2016年北京卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
文科数学
本试卷共20题，共150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
（1）已知集合
{|24},{|3>5}AxxBxxx==或，则AB=
（A）{|2<<5}xx （B）
{|<45}xxx>或 （C）{|2<<3}xx （D）
{|<25}xxx>或
（2）复数12i
=
2i+
−
（A）i（B）1+i（C）i− （D）1i−
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）8 （B）9 （C）27 （D）36
（4）下列函数中，在区间(1,1)− 上为减函数的是
（A）1
1y
x=
− （B）cosyx= （C）ln(1)yx=+ （D）2x
y−
=
（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1 （B）2 （C
）2
（D）
22
（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A）1
5 （B）2
5 （C）8
25 （D）9
25
（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为
（A）−1 （B）3 （C）7 （D）8
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊
.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：
米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：
次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65
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在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9
）已知向量=(1,3),(3,1)=ab
，则a与b夹角的大小为_________.
（10）函数()(2)
1x
fxx
x=
−的最大值为_________.
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
(12) 已知双曲线22
221xy
ab−=
（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0
，一个焦点为（5
,0），则a=_______；
b=_____________.
(13)在△
ABC中，2
3A
=
，
a=3
c，则b
c=_________.
(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种
商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知{a
n}是等差数列，{b
n}是等比数列，且b
2=3，b
3=9，a
1=b
1，a
14=b
4.
（Ⅰ）求{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）设c
n= a
n+ b
n，求数列{c
n}的前n项和.
（16）（本小题13分）
已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分
按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直
方图：
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（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，,ABDCDCAC⊥∥
（I）求证：DCPAC⊥平面
；
（II）求证：PABPAC⊥平面平面
；
(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PACEF⊥平面
?说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：22
221xy
ab+=
过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形
ABNM的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数()
32
.fxxaxbxc=+++
（I）求曲线()
.yfx=
在点()()
0,0f
处的切线方程；
（II）设4ab==
，若函数()
fx
有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：2
30ab−＞
是()
fx
有三个不同零点的必要而不充分条件.
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
文科数学(参考答案)
1．C
【解析】
试题分析：由题意得，(2,3)AB=
，故选C.
【考点】集合的交集运算
【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合)}(|{xfyx=
，
)}(|{xfyy=
，)}(|),{(xfyyx=
三者是不同的．
2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参
的集合运算中，常因忽略互异性而出错．
3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续
的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体
现和运用．
4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略
空集是任何集合的子集．
2．A
【解析】 试题分析：12i(12i)(2i)2i4i2
i
2i(2i)(2i)5+++++−
===
−−+，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，
乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
3．B
【解析】
试题分析：分析程序框图可知，程序的功能等价于输出33
129s=+=
，故选B.
【考点】程序框图
【名师点睛】解决循环结构的框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值（或控制循环的条件），然后
看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的
是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.
4．D
【解析】 试题分析：由1
2()
2xx
y−
==
在R
上单调递减可知D符合题意，故选D.
【考点】函数单调性
【名师点睛】函数单调性的判断：（1）常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
5．C
【解析】
试题分析：圆心坐标为(1,0)−
，由点到直线的距离公式可知|103|
2
2d−−+
==
，故选C.
【考点】直线与圆的位置关系
