均值不等式及其证明

均值不等式几何证明均值不等式的几何证明可以通过使用几何图形来说明。

首先，我们考虑一个简单的例子：三角形的周长和面积之间的关系。

假设三角形的三边长度分别是a、b、c，则周长为a+b+c，面积为s。

我们知道，根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：s = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s是三角形周长的一半，也称为半周长。

我们可以通过对面积进行变换来证明均值不等式。

由于s是三角形的半周长，所以s大于等于任意一条边的一半，即s≥a/2，s≥b/2，s≥c/2。

然后，我们取两个包含s的不等式的平方根，得到：√(s) ≥ √(a/2) = √(a)/√(2)√(s) ≥ √(b/2) = √(b)/√(2)√(s) ≥ √(c/2) = √(c)/√(2)我们将上述三个不等式相加，并利用复合不等式性质，得到：√(s) + √(s) + √(s) ≥ √(a)/√(2) + √(b)/√(2) + √(c)/√(2)简化上述不等式，我们得到：3√(s) ≥ (√(a) + √(b) + √(c))/√(2)再对上述不等式两边都平方，我们得到：9s ≥ (a + b + c)/2由于我们已知s = (a + b + c)/2，所以上述不等式可以简化为：9s ≥ 2s则得到：s ≥ 0上述结论表明，三角形的面积s必须是非负数。

这正是我们所希望的结果，因为面积应该是一个非负数。

这个简单的例子展示了如何通过几何的方法来证明均值不等式。

实际上，我们可以使用类似的方法来证明更复杂的均值不等式，只需要根据具体情况选择合适的几何图形和变换方法即可。

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

均值不等式链基本不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。

注：算术平均数---2b a +；几何平均数---ab ；调和平均数---b a ab ba +=+2112；平方平均数---222b a +。

证明1：（代数法）（1）ab b a ab b a b a b a ≥+⇒≥+⇒≥-⇒>>220)(002，； （2）ab ab b a ab ab b a ab b a ≤+⇒≤+⇒>≥+21202ab b a ≤+⇒112； （3）224)(22)(2222222222222b a b a b a b a b a ab b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒++≥+⇒≥+； 综上，2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。

证明2：（几何法）如图，b a AB b BC a AC +===，，，以AB 为直径作圆O ，则图1：ab DC b a OD =+=，2，⇒≤OD DC 2b a ab +≤； 图2：ba ab OD DC DE ab DC +===22，，⇒≤DC DE ab b a ab ≤+2； 图3：2222b a GC b a OC +=-=，，⇒≤GC OG 2222b a b a +≤+； 综上，2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。

AG B证明3：（几何法）作梯形ABCD ，使CD BC AD B BC AD =+︒=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，，，F E 、分别是CD AB 、的中点，过E 作CD EG ⊥于G ，过G 作AB GH ⊥于H ，在EB 上截取2a b EN -=，则F E 、分别是CD AB 、的中点，2a b EF +=⇒， ED 平分ADC ∠ab AB EA EG ===⇒21， ba DG BC CG AD GHb a GC DG BC GC DA DG +⋅+⋅=⇒=⇒==，，即b a ab GH +=2， 2a b EN -=222b a NF +=⇒， 显然，FN EF EG GH <<<，∴22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ 当“b a =”时，22222b a b a ab b a ab +=+==+。

三元均值不等式的加强及其应用引言在数学中，不等式是研究各种数学问题的重要工具之一。

三元均值不等式是数学中一类常见的不等式，它在很多问题中起到了重要的作用。

本文将介绍三元均值不等式的加强及其应用。

一、三元均值不等式及其证明三元均值不等式是指对于任意的非负实数$a$、$b$和$c$，成立以下不等式关系：$$\f ra c{a+b}{2}\ge q\sq rt{a b}\q ua d\t e xt{(1)}$$$$\f ra c{a+b+c}{3}\g e q\sq rt[3]{ab c}\q ua d\te xt{(2)}$$这两个不等式是数学中常用的基本不等式。

下面我们来证明这两个不等式。

1.不等式(1)的证明设$x=\s qr t{a}$，$y=\sq rt{b}$，则$x$和$y$为非负实数。

根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y}{2}\ge q\sq rt{x y}\q ua d\t e xt{(3)}$$由于$\sq rt{a+b}=\s qr t{x^2+y^2}\ge q\s qr t{x^2}=x$，同理$\sq rt{a+b}\ge qy$，故有：$$\f ra c{a+b}{2}=\fr a c{x^2+y^2}{2}\g e q\fr ac{x+y}{2}\g eq\s qr t{x y}=\sq rt{a b}$$因此，不等式(1)得证。

2.不等式(2)的证明设$x=\s qr t[3]{a}$，$y=\sq rt[3]{b}$，$z=\s qr t[3]{c}$，则$x$、$y$和$z$为非负实数。

根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y+z}{3}\g e q\sq rt[3]{xy z}$$由于$\sq rt[3]{a+b+c}=\sq rt[3]{x^3+y^3+z^3}\g eq\s qr t[3]{x^3}=x $，同理$\sq rt[3]{a+b+c}\ge qy$，$\s qr t[3]{a+b+c}\g e qz$，故有：$$\f ra c{a+b+c}{3}=\f ra c{x^3+y^3+z^3}{3}\ge q\fr ac{x+y+z}{3}\ge q\sq rt[3]{xyz}=\sq rt[3]{ab c}$$因此，不等式(2)得证。

均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。

二元均值不等式证明
一、二元均值不等式的内容
对于任意两个正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

二、证明方法
（一）几何法
1. 构造图形
- 设a>0,b>0，以a + b为长构造一个矩形。

- 将这个矩形的长分为a和b两段，宽为1。

2. 比较面积
- 这个矩形的面积S=(a + b)×1=a + b。

- 我们在这个矩形中作一个正方形，其边长为√(ab)（根据ab的几何平均的定义）。

- 由图形可以直观地看出，正方形的面积S_{1}=√(ab)×√(ab)=ab，而整个矩形的面积大于等于正方形的面积。

- 即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

当且仅当a=b时，矩形变成正方形，等号成立。

（二）代数法
1. 作差法
- 因为((a + b)/(2))^2-(√(ab))^2=frac{a^2+2ab + b^2}{4}-ab=frac{a^2-2ab + b^2}{4}=frac{(a - b)^2}{4}。

- 由于(a - b)^2≥slant0（任何实数的平方都大于等于0），且a>0,b>0。

- 所以frac{(a - b)^2}{4}≥slant0，即((a + b)/(2))^2≥slant(√(ab))^2。

- 又因为a>0,b>0，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a - b = 0，即a=b时等号成立。

常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。

由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。

对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。

由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。

即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。

简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。

柯西证明均值不等式的方法 by Zhangyuong (数学之家)本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是 A n _G n ：一些大家都知道的条件我就不写了X l X 2 ... X n n-------------------------------------------------------x i x2 …Xnn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出:二维已证，四维时：a +b +c +d = (a +b) + (c + d ) M 2 J ab + 2^/cd Z 4、； JabCd = 4^abcd 八维时：(a +b +c +d) + (e + f +g +h) ≥ 4⅛abcd + 4#efgh ≥ 8*abcdefgh这样的步骤重复n 次之后将会得到例2：X 1 X 2... X 2n令 X 1 =X 1,∙∙∙, X n =X n ； X n 1 =X n ∙2 由这个不等式有X 1 X 2.. 'n =AI nnA (2 - n) An2=(X I X2∙∙X n )即得到X I X 2... X n n-------------------------------------------------------------------------------------- n. X 1X 2 ...X nn这个归纳法的证明是柯西首次使用的， 而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例 子：若 0 ：：： a i n：：：1(i =1,2,..., n)证 明1 1 ^ a i1 ^ (a 1a2 ・・a n )..X n An1若 r _1(i =1,2,∙∙∙, n)证明 V ∙3 +11 +(r 』2 …「n )这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法: 给出例1的证明:-2二(1 -花)(2 - a 11 - a 11 -a 21 —设 p = a 1 ■ a 2, = . a 1a 2::: --- : ------- 将此 过程进 行下去 1- ∖ a 1a 2a 3a 4n21因此 —-i 11 -'ai令 a n 1 = a n :：；2 1a2n=(a 1a 2 …a n ) =G (2n1 —n) _ 1 -Gn22n _o 1nn1 -(G G 2)21 -Gn1即7—— i Zt 1 Ia i n > ---- 1 —G 例3： 已知5n 个实数r i , s i , t i , u i , v i 都 n 1 Lr i,Sn i 1 1 1 =一二t i , U =—二：u i , V =—二v i ，求证下述不等式成立： n i nπi =±r S i t i U i V i 1 RSTUV 1 n( )一( ) r i S i t i U i V i —1 RSTUV —1 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式—a 2)一2(1 —a 1)(1 — a 2)a 1 a21—∙a 12-q)(2 — p) — 2(1 — P q ) 2-2 q Pq _ 2q+1 —aP(1 q) —2q(q 1)p_2q ，而这是2元均值不等式÷—— 1 - 1 -^=) a 3 a 41n1 - (a 1 a 2... a 2n)X其实由均值不等式，以及函数f(x) =In e --------------- 1是在R上单调递减e x—1因此RSTU V(-RSTU V -1 nRSTU Vn I 丨Zt i U i V i -1我们要证明:口=2时，二(2)(2)_(壬x1 ^1 x2 ^1X1 X2 - 1令A= x1x2A2(x1 x2I X I x2) (x1X2 1 x1 X2)2-2 A (x1 x2x1X21) _ A ( x1 X2 1 - x1- X2) (1 X1X2 - X1 - X2) 2 A(x1 X2 1 -x1-X2)2=(A 1)( x1 X2显然成立1) _ 2A(X1X21)n X +1因此i【(一)i ±Xi ^1n2 -nG 1∖2n』G n G 21芒厂n*( )-(厂)，G i n l ] XiG -1.罕“G G 2-1G=(G1 2n)-1因此I ](i ±n)X i 1) X i-I)i ±所以得到所以基本上用Jensen 证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比Jen Se n 的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件所以原题目也证毕了 这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明 Jen Se n: f(X ι) Wf(J 1),则四维： 2 2 X 1 十 X 2 f (X i ) f (X 2) f (X 3) f(X 4) - 2 f (- -X 3 +x 4 )2f ( X 1 + X 2 + X 3 十 X 4 )_4f(—---) 一直进行n 次有f (X 1) f (X 2 )… f ( X 2 n )X 1 X 2 ... X 2n一 f(— - n —)，令 X- =X -,..., X n = X n ，Xn1 -X n ∙2 =…=X ? X 1亠X 2亠…亠X n-2n= A有 f (X i)…∙ f (X n )(2n —n) f (A) n A +(2 -f (-血)= f(A)f (X I )f (X 2 )…f (X n )X 1 + X 2 +…+ X n —f (—- -)。

均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。

在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。

1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。

一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。

下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。

2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。

在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。

对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。

许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。

解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。

那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。

2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。

在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。

在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。

3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。

均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。

均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。

一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。

(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。