下载文档原格式
《 数学物理方法 》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。
1．z 为复数，则（ ）。
A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。
2．下列积分不为零的是（ ）。
A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。
3．下列方程是波动方程的是（ ）。
A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。
4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。
A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。
5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。
A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。
6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（ ）。
A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。
7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。
A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。
8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）。
A 分离变量 解单变量本征值问题 得单变量解得分离变量解； B 分离变量 得单变量解 解单变量本征值问题 得分离变量解； C 解单变量本征值问题 得单变量解 分离变量 得分离变量解； D 解单变量本征值问题 分离变量 得单变量解 得分离变量解。
9．下列表述中不正确的是（ ）。
A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。
复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题.每小题2分.共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =.则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1.则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰.则()f z 等于（ ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中.把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析.(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+.则(,)u x y =（ ）A.(cos sin )ye y y x y -) B.(cos sin )xe x y x y - C.(cos sin )x e y y y y -D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n n z )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题.每小题2分.共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。
的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。
4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。
5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。
7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。
?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。
?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。
(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。
11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。
其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。
则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。
af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。
复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =，则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ）A ．443(cos ,sin )55i ππ-B ．443(cos ,sin )55i ππ-C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy =（ ）A.(cos sin )y e y y x y -)B.(cos sin )x e x y x y -C.(cos sin )x e y y y y -D.(cos sin )x e x y y y -9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2. 试解方程：()0,044>=+a a z44424400000,0,1,2,3,,,,i k iiz a a e z aek ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则1．计算：（1）iii i 524321-+-+ （2）y =（3）求复数212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ(1) 原式=()()()123425310810529162525255i i i i i i +⋅+-⋅+-++=+=-+--（2） 332()102052(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式(3)2223221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223i i i e r ππππππθπ⎛⎫==+=+==- ⎪⎝⎭⎝⎭=-===+=±±原式所以：，3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-3.()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y ue x y y y e y x ue x y y y y y ve y y x y e y y x ve y y y x y yu v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+∂=-+∂∂=---∂∂=++∂∂=-+∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂=+∂'=∂证明：所以：。
由于在平面上可微所以在平面上解析。
()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x vi e x y y y e y i e y y x y e y x x∂+=-++++∂由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=解：()()()()()()()222222222212,2,212,2,,,2112,22111,0,1,1,,221112.222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ϕϕϕϕ∂∂==+∴=++∂∂∂∂∂''=+=-=-+∴=-=-+∂∂∂⎛⎫=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+==+==⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭而即所以由知带入上式，则则解析函数2. ()21,3,,.ii i i i i e ++试求()()(((()()()2(2)Ln 144(2)4ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos sin ,0,1,2,3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i ii i k i i k i i k i k i k i i i i i eeeei k e e e e i k i e eeππππππππππππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭-++-+-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+====+=±±====+=±±===解：()222,0,1,2,cos1sin1.k i i k e e e e i π⎛⎫ ⎪⎝⎭+=±±=⋅=+3. 计算 2,:122c dzc z z z =++⎰()2222220110,1,1,11,220,022z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解：时，而在内，故在内解析，故原式 1.计算221(1),21c z z dz c z z -+=-⎰： ()2221(2),21cz z dz c z z -+=-⎰：（1）212(21)=4 z i z z i ππ==-+解：原式 （2）2112(21)=2(41)6z z i z z i z i πππ=='=-+-=解：原式. 计算2sin()114,(1):1,(2):1,(3): 2.122c z dz c z c z c z z π+=-==-⎰其中1sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=-⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎰解：(1)原式1sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心，为半径，做圆1222sinsin44.1122c c z zdz dz i i i z z ππ=+=+=--⎰⎰原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。
华南师范大学信息光电子科技学院2008-2009年(一)学期末考试试卷光电工程系《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！ 可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f e F xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件xy x v y y x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）du (x,y ) =u x (x,y )d x + u y (x,y )dy = cos x ch y dx + sin x sh y dy=d (sin x ch y ) f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A 卷)系别:专业：级别：班级：学号：姓名：任课教师：题号一二三四五六七八总分得分一、(10分)在经典数学物理方程中,以二阶线性偏微分方程为主要研究对象.请问二阶线性偏微分方程从数学上分为哪几类?在物理上分别对应于什么过程?并写出各类方程的标准形式.二、(10分)数学物理方程有两大基本任务:导出定解问题和求解相应的定解问题.请问什么是定解问题?定解问题包括哪些要素?我们学习了哪些定解问题?以及求解这些定解问题的主要方法有哪些?三、(10分)定解问题的适定性对于导出定解问题和求解定解问题具有重要的指导意义.请问什么是定解问题的适定性?适定性包括哪些方面?并从物理角度分析如下定解问题是不适定的(提示:可以从温度场或静电场出发,解可能不存在).∆u =f (f =0)(在区域D 内)∂u ∂n S =0(S 为区域D 的边界,n 为边界S 的外法线方向)四、(5分)一根长为l 的均匀细杆,其温度分布满足如下定解问题：u t −a 2u xx =0(0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u x (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=200(0≤x ≤l )《数学物理方法》试卷(A 卷)第1页(共3页)不求解定解问题,从物理角度直观分析细杆上温度随时间的变化情况,并考察t →+∞时细杆上的温度.五、(30分)分离变量法是求解定解问题的重要方法之一.请问分离变量法对定解问题有什么要求？分离变量法有哪些基本步骤？关键的步骤是什么？请用分离变量法求解如下弦振动方程的混合问题(要求写出完整的求解过程),并分析解的物理意义.u tt =a 2u xx (0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=sin 2πx l ,u t (x,0)=0(0≤x ≥l )六、(15分)一根无限长的均匀细杆,其振动满足如下定解问题:u tt =a 2(u xx +2x u x )(−∞<x <∞,t >0)u (x,0)=ϕ(x )(−∞<x <∞)u t (x,0)=ψ(x )(−∞<x <∞)其中ϕ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数.请求解该定解问题,并说明解的物理意义(提示:令v (x,t )=xu (x,t )).七、(10分)格林函数又称点源影响函数,请用镜像法求出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题的格林函数,并说明其物理意义.同时请写出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题∆u =0(z >0,−∞<x <∞,−∞<y <∞)u (x,y,0)=f (x,y )(−∞<x <∞,−∞<y <∞)解的积分公式.八、(10分)求解常微分方程的本征值问题时,会得到各种各样的特殊函数,诸如Legendre(勒让德)多项式、Bessel(贝塞耳)函数、Hermite(厄密)多项式《数学物理方法》试卷(A 卷)第2页(共3页)和Laguerre(拉盖尔)多项式等.对连带Legendre多项式,请填空(每空2分)：l阶连带Legendre微分方程的一般形式为,其中有两个本征值l(l+1)和m.l的取值范围为,相应m的取值范围为.l阶连带Legendre微分方程的解为l阶连带Legendre多项式,连带Legendre多项式的性、性和完备性是使它成为一个坐标函数系的三个重要性质.《数学物理方法》试卷(A卷)第3页(共3页)西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A卷)参考答案一、(10分)二阶线性偏微分方程从数学上分为双曲型、抛物型、椭圆型三类,在物理上,双曲型方程对应于波动过程,抛物型方程对应于传输和扩散过程,椭圆型方程对应于稳定场过程.双曲型方程的标准形式为u tt−a2∆u=f,抛物型方程的标准形式为u t−a2∆u=f,椭圆型方程的标准形式为∆u=f.二、(10分)物理问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下,求解数学物理方程.数学物理方程加上相应的定解条件就构成定解问题.定解问题包括泛定方程和定解条件.物理规律用偏微分方程表达出来,叫作数学物理方程.数学物理方程,作为同一类物理现象的共性,反映的是矛盾的普遍性,与具体条件无关,是解决问题的依据,所以又称为泛定方程.定解条件包括边界条件和初始条件,有时还需要衔接条件.边界条件和初始条件反映了具体问题特定的环境和历史,即矛盾的特殊性.泛定方程提供解决问题的依据,定解条件提出具体的物理问题,泛定方程和定解条件作为一个整体,合称为定解问题.学习的定解问题有:对波动过程:针对有界弦,提出了弦振动方程的混合问题;针对无界弦,提出了弦振动方程的初值问题(或Cauchy问题).对传输和扩散过程:针对有界杆,提出了热传导方程的混合问题;针对无界杆,提出了热传导方程的初值问题;针对一端有界的杆,提出了热传导方程的半无限问题.对稳定场过程:提出了Laplace方程圆、球、半空间、半平面的Dirichlet问题.求解这些定解问题的主要方法有:分离变量法(有界空间、无界空间、极坐标系、球坐标系)、Fourier级数法(齐次泛定方程、非齐次泛定方程)、行《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第1页(共4页)波解法(或D’Alembert解法)、冲量定理法、格林函数法(波动、热传导、镜像法)等.三、(10分)定解问题是对真实的物理问题经过一定的近似后得到的,近似就涉及到是否合理的问题,即定解问题是否提的正确,这一问题称为定解问题的适定性.定解问题的适定性包括解的存在性、解的唯一性和解的稳定性三个方面.该定解问题如果从温度场来考虑,反映的是这样一种温度场：区域D内存在热源,而边界上是绝热的.热源不停的放出热量,而热量又不能经由边界散发出去,D内的温度必然要不停的升高,其温度分布不可能是稳定的,故该问题不能由Possion方程来描述,因此该定解问题的解是不存在的.从而该定解问题是不适定的.(注:从静电场分析类似,只不过内部有电荷分布,而电场的法向分量为零.)四、(5分)从该定解问题可以看出：杆的左端温度为0,右端绝热,杆内部没有热源,杆上初始时刻各处温度均为常数200.根据热传导规律,杆上的温度将随时间降低,越靠近左端,温度降得越快,最后当t→+∞时细杆的温度将和左端的温度相等,即杆上各处的温度均为0.五、(30分)分离变量法要求定解问题的泛定方程与边界条件必须是齐次的.分离变量法其基本步骤为：1、变量分离;2、求解本征值问题;3、求解另外的常微分方程;4、特解的叠加;5、利用定解条件确定叠加系数.分离变量法关键的步骤是求解本征值问题.1.变量分离设u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程得X +λX=0T +λa2T=0,其中λ为分离常数.将u(x,t)=X(x)T(t)代入边界条件得X(0)=0,X(l)=0.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第2页(共4页)2.求解本征值问题X +λX =0X (0)=0,X (l )=0本征值λn =n 2π2l 2,本征函数X n (x )=sin nπxl ,n =1,2,···.3.求解常微分方程T+n 2π2a 2l 2T =0,n =1,2,···T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπalt ,n =1,2,···.其中C n ,D n 为任意常数.得一系列特解u n (x,t )=X n (x )T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπa l t sin nπxl,n =1,2,···.4.特解的叠加u (x,t )=∞ n =1u n (x,t )=∞ n =1C n cos nπal t +D n sin nπa l t sin nπx l.5.利用初始条件确定叠加系数C n ,D nu (x,0)=∞ n =1C n sinnπx l =sin 2πxl =⇒C 2=1C n =0,n =2.u t (x,0)=∞ n =1D n nπa l sin nπxl=0=⇒D n =0,n =1,2,···.所以该定解问题的解为u (x,t )=cos2πa l t sin 2πxl.解的物理意义：该Fourier 级数解在物理上表示驻波.六、(15分)令v (x,t )=xu (x,t ).化原定解问题为：v tt =a 2v xx (−∞<x <∞,t >0)v (x,0)=xϕ(x )(−∞<x <∞)v t (x,0)=xψ(x )(−∞<x <∞)利用D’Alembert 公式,有《数学物理方法》试卷(A 卷)参考答案第3页(共4页)v(x,t)=(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)2+12ax+atx−atαψ(α)dα.所以,u(x,t)=1xv(x,t)=12x(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)+1ax+atx−atαψ(α)dα.解的物理意义：f(x−at)表示右行波(或右传播波、正行波),f(x+at)表示左行波(或左传播波、逆行波),u(x,t)表示沿x轴正、负方向传播的行波,其中前一项来源于初始位移ϕ(x),后一项来源于初始速度ψ(x).七、(10分)Laplace方程上半空间Dirichlet问题的格林函数为：G(M,M0)=1r MM−g(M,M0)=1r MM−1r MM1=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2,其中1r MM=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2在静电学上表示M0(x0,y0,z0)处单位正电荷在M(x,y,z)处产生的电势,−g(M,M0)表示接地导体平面z=0上感应负电荷在M(x,y,z)处产生的电势,其可以用镜像点M1(x0,y0,−z0)处单位负电荷产生的电势−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2来代替.Laplace方程上半空间Dirichlet问题解的积分公式为：u(x0,y0,z0)=−14πf∂G(M,M0)∂ndS=14π∞−∞∞−∞f(x,y)·∂∂z1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2z=0dx dy=z02π∞−∞∞−∞f(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2+z203/2dxdy八、(10分)(1−x2)d2ydx2−2xdydx+l(l+1)−m21−x2y=0.l=0,1,2,3,···,m=0,1,2,···,l.正交、归一.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第4页(共4页)。
第七章 分离变量法7.1 直角坐标系中的分离变量法1.求解下列本证值问题的本证值和本证函数 （1）0,(0)0,()0X X X X l λ'''+=== ； （2）0,(0)0,()0X X X X l λ''''+=== ； （3）0,()0,()0X X X a X b λ''+=== ； （4）[]0,(0)0,00x l X X X X hX λ='''+==+== .2. 单簧管直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气柱的本征振动，即求解()()2u u 00,t 0,,0.a tt xx u u l x ⎧⎪-=⎨==⎪⎩t 解：(1)分离变量 .令u(,)()()x t X x T t = X ()()0x X x λ''+= 2()()0T t a T t λ''+=由 得 u(0,t)=0X(0)=0由u (l,t)=0x得X ()=0l '（2）求解本征值 由 X ()()0x X x λ''+=X(0)=0，X (l)=0' 1(n+)2X ()=sinn xx l π 得(2n+1)()=n 2x lπλ（3）求()T t 将n λ代入方程：()T t 2122()()()02n T t a T t n n l π+''+=2121()cos()sin()22n n T t A at B at n n n l lππ++=+ （4）管内本征振动为：(,)()()u x t u x T t n n =n212121[cos()sin()]sin()2220,1,2n n n A at B at x n n l l ln πππ+++=+=3. 一根均匀固定于和0x =x l =两端，假设初始时刻速度为零，而初始时刻弦的形状是一抛物线，抛物线的顶点为(,)2lh ，求弦振动的位移。
物理系 20 —20 学年第 学期期末考试《数学物理方法》试卷（A ）考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级 专业 姓名 学号一、填空题（本大题共9题，每空2分，共24分） 1、写出复数1+3i 的三角式)3sin3(cos2ππi +，指数式e i32π。
2、z a z b -=-中z 代表复平面上位于ab 线段中垂线上点。
3、幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1k kk z 的收敛半径为 ∞。
4、复变函数),(),()(y x i y x z f υμ+=可导的充分必要条件yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,存在，并且满足柯西-黎曼方程 。
5、e z在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）e z=......!3!2!1132++++z z z 。
6、若周期函数f (x )是奇函数，则可展为傅立叶正弦级数f (x )= lxk b k k πsin1∑∞=展开系数为ξπξξd lk f l b l k ⎰=0sin )(2 。
7、就奇点的类型而言，Z=∞是函数f(z)=ZZcos 的 可去 奇点，Z=0是函数的 单极 点。
8、三维波动方程形式2()0tt xx yy zz a μμμμ-++=。
9、拉普拉斯方程0u ∆=在球坐标系中的表达式为：2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
二、简答题（本大题共3题，每题8分，共24分）1、 分别简述单通区域和复通区域下的柯西定理。
单通区域柯西定理：如果函数)(z f 在闭单通区域B 上解析，则沿B 上任一段光滑闭合曲线 ,有⎰=0)(dz z f ； (4分)复通区域柯西定理：如果函数)(z f 是闭复通区域上的单值解析函数,则⎰∑⎰==+ni idz z f dz z f 10)()(,式中 为区域外界境线,诸i为区域内界境线,积分均沿界境线正方向进行。
(4分)2、长为l 的均匀弦，两端0=x 和l x = 固定，弦中张力为T 0，在h x =点，以横向力F 0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。
解： 由点斜式方程，弦的初始位移为,(0),(),().t cx x h h u c l x h x l l h =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩ （2分）其中 c 为弦在 x ＝ h 点的初始位移。
因为是小振动，所以112212sin ,sin ,cos cos 1,.c c tg tg dS dx h l h αααααα≈=≈=≈≈≈-（2分）写出水平、竖直方向的力平衡方程式：011222211210000sin sin 0,cos cos 0,,,F T T T T T T T c c F T T h l hαααα--=-=≈=∴=+-（2分）解得00()F h l h c T l -=，将之代入初始位移（1），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-==)l x h (),x l (lT h F )h x 0(,x lT )h l (F u00000t （2分） 3、写出l 阶勒让德多项式的具体表达式，具体写出前3个勒让德多项式。
答：l 阶勒让德多项式的具体表达式为：[/2]20(22)!()(1).2!()!(2)!l kl kl lk l k P x x k l k l k -=-=---∑ （4分）记号[l/2]表示不超过 l/2的最大整数。
（这由x 的指数得知，k ＝0的项即为系数为a0或a1的项。
）经由上式计算，前3个勒让德多项式是0122()1()cos 11()(31)(3cos 21)24P x P x x P x x θθ=→===-=+ （4分）三、 计算题 （本大题共2题，每题10分，共20分） 1、计算回路积分⎰++l22)1z )(1z (dz （l 的方程是0y 2x 2y x 22=+++）。
解： 的方程可化简为：222)2()1()1(=+++y x ，在复平面上它是以 （-1，-i ）为圆心，2为半径的圆， (1分)被积函数22)1)(1(1)(++=z z z f 有两个单极点i z ±=0，和一个二阶极点10-=z ，在这三个极点中，1,0--=i z 在积分回路内，它们的留数：41)1)((1)1)()((1)()()()(Re 220limlim lim -=+-=+-+⨯+=⨯-=--→-→-→z i z z i z i z i z z f z z i sf iz iz iz (3分)21)1(2(])1(1[])1)(1(1)1[()]()[()1(Re 22121222101lim limlim lim =+-=+=++⨯+=⨯-=--→-→-→-→z z z dz d z z z dz d z f z z dzdsf z z z z (3分)应用留数定理：2)2141(2)]1(Re )([Re 2)1)(1(1)1)(1(2222i i sf i sf i z z z z dz πππ=+-=-+-=++=++⎰ (3分) 2、计算实变函数积分I=⎰+π20cos 2xdx。
解:这是属于类型一的积分，为此，做变换ize z =使原积分化为单位圆内的回路积分142222111++=++=⎰⎰=-=z z dzi z z iz dz I z z⎰++-+==)32)(32(21z z dzi z⎰==dz z f i z )(21f(z)有两个单极点320+-=z 在单位圆内，且321]321[lim )23(Re 23=++=--→z sf z所以32)23(Re 22ππ=-⋅=sf i i I 四、求解定解问题（本大题共1题，共16分）20000,0,0;(),().(0)t t xx x x x x l t t t u a u u u u x u x x l ϕψ====⎧-=⎪⎪==⎨⎪==<<⎪⎩解：利用分离变数法：)()(),(t T x X t x u =，代入范定方程（1），分离变量，得到：2''()''().()()X x T t X x a T t =两边分别是时间t 和坐标x 的函数，除非两边等于一个常数，记作λ-， 可得到t 和x 所满足的常微分方程，如下：)()(0)()(2=+''=+''t T a t T x X x X λλ（3分）同时把)()(),(t T x X t x u =代入边界条件得： 0)(,0)0(0)()(='='=+''l X X x X x X λ因为是第二类边界条件，当λ=0时，方程的解是x D C x X 00)(+=，代入边界条件得：D 0=0， 所以0)(C x X =； （1分）当λ＞0时，T 满足的常微分方程的通解是：12(),X x C C =+ （2分）代入边界条件，确定系数2120,()0.C C =-+=2110,00,0C C C ≠==所以＝，如果，则得无意义的0解，所以只有：0sin =l λ，则πλn l 2=于是，求出本征值：222πλln n = （n=1,2,3…… ）现在把λλ和0=＞0情况的本征值和本征函数合在一起， 相应的本征函数是：11()cos,(0,1,2,)n n X x C x n C l π==为任意常数 （3分）对于每一个本征值222πλln n =， 代入方程 02=+''T a T λ中可得到：0=''T 和 0)(22=+''T l a n T π相应方程 的解为：)0)(000='+'=n t B A t T ，（ ,.....)2,1(,sin cos)(=+=n at ln B at l n A t T n n n ππ （2分） 其中，An , B n 为任意常数。
则),(t x u 满足的方程的本征解为：),0(,),(000=+=n t B A t x u,.....)2,1(,cos )sin cos(),(=+=n x ln at l n B at l n A t x u n n n πππ 方程一般解是所有本征解的线性叠加，即：001(,)(cossin )cos .n n n n n n u x t A B t A at B at x l l lπππ∞==+++∑（3分）代入初始条件101cos (),(0)cos ().n n nn n A A x x l x l n a n B B x x l l πφππψ∞=∞=⎧+=⎪⎪<<⎨⎪+=⎪⎩∑∑上式的左端是傅立叶余弦级数，把右边的 )(x φ和)(x ψ 展开为傅立叶余弦级数，然后比较两边的系数就可以确定系数，00000012(),()cos ,12(),()cos .l l n l l n n A d A d l l l n B d B d l n a l πξφξξφξξπξψξξψξξπ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰⎰⎰ （2分）五、应用题（本大题共1题，共16分）如图所示，推导一维和三维扩散方程，已知扩散系数为D 。
解：在扩散问题中研究的是浓度u 在空间中的分布和在时间中的变化(,,,)u x y z t ，选取长、宽、高分别是dx ，dy ，dz 的六面体小微元作为研究对象， 已知扩散现象遵循扩散定律：q D u =-∇ （3分） 该定律的分量形式：x u q Dx ∂=-∂，y uq D y∂=-∂，z u q D z ∂=-∂如图所示的六面体里浓度的变化取决于穿过它的表面的扩散流。
由扩散定律，先考虑单位时间内x 方向上扩散流为：因在左表面处，流入六面体的流量为x x q dydz ，在右表面流出去的流量为xx dxq dydz +，dx 取得很小，则单位时间内x 方向净流入流量为()()x xxx x x dxx dxx x q dydz q dydz q q dydzq udxdydz D dxdydzx x x++-=--∂∂∂=-=∂∂∂ （3分）分别考虑y,z 方向上的扩散流，同理可得 单位时间内y 方向净流入流量为()()y yyy yy dyy dyyyq dxdz q dxdz q q dxdzq u dxdydz D dxdydzy y y ++-=--∂∂∂=-=∂∂∂单位时间内z 方向净流入流量为()()z zzz z z dzz dzz z q dxdy q dxdy q q dxdyq udxdydz D dxdydzz z z++-=--∂∂∂=-=∂∂∂ （2分）又因为六面体中单位时间内增加放入粒子数等于单位时间内净流入的粒子数，即()()()[()()()]u u u udxdydz D dxdydz D dxdydz D dxdydz t x x y y z zu u uD D D dxdydz x x y y z z ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂ （2分）则有：三维扩散方程为：()()()[()()()]0t u u u u D D D t x x y y z zu u uu D D D x x y y z z∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-++=∂∂∂∂∂∂若D 为常数，则方程为：()0t xx yy zz u D u u u -++= （3分） 相应一位扩散方程为：()0t uu D x x∂∂-=∂∂ （3分）。
