中考数学重点圆10大必考题型精讲篇(173页word)

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

初中数学圆的知识点归纳及题型在初中数学的学习中，圆是一个非常重要的知识点，它不仅在几何中有着广泛的应用，还与其他数学知识有着紧密的联系。

下面我们就来对初中数学圆的知识点进行归纳，并对常见的题型进行分析。

一、圆的基本概念1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的表示方法以点 O 为圆心，以 r 为半径的圆，记作“⊙O，半径为r”。

3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

5、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

6、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线；圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。

3、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R 和 r（R ＞ r），圆心距为 d，则有：当 d ＞ R ＋ r 时，两圆外离；当 d ＝ R ＋ r 时，两圆外切；当 R r ＜ d ＜ R ＋ r 时，两圆相交；当 d ＝ R r 时，两圆内切；当 d ＜ R r 时，两圆内含。

圆中考常考题型摘要：1.圆的概述2.圆的性质3.常考题型及解题方法4.总结与建议正文：一、圆的概述圆是几何学中的一种基本图形，它是由一条闭合的曲线组成，其上所有点到某一固定点的距离相等。

这个固定点被称为圆心，距离被称为半径。

圆可以根据其半径和圆心的位置进行分类，如以圆心为中心，半径为R 的圆可以表示为(x-a)+(y-b)=R。

二、圆的性质圆具有许多重要的性质，如：1.圆的周长：C=2πR，其中R 为半径，π为圆周率。

2.圆的面积：S=πR。

3.圆的切线：与圆相切且与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。

4.圆的割线：过圆上一点且与圆相交的直线称为圆的割线。

5.圆的同心圆：与已知圆有共同圆心的圆称为同心圆。

6.圆的公切线：与两个圆都相切的直线称为公切线。

三、常考题型及解题方法在中考数学中，圆的题型丰富多样，主要包括以下几种：1.求圆的周长、面积及半径解法：根据圆的性质，直接套用公式进行计算。

2.求圆的切线、割线长度解法：利用切线、割线与半径的关系进行计算。

3.判断两圆的位置关系解法：根据两圆的半径大小和圆心距进行判断，如外离、外切、相交、内切、内含等。

4.求圆与直线的交点解法：利用解析几何中的公式，如点到直线距离公式、直线与圆的位置关系等。

5.圆与圆的位置关系及应用解法：根据两圆的位置关系，利用公式进行计算，如求公共弦、公共切线等。

四、总结与建议对于圆的题型，我们要熟练掌握圆的性质和公式，并能灵活运用到实际问题中。

在做题过程中，要注重分析题目，找到问题的关键点，运用相应的知识点进行解答。

中考数学专题复习圆专题二:圆知识要点扫描归纳一圆的基本概念（1)圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

定点叫做圆心,定长叫半径。

（２)确定圆的条件；①已知圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；(３)点和圆的位置关系设圆的半径为ｒ,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种.①点在圆外⇔d＞ｒ;②点在圆上⇔ｄ=r；③点在圆内⇔ｄ〈r;（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直线。

直径是圆中最大的弦.圆心到弦的距离叫做弦心距....文档交流仅供参考...(５）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧....文档交流仅供参考...(7）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合,因此圆还具有旋转不变性。

...文档交流仅供参考...二圆中的重要定理１。

垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1:一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。

这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质。

...文档交流仅供参考...推论2:圆的平行弦所夹的弧相等．２.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论.在同圆或等圆中,四组量:①两个圆心角；②两条弧;③两条弦;④两条弦心距.其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：...文档交流仅供参考...圆心角相等←−−→←−−→←−−→所对所对所对弧相等弦相等弦心距相等３．圆周角①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角.②定理及推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论１:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

专题31与圆有关的计算【专题目录】技巧1：圆与相似三角形的综合技巧2：用三角函数解与圆有关问题技巧3：圆与学科内知识的综合应用【题型】一、求多边形中心角【题型】二、已知正多边形中心角求边数【题型】三、正多边形与圆【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径【题型】五、扇形面积的相关计算【题型】六、圆锥侧面积的相关计算【考纲要求】1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．3.会求图中阴影部分的面积.【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝180n r.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝n πr 2360或S ＝12lr .【考点总结】二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h .如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.【考点总结】三、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．【技巧归纳】技巧1：圆与相似三角形的综合1.【中考·衢州】如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是()A ．3B ．4C .256D .258(第1题)(第2题)2．【中考·南通】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，A B ＝6，AD ＝5，则AE 的长为()A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为()A ．3B ．23C .21D ．35(第3题)(第4题)4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)(第6题)6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第7题)8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB PC＝12.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第8题)答案1．D 2.B 3.C 4.4 5.2 6.①④7．证明：(1)如图，连接OD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD.∴BD︵＝CD︵.∴OD⊥BC.又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC.∴BC∥DM.∴OD⊥DM.∴直线DM是⊙O的切线．(2)如图，连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BE D＝∠EBD.∴DB＝D E.∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.∴DF DB＝DB DA，即DB2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA.(第7题)8．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(第8题)(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.∴PC PB＝PA PC.∴PC2＝PB·PA.∵PB PC＝12，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝12AD＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝32＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴OC AE＝PO PA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.∴OC32＋OC ＝PB＋32PBPB＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PB PC＝BC AC＝12，∴AC＝2BC.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝5，∴AC＝2 5.∴S △ABC ＝12AC·BC ＝5，即△ABC 的面积为5.技巧2：用三角函数解与圆有关问题一、选择题1．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为3，AC ＝4，则sin B ＝()A .13B .34C .45D .23(第1题)(第2题)2．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70°，∠C ＝50°，那么cos ∠AEB 的值为()A .3B .33C .12D .323．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin B ＝45.⊙O 过B ，C 两点，且⊙O 的半径r ＝10，则OA 的长为(A ．3或5B ．5C ．4或5D ．4二、填空题4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________.(第4题)(第5题)5．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.6．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB 上的一点(不与A ，B 重合)，则cos C 的值为________．(第6题)(第7题)7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，⊙P 分别与OA ，OC ，BC 相切于点E ，D ，B ，与AB 交于点F ，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan ∠FDE ＝_______.三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，tan B ＝12，半径为2的⊙C 分别交A C ，BC 于点D ，E ，得到DE ︵.(1)求证：AB 为⊙C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第8题)9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E.(1)求证：DC ＝DE ；(2)若tan ∠CAB ＝12，AB ＝3，求BD 的长．(第9题)答案一、1.D 2.C 3.A 二、4.34 5.126.457.12三、(第8题)8．(1)证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝12，∴BC ＝2AC ＝2 5.∴AB＝AC 2＋BC 2＝（5）2＋（25）2＝5，∴CF ＝AC·BC AB ＝5×255＝2.∴AB 为⊙C 的切线．(2)解：S 阴影＝S △ABC －S 扇形CDE ＝12AC·BC －n πr 2360＝12×5×25－90π×22360＝5－π.9．(1)证明：连接OC ，如图，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，∴∠ACO ＋∠DCE ＝90°.又∵ED ⊥AD ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EAD ＋∠E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠EAD ，故∠DCE ＝∠E ，∴DC ＝DE.(2)解：设BD ＝x ，则AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋BD ＝1.5＋x.在Rt △EAD 中，∵tan ∠CAB ＝12，∴ED ＝12AD ＝12(3＋x)．由(1)知，DC ＝DE ＝12(3＋x)．在Rt △OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则1.52＋12（3＋x ）2＝(1.5＋x)2，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝1，故BD ＝1.(第9题)技巧3：圆与学科内知识的综合应用【类型】一：圆与三角函数的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第1题)【类型】二：圆与相似的综合2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠AC B＝90°，点P在AB︵上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B 重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.(1)当BA平分∠PBC时，求BECD的值；(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．(第2题)【类型】三：圆与二次函数的综合3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△B DF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．(第3题)答案1．(1)证明：如图，连接OD.(第1题)∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°.又∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD.∴AMAD＝ADAB.∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∠ABD＝∠1，∴sin∠1＝35.∵AM＝185，∴AD＝6.∴AB＝10.∴BD＝AB2－AD2＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°.∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°.∴∠DBN＝∠1.∴sin∠DBN＝3 5 .∴DN＝245.∴BN＝BD2－DN2＝325.2．解：(1)连接PA.∵BA平分∠PBC，∴∠PBA＝∠CBA＝∠ACP.∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCD＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∴∠BCD＝∠CBA＝∠PBA.∴A B∥CD.∴∠PBA＝∠D.∴∠BCD＝∠D.∴BC＝BD.又∵∠PCD＝90°，易证得PB＝BC＝BD.又∵AB∥CD，∴PE＝EC.∴BE是△PCD的中位线．∴BECD＝1 2 .(2)∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC.∴PCCD＝ACCB＝12.∴S△PCD＝12PC·CD＝12PC·2PC＝PC2.∴当PC最大时，△PCD的面积最大，即PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大．∴当PC＝AB＝AC2＋BC2＝5时，△PCD的面积的最大值为(5)2＝5. 3．(1)解：设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把点B(0，4)，C(－2，0)，D(－8，0)＝c，＝4a－2b＋c，＝64a－8b＋c，＝14，＝52，＝4.∴经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4.(2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴5设直线CE 的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，＝34，＝32，∴直线CE 的函数表达式为y ＝34x ＋32在y ＝34x ＋32中，令x ＝0，则y ＝32，∴如图①，连接AB ，AC ，AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝52，∴BG ＝CG.在△ABG 与△ACG ＝AC ，＝CG ，＝AG ，∴△ABG ≌△ACG.∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)，∴∠ABG ＝90°.∴∠ACG ＝∠ABG ＝90°.∵点C 在⊙A 上，∴直线CE 与⊙A 相切．(第3题)(3)解：存在点F ，使△BDF 的面积最大．设，14t 2＋52t ＋BD ，BF ，DF ，过点F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，设直线BD 的函数表达式为y ＝kx ＋d ＝d ，＝－8k ＋d ，＝12，＝4.∴直线BD 的函数表达式为y ＝12x ＋4.∴点N ，12t ＋∴FN ＝12t ＋42＋52t ＋＝－14t 2－2t.∴S △DBF ＝S △DNF ＋S △BNF ＝12OD·FN ＝12×8－14t 2－t 2－8t ＝－(t ＋4)2＋16.∴当t ＝－4时，S △BDF 最大，最大值是16.当t ＝－4时，142＋52t ＋4＝－2，∴F(－4，－2)．【题型讲解】【题型】一、求多边形中心角例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（）A ．B ．C ．60D ．【答案】B【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB 的度数及OG 的长，再由△OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG ⊥AB 于G∵此多边形为正六边形，∴∠AOB =3606=60°；∵OA =OB ，∠AOB =60°,OG ⊥AB∴△OAB 是等边三角形，1302AOG AOB∴OA =AB =4，∴OG =OA •cos30°=4×2，∴S △OAB =12×AB ×OG =12，∴S 六边形=6S △OAB 故选：B ．例2、如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（）A ． 2,B ． 2,2C ． 2,D ． 【答案】C 【提示】连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．解：连接OF，在Rt△OFG中，∠GOF=13603026，OF=4．∴GF=2，∴F（-2，．故选C．【题型】二、已知正多边形中心角求边数例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【答案】C【提示】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360 ，用360 除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：边数为36036=10．则这个多边形是正十边形．故选：C．例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于3π4，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案．【详解】设圆内接正n 边形的中心角的度数为x 由弧长公式得：331804x 解得45x 即圆内接正n 边形的中心角的度数为45 则360845n故选：B ．【题型】三、正多边形与圆例5、半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b cB ．b a cC ．a c bD ．c b a 【答案】A【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形,BOH 利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．【详解】解：设圆的半径为R ，如图，,,,OB R OH a OH BC 由ABC 为圆O 内接正三角形，60,BOH 则正三角形的边心距为a ＝R ×cos60°＝12R ．如图，四边形ABCD 为圆O 的内接正方形，,,,OB R OH b OH BC 45,BOH四边形的边心距为b ＝R ×cos45°＝22R ，如图，六边形ABCDEF 为圆O 的正内接六边形，,,,OB R OH c OH BC 30,BOH 正六边形的边心距为c ＝R ×cos30°＝32R ．∵12R 22 R 32 R ，∴a ＜b ＜c ，故选：A ．例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．34B ．34C ．2438D ．34【答案】A【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正六边形的面积为：1462，六个小半圆的面积为：22312 ，中间大圆的面积为：2416 ，所以阴影部分的面积为：12164 ，故选：A ．【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径例7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ，4CD ，则퐶 的长为（）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】D【提示】根据::2:7:11AOC AOD DOB 求出COD 的度数，根据4CD 得到半径，运用弧长公式计算即可．【详解】∵:7:11 AOD DOB ，+180 AOD DOB ，∴71807018A O D ，又∵:2:7 AOC AOD ，∴20AOC ，∴90COD ，又∵4CD ，∴O D ，∴퐶 =9022180180n O D ．故答案选D ．例8、一个扇形的圆心角为120 ，扇形的弧长等于4, 则该扇形的面积等于（）A ．2B ．4C ．12D ．24【答案】C 【提示】根据弧长公式180n rl ，代入求出r 的值，即可得到结论．【详解】解：由题意得，4π＝120180rπ，解得：r ＝6，∴S ＝1642 ＝12π．故选：C.例8、若扇形的圆心角是150 ，且面积是2240cm ，则此扇形的弧长是（）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．40cm【答案】B【提示】先根据S 扇形=2360n R 求出该扇形的半径R ，然后再根据S 扇形=12lR 即可求得弧长l ．【详解】解：由S 扇形=2360n R ，n=150°，可得240π=2150360R ，解得R=24；又由S 扇形=12lR 可得240π=1242l ，解得l =20π．故答案为B ．【题型】五、扇形面积的相关计算例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm ），则这个几何体的侧面积为（）A ．48πcm 2B ．24πcm 2C ．12πcm 2D ．9πcm 2【答案】B【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm 2）．故选：B ．例10、如图，在⊙�中，2OA ，45C ，则图中阴影部分的面积为（）A ．2 B ． C ．22 D ．2【答案】D【提示】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB 算出结果.【详解】解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602=2 ，故选D.【题型】六、圆锥侧面积的相关计算例11、一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A ．πB ．πC ．πD ．【答案】C【提示】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】这个圆锥的侧面积＝12．故选：C ．例12、用一个半径为3,面积为3 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A ．B ．2C ．2D ．1【答案】D【提示】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•r•3=3π，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得12•2π•r•3=3π，解得r=1．故选：D ．例13、如图，有一块半径为1m ，圆心角为90 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A ．1m 4B ．3m 4C ．m 4D ．m 2【答案】C【提示】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l ，则l=9011801802n r m ，则圆锥的底面半径是： 1224 m ，4 m ．故选：C ．与圆有关的计算（达标训练）一、单选题1．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（）AB ．C ．3D ．2【答案】C【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】解：连接OA ，作OM ⊥AB 于M ，得到∠AOM =30°，AB则AM因而OM =OA •cos30°=3，∴正六边形的边心距是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．2．如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则正五边形的中心角COD 的度数是（）A ．72°B ．60°C ．48°D ．36°【答案】A 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360n计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴五边形ABCDE 的中心角∠COD 的度数为360725，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360n 是解题的关键．3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（）A．正负术B．方程术C．割圆术D．天元术【答案】C【分析】根据我国利用“割圆术”求圆周率的近似值解答即可．【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为“割圆术”．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值，即在一个圆中，它的内接正多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接近圆的周长和面积．4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（）A．刘徽，祖冲之B．祖冲之，刘徽C．杨辉，祖冲之D．秦九韶，杨辉【答案】A【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．圆周率不是某一个人发明的，而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的．古希腊大数学家阿基米德(公元前287-212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927，还得到两个近似分数值．故选：A．【点睛】本题考查了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．6．如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D 点的坐标为 2,0，则点F 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 1,1【答案】A【分析】先连接OF ，由于正六边形是轴对称图形，并设EF 交y 轴于G ，那么30GOF ；在Rt GOF 中，则1GF ，OG 即可求得F 的坐标．【详解】解：连接OF ，设EF 交y 轴于G ，如图所示，∵D 点的坐标为 2,0，∴2OD ，由正六边形ABCDEF 是轴对称图形知：在Rt GOF 中，30GOF ，2OF ．1GF ，OG(F ，故选：A ．【点睛】本题主要考查正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键．7．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，GOK 的两边,OG OK ，分别与,AB CB ，相交于点M ，N ，当180GOK ABC 时，下列说法错误的是（）A ．60GOKB ．MB NB DC C ．112OMBN ABCDEF S S四边形正六边形D ．OMA 与ONB 相等【答案】C 【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．【详解】解：如下图所示，连接OA OB OC ，，．∵点O 是正六边形ABCDEF 的中心，OA OB OC ， 180621206FAB ABC ，360606AOB BOC ，AB DC ，16OAB ABCDEF S S △正六边形． 180602AOB OAM ，180602BOC OBN ． OAM OBN ．∵180GOK ABC ，360)180OMB ONB GOK ABC -(，18060GOK ABC ．故A 选项不符合题意．∵180OMA OMB ，OMA ONB ．OAM OBN ≌△△（AAS ）．OMA ONB MA NB ，，OAM OBN S S △△．故D 选项不符合题意．MB NB MB MA AB DC ．故B 选项不符合题意．=OMB OBN OMB OAM OAB OMBN S S S S S S △△△△△四边形． 1=6OAB OMBN ABCDEFS S S △四边形正六边形．故C 选项符合题意．故选：C【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（）A ．48B ．24C ．12D ．4【答案】B【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出AOB 的度数及OG 的长，再由OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG AB 于G∵此多边形为正六边形，∴AOB 3606 60 ；∵60,OG ABOA OB AOB ，∴OAB 是等边三角形，1302AOG AOB∴4OA AB ，122AG BG AB∴OG∴OAB S △12AB OG 1242 4 ∴664OAB S S 六边形24 故选：B ．．【点睛】本题考查了正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出中心角的度数及三角形的高的长．二、填空题9．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．【答案】54【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605 =72°，∵OC=OD，∴∠OCD=12×（180°-72°）=54°，故答案为：54．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．【答案】十二【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，故答案为：十二．【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．三、解答题11．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，已知13CF BC ，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE 上求作点G ，使DG CF ；(2)在图2中的边DE 上求作点H ，使EH CF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AO 并延长与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 与DE 的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN 并延长即可．【详解】（1）连接AO 并延长与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 交DE 于点G ，则点G 为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O 为正五边形的外接圆，∴直线AO 是正五边形ABCDE 的一条对称轴，点B 与点E 、点C 与点D 分别是一对对称点．∵点M 在直线AO 上，∴射线BM 与射线EF 关于直线AO 对称，从而点F 与点G 关于直线AO 对称，∴CF 与DG 关于直线AO 对称．∴DG =CF ．（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN ，如图2所示；【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．与圆有关的计算（提升测评）一、单选题1．如图，工人师傅准备从一块斜边AB 长为40cm 的等腰直角AOB 材料上裁出一块以直角顶点O 为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥(接缝处忽略)，则圆锥的底面半径为（）A ．5cmB ．C ．4cmD ．【答案】A 【分析】作OC AB 于点C ，首先求出扇形的半径OC 的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径．【详解】解：如图，作OC AB 于点C ，∵AOB 是斜边AB 长为40cm 的等腰直角三角形，∴OA OB ，22240OA OB ，∴OA OB ，∵45A ，∴sin 452OC OA，∴20cm 2OC OA ，∴扇形的弧长902010180，设底面半径为cm r ，则210r ，解得：=5r ，∴圆锥的底面半径为5cm ．故选：A【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长．2．如图，在半径为2，圆心角为90 的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．1B ．2C ．112D ．121 ＋【答案】A【分析】已知BC 为直径，则90CDB ，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB ，CD DB ，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB 的面积与ADC △的面积之差．【详解】解：在Rt ACB △中，AB ∵BC 是半圆的直径，∴90CDB ，在等腰Rt ACB △中，CD 垂直平分AB ，CD BD ∴D 为半圆的中点，∴22112142ADCACB S S S △阴影部分扇形．故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（）A ．5124B ．5124C ．3124D ．5122【答案】A【分析】连接OE ，求出弓形CE 的面积，然后根据阴影部分的面积等于ADC △的面积减去弓形CE 的面积求解即可．【详解】连接OE ．∵正方形ABCD 的边长为2，∴1OC OB OE .∵1122222ADC S AD CD △，211144OCE S 扇形，111122COE S △，∴1142CE S 拱形，∴阴影部分的面积5112()4224．故选：A ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．4．如图，ABC 中，AC O 是AB 边上的一点，O 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，点F 为O 上一点，连AF ，若四边形ACEF 是菱形，则图中阴影部分面积是（）A 3B ．23C 3D ．3【答案】A【分析】设AB 与O 相交于点D ，利用菱形的性质可得C F ，AC CE 90CAB OEC ，从而可得180C AOE ，进而可得180F AOE ，然后求出60C F ，从而求出30B ，BC BE Rt BOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，B 的度数，最后根据阴影部分面积BOE 的面积 扇形DOE 的面积，进行计算即可解答．【详解】解：设AB 与O 相交于点D ，∵四边形ACEF 是菱形，C F ∴，AC CE ，O ∵ 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，90CAB OEC ，360()180C AOE CAB OEC ，180F AOE ，2AOE F ∵，1180603F ，60C F ，9030B C ，2BC AC ，BE BC CE 在Rt BOE 中，30B ，tan 30OE BE 9060EOB B ， 阴影部分面积BOE 的面积 扇形DOE 的面积21602360BE OE1233，3，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．5．把边长为的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF 的长为（）D．A．1B．2C【答案】C【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF x，+x+x，即可解决问题．B'F=x，从而BC【详解】解：如图，∵重叠部分为正八边形的一半，∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF x，B'F=x，x+x，∴BG=B'G∴BC x+x+x∴x=1，∴GF，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．6．如图1所示的正六边形（记为“图形1P”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形2P”），作出图形2P的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形3P ”，则图形123P P P ，，的周长之比为3：2：3；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O 上任意一点的最大距离为4+3．以上结论正确的是（）A ．②③B ．①③C ．②D ．①【答案】A 【分析】①根据题意可知过点B 作BN AC 于N ，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得23,2AC CD ，即可判断①；②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；③依题意可知图形2P 的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即可求解．【详解】解：标注字母如图，过点B 作BN AC 于N 6BE ∵，,C D 为BE 的三等分点，,A F 为BG 是三等分点2BC CD DE AB ，∵正六边形的每一个内角为3601801206∴ABC 中，2,120AB BC B ，30BAN在Rt ABN △中112BN ABAN BN AC ∵，12AN NC AC ，2AC AN 2CD AC∵ ①不正确，图形1P ，边长为6，所以图形1P 的周长为6636如图，依题意可得2AB BC CD 则4BD ，依题意，2P 是正六边形，所以图形2P 的周长为4624把图2中空白部分记作“图形3P ”，由①可得AC 3P 是正六边形，所以图形3P 的周长为6∴图形123P P P ，，的周长之比为36:24：2故②正确；如图，过点O 作OD AB 于点D ，交内切圆于点E ，则AE 即为所求，。

圆知识点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC=弧BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE∠=∠；②AB DE=；③OC OF=；④弧BA=弧BD六、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。

专题23圆的基本性质的核心知识点精讲1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB ，读作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。