2016年北京市高考文科数学试题及答案
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(8)某学校运动会的立定跳远和 30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段 .下表为10名学生的预赛
(D) {x|x<2或 x> 5}
rrpLj (A) 1 (B) 2 (C) (D) 2迈
(6)从甲、乙等5名学生中随机选出 2人，则甲被选中的概率为
(A) 1 ( B) 2 ( C)—
5 5 25 (D) _9
25 (7)已知 A(2，5)，B( 4,
1).若点P( x，y)在线段AB上，贝U 2x-y的最大值为 (A) -1
(B) 3 (D) 8
2016年普通高等学校招生全国考试
数学(文)(北京卷)
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。
(1 )已知集合 A={x|2 ：：：x :::4}, B 二{x|x ：：：3或x>5}，则 A B =
(A) {x|2 5} (C) {x|2
(2)复数1 2i
2 —i
(A)i(B)1+i( C) -i ( D)1 -i
(3) 执行如图所示的程序框图，输出的 s值为
(A) 8
(B) 9
(C) 27 绝密★启用前
fr - 0, 5 - 0
Wife (D) 36
(4) 下列函数中，在区间 (-1,1)上为减函数的是
1
(A) y ( B) y =cosx ( C) y =1 n(x 1) ( D) y=2»
1 -x
(5) 圆(x+1) 2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
成绩，其中有三个数据模糊
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远(单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳(单位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有 8人，同时进入立定跳远决赛和 30秒跳绳决赛的有 6人,
则
(A)2号学生进入30秒跳绳决赛 (B)5号学生进入30秒跳绳决赛
(C) 8号学生进入30秒跳绳决赛 (D)9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
(9)已知向量a =(1,J3), b = (J3,1)，则a与b夹角的大小为 ________________________ .
x
(10)函数f (x) (x_2)的最大值为
x—1
(11) 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 2 2 _
(12) 已知双曲线 务-每=1 (a > 0, b> 0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(J5 ,0)，则a= ______________________________
a b
b= ________________ .
/ 2兀 尸 b
(13) 在△ABC 中，NA=—— ，a=j3c，则一= .
3 c -----------
(14) 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19种商品，第二天售出13种商品，第三天售
出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有 4种，则该网店
① 第一天售出但第二天未售出的商品有 _____________ 种； ② 这三天售出的商品最少有 ___________ 种.
三、解答题(共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)
(15) (本小题13分)
已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是等差数列，且b2=3， b3=9， a1 =b1，a14=b4.
(I)求｛an｝的通项公式；
(n)设Cn= an+ bn，求数列｛切的前n项和.w=3
(16) (本小题13分)
已知函数f (x) =2sin axcos cos 2 ®x( 3>0 )的最小正周期为 n .
(I)求3的值；
(H)求f(x)的单调递增区间.
(17) (本小题13分)
某市民用水拟实行阶梯水价， 每人用水量中不超过 w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米
的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如
下频率分布直方图：
(I) 如果w为整数，那么根据此次调查， 为使80%以上居民在该月的用水价格为 4元/立方米，w至少定为
多少？
(II) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当
(18) (本小题14分)
如图，在四棱锥 P-ABCD中，PC丄平面ABCD AB// DC ,DC丄AC
(I )求证：DC _平面PAC ； (II )求证： 平面PAB _平面PAC ；已知椭圆C : =1 过点 A（2,0）, B（0,1）两点. (III) 设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F ,使得P A_平面 C E F说明理
(19) (本小题14分)
2 2 £. y_ a2 b2
(I )求椭圆C的方程及离心率；
(II )设P为第三象限内一点且在椭圆 C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证: 四边形ABNM的面积为定值.
(20) (本小题13分)
设函数 f x =x3 ax2 bx c.
(I)求曲线y = f x .在点0, f 0处的切线方程；
(II )设a =b=4，若函数f x有三个不同零点，求 c的取值范围; 2
(III )求证：a -3b> 0是f x .有三个不同零点的必要而不充分条件
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、 选择题（共 8小题，每小题5分，共40分）
（I） C （ 2）A （ 3）B （ 4）D （ 5）C （ 6）B （ 7）C （ 8）B
二、 填空题（共 6小题，每小题5分，共30分）
/C、兀 3
（9） （10）2 （11） （ 12）1 2
6 2
（13）1 （14）16 29
三、 解答题（共6小题，共80分）
（15）（共 13 分）
解：（I）等比数列g的公比4 =色=9=3，
6 3
所以 0 =1，b4 二 Qq =27 .
q
设等差数列玄!的公差为d .
因为 q =b^1 , % 二b4 =27,
所以 1 • 13d =27,即卩 d =2 .
所以 an =2n -1 （ n =1, 2 , 3，…）.
（II） 由（ I）知，an 二2n -1, bn = 3n‘ .
因此 c^an bn -2n -1 3n4 .
从而数列＜^cn ｛的前n项和
& =1 3 2n_1 13 『 n 1 2n -1 1 -3n
= ------------- "r -----
2 1-3
2 3n -1
=n
2
（16）（共 13 分）
解：（I）因为 f x =2sin xcos x cos2 x
=sin 2 x cos2 x
/— ( 兀)
=■. 2 sin 12，x
1 4丿
2 TT -TF
所以f x的最小正周期一
2® 虫
依题意，一二…，解得• = 1 .
co
(II) 由( I)知 f x 二 2sin 2x 寸•
函数y =sinx的单调递增区间为 2k二-丄,2 k二匸 (Z ).
- 2 2
t _ j[ it n
由 2k 2x 2k二
2 4 2
+ 3兀 兀
得 k x _ k 二
8 8
所以f(x)的单调递增区间为 阿—牛k兀+市1( M Z).
(17) (共 14 分)
解：(I)由用水量的频率分布直方图知， 该市居民该月用水量在区间 10.5,1, 1,1.51, 1.5,2 1, 2,2.51, 2.5,3 ]内的频
率依次为 0.1 , 0.15 , 0.2 , 0.25 , 0.15 .
所以该月用水量不超过 3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意，w至少定为3 .
(II)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组 12,4] (4,61 (6,81 (8,101 (10,12】 (12,17】 (17,22】 (22,27】
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27 0.05 = 10.5 (元).
(18) (共 13 分)
解：(I)因为PC _平面「2 CD ,
所以？C _ DC .
又因为DC _二C ,
所以DC _平面—C .
(II)因为丄三//DC , DC _ 一二C ,
所以 C .
因为me _平面二meD ,
所以？c _ .—
所以丄三—平面「心C .
所以平面m丄三—平面?.-.C .
(III )棱弋上存在点F，使得-■ //平面C F .证明如下: 取中点 F，连结 I.F , C；： , CF .
又因为上为一二的中点，
所以上F//PZ.
又因为r匚平面C F ,
所以?.-.//平面C F .
(19) (共 14 分)
解：(I)由题意得，a = 2 , b = 1. 2
所以椭圆C的方程为x y2 = 1 .
4
