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作 业 9—1一.填空:1.已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且⎰⎰=Dd x yf 1)(σ，则⋅=b adx x f )(2 .解：⎰⎰=Dd x yf σ)(⎰⎰⋅=baydy dx x f 1)(21⎰⋅badx x f )( 故⎰⋅=badx x f )( 22.若D 是由1=+y x 和两个坐标轴围成的三角形域,且⎰⎰⎰⋅=Ddx x dxdy x f 1)()(ϕ,那么.=)(x ϕ)()1(x f x -解：⎰⎰=Ddxdy x f )(⎰⎰-⋅=xdy x f xdx 1010)(⎰⋅-10)()1(dx x f x ⎰⋅=1)(dx x ϕ二、单项选择题：1． 设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心在（-1，1）处，记1I =⎰⎰---12222D xy x y dxdy e;2I =⎰⎰---22222D xy x y dxdy e;3I =⎰⎰---32222D xy x y dxdy e.则1I ，2I ，3I 大小顺序为（ B ）。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤2I ≤1I D. 3I ≤1I ≤2I解：因为三个被积函数一样，均为正值，213D D D ⊃⊃，故2I ≤1I ≤3I 2. 设D 是第二象限的一个有界闭区域,且10<<y ，记1I =⎰⎰Dd yx σ3;2I =⎰⎰Dd x y σ32;3I =⎰⎰Dd x y σ321.1I ,2I ,3I 的大小顺序是( )。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：因10<<y ，故212y y y <<，而03<x ，从而323321x y yx x y <<，选（C ）。
三．利用二重积分定义证明： 1．σσ=⎰⎰Dd （其中σ为D 的面积）解：ini iiDf d σηξσλ∑⎰⎰=→∆=⋅10),(lim 1i ni σλ∑=→∆⋅=11limσσσλλ==∆=→=→∑01lim limini故 σσ=⎰⎰Dd （其中λ是各iσ∆的最大直径）2．k d y x kf D=⎰⎰σ),(⎰⎰Dd y x f σ),( （其中k 为常数）解：=⎰⎰Dd y x kf σ),( ini iif σηξλ∑=→∆1),(lim i ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(limi ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(lim ⎰⎰=Dd y x f k σ),( （k 为常数）四．利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1．}10,10|),{(,)(⎰⎰≤≤≤≤=+=Dy x y x d y x xy I 其中Ｄσ解： 10,10≤≤≤≤y x∴2)(0≤+≤y x xy∴⎰⎰⎰⎰≤≤+≤DDd d y x xy 22)(0σσ2．}4|),{(,)49(22⎰⎰≤+=++=Dy x d y x I ２２ｙｘ其中Ｄσ 解： 中在D ,422ππσ=⋅=,()22222249499yx y x y x ++≤++≤++2549922≤++≤y x∴ σσσ25)49(922≤++≤⎰⎰⎰⎰DDd y x d即 ππ10036≤≤I五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小： 1．⎰⎰⎰⎰++DDd y x d y x σσ32)()(与其中积分区域D 是由圆周2)1()2(22=-+-y x 所围成。
习题9.1 1、略2、（1D ≥≡，故DDσ>σ⎰⎰⎰⎰（2）()2x y +和()3x y +在D 上连续且()()23x y x y +≤+，()()23x y x y +≡+，故()()23DDx y d x y d +σ<+σ⎰⎰⎰⎰。
（3）()0ln ln 2x y ≤+≤，()()2ln ln x y x y +≡+，()()()2ln ln x y x y +≥+，()ln x y +和()()2ln x y +，()ln x y +和()()2ln x y +在D上连续，故()()()2ln ln DDx y d x y d +σ>+σ⎰⎰⎰⎰（4）2,1,2,3ii D I d i =σ=⎰⎰，故213I I I <<3、(),f x y 在D 上连续，故(),f x y 在D 上有最大值M 和最小值m 。
(),DDDmd f x y d Md σ≤σ≤σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰，(),DmS f x y d MS ≤σ≤⎰⎰。
（1）若0S =，则对任意的(),D ξη∈，()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰。
（2）若0S ≠，则()1,Dm f x y d M S ≤σ≤⎰⎰，由介值定理可知存在(),D ξη∈，()()1,,Df f x y d S ξη=σ⎰⎰，从而有()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰4、由中值定理可知存在(),t t f D ξη∈，()()2,,ttDf x y dxdy f t=ξηπ⎰⎰，从而由(),f x y 连续可得()()0=lim ,0,0t t t f f +→ξη=原式 5、由轮换对称性可知22cos cos DDy d x d σ=σ⎰⎰⎰⎰，21444x πππ≤+≤+，2sin4x π⎤⎛⎫+∈ ⎪⎥⎝⎭⎦，()222sin cos sin 4D Dx x d x d π⎛⎫+σ=+σ ⎪⎝⎭⎰⎰，因此，()()22221sin cos sin cos DDx y d x x d ≤+σ=+σ≤⎰⎰⎰⎰习题9.21、（1）()()()()2222220020=3232223x x dx x y dy xy y dx x x dx --+=+=+-=⎰⎰⎰⎰原式 （2）11220011=13412x dx dy y ππ=⨯=+⎰⎰原式（3）)21122200514201=2133322140xdx x y dy x y y x x x dx ⎛+=+⎝⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰原式（4）()2222221112320000111221100011=3611112666yy y y y y y e dy x dx y e dy y de y ee dy e e e --------==-⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式（5）=0原式（6）()2222240001=212r r d e r dr e e πθ=π=π-⎰⎰原式（7）()()()()11222200=ln 1ln 112ln 2144d r rdr r d r πππθ+=++=-⎰⎰⎰原式 （8）22242224401113=2264r d rdr d rdr πππθθθ=θθ==π⎰⎰⎰⎰原式 2、（1）()11=,xdx f x y dy ⎰⎰原式（2）()21=,x xdx f x y dy ⎰⎰原式（3）()120=,y y dyf x y dx -⎰⎰原式 （4）()()11111ln =,,e x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰原式3、（1）()20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθ⎰⎰原式（2）()2sin 20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθθ⎰⎰原式（3）()1210cos sin =cos ,sin d f r r rdr πθ+θθθθ⎰⎰原式（4）()sec 40sec tan =cos ,sin d f r r rdr πθθθθθθ⎰⎰原式4、（1）)asec 4400=sec ln1rd dr a d a rππθθ=θθ=⎰⎰⎰原式（2）a3420=8d r dr a ππθ=⎰⎰原式 5、()1112=04413xDx dxdy xdx dy x x dx -+==-=⎰⎰⎰⎰⎰原式 6、()623D V x y d =--σ⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯11111111200621316235656257622xdx dy ydy dx xdx ydyxdx x =--=--=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、()221DV xy d =++σ⎰⎰，[][]0,40,4D =⨯4444220442204423001116441685608161633x dx dy y dy dx x dx y dy x dx x =++=++=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、2cos 42cos 3330165330=cos sin cos sin 41211394cos sin sin cos 14328416r d r dr d d d θππθππθθθ=θθθ⎛⎫⎛⎫=θθθ-θθθ=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式9、()()123222cos 332231=18cos 38161sin sin 183189d r dr d d ππππθππθ=-θθππ=--θθ=-+⎰⎰⎰⎰原式10、()()()()()1222220132301422233xxDM x y d dx xy dyx x x x dx -=+σ=+⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰11、01r ≤≤，123316r r r r ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭202Dd πσ=θ=π⎰⎰⎰121114400021226r r dr r dr ⎛⎫π-≤π≤π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰10971122225551025ππ⎛⎫=π-≤π≤ ⎪⎝⎭⎰ 9761255165ππ> 因此，6121655D ππ≤σ≤12、（1）令u xy y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩，则11221122x u v y u v -⎧=⎪⎨⎪=⎩，()(),1,2x y u v v α=α 原式43221128ln 323u du dv v ==⎰⎰（2）令u x y v y x =+⎧⎨=-⎩，则()()1212x u v y u v ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α()[][]()122211142240011,1,11,142122111214255945D u v dudv D du u u v v dv=+=-⨯-=++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（3）令cos sin x ar y br =θ⎧⎨=θ⎩，()(),,x y abr r α=αθ 原式122042abd r abrdr ππ=θ=⎰⎰ （4） 令u x y v y =+⎧⎨=⎩，则x u v y v=-⎧⎨=⎩，()(),1,x y u v α=α()111112u vv uuu e du e dv uedu e udu -===-=⎰⎰⎰⎰原式 （5）令u x y v x y =-⎧⎨=+⎩，则()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α 1100011001cos cos 21sinsin1sin12v v v vu u dvdu dv du v vuv dv vdv v -=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（6）令u v ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x uy v ⎧=⎨=⎩，()(),4,x y ur u v α=α ()()()1111230001320144232222315uuu du u v urdv u v v duu u u u du --⎛⎫=+=+⎪⎝⎭=-++=⎰⎰⎰⎰原式习题 9.31、（1）23561156120001=4111428364xyxyxyD D x xy dxdy z dz x y dxdy x dx y dx x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）()()()131122001100=11111821621111115ln 22116216xyxy x yD x D xdzdxdy x y dx dxdy dx x y x y dx x y ----+++δ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭=--=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()2020020=sin 1sin 1sin 111sin 1222xyxyx D D ydxdy zdzxy x x dxdy dx ydy x xx dx π-ππ-=-=π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()2222221112=129x y y zdzdxdy z dz +≤+=π+δ=π⎰⎰⎰⎰原式（5）()222011=243xD xdx dydz x x dx =-=⎰⎰⎰⎰原式2、（1）2222233210002116=2223r d r dr dz r r dr π⎛⎫θ=π-=π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（2）()22112407=212rd rdr r r r dr πθ=π--=π⎰⎰⎰原式3、（1）（2）22cos 240022cos 34045404=sin cos sin cos 8sin cos 76a a d d r r drd d r dra d a ππϕππϕπθϕϕϕ=θϕϕϕ=πϕϕϕ=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）21402140=sin sin 122545d d r drd d r drππππθϕϕ=θϕϕ=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式4、（1）113201320=cos sin cos sin 18xyD xydxdy dz d r d d r drππ=θθθθ=θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式22402340442400=sin cos sin cos 112sin 248aaad d r r drd d r dra r πππππθϕϕϕ=θϕϕϕπ=πϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）2cos 320242052=sin 1sin cos 41cos 2510d dr drd d ππϕπππθϕϕ=θϕϕϕππ=ϕ=⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()52222223002450=55121104108xyxyD D x y dxdy x y dxdyr d r drr r π+⎛=+- ⎝⎛⎫=θ- ⎪⎝⎭⎛⎫=π- ⎪⎝⎭=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()()2222420024200552=32sin 32sin 3415b a b a x y z dv d d rdrd d r drb a Ωππππ++=θϕϕ=θϕϕπ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式5、（1）()2222424300244220430=22256433x y zx y dv zdvdz d dr zd dxdyz dz z dz z ΩΩπ+≤++=θ+δ=π+π=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）设1Ω是由1z z ==所围成的有界闭区域，则))12222222222110021102=22232536x y x y z x y x y z z dv z dvdzdz zdz dxdy zdzdxdyΩΩ+≤+≤+≤+≤-=--+ππ=--π+=-π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()1222=4357xy z dv Ω++⎰⎰⎰原式，1Ω为Ω位于第一卦限的部分。
高等数学教材下册目录第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章：向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章：重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章：曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章：无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录，供参考学习之用。
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
