一、选择题：本大题共10小题；每小题5分；共50分。

在每小题给出的四个选项中；只有一个是符合题目要求的。

1．设集合}3,2{},2,1{==N M ；集合P （M ∪N ）；则P 的个数是 （ ）A ．6B ．8C ．7D ．52．已知函数)2008(,4)20081(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为 （ ）A ．－4B ．2C ．0D ．－23．等差数列==--=1815183,18,6,}{S S S S S n a n n 则若项和为的前 （ ）A ．36B ．18C ．72D ．94．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数；又是周期函数；T 是它的一个正周期。

若将方程)(x f =0在闭区间[－T ；T]上的根的个数记为n ；则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．55．已知等比数列8050202991,01610,,0,}{a a a x x a a a a n n 则的两根为方程中=+->的值为（ ）A ．32B ．64C ．128D ．2566．曲线y y x x y 在和直线21)4cos()4sin(2=-+=ππ轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3；…；则|P 2P 4|等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 7．若ααπααsin cos ,22)4sin(2cos +-=-则的值为（ ）A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 8．定义域为R 的函数0)()(,2,12|,2|lg )(2=++⎩⎨⎧=≠-=c x bf x f x x x x x f 的方程若关于恰有5个不同的实数解)(,,,,,5422154321x x x x x f x x x x x ++++则等于 （ ）A ．0B ．221gC ．231gD ．19．已知n n S n a a a 项和且它的前若为等差数列,1,}{1011-<有最大值；那么当S n 取得最小正值时；n =（ ）A ．11B ．20C ．19D ．2110．定义在R 上的函数10)(21)5(,1)1()(,0)0()(21≤<≤==-+=x x x f x f x f x f f x f 且当满足时；=≤)20081(),()(21f x f x f 则 （ ）A ．21B ．161C ．321 D ．641 二、填空题：本大题共5小题；每小题5分；共25分。

湖北省黄冈中学2007届高三年级十一月月考数 学 试 题（理）命题：霍祝华 审稿：王宪生 校对：胡华川第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I =R ，{|()0},{|()0}P x f x Q x g x =<=>，且满足∅ P Q R ，则集合{|()0()0}M x f x g x =且≥≤等于（ ）A ．1P ðB ．1Q ðC ．∅D ．11PQ 痧2．若1tan22x =，则cos x 值为（ ） A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-3．设221:200,:0||2x p x x q x ---><-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()log (1)xa f x a x =++在区间[0, 1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0, S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点（n, S n ）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）6．非零向量,,OA OB ==b a 若点B 关于OA 所在直线的对称点为B 1，则向量1OB 为（ ） A ．22()||-b b a aa B ．2-b a C ．22()||-b b a a a D ．2()||-b ba a a 7．已知函数sin()y x ωϕ=+与直线12y =的交点中，距离最近的两点间距离为3π，那么此函数的周期是（ ） A ．3πB ．πC ．2πD ．4π8．若某等差数列{a n }中，2616a a a ++为一个确定的常数，则下列各个和中也为确定的常数的是（ ） A ．S 17B ．S 10C ．S 8D ．S 159．平面向量22(,),(,),(1,1),(2,2)x y x y ====b d a c ，若1==b d ac ，则这样的向量a 有（ ）A ．1个B ．2个C ．多于2个D ．不存在10．设函数3()2()f x x x x =+∈R ，若当02πθ≤≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）≠ ≠ ≠A ．（0，1）B ．（－∞，0）C ．（－∞，1）D ．（－∞，12）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置上.11．已知点P 是圆C ：22450x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =_________________.12x则不等式1(|1|)0fx --<的解集为_______________.13．已知数列{a n }中，1111,3(2),lim n n n n n n a a a a a n na --→+∞==-=则≥_____________.14．定义运算x *y 为x *y =,x x y yx y⎧≥⎪⎨<⎪⎩求()(sin )(cos )f x x x =*的值域为_________.15．设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x C +=（C为常数）成立，则称函数()f x 在D 上均值为C . 下列5个函数：①4sin y x =； ②3y x =； ③lg y x =； ④2x y =； ⑤2 1.y x =-则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 对边的长，且满足cos .cos 2B bC a c=-+（1）求角B 的值； （2）若5b a c =+=，求a 、c 的值. 17．（本小题满分12分）某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成. 已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型投资每年可获利15万元. 若可作投资用的资金额，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应各注入多少份，能使一年获利总额最多？设(1cos ,sin ),(1cos ,sin ),(1,0),(0,),(,2)ααββαπβππ=+=-=∈∈b a c ， a 与c 的夹角为1,θb 与c 的夹角为212,6πθθθ-=，求sin8αβ-的值.19．（本小题满分12分）（1）已知直线l 1：0x y +=，将l 1按向量11,22⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 平移到l 2，求l 2的方程； （2）以11,22⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 为一个方向向量的动直线l 分别交（1）中的l 1、l 2于点Q 、P . 又已知两定点A （－1，2），B （2，1），问是否存在一个适当的l 的位置，使||||||AP PQ QB ++最小？若存在，求出此时点Q 、P 的坐标及此时直线AP 、PQ 、QB 的方程；若不存在，说明理由.设a 、b 为常数，{()|()cos sin }M f x f x a x b x ==+，映射F 把点（a, b ）对应到函数cos sin .a x b x +（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当0()f x M ∈时，10()()f x f x t M =+∈，这里t 为常数；（3）对于属于M 的一个函数0()f x ，得10{()|}M f x t t =+∈R ，在映射F 的作用下，M 1作为象集，求其原象集，并说明它是什么图象？已知函数*()()n f x n ∈N 具有下列性质：（1）当n 一定，记1()kn a k f n =，求k a 的表达式 （k =0, 1, …，n ）； （2）对*n ∈N ，证明11(1)43n f <≤.。

(吨)0.0.0.0.0.第6题图黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．纯虚数z 满足23z -=，则z 为AB． C ． D ．5或1-2．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3．已知双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程为 A ．2212y x -= B ．2212x y -= C ．2212y x -=或2212x y -= D ．2212x y -=或2212y x -= 4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是 A ．36 B ．32C ．24D ．20 5．已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为 A ． 13B ．13-C ．D ．-6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计， 得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为 A ．2， 2.5 B ．2.25， 2.02 C ．2.25， 2.5 D ．2.5， 2.25第9题图侧视图俯视图正视图第8题图第127．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过19，则方格边长最长为(单位：cm )A ．3B ．4C ．5D ．6 8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．9．如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=o ，45ABD ∠=o ，CD xOA yBC=+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的值为 A ．3-B ．13-C ．23D ．10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是A ．（0，12）B ．（1,12） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． （一）必考题（11 — 14题） 11．1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含4x 项的系数为 ．12．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ． 13．已知(0,)x y z ∈+∞、、，且2221ln ln ln 3x y z ++=，则2x yz的最大值为 ．14．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．已知无穷数列{}na 满足如下条件：①1aa =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a ={}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a >时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）已知抛物线C 的极坐标方程为2sin 8cos 0ρθθ-=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r = ．16．（几何证明选讲）如图，过半径为4的O e 上的一点A 引半径为3的O 'e 的切线，切点为B ，若O e 与O 'eACM P Q D第19题图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，a =(1,1)m =-u r，(cos cos ,sin sin 2n B C B C =-r ，且m n ⊥u r r ． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为23和13，且各局比赛胜负互不影响.（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．20．（本小题满分12分）数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+ 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． 如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则[][]2211()()()()()bt t at t f x dx f t d t f t t dtϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰（其中12()()a t b t ϕϕ==、）． 如222201cos 2(sin )cos (sin )cos 2t t t t dt tdt dt πππ+'====⎰⎰⎰⎰．阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．（Ⅲ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M NGH 、、、四点，P 和P '22．（本小题满分14分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对12,(0,)x x ∀∈+∞，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nni ii x x=≥-∑*(,)i n ∈N ．数学（理）试卷答案BBCD ABAC AC11答案：15- 12答案：5 13答案：14答案：（1）1n a =；（21-或12- 15 16答案：121答案：B 解析：设()z bi b R =∈9b =∴=，则z =．2答案：B解析：甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y +=” 此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题．3答案：C 解析：由题易知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：D解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有32232224A A A =，然后减去0在首位的情况，有22224A A =，故322223222220A A A A A -=．5答案：A 解析：由cos()63πα+=得，1cos(2)33πα+=-， 所以1sin(2)sin(2)cos(2)63233ππππααα-=+-=-+=．6答案：B解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.52.252+=中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.0120.5 2.020.25+⨯=． 7答案：A解析：设方格边长为x ，则221()39x x x -≤⇒≤．8答案：C解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233V πππ=⨯+⨯=．9答案：A解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC=+=+-=++u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设1OA =，建立如图所示坐标系，则1(,12CD =-+u u u r(1,0)OA =-u u u r，1(,22OC =-u u ur ，故3x y +=10答案：C解析：由题2()log f x x C -=（C 为常数），则()f x 故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，记21()()()2log ln 2g x f x f x x x '=--=-在(0,)+∞上为增函数且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2g g -=-<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 11答案：15- 12答案：5 解析：由题意，得：5,016,18,2n k n k n k ==⇒==⇒==4,32,41,5n k n k n k ⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 13答案：解析：2222222(ln ln ln )[2(1)(1)](2ln ln ln )x y z x y z +++-+-≥-- 14答案：（1）1n a =-；（21-解析：（Ⅰ）若a=时，11a ==-,则21a ===．（Ⅱ）当13a >时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈． ①当1(1,2)a∈时，211a a a 1=〈〉=-，故1112a a a -=⇒=（a =舍去）②当1[2,3)a∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或1215解析：将2sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即28y x =，得(2,0)F 16答案：12解析：作两圆的公切线MDE ，连结AO ，CO '，则2AB AC AM =g 所以222AB AM AC AC AM AM AM==g 由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠，2CO M EMA '∠=∠， 则AOM CO M '∠=∠,AO CO 'P , 所以434ACOO AM AO '-==，即12AB AM ==.17答案：（1）因为m n ⊥u r r，所以cos cos sin sin 02B C B C -+-=即()cos B C +=A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-所以cos 24A A π==． 4分（2）由3,44A C Bππ==-，E故73sin cos()sin cos()sin )126226B C B B B B B πππ+-=+-=+=+由3(0,)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3B π=． 8分由正弦定理，2sin sin a b A B==，得b =故1sin sin()243ab C ππ=+= 12分18答案：（Ⅰ）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜， 则所求概率为1212114333381P C =⋅⋅⋅=. 4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. 则22215(2)()()339P ξ==+=，12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=1221216(6)()3381P C ξ===故ξ的分布列为 10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=12分19解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB 证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ． 由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴==，所以13AN AC =． 若13t =，即13PM AN PC AC==， //PA MN ∴由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ． 4分（II ）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ， 由 ∠BAD=60°得△ABD 为正三角形，又∵Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ 8分 以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （3,0），Q （0，0，0），P （0，03）设平面MQB 的法向量为()z y x ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩r u u u r r u u u r Q r u u u u r r u u u r ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n =r 取平面ABCD 的法向量()3,0,0=，设所求二面角为θ，则21cos ==θ 故二面角M BQ C --的大小为60°． 12分20解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，11121(1)33n n n a a --+=++两边同时乘以13n -得，1213(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+故{}n b 是公差为2的等差数列．又01322b =⨯=， 所以22(1)2n b n n =+-=． 6分方法2：2n ≥时，12113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333n n n a a --=+-整理得12n 11111213()3(1)2333n n n n n n b b a a -------=++-+=，故{}nb 是公差为2的等差数列． (Ⅱ)由(Ⅰ)得，13(1)2n n n b a n -=+=，故1123n n a n -+=， 所以12(1)133(1)1313n n n S -==-- 8分则111111323331111(3)313333n n nn nn n nm S m S m m m m --+----==-=--------因为13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得21(3)3131n m m >--+*(3)310,1,2n m m N m -->∈∴=Q当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110n n >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)． 12分 21解答：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=． 3分 （Ⅱ）由22198x y +=知，y =3sin ()26x t t ππ=-≤≤1S ==62(3sin )t ππ-=⎰262cos tdt ππ-=62(1cos2)t dtππ-+621sin 2)|24x x ππ-=+=+；3322204()|3S x ===根据对称性， “盾圆C”的面积为122()2S S -=-． 7分（Ⅲ）设过2F 的直线为1(0)x my m =+≠，(,)(,)(,)(,)M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y 、、、联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，则2216896489M H M H m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则44N G N G y y m y y +=⎧⎨=-⎩由M N G H P P '、、、、、共线，所以2222N G M H M HN G y y MH PF y y y y NG P F y y +-⋅=⋅+'-代入韦达定理整理得，222431689MH PF mm NG P F m ⋅=='+故22MH PF NG P F ⋅'为定值3． 13分22答案：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)， 则()ln ln(1)ln 1x f x x x x '=--=-．令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln22f =． （4分）（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以()ln ln()lnx f x x a x a x'=--=-．所以当2a x =时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则 121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x x x x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． （8分）（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++=L ，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x +++≥-L ．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=L ． 设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++L ，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-L=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++L =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-L ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若211nii x==∑，则21ln ln 2nni ii x x=≥-∑ *(,)i n ∈N ． （13分）（证法二）若1221n x x x +++=L ，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++L1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-L 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++L 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-L12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-L121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---L L ln 2n =-． （14分）。

Ⅰ.多项选择1.Many difficulties have_____as a result of the change over to a new type of fuel.A.risenB.arisenC.raisedD.arrived2. (黄冈中学2013届高三年级11月月考)According to the research, the reason why people are fat is caused by overeating.A. roughlyB. deliberatelyC. sincerelyD. partly3.(2013届高三八校第一次联考) Books are to mankind what memory is to the individual. They contain the history of our race, the discoveries we have made, the ______ knowledge and experience of ages.A. accumulatedB. selectedC. classifiedD. marked4.—I think he is taking an active part in social work.—I agree with you_____.A.in a wayB.on the wayC.by the wayD.in the way5.—I have been worried about the possible danger of driving on a railway line.—Do not be afraid；God will_____us.A.urn overB.watch overC.go overD.ook over6.Hans always dreams of owning a car，as it will make him more_____.A.universalB.personalC.mobileD.grateful7.English is considered as a(n) _____language，and it is no surprise that there are so many people in the world learning English.A.universalB.ogicalC.artificialD.regular8.—Mary’s brother has such high_____ that he has learned three languages.—Really？It’s hard to believe.A.powerB.technologyC.characterD.intelligence9.In the last few years, many new regulations and rules have been drawn up for people to_____in their economic activities.A.go withoutB.go afterC.go againstD.go by10.I’m hunting for a house，nice，bright，comfortable and_____with a big garden.A.all overB.after allC.above allD.in allⅡ.阅读理解Whether it’s a carol(圣诞颂歌)service or an evening of karaoke in the pub，many people will enjoy a good old singsong this Christmas. Singing aloud will not just lift the spirits—it’s good for your physical health as well. Filling the lungs with air，increasing the heart rate and getting blood pumping round the body faster can all help our physical health.For the past few years Heart Research UK has been running a Christmas campaign aimed at getting people singing，simply for the benefit it can bring. The organizer of the campaign says singing is a safe，simple and social activity that everyone can enjoy. “Singing is linked to long life，stress reduction，and general health protection. It also brings a great amount of happiness. It is impossible to sing well with a long face because it affects your pitch(音高). ”Professor Graham Welch，who leads the International Music Education Research Centre at the University of London，has spent more than 30 years studying the effects of singing. He says that singing is a form of exercise. It means we’re also having a strong aerobic activity(有氧运动) when we’re singing，which results in increasing the feeling of pleasure while decreasing that of stress.“And communal singing—like in a singing group，a church service or even a singsong in the pub—helps improve our sense of self respect. It increases our sense of satisfaction with ourselves，a greater sense of feeling included. ”Helen Astrid，a singing teacher，also sees the great effects that singing brings. “It lifts us up on a spiritual level，it helps our self respect，and it’s great for all ages from small kids to grannies—you can have a good sing and let your hair down. ”But she warns people not to have too many beers or glasses of wine，though a glass may help them gather courage before taking to the stage during the holidays.1.Heart Research UK holds a campaign to________.A.encourage people to sing for God at ChristmasB.study the effects of singing on peopleC.get people to sing and improve their healthD.bring happiness to people during holidays2.The underlined part“let your hair down” probably means_______.A.feel at easeB.protect yourselfC.dress casuallyD.cover your nervousness3.What can we infer from the passage?A.Singing at Christmas is good for health.B.In a low mood one is not able to sing well.C.Experts have disagreement on singing.D.Singing is the same as other aerobic activities.4.Which is the best title of the passage?A.Karaoke——Best Place for SingingB.Christmas——Best Time for SingingC.Singing——Healthy but DifficultD.For Health——Let’s SingLast weekend, 20,000 people gathered in the state of Georgia to watch students from 28 countries compete with robots they built. More than ten thousand students and more than five hundred robots took part in the competition.The students and their robots competed at the FIRST Championship at the Georgia Dome in Atlanta. FIRST is the short way of saying the organization’s complete name：For Inspiration and Recognition of Science and Technology.Almost 1,700 high school teams entered a level of competition called LUNACY.In January, the organization sent supplies for robots to each team. The teams had six weeks to build robots that could compete in the LUNACY game. The playing area had six robots, three on each team. Each robot had another vehicle, or trailer(拖车)，connected to it. The robots had to pick up large balls and throw them into the trailers of opposing robots. The robots were moving on a surface where they could slide. An alliance(联盟) of teams from California，Illinois and Michigan won the LUNACY competition.A second competition involved building a robot that could travel on uneven surfaces, move objects with unusual shapes and resist physical stress.Another competition was for younger students，aged from 9 to 14.They had to design, build and program robots to explore the Earth’s climate.American inventor Dean Kamen started FIRST in 1989. The organization holds robot competitions around the world. It offers programs that help young people learn more about science，technology，engineering and mathematics，which build life skills. Many companies provide support to the organization.Mister Kamen says the goal is about more than building robots. He says the student competitors showed they could deal with difficult technological problems. And he says that is good news because the world needs creative thinkers to help with increasingly complex problems in the future.5.The Robot Competition was organized by______．A．the state of GeorgiaB．an organization named FIRSTC．American inventor Dean KamenD．some companies from California6.The robots in the LUNACY game are able to_______．A．travel on uneven surfacesB．explore the Earth’s climateC．throw balls into the trailersD．move objects with different shapes7.The main purpose of FIRST is to________．A．attract more companies to support themB．help students under 8 to be interested in scienceC．teach students how to build robots on the spotD．help young people learn science as well as life skills8.The underlined word “that” in the last paragraph refers to_______.A．the goal of building robotsB．the students’ability to deal with technological problemsC．the goal of the student competitorsD．something about technological problemsⅣ.完成句子1.With the help of satellites, people__________ in many fields of science.（help）借助于卫星，人们已经在许多科学领域做了很多研究。

湖北省黄冈中学2009届高三11月月考数学试题（理）命题人：陈晓洁★请将答案填写在答题卡的相应位置上★一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数sin 2y x =的一个增区间是 （ ） A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则nm等于 （ ） A ．2-；B ．2C ．21-D ．213．已知(3,1),(2,1)AB =-=n ，且7AC ⋅=n ，则BC ⋅=n （ ） A ．2- B ．0 C ．2-或2 D ． 2 4．设1tan10,1tan10a b +==- （ ）A ．222a b a b +<<B ．222a b b a +<<C ．222a b a b +<<D ．222a b b a +<< 5．已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 取值范围是 （ ） A ．11(0,)a B ．12(0,)a C ．21(0,)a D. 22(0,)a6．由下列条件解ABC ∆，其中有两解的是 （ ） A ．20,45,80b A C === B ．30,28,60a c B === C ．14,16,45a c A === D ．12,15,120a c A ===7．若向量,,a b c 两两的夹角相等，且满足1,2,4===a b c ，则=a +b+c （ ） A ．7 B ．7CD ．78．已知两不共线向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．()()+⊥-a b a b B ．a 与b 的夹角等于αβ- C ．2++->a b a bD ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知()g x 是定义在R 上的二次函数，2,1(),1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若[]()f g x 的值域是[)0,+∞，则()g x 的值域是 （ ） A ．(][),11,-∞-+∞ B ．(][),10,-∞-+∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞10．关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x x x x +-<+-的解集为 （ ）A．(3,(22,3)-- B．()(,22)22ππ--C．(- D ．(3,3)-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11x >的解集为____________． 12．函数11()sin()cos 633f x x x π=-+图象的相邻的两个对称中心的距离是__________． 13．等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于___________． 14．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点， 则()PA PB PC +⋅的最小值是__________． 15．若对任意的[]0,1x ∈1kx ≤-总成立，则实数k 的取值范围是______．P CBA第14题图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知R A B ∈,，且22sin 2cos 2cos22y A B A B =+-+． （1）若A B C ,,为ABC ∆的三内角，当y 取得最小值时，求C ； （2）当2A B π+=时，将函数22sin 2cos 2cos22y A B A B =+-+的图象按向量p 平移后得到函数2cos2y A =的图象，求出所有满足条件的向量p ．17．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且*121()N n n a S n +=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，315T =，又112233,,a b a b a b +++ 成等比数列，求n T ．18．（本小题满分12分）（1）设x 是正实数，求证：233(1)(1)(1)8x x x x +++≥；（2）若R x ∈，不等式233(1)(1)(1)8x x x x +++≥是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．19．（本小题满分12分） 定义12,,,n x x x 的“倒平均数”为*12()N nn n x x x ∈+++，已知数列{}n a 前n 项的“倒平均数”为124n +．（1）记*()1N nna c n n =∈+，试比较n c 与1n c +的大小； （2）是否存在实数λ，使得当x λ≤时，2()401na f x x x n =-+-≤+对任意n N *∈恒成立？若存在,求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数(),()f x g x ，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（1）若(0)10f =，(0)20g =，试解释它们的实际意义；（2）设()104xf x =+，()20g x =，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？21．（本小题满分14分）已知定义在[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立． （1）函数()21x g x =-在区间[]0,1上是否同时适合①②③？并说明理由； （2）假设存在[]0,1a ∈，使得[]()0,1f a ∈且[]()f f a a =，求证：()f a a =．答案1 ～ 5 BCDAB 6 ～ 10 CDBCB11答案：(,0)-∞ 12答案：3π 13答案：1314答案： 92- 15答案：⎛-∞ ⎝⎦16解答：（1）221(sin 2(cos2)122y A B =-+-+由题，sin 2,1cos 22A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6A π=或3π，6B π=或56π， 又A B π+<，故2C π=或23π． （2）当2A B π+=时，22,cos2cos2A B B A π+==-，cos 2232cos(2)33y A A A π∴=+=++按向量p 平移后得到函数2cos2y A =的图象，故(,3)()6Z k k ππ=+-∈p ．17解答：（1）当2n ≥时，11(21)(21)n n n n a a S S +--=+-+，即有13n n a a += 又21121213a S a =+=+=，{}n a ∴是公比为3的等比数列，且11a =，故13n n a -=． （2）由（1），1231,3,9a a a ===，又312313215,210T b b b b b b =++=∴+==， 依题112233,,a b a b a b +++成等比数列，有131164(1)(9)(1)(19)b b b b =++=+-， 解得13b =或15，因{}n b 的各项均为正数，13,2b d ∴==，故23(1)2n T n n n n n =+-=+． 18解答：（1）证明：x是正数，由重要不等式知，2312,1x x x x +≥+≥+≥故233(1)(1)(1)28x x x x x +++≥⋅（当1x =时等号成立）． （2）若R x ∈，不等式233(1)(1)(1)8x x x x +++≥仍然成立．证明：由（1）知，当0x >时，不等式成立；当0x ≤时，380x ≤，而2322222213(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()024x x x x x x x x x x ⎡⎤+++=++-+=++-+≥⎢⎥⎣⎦此时不等式仍然成立．19解：（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则依题有124n n S n =+ 2(24)24n S n n n n ∴=+=+，故116(1)42(2)n n n S n a S S n n -==⎧=⎨-=+≥⎩ 故数列的通项为42n a n =+．故422411n n c n n +==-++，易知，1n n c c +<． （2）假设存在实数λ，使得当x λ≤时，2()401na f x x x n =-+-≤+对任意N n *∈恒成立，则241n a xx n -+≤+对任意N n *∈都成立，，24x x -+≤1min ()3111n a a n ==++， 得2430x x -+≥，有1x ≤或3x ≥．故存在最大的实数1λ=符合题意．20解答：（1）(0)10f =表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；(0)20g =表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.（2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当1()104()20y f x x x g y ⎧≥=+⎪⎨⎪≥=⎩成立．故120)104y ≥+，则4600,15)0y ≥∴≥4故16,2024y x ≥≥≥即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元的宣传费用．21解答：（1）显然()21xg x =-，在[0，1]满足①()0g x ≥；满足②(1)1g =； 对于③，若12120,0,1x x x x ≥≥+≤， 则[]121212121212()()()2121212221x x x x x x x x g x x g x g x ++⎡⎤+-+=----+=--+⎣⎦ 21(21)(21)0x x =--≥ ．故()g x 适合①②③．（2）由③知，任给[]0,1m n ∈、时，当m n >时，()()()f m f n f m n -=-由于(]01,0,1n m m n ≤<≤∴-∈，()()()0f m f n f m n -=-≥所以()()f m f n ≥ 若()a f a <，则()[()]f a f f a a ≤= 前后矛盾 若()a f a >，则()[()]f a f f a a ≥= 前后矛盾 故()a f a =得证．。

2222俯视图侧视图正视图33湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题供题学校：武穴中学 命题人：郑齐爱 审题人：桂奋良 一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）1．已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则)(BC A U = （ ）A. {|1}x x >B.{|0}x x >C.{|01}x x << D {|0}x x < 2．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数： ①z=12i ； ②z=－14+34i ； ③ 2+12i ；④z=122i ．那么输出的复数是 （ ）A .①B .②C .③D .④3.已知命题11242xp :剟，命题15:[,2]2q x x +∈--，则下列说法正确的是（ ）A ．p 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条D ．p 是q 的既不充分也不必要条件 4. 下图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,根据图中尺寸(单位:cm),可知这个几何体的表面积是 （ ） A.218cm + 22cmC.218cm + D .26cm +5．把函数y =sin(x +6π)图像上各点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变），再将图像向右平移3π个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ）A ．x =－2πB ．x =－4πC ．x =8πD ．x=4π6．8(x +（0a >）展开式中，中间项的系数为70．若实数x 、y满足100x y x y x a -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则z=x +2y的最小值是（ ）A ．-1B ．12C ．5D ．17．抛物线28y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，若抛物线上一点P 满足||:||:2,PF PO POF =∆则的面积为（ ）A． B． C． D ．8．在圆x y x 522=+内，过点)23,25(P 有n 条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈52,132d ，那么n 的取值集合内所有元素平方和为（ ）A ．126B ．86C ．77D ．509．如下图，给定两个平面单位向量O A 和OB，它们的夹角为120°,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且O C xO A yO B =+（其中,x y R ∈），则满 足x y + ）A．1 B ．34C ．4πD ．2π10．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数m 满足()x M M D ∀∈⊆，均有x m D +∈,且f (x +m )≥f (x )，则称()f x 为M 上的m 高调函数．如果定义域为R 的 函数()f x 是奇函数，当x ≥0时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．]1,1[-B ．)1,1(-C ．]2,2[-D ．)2,2(-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在答题瞳对应题号的位置上.答错位置,书写不清，模棱两可均不得分.12．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学13．设函数()ln (1)()x f x ex R =+∈可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和,则()h x 14．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作12a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，若n a = 选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题 目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知R t A B C ∆的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则5 12122C11C16.（选修4-5：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），若以直角坐标系xoy 的O 点为极点，ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos(4πρθ=-．若直线l与曲线C 交于,A B 两点，则AB三、解答题（本大题共6小题，满分75分。

湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学试题（理学生）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数1i i-的共轭复数为（ ） A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i -- D ．1122i - 2．已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分又非必要条件3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3915170a a a a +++=，则21S 的值是（ ）A.1B. 1-C. 0D.不能确定4．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（ ）A ．1213PP PP ⋅ B ．1214PP PP ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．1216PP PP ⋅5．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（ ）A ．（1），（3）B ．（1），（4）C ．（2），（4）D ．（1），（2），（3），（4）A. 0B. ln 2C. 21e +D.1ln 2+ 7．ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 8．已知实数,a b 满足等式23a b =，下列五个关系式：①0;b a <<②0;a b <<③0;a b << ④0;b a <<⑤.a b =其中可能成立的关系式有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①③⑤D ．③④⑤9．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称，实数,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，若(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅ 的取值范围为（ ）A ．[]12,+∞ B. []0,3 C. []3,12 D.[]0,1210．已知函数31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程2(2)f x x a +=（2a >）的根的个数不可能为（ ） A ．3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上）11．如图，下图为幂函数n y x =在第一象限的图像，则1c 、2c 、3c 、4c 的大小关系为 ．第11题图 第12题图12．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则()()()123f f f +++ ()2012f += ． 13．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB AE λ= (0)λ>，(0)AC AF μμ=> ，则14λμ+的最小值是 ． 14．设:p x ∃∈5(1,)2使函数22()log (22)g x tx x =+-有意义，若p ⌝为假命题，则t 的取值范围为 ．15．对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分) 已知集合}0)1)(7()2)(4(|{<+-+-=x x x x x M ，集合}032|{<->=a x a ax x N ，，求集合．}|{∅≠=N M a T 17．(本小题满分12分)已知6π=x 是函数21cos )cos sin ()(-+=x x x a x f 图象的一条对称轴． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）作出函数)(x f 在],0[π∈x 上的图象简图（不要求书写作图过程）．18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足11=a ，132-=a ，62212-=+-++n a a a n n n（Ⅰ）设1,n n n b a a +=-求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求n 为何值时，n a 最小（不需要求n a 的最小值）.19．(本小题满分12分) 某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n k n g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（Ⅰ）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?20．(本小题满分13分)已知函数()()2211x f x x R x x -=∈++. （Ⅰ）求函数()f x 的极大值；（Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x 恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有 2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.21．(本小题满分14分)已知数列{}n a ,122a a ==,112(2)n n n a a a n +-=+≥（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）当2n ≥时,求证:12111...3na a a +++<； （Ⅲ）若函数()f x 满足：2*1(1),(1)()().()f a f n f n f n n N =+=+∈求证：111.()12n k f k =<+∑。

黄州区一中 2013 届高三数学试题（理科）命题：杨安胜审题：童云霞龙佑祥考试时间：2012年8月19日一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z=A．32i351+2i1-i，则复数z的虚部是（） C．-12i B．32 725D．-12 2．“cosα=”是“cos2α=-”的（）B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件 A．充分而不必要条件 C．充要条件3．下列选项中，说法正确的是 ( )A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题； B．设a,b是向量，命题“若a=-b，则a=b” 的否命题是真命题；C．命题“p∨q”为真命题，则命题p和q均为真命题；D．命题∃x∈R,x2-x>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”.4．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．420 B．560 C．840 D．20160|x|5．已知0<a<1，则函数y=a-|logax|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款. 据某报报道，2012年3月5日至3月28日，某地区共查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则这500人血液中酒精含量的平均值约是( )A．55 mg/100ml B．56 mg/100mlC．57 mg/100ml D．58 mg/100ml7．已知函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示，则函数y=loga(x+b)的图象可能是( )8.已知函数f(x)=kx+1,其中实数k随机选自区间[－2,１].对∀x∈[0,1],f(x)≥0的概率是( )A．13 B．12 C．23y D．2349．已知抛物线y=2px的焦点F与双曲线x-223抛物线的准线与x轴=1的右焦点重合，的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=AF|，则∆AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．3210．已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．曲线y=cosx(0≤x≤3π2)与坐标轴所围成区域的面积是________.12．执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为________. 13．在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k+1)=由此得：1⨯2=2⨯3=131313[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]， (1⨯2⨯3-0⨯1⨯2)， (2⨯3⨯4-1⨯2⨯3)，…，13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]，13n(n+1)(n+2). n(n+1)=相加得：1×2+2×3+…+n(n+1)＝类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n(n+2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形．．．．．．式为：．n*14．数列{an}中，a1=5,an=2an-1+2-1(n∈N,n≥2)，若存在实数λ，使得数列⎧an+λ⎫⎨⎬为等差数列，则λ= ． n⎩2⎭（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果 2记分.）15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB=6，Ｃ为圆周上一点，BC=3,过Ｃ作圆的切线l，过A作l 的垂线AD，垂足为Ｄ，则线段CD的长为 .16．（选修4—4：坐标系与参数方程）直线l的极坐标方程为C:ρcos(θ-π4)=C：⎨⎧x=cosθ⎩y=sinθ（θ为参数）上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在∆ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且满足(2b-c)cosA=acosC（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若|AC-AB|=1，求∆ABC周长l的取值范围．18．（本小题满分12分）等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=S2b2（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）证明：13≤1S1+1S2+…+1Sn<2319．（本小题满分12分）山东省第23届运动会将于2014年在济宁隆重召开，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如右：(单位：cm)，若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60︒，Q为AD的中点。