高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)

不等式的基本性质、含有绝对值的不等式1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔________a＝b⇔________a<b⇔________2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么______；如果______，那么a>b.即a>b⇔______.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么______．即a>b，b>c⇒______.(3)可加性：如果______，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么______；如果a>b，c<0，那么______．(5)乘方：如果a>b>0，那么a n____b n(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么na____nb(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤________.(2)性质2：|a|－|b|≤________.(3)性质3：________≤|a－b|≤________.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a|x|>a(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b①|ax＋b|≤c⇔______________；②|ax＋b|≥c⇔______________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)(1)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( )(2)不等式|a |－|b |≤|a ＋b |等号成立的条件是ab ≤0.( )(3)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( )2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为__________．3．不等式1<|x ＋1|<3的解集为________．4．不等式1－3|x |x>0的解集为________． 5．(2013·福建改编)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .则a 的值为________.题型一 绝对值三角不等式定理的应用例1 “|x －A |<ε2且|y －A |<ε2”是“|x －y |<ε”(x ，y ，A ，ε∈R )的________条件． 思维升华 对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点：(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．(2)该定理可以推广为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．(3)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |.(1)设a ，b 是满足ab <0的实数，则下列不等式正确的是________．①|a ＋b |>|a －b | ②|a ＋b |<|a －b |③|a －b |<||a |－|b || ④|a －b |<|a |＋|b |(2)已知命题p ：|a |<1，且|b |<2，命题q ：|a ＋b |<3，则p 是q 的________条件．题型二 含绝对值的不等式的解法例2 (2012·课标全国改编)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为________；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为________．思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是__________．(2)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．题型三 含参数的绝对值不等式问题例3 已知不等式|x ＋1|－|x －3|>a .若不等式有解，则实数a 的取值范围为__________．若不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围为___________________________________． 若不等式的解集为∅，则实数a 的取值范围为_____________________________________． 思维升华 不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面(如f (x )>m 的解集是空集，则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．绝对值不等式的解法典例：(5分)不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3的解集为________________________________．思维启迪 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法．解析 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32. 从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32. 当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32. 综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32. 方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32. 从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0， 即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点．方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x －a|＋|x－b|＜m (m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|进行放缩．3．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.A组专项基础训练1．不等式|2x－1|<3的解集为________．2．已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则∁U M＝______________.3．(2013·江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．4．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．5．不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集为____________．6．不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为__________．7．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是R，则实数a的取值范围是______________________．8．(2013·重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．9．(2012·湖南)不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为____________．10．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b的取值范围为________．B组专项能力提升1．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．2．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．3．已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.4．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是____________．5．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．6．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．7．设函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|，如果对任意x∈R，f(x)≥4，则a的取值范围是________．答案基础知识自主学习要点梳理1．a －b >0 a －b ＝0 a －b <02．(1)b <a b <a b <a (2)a >c a >c (3)a >b (4)ac >bc ac <bc (5)> (6)>3．(1)|a |＋|b | (2)|a ＋b | (3)|a |－|b | |a |＋|b |4．(1){x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a 或x <－a }{x |x ∈R 且x ≠0} R(2)①－c ≤ax ＋b ≤c ②ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c夯基释疑1．(1)√ (2)× (3)√2．{x |－1<x <1}解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|，∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4，∴3x 2<3，∴－1<x <1.方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，2x －1－(x －2)<0，或②⎩⎪⎨⎪⎧ 12<x <2，2x －1＋(x －2)<0.或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－(2x －1)＋(x －2)<0.不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12. 综上得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．3．(－4，－2)∪(0,2) 4.(－∞，－13)∪(0，13) 5．1解析 因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.题型分类深度剖析例1 充分不必要解析 若|x －A |<ε2，|y －A |<ε2，则有|x －y |＝|x －A ＋A －y |＝|(x －A )＋(A －y )|≤|x －A |＋|y －A |<ε2＋ε2＝ε.∴|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε成立的充分条件．反之，若|x －y |<ε，则可以取|x －A |<34ε，|y －A |<ε4使得条件|x －A |<ε2，|y －A |<ε2得不到满足． 因此，|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε成立的充分而不必要条件． 跟踪训练1 (1)② (2)充分不必要例2 (1){x |x ≤1或x ≥4} (2)[－3,0]解析 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．跟踪训练2 (1)[1，＋∞) (2){x |x ≥1}解析 (1)方法一 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)．方法二 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．(2)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．例3 a <4 a <－4 a ≥4解析 由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4.|x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4.可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，则a <4；(2)若不等式的解集为R ，则a <－4；(3)若不等式解集为∅，则a ≥4.跟踪训练3 解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 练出高分A 组1．(－1,2) 2.{x |x <－1或x >3}3．[0,4]解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]． 4.13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13. 5．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 由题意知，原不等式可化为⎩⎨⎧ x ≥2x ＋1＋2x －4>6 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <2x ＋1－2x ＋4>6或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1－x －1－2x ＋4>6， 解得x >3或x <－1，∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6．(－∞，－3)解析 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．7．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.8．(－∞，8]解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8，∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.9.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14 解析 根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解．当x ≤－12时，原不等式可化为－1－2x ＋2(x －1)>0， 整理得－3>0，无解．当－12<x ≤1时，原不等式可化为2x ＋1＋2(x －1)>0，整理得4x －1>0，即x >14，∴14<x ≤1.当x >1时，原不等式可化为2x ＋1－2(x －1)>0，整理得3>0.此时不等式的解集为x >1.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x ≤1∪{x |x >1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >14.10．(5,7)解析 |3x －b |<4⇔－4＋b 3<x <4＋b 3，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤b －43<1，3<b ＋43≤4⇒⎩⎨⎧4≤b <7，5<b ≤8⇒5<b <7. B 组1．－2≤a ≤4解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.2．[－3,5]解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5.3．{x |－2≤x ≤5}解析 |x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．4．(－1,3)解析 要使不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则a 2－2a －1<(|x －1|＋|x －3|)min .又(|x －1|＋|x －3|)min ＝2，∴a 2－2a －1<2，即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.5．(－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.6．5解析 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.7．(－∞，－1]∪[7，＋∞)解析 若a ＝3，则f (x )＝2|x －3|，不满足题设条件；若a <3，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋3， x ≤a ，3－a ， a <x <3，2x －a －3， x ≥3，f (x )的最小值为3－a ；若a >3，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋3， x≤3，a －3， 3<x <a ，2x －a －3， x ≥a ，f(x)的最小值为a－3，所以对任意x∈R，f(x)≥4的充要条件是|a－3|≥4，解得a≥7或a≤－1.故a的取值范围为(－∞，－1]∪[7，＋∞)．。

2023年一轮复习《2.1 等式性质与不等式性质》提升训练一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设M =2a (a −2)+3，N =(a +1)(a −3)，a ∈R ，则有( )A. M >;NB. M ≥NC. M <;ND. M ≤N2.（5分）已知a >b >c ，且a +b +c =0，则下列不等式一定成立的是A. ab >bcB. ac <bcC. |ab |>|bc |D. 1a+1c >03.（5分）若a ，b ，c 为实数，下列结论正确的是( )A. 若a >b ，c >d ，则ac>bdB. 若a <b <0，则a 2>ab>b 2C. 若a <b <0，则1a <1b D. 若a <b <0，则ba >ab4.（5分）若实数a 、b 、c 满足a >b >c ，则下列不等式正确的是( )A. a +b >cB.1a−c<1b−cC. a|c|>b|c|D.ab 2c 2+1<a 2bc 2+15.（5分）已知实数x ，y 满足{x −y +1⩽0x +y −3⩾0y −3⩽0，则z =x 2+y 2的取值范围是( )A. [5,9]B. [5,13]C. [√5,3]D. [√5,√13]6.（5分）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ）A. ac ＞bdB. ac ＜bdC. ad ＜bcD. ad ＞bc7.（5分）若不等式a >b 与1a>1b同时成立，则必有( )A. a >b >0B. 0>1a >1bC. a >0 >bD. 1a >1b >08.（5分）若a >b ，c >d ，下列不等式正确的是( )A. c −b >d −aB. ac >bdC. a −c >b −dD. ad>bc9.（5分）若a >b >0，且ab =1，则下列不等式成立的是( )A. b2a <lo g 2(a +b)<a +1b B. a +1b <b2a <lo g 2(a +b) C. a +1b <lo g 2(a +b)<b2aD. lo g 2(a +b)<a +1b <b2a10.（5分）若1a <1b <0(a,b ∈R)，则下列不等式恒成立的是( )A. a <bB. a +b >abC. |a|>|b| D. ab <b 211.（5分）若a,b,c ∈R , a >b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. a2>b2C. ba +ab⩾2 D. a(c2+1)>b(c2+1)12.（5分）下列不等式一定成立的是A. B. x2+4⩾4|x|C. ≶(x2+1)>≶(2x)D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知x，y都是实数，则x2+y2+1______2(x+y−1)(用>，<，=填空).14.（5分）已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式__________.15.（5分）已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是________.16.（5分）已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是__________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）试比较下列各组式子的大小：(1)a+1b 和b+1a(a>b>0)；(2)√x+1−√x和√x−√x−1(x>1)；(3)a3−a和a2a(a>0)；(4)x3−2y3和xy2−2x2y(x>y>0).18.（12分）设a>0，函数f(x)=x−ae x2+1，g(x)=af(x)+f(−x).(1)若函数f(x)在R上有两零点，求a的取值范围;(2)若函数g(x)在[−1,1]上有零点，求a的取值范围.19.（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：根据以上数据绘制了散点图，如图.由图可知，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y =a +bx 和指数函数模型y =ce dx 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y ^=96.54e −0.2x ，lny 与x 的相关系数r 1=−0.94. (1)用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程;(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本.参考数据：(其中u i =1x i )20.（12分）已知函数f(x)=axe x −ax −1(a ∈R)，若不等式f(x)⩾lnx 在[1e ,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数;(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01).22.（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP= AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点.求证：PC⊥平面BEF.四、多选题（本大题共5小题，共25分）23.（5分）若1a >1b>0，则下列正确的选项为A. 2a<2bB. a3>b3C. a2<abD. lnab>124.（5分）下列选项中，能推出ba >ab的为()A. a>b>0B. b<a<0C. −1<a<0,b>1D. a<−1,0<b<125.（5分）下列选项中描述正确的是()A. 若ac2>bc2，则必有a>bB. 若a>b与1a >1b同时成立，则ab<0C. 若a>b，则ln a2>ln b2D. 若a>b>0，c<d<0，则ad <bc26.（5分）已知a，b，c∈R且0<a<b，则下列结论正确的是()A. a2<b2B. ab<b2C. 1a <1bD. ac2<bc227.（5分）下列结论正确的是()A. 若a>b>c>0，则ca >cbB. 若a>b>0，则b2<ab<a2C. 若a>b>0，则ac2>bc2D. 若a<b<0，则−1a <−1b答案和解析1.【答案】A;【解析】M−N=2a(a−2)+3−(a+1)(a−3)=2a2−4a+3−(a2−2a−3)=a2−2a+6=(a−1)2+5>;0恒成立，所以M>;N．故A正确．2.【答案】B;【解析】此题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．a>b>c且a+b+c=0，可得a>0，c<0.再利用不等式的基本性质即可得出．解：∵a>b>c且a+b+c=0，当b=0时，显然A，C错误；因为a>b，c<0，所以ac<bc，B正确；当a=2，c=−1时，显然D错误．故选B.3.【答案】B;【解析】这道题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．根据不等式的基本性质，判断每个选项即可．解：对于A：取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故A不正确，对于B：若a<b<0，则a2>ab>b2，正确，对于C：若a<b<0，则aab <bab，即1b<1a，故C不正确，对于D：若a<b<0，则a2>b2，则a2ab >b2ab，即ab>ba，故D不正确，故选：B．4.【答案】B;【解析】此题主要考查了不等式的性质，考查了推理和计算能力，属于基础题．根据a>b>c判断每个选项不等式是否正确，错误的举出反例即可．解：∵a>b>c，∴A.a+b>c错误，比如−4>−5>−6，得出−4−5<−6；B.a−c>b−c>0，∴1a−c <1b−c，∴该选项正确；C.a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；D.ab2−a2b=ab(b−a)，ab(b−a)=0时，ab2=a2b，∴ab2c2+1=a2bc2+1，∴该选项错误．故选：B.5.【答案】B;【解析】解：实数x，y满足{x−y+1⩽0x+y−3⩾0y−3⩽0，的可行域如图所示，其中A(1,2)，B(2,3)，若目标函数z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方．由图形可知仅在点B(2,3)取得最大值，z=4+9=13.A到原点距离最小，z=1+4=5．则z=x2+y2的取值范围为[5,13]，故选：B．根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．判断几何意义，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6.【答案】B;【解析】略7.【答案】C;【解析】解：∵1a >1b，∴b−aab>0，又∵a>b，∴b−a<0.∴ab<0.∴a>0>b.故选C.利用不等式的性质即可得出．此题主要考查了不等式的性质，属于基础题．8.【答案】A;【解析】此题主要考查了不等式性质及其大小比较，考查学生的计算能力，属于基础题. 根据不等式的性质即可依次解出.解：由题意，因为a>b，所以−a<−b，即−b>−a，又因为c>d，所以c−b>d−a，故选A.9.【答案】A;【解析】解：∵a>b>0，且ab=1，∴可取a=2，b=12．则a+1b =4，b2a=18，log2(a+b)=log252∈(1,2)，∴b2a <log2(a+b)<a+1b．故选：A．a>b>0，且ab=1，可取a=2，b=12.代入计算即可得出大小关系．该题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D;【解析】此题主要考查不等式的性质，由已知得ab>0，然后利用不等式的性质求解即可.解：∵1a <1b<0(a,b∈R)，∴ab>0，则1a .ab<1b.ab，即b<a，所以两边都乘b，得b2>ab.b<a，a+b<ab，|b|>|a|，故ABC错误.故选D.11.【答案】D;【解析】此题主要考查不等式的概念和不等关系，根据不等式的性质解题即可.∵a>b,c2+1>0，因此a(c2+1)>b(c2+1)，D选项正确，a=1，b=−1时，可判断A，B，C错误.故选D.12.【答案】B;【解析】该题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解答该题的关键．解：A选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出；B选项是正确的，这是因为(x∈R)⇔；C选项不成立，当x=1时，不等式两边不相等；D选项不成立，当a=b=1时，不等式两边不相等．故答案选：B．13.【答案】＞;【解析】解：∵x，y都是实数，且x2+y2+1−2(x+y−1)=x2+y2+1−2x−2y+2=(x−1)2+(y−1)2+1⩾1>0，∴x2+y2+1>2(x+y−1).故答案为：>.直接利用作差法比较两个对数式的大小．此题主要考查利用作差法比较两个对数式的大小，是基础题．14.【答案】a+mb+m >ab;本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，基础题．bg糖水中有ag糖(b>a>0)，若再添mg糖(m>0)，浓度发生了变化，只要分别写出添糖前后的浓度根据题意可得不等式．解：∵bg糖水中有ag糖，糖水的浓度为：ab；bg糖水中有ag糖(b>a>0)，若再添mg糖(m>0)，则糖水的浓度为：a+mb+m；又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴a+mb+m >ab，故答案为a+mb+m >ab.15.【答案】ab2+ba2⩾1a+1b;【解析】此题主要考查不等式大小的比较，利用做差法即可比较大小，属于基础题.解：ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b).(1b2−1a2)=(a+b)(a−b)2a2b2.∵a+b>0，(a−b)2⩾0，∴(a+b)(a−b)2a2b2⩾0.∴ab2+ba2⩾1a+1b.16.【答案】ab2+ba2⩾1a+1b;【解析】此题主要考查了不等式比较大小，属于较易题. 作差化简整理即可得结果.解：ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b).(1b2−1a2)=(a+b)(a−b)2a2b2.∵a+b>0，(a−b)2⩾0，∴(a+b)(a−b)2a2b2⩾0.∴a b 2+b a 2⩾1a+1b.故答案为ab 2+ba 2⩾1a +1b .17.【答案】解：(1)a +1b−(b +1a)=(a−b)(1+ab )ab，∵a >b >0，∴a −b >0，ab >0，1+ab >0， ∴(a−b)(1+ab )ab >0,∴a +1b >b +1a . (2)√x +1−√x =√x+1+√x ,√x −√x −1=√x−1+√x .由于√x +1+√x >√x −1+√x >0， 故√x +1−√x <√x −√x −1; (3)当a =1时，a 3−a =a 2a =1;当a >1时，y =a x 为增函数，且3−a <2a ，因此a 3−a <a 2a ; 当0<a <1时，y =a x 为减函数，且3−a >2a ，因此a 3−a <a 2a ; 综上，a 3−a ⩽a 2a ;(4)由题意，知(x 3−2y 3)−(xy 2−2x 2y)=x 3−xy 2+ 2x 2y −2y 3 =x(x 2−y 2)+2y (x 2−y 2)=(x 2−y 2)(x +2y )=(x −y)(x +y) (x +2y ); ∵x >y >0，∴ x −y >0，x +y >0，x +2y >0， ∴(x 3−2y 3)−(xy 2−2x 2y)>0， 即x 3−2y 3> xy 2−2x 2y.;【解析】此题主要考查代数式大小的比较方法，属于基础题.(1)作差a +1b −(b +1a )=(a−b)(1+ab )ab，确定差的符号即可；(2)√x +1−√x =√x+1+√x，√x −√x −1=√x+√x−1， 根据不等式的性质比较大小．(3)讨论a 的取值，分别比较即可．(4)根据作差法可得(x 3−2y 3)−(xy 2−2x 2y)>0，可得结果.18.【答案】解:(1)由题意可知,a=x+1e x2,令h(x)=x+1e x 2,h'(x)=1−x 2e x2,x=1,ℎmax (x)=√e,x →+∞,h(x)→0,h(-1)=0,x →-∞时,h(x)→-∞,故a ∈(0,√e). (2)当a>1时,g(x)=ax-a 2e x2+a-x-ae −x2+1<ax- <ax- </ax-ae x2+a-x-ae −x2+1=(a-1)x-a(e x2+e −x2)+a+1<(a-1)x-2a+a+1⩽ a-1-2a+a+1=0,所以g(x)在[-1,1]上有零点,则a ⩽1; g'(x)=a-a 22e x 2-1+a2e x =2ae x2−a 2e x −2e x2+a2e x 2,令g'(x)=0,则2ae x 2-a 2e x-2e x 2+a=0,整理化简a 2e x +2(1-a)e x2-a=0,所以关于e x2的二次方程两个根为一个正根e x 12,一个负根,而负根舍去, 故g(x)在[-1,1]上的单调性为先增后减,且g(0)=-a 2+a-a+1>0, 所以要保证有零点只需保证min{g(−1),g(1)}⩽0, g(1)=a-√ea 2+a-1-√e +1=-√ea 2+(2-√e )a,g(-1)=-a-2√e +a+1-a √e +1=-2√e -a √e +2,g(-1)-g(1)=(a-1)[(√e -√e )a-2]>0,所以,只需考虑g(1)=-√ea 2+(2-√e )a ⩽0⇒a ⩾2√e−1e,所以a ∈[2√e−1e,1].; 【解析】略19.【答案】解：(1)令u=1x ,则y=a+bx 可转化为y=a+bu,因为y ―=3608=45,所以b=∑ui 8i=1y i −8x―y ―∑8i=1u i2−8u ―2=183.4−8×0.34×451.53−8×0.115=610.61=100,则a ^=y ―-b ^u ―=45-100×0.34=11,所以y ^=11+100u,所以y 关于x 的回归方程为y ^=11+100x.(2)y 与1x 的相关系数为r 2=$ \frac $8i=1i √(∑i=1u i −8u ―)(∑i=1y i−8y ―)=√0.61×6185.5≈0.99.因为|r 1|<|r 2|,所以用反比例函数模型拟合效果更好,当x=10时,y=10010+11=21(元),所以当产量为10千件时,每件产品的非原料成本为21元.; 【解析】略20.【答案】解:令g(x)=axe x -ax-ln x-1,则g'(x)=a(xe x +e x )-a-1x ,设{g ′(x 0)=a(x 0e x 0+e x 0)−a −1x 0=0,g(x 0)=ax 0e x 0−ax 0−lnx 0−1=0.消去a,得到(x 0+1)e x 0lnx 0+x 0e x 0-lnx 0=0,解得e x 0=1x 0(即x 0=-lnx 0),x 0∈(12,1)为极小值,此时a=1,故a ⩾1,下证充分性,当a ⩾1时,令g(x)=h(a)=ax(e x -1)-ln x-1在[1,+∞)上单调递增, 所以g(x)=ax(e x -1)-ln x-1⩾x(e x -1)-ln x-1,令k(x)=x(e x -1)-ln x-1, k'(x)=e x -1+xe x -1x=(x+1)(e x -1x),设k'(x)=0,则e x =1x,令解为x 1,所以k (x)min =k(x 1)=x 1(e x 1-1)-lnx 1-1=x 1(1x 1-1)-(-x 1)-1=0,所以k(x)⩾0,即当a ⩾1时,g(x)⩾0恒成立.; 【解析】略21.【答案】解:(1)由题意知,网店销售量不低于50,共有(0.068+0.046+0.010+0.008)×5×100=66(天),实体店销售量不低于50,共有(0.032+0.020+0.012×2)×5×100=38(天),实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24=24,故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+38-24=80.(2)由题意,设该实体店一天售出x件,则获利为(50x-1700)元,50x-1700⩾800⇒x⩾50.设该实体店一天获利不低于800元为事件A,则P(A)=P(x⩾50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)×5=0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于50的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,销售量低于55的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,所以网店销售量的中位数的估计值为50+0.5−0.340.34×5≈52.35.;【解析】略22.【答案】证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE,PA⊥BA,又因为底面ABCD是矩形,且AP=AB=2,BC=2√2,E,F分别是AD,PC的中点,所以BP=2√2,BE⊥AC,所以BF⊥PC,因为PA∩AC=A,所以BE⊥平面PAC,所以BE⊥PC,又因为BE∩BF=B,所以PC⊥平面BEF.;【解析】略23.【答案】AC;【解析】【试题解析】[分析]此题主要考查不等式的性质，属于基础题。

第3课时不等式的性质[考试要求]1．掌握等式性质.2．会比较两个数的大小.3．理解不等式的性质，并能简单应用．1．比较实数a ，b 大小的基本事实作差法−>0⇔>，−＝0⇔＝−<0⇔<u(a ，b ∈R )2．不等式的性质性质1对称性：a >b ⇔b <a ；性质2传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．[常用结论]若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：K K <<rr (b －m >0)，即真分数越加越大，越减越小；(2)假分数性质：r r <<K K (b －m >0)，即假分数越加越小，越减越大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＞b ，则ac 2＞bc 2．()(2)若>1，则b >a ．()(3)若1>1，则b <a ．()(4)若a<b<0，则12<12(n∈N*)．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M ＞N.故选A.]2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是()A．r＜B．r＞C．＜r r D．r r＜A[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为r，此时浓度变小，糖水变淡，r＜，故选A.]3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d；(2)如果a＜b＜0，那么12________12；(3)如果c＞a＞b＞0，那么K________K.[答案](1)＜(2)＜(3)＞4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b 的取值范围是________．(－6，5)[∵－3<b<5，∴－5<－b<3，又－1<a<2，∴－6<a－b<5．]考点一数(式)的大小比较[典例1](1)若a<0，b<0，则p＝2+2与q＝a＋b的大小关系为()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q(2)若a>b>1，P＝a e b，Q＝b e a，则P，Q的大小关系是() A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定(1)B(2)C[(1)p－q＝22－a－b2−22−2＝(b2－a2)−因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.综上，p≤q.故选B.(2)P，Q作商可得＝x＝e e，令f(x)＝e，则f′(x)，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝e在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以e<e，e>0，e>0，所以＝e e<1，所以P<Q.故选C.]B．c<b<aD．b<a<c＞0，625＞0，(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．[跟进训练]1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不确定(2)已知a>b>0，则a a b b与a b b a的大小关系为________．(1)A(2)a a b b>a b b a[(1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故选A.(2)因为＝K K，又a>b>0，故>1，a－b>0，>1，即>1，又a b b a>0，所以a a b b>a b b a.]考点二不等式的性质[典例2](1)(2023·北京朝阳区一模)若a>0>b，则()A．a3>b3B．|a|>|b|C．1<1D．ln(a－b)>0(2)(2024·湖北武汉模拟)下列说法正确的是()A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若>，则a<bC．若a＋b>0，c－b>0，则a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则r r>(1)A(2)D[(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，故B错误；取a＝1，b＝－2，则1<1不成立，故C错误；取a＝12，＝−12，则ln(a－b)＝ln1＝0，故D错误．故选A.(2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a<b，故B错误；对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C 错误；对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0，r r−r r r K r，即r r>，故D正确．故选D.]判断不等式正误的常用方法(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质条件．(2)利用特殊值法排除错误不等式．(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．[跟进训练]2．(多选)若1<1<0，则下列不等式正确的是()A．1r<1B B．|a|＋b>0C．a－1>b－1D．ln a2>ln b2AC[由1<1<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，1r<0，1B>0.故有1r<1B，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>，即+<0，故B 错误；C中，因为<<0，又1<1<0，则－1>－1>0，所以a－1>b－1，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y ＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．故选AC.]考点三不等式性质的应用[典例3](多选)(2024·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是()A．0<a<4B．0<b<2C．－6<a＋2b<6D．0<a＋2b<8BD[对于A，∵－2<a＋b<4，2<2a－b<8，∴－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，∴0<3a<12，∴0<a<4，故A正确；对于B，∵2<2a－b<8，∴－8<b－2a<－2，∵－2<a＋b<4，∴－4<2a＋2b<8，∵−8<−2<−2，−4<2+2<8，∴－12<3b<6，∴－4<b<2，故B错误；对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，∴1＝+2，2＝−，∴＝53，＝−13，∴a＋2b53(a＋b)－13(2a－b)，∵－2<a＋b<4，∴－103<53(a＋b)<203，∵2<2a－b<8，∴－83<－13(2a－b)<－23，∴－6<a＋2b＝53(a＋b)－13(2a－b)<6，故C正确、D错误．故选BD.]求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．[跟进训练]3．(多选)已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是()A．∈4B．a＋b∈(21，78)C．a－b∈(－9，42)D．r∈AB[因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以118＜1＜115，－18＜－b＜－15，所以618＜6015，6＋15＜a＋b＜60＋18，6－18＜a－b＜60－15，即13＜＜4，21＜a＋b＜78，－12＜a－b＜45．于是r＝＋15.故A，B正确，C，D错误．]课时分层作业(三)不等式的性质一、单项选择题1．(2024·北京昌平区期末)若a<b<0，c>d>0，则一定有()A．>B．<C．>D．<D[由于c>d>0，则1>1>0，又a<b<0，所以－a>－b>0，故－>－>0，所以<，故选D.]2．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D[充分性：若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1，所以b<1不成立；必要性：若b<1，则当a<0时，ab>1，所以0<ab<1不成立．故选D.]3．若6<a<10，2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18]B．(15，30)C．[9，30]D．(9，30)D[因为2≤b≤2a，所以32≤a＋b≤3a，即32≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.]4．设a＝2，＝7−3，＝6−2，则a，b，c的大小关系为() A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>aB[因为7+22－6+32＝9＋214−9−218<0，所以7+2<6+ 3，所以7−3<6−2，即b<c.又a－c＝22−6＝8−6>0，故a>c.综上，a>c>b.故选B.]5．已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C．1K>1K D．(a－c)3>(b－c)3D[∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，1K<1K，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．故选D.]6．eπ·πe与e e·ππ的大小关系正确的为()A．eπ·πe>e e·ππB．eπ·πe＝e e·ππC．eπ·πe<e e·ππD．不能确定C[eπ·πe e e·ππ＝eπ−eππ−e，又0<e<1，0<π－e<1，∴0π<1，eπ·πe e e·ππ<1，即eπ·πe<e e·ππ.故选C.]7．(2023·广东五校联考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为()A．[15，31]B．[14，35]C．[12，30]D．[11，27]D[因为1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11，27].故选D.]8．若a<b<0，c>0，则下列不等式一定成立的是()A．1<1B．a－1<b－1C．ln(b－a)>0DD[对选项A，1−1＝K B，因为a<b<0，所以ab>0，b－a>0，即K B>0，所以1>1，故A错误；对选项B，a－1−−＝−+1−1＝(a－b)·B−1B，因为a<b<0，所以a－b<0，ab＞0，不能判断ab与1之间的关系，故B不正确；对选项C，因为b－a>0，所以ln(b－a)的取值范围为R，故C错误；对选项D，因为a<b<0，所以>0，>0，因为＝2−2>0，所以>，又因为c>0，所以y＝x c在(0，＋∞)，故D正确．故选D.]二、多项选择题9．(2023·湖南永州三模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是() A．若b<a<0，则bc2<ac2B．若b>a>0>c，则<C．若c>b>a>0，则K>KD．若a>b>c>0，则>r rBD[对于A，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即b·c2≤a·c2，故A错误；对于B，b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，−B，即<，故B正确；对于C，K−K K K c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，K−K K K K，K<K，故C错误；对于D，因为r r rr K r a>b>c>0，所以a－b>0，b ＋c>0K r，即>r r，故D正确．故选BD.]10．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则()A．x的取值范围为(－1，2)B．y的取值范围为(－2，1)C．x＋y的取值范围为(－3，3)D．x－y的取值范围为(－1，3)ABD[因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，因为－3<x＋2y<2，所以－5<5x<10，则－1<x<2，故A正确；因为－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4，因为－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正确；因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，95<35(x＋2y)<65，−15<15(2x－y)<45，因为x＋y＝35(x＋2y)＋15(2x－y)，则－2<x ＋y<2，故C错误；因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－25<－15(x＋2y)<35，−35<35(2x－y)<125，因为x－y＝－15(x＋2y)＋35(2x－y)，则－1<x－y<3，故D正确．故选ABD.]三、填空题11．若－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是________．(－π，0)[由已知，得－π2＜α＜π2，−π2＜－β＜π2，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β＜0，故－π＜α－β＜0．]12．a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________．(只要写出适合条件的一组值即可)．(2，1，－3，－2)(答案不唯一)[根据不等式＞＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同号，c，d同号，＞＞0⇒−＞0⇒B−B B＞0，又ad＜bc⇒ad－bc＜0，由此可知b，d异号，由这些信息可写出适合条件的一组值，如(2，1，－3，－2)．]13．(2024·河南漯河模拟)某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间2以速度a匀速跑，后一半时间2以速度b匀速跑；选手乙前半程2以速度a2以速度b匀速跑．若a≠b，则()A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲、乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点A[由题意可知对于选手甲，2+2b＝S，则T＝2r，设选手乙总共用时T′，2+2＝T′，则T′＝B+B，T－T′＝2r−B+B2B，即T<T′，即甲先到达终点．故选A.]14．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足x<y，则下列结论正确的是() A．3|x－y|>1B．xy<y2C．x|x|<y|y|D．1−1<e x－e yAC[因为x<y，所以|x－y|>0，所以3|x－y|>1，则A正确；因为x<y，当y<0时，xy>y2，则B错误；令f(x)＝x|x|＝2，≥0，−2，<0，易知在上单调递增，又<，所以<，即<，则C正确；对于D，若x＝－1，y＝1，则1−1＝－2>e-1－e＝e x－e y，则D错误．故选AC.]15．已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．−2，−[因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，可得a>0,b＝－(a＋c)，所以a>－a－c>c，两边同除以a，得－2<<－12.]16．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小关系是________．(用“＞”连接)b>d>c>a[由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及④式a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.。

高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解一、选择题1．(文)(2010·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1且x ＝－2}D ．{x |x ≥1或x ＝－2}[答案] D[解析] 不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0，∴x ≥1或x ＝－2，故选D.(理)(2010·天津文，7)设集合A ＝{x |x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4} [答案] C[解析] |x －a |<1⇒a －1<x <a ＋1，又∵A ∩B ＝∅， ∴a ＋1≤1或a －1≥5，∴a ≤0或a ≥6.2．(2010·湖南株洲二中)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若实数a 满足f (2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，32 B.⎝⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫12，72D.⎝⎛⎭⎫－32，32 [答案] D[解析] 由f ′(x )的图象知，f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f (2a ＋1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32<a <32.3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 [答案] A[分析] 比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f (x )的单调性，再在单调区间内比较大小．[解析] 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，73上的最大值， 又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．4．(2010·河北唐山)若a 2＋b 2>1，则下列不等式成立的是( ) A ．|a |＋|b |>1 B ．|a ＋b |>1 C ．|ab |>1D ．|a |>1且|b |>1[答案] A[解析] 取a ＝0，b ＝2，排除C 、D ；取a ＝－1，b ＝1，排除B ，故选A.5．(2010·重庆南开中学)已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2 B ．x <－x <x 2 C ．x 2<x <－xD ．x <x 2<－x[答案] D[解析] ∵x 2＋x <0，∴－1<x <0， ∴0<x 2<1,0<－x <1， 又x 2－(－x )＝x 2＋x <0， ∴x 2<－x ，故x <x 2<－x .[点评] 可取特值检验，由x 2＋x <0得－1<x <0，取x ＝－13知，x <x 2<－x .6．(文)(2010·河南南阳市调研)不等式⎪⎪⎪⎪x 1－x >x1－x 的解集为( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0或x >1} C ．{x |x >0}D ．{x |x <1}[答案] B[解析] ∵⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x ，∴x1－x <0，∴x (x －1)>0，∴x <0或x >1. (理)(2010·重庆市)不等式⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x 的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <12}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >12}[答案] B[解析] ⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x ，即⎪⎪⎪⎪2－1x >2－1x ， ∴2－1x <0，∴0<x <12.[点评] a ≥0时，|a |＝a ；a <0时，|a |＝－a >a .由1x >2不要仅得出x <12，应注意1x >2隐含x >0.7．(2010·金华十校)已知f (x )＝⎩⎨⎧ln 1xx >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e ) [答案] A[解析] 不等式f (x )>－1化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >0ln 1x >－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－1， ∴1x >1e或x <－1，∴0<x <e 或x <－1. 8．(文)(2010·山东肥城联考)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[答案] A[解析] 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，选A.(理)(2010·山东肥城联考)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] C[解析] 方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.9．(2010·浙江杭州质检)设函数f (x )＝ln(x －1)(2－x )的定义域是A ，函数g (x )＝ln(a x －2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 5[答案] B[解析] 由(x －1)(2－x )>0得：1<x <2，∴A ＝{x |1<x <2}；由a x －2x －1>0得a x －2x >1，∴a x >2x ＋1，其解集为B ，∴A ⊆B ，∴a ≥3.[点评] 显然当0<a <1时，a x >2x ＋1在(1,2)上不成立，∴a >1，在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝2x ＋1的图象，要使A ⊆B ，须使y ＝a x 在(1,2)上的图象位于y ＝2x ＋1的上方，当a ＝1时，y ＝21＋1＝3，故a ≥3.10．(文)(2010·北京顺义一中月考)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x －3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )A ．[1,4]B ．[2,4]C ．[3,4]D ．[2,3][答案] D[解析] 对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|＝|x 2－3x ＋4－(2x －3)|＝|x 2－5x ＋7|＝|(x －52)2＋34|＝(x －52)2＋34≤1成立，∴(x －52)2≤14， ∴2≤x ≤3，因此选D.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x <0)－x (x ≥0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (x ≤0)1＋x (x >0)，若g [f (x )]≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0,1]D ．[－1,1][答案] B[解析] ①x ≥0时，f (x )＝－x ≤0， ∴g [f (x )]＝g (－x )＝1－(－x )＝1＋x ； ②当x <0时，f (x )＝x 2>0， ∴g [f (x )]＝g (x 2)＝1＋x 2；∴g [f (x )]min ＝g [f (0)]＝1，由g [f (x )]≥a 恒成立， 得a ≤1. 二、填空题11．(文)(2010·芜湖十二中)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )是单调递增的，则不等式f (x ＋1)>f (1－2x )的解集是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] ∵f (x )在(－∞，0)上单调增，f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调减， ∵f (x )为偶函数，∴不等式f (x ＋1)>f (1－2x )化为f (|x ＋1|)>f (|1－2x |) ∴|x ＋1|<|1－2x |，∴(x ＋1)2<(1－2x )2， ∴x <0或x >2.(理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是________．[答案] x <－1或x >23[分析] 本题解题时要注意，“∃a ∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a ∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．[解析] 令m (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，m (a )是关于a 的一次函数， ∵命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题， ∴m (1)>0或m (3)>0，即x 2－x －2>0 ①或3x 2＋x －2>0 ②， 由①得x <－1或x >2；由②得x <－1或x >23.所以，所求实数x 的取值范围是x <－1或x >23.13．(2010·湖北黄冈)若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0的解集为________．[答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|，∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0化为log 2|x －1|<0，∴0<|x －1|<1，∴1<x <2或0<x <1.14．(2010·上海奉贤区调研)不等式|x |≥a (x ＋1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,0][解析] 如图，当直线l 逆时针旋转到与x 轴重合时，直线l 总在y ＝|x |的图象的下方，∴－1≤a ≤0.三、解答题15．(文)已知关于x 的不等式：(a ＋1)x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a >0时，解该不等式．[解析] (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴1<x <2，解集为{x |1<x <2}．(2)a >0时，(a ＋1)x －3x －1<1⇔ax －2x －1<0⇔(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝1.①当2a＝1即a ＝2时，解集为∅②当2a >1即0<a <2时，解集为{x |1<x <2a}．③当2a <1即a >2时，解集为{x |2a<x <1}．(理)(2010·山师大附中模考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对一切实数x 都成立．求实数a 的取值范围．[解析] 由已知：(x －a )⊗(x ＋a )<1， ∴(x －a )(1－x －a )<1， 即a 2－a －1<x 2－x .令t ＝x 2－x ，只需a 2－a －1<t min .t ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，∵x ∈R ，∴t ≥－14. ∴a 2－a －1<－14，即4a 2－4a －3<0，解得：a ∈⎝⎛⎭⎫－12，32. 16．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．17．已知函数f (x )＝12x 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e (x ∈R )在x ＝0和x ＝1处取得极值．(1)求d 的值及b ，c 的关系式(用c 表示b )，并指出c 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极大值． ①判断c 的取值范围；②若此时函数f (x )在x ＝1时取得最小值，求c 的取值范围． [解析] (1)∵f ′(x )＝2x 3＋3bx 2＋2cx ＋d ， 又∵f ′(0)＝f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝02＋3b ＋2c ＋d ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0b ＝－2c ＋23.∵f ′(x )＝2x 3－2(c ＋1)x 2＋2cx ， 即f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )， ∵f (x )在x ＝0和x ＝1处取得极值． ∴c ≠0且c ≠1，即c 的取值范围是{c ∈R |c ≠0且c ≠1}． (2)①∵f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )，∴若c <0.当x ∈(c,0)时f ′(x )>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值； 若0<c <1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0，c )时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值；若c >1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上，若f (x )在x ＝0处取得极大值，则c 的范围为(－∞，0)．②若c <0，当x ∈(－∞，c )时f ′(x )<0，x ∈(c,0)时f ′(x )>0，x ∈(0,1)时f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0，∴函数f (x )只能在x ＝c 或x ＝1处取得最小值．要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只要使得f (c )≥f (1)．∴12c 4－(2c ＋2)c 33＋c 3＋e ≥12－2c ＋23＋c ＋e . ∴c 4－2c 3＋2c －1≤0，即(c －1)3(c ＋1)≤0. ∵c <0，∴－1≤c <0，即c 的取值范围是[－1,0)．。

素质能力检测（六）一、选择题（每小题5分；共60分） M ={x |－1＜x ＜2}；N ={y |y =21x 2－1；x ∈M }；则M ∩N 为 A.{a |－1≤a ＜2} B.{a |－1＜a ＜2} C.{a |－1＜a ＜1}D.∅解析；y =21x 2－1；x ∈（－1；2）. 所以y ∈［－1；1）. 答案；Cx 、y ∈R ；那么|x |＜1且|y |＜1是0＜xy ＜1成立的____________条件.解析；设x =－21；y =0；则xy =0.不能推出0＜xy ＜1； 设x =2；y =31满足0＜xy ＜1；不能推出|x |＜1且|y |＜1.答案；D3.不等式（x +1）1-x ≥0的解集是 A.{x |x ＞1} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x =－1}D.{x |x ≥－1或x =1}解析；∵1-x ≥0；∴x ≥1.又∵x +1=0；不等式成立.∴x =－1.选C. 答案；Cx 2+（m +2）x +m +5=0有两个正实根；则实数m 的取值范围是 A.m ＜－2 B.m ≤－4 C.m ＞－5 D.－5＜m ≤－4 解析；⎪⎩⎪⎨⎧>+⇒>+-≥05020m m Δ）（－5＜m ≤－4. 答案；Dy =lg （x 2－2kx +k ）的值域为R ；则k 的取值范围是 A.0＜k ≤k ≤1C.k ≤0或k ≥1D.k =0或k ≥1 解析；Δ≥0⇒k ≥1或k ≤0. 答案；C6.x 、y ∈R ；x 2+y 2=1；那么（1－xy ）（1+xy ）有4321和最大值1 4321无最大值 解析；令x =cos θ；y =sin θ； 则（1－xy ）（1+xy ）=1－x 2y 2=1－41sin 22θ. ∵0≤sin 22θ≤1；∴43≤1－41sin 22θ≤1. 答案；Ax ∈R +时；下列函数中；最小值为2的是 A.y =x 2－2x +4 B.y =x +x16 C.y =22+x +212+xD.y =x +x1 解析；y =x 2－2x +4=（x －1）2+3≥3； y =x +x 16≥8；y =22+x +212+x .∵22+x ≥2；∴y ＞2.故选D.答案；Da 2＜x ＜a ；M =log a x 2；N =log a （log a x ）；P =（log a x ）2；则 A.M ＞N ＞P B.P ＞M ＞N C.M ＞P ＞N D.N ＞M ＞P 解析；∵a 2＜a ；∴0＜x ＜a ＜1. ∴log a x ＞1；N =log a （log a x ）＜0； 2log a x ＞log a x ·log a x ；即M ＞P . ∴M ＞P ＞N . 答案；Cf （x ）=a x ；g （x ）=b x ；当f （x 1）=g （x 2）=3时；x 1＞x 2；则a 与b 的大小关系不可能成立的是A.b ＞a ＞1B.a ＞1＞b ＞0C.0＜a ＜b ＜1D.b ＞1＞a ＞0 解析；x 1=log a 3；x 2=log b 3.当b ＞1＞a ＞0时；x 1＜0；x 2＞0与x 1＞x 2矛盾.选D. 答案；D f （x ）、g （x ）（x ∈R ）；设不等式|f （x ）|+|g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是M ；不等式|f （x ）+g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是N ；则A.N MB.M =NC.M ⊆ND.M N解析；任取x 0∈M ；则|f （x 0）+g （x 0）|≤|f （x 0）|+|g （x 0）|＜a . ∴x 0∈N .但任取x 1∈N ；有|f （x 1）+g （x 1）|＜a ；得不到|f （x 1）|+|g （x 1）|＜a . 故M ⊆N .选C.答案；CA ；第二年的增长率为a ；第三年的增长率为b ；这两年的平均增长率为x ；则 A.x =2ba + B.x ≤2ba + C.x ＞2ba +D.x ≥2ba + 解析；A （1+x ）2=A （1+a ）（1+b ）； ∴（1+x ）2≤（211b a +++）2. ∴1+x ≤1+2b a +；x ≤2ba +. 答案；B12.线段|AB |=4；M 为AB 的中点；动点P 满足条件|P A |+|PB |=6；当P 点在同一平面内运动时；|PM |的最大值M 、最小值m 分别是A.M =4；m =3B.M =3；m =5C.M =5；m =5D.M =3；m =3解析；P 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆；M 是其中心；由解析几何知识知选B. 答案；B二、填空题（每小题4分；共16分）a 、b ∈R ；且a +b +3=ab ；则ab 的取值范围是____________.解析；ab ≤（2b a +）2；∴a +b +3≤（2b a +）2. ∴a +b ≥6或a +b ≤－2. ∴ab ≥9或ab ≤1. 答案；（－∞；1］∪［9；+∞）x +4y =1；则x 2+y 2的最小值为____________. 解析；x 2+y 2=（－2y +21）2+y 2 =5y 2－2y +41=5（y －51）2+201≥201. 答案；201 f （x ）在［0；+∞）上为增函数；那么不等式f （x ）＞f （2－x ）的解集是____________. 解析；∵f （x ）为偶函数；则f （|x |）＞f （|2－x |）； 即|x |＞|2－x |；得{x |x ＞1}. 答案；{x |x ＞1}x 的方程x 2+（a 2－1）x +a －2=0的两根满足（x 1－1）（x 2－1）＜0；则a 的取值范围是____________.解析；（x 1－1）（x 2－1）＜0⇔一根大于1；一根小于1. 令f （x ）=x 2+（a 2－1）x +a －2；则f （1）＜0. ∴－2＜a ＜1. 答案；－2＜a ＜1三、解答题（本大题共6小题；共74分）17.（12分）当|x －2|＜a 时；不等式|x 2－4|＜1成立；求正数a 的取值范围. 解；由|x －2|＜a ；得2－a ＜x ＜2+a . 由|x 2－4|＜1；得－5＜x ＜－3或3＜x ＜5.∴（2－a ；2+a ）⊆（－5；－3）∪（3；5）.∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥->32520a a a ，，或⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥->.52320a a a ，， ∴0＜a ＜5－2.18.（12分）已知a 、b 、c 为不等正数；且abc =1；求证；a +b +c ＜a 1+b 1+c1. 证明；结论⇔a +b +c ＜bc +ac +ab⇔2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab .因为a 、b 、c 为不等正数且abc =1； 所以bc +ac ＞22abc =2c . ac +ab ＞2a ；ab +bc ＞2b . 所以2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab . 所以原不等式成立.19.（12分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+--.2|1|021|2|2x y x x y ，其中x 、y 都是整数. 解；原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤--<-≥->+.0|1|20|2|212x y x x y ，得－21＜y ＜2.∴y =0或1.当y =0时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.2|1|21|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0200y x y x ，；， 当y =1时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.1|1|23|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==.11y x ， 综上；⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.110200y x y x y x ，；，；， 20.（12分）学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米；每次购进大米需支付运输劳务费100元；已知食堂每天需用大米1 t ；贮存大米的费用为每吨每天2元；假定食堂每次均在用完大米的当天购买.（1）该食堂每隔多少天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少?（2）粮店提出价格优惠条件；一次购买量不少于20 t 时；大米价格可享受九五折优惠（即是原价的95%）；问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.解；设该食堂每隔x 天购买一次大米；则每次购买x t ；设每吨每天所支付的费用为y 元；则（1）y =x1［1500x +100+2（1+2+…+x ）］ =x +x100+1501≥1521； 当且仅当x =x100；即x =10时取等号. 故该食堂每隔10天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少. （2）y =x1［1500x ·0.95+100+2（1+2+…+x ）］（x ≥20） =x +x100+1426； 函数y 在［20；+∞）上为增函数；∴y ≥20+20100+1426=1451. 而1451＜1521；故食堂可接受粮店的优惠条件.21.（12分）设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R 且a ≠0）；若函数y =f （x ）的图象与直线y =x 和y =－x 均无公共点.（1）求证；4ac －b 2＞1；（2）求证；对一切实数x ；恒有|ax 2+bx +c |＞||41a .证明；（1）方程ax 2+bx +c =x 和ax 2+bx +c =－x 均无实根；即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--②）（①，）（.04104122ac b ac b①+②得4ac －b 2＞1. （2）由4ac －b 2＞1；知a （x +ab 2）2与a b ac 442-同号.所以|ax 2+bx +c |=|a （x +ab 2）2+a b ac 442-|=|a （x +ab 2）2|+|a b ac 442-|≥|a b ac 442-|＞||41a .22.（14分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R ；a ＞0）；设方程f （x ）=x 的两个实数根为x 1、x 2.（1）如果x 1＜2＜x 2＜4；设f （x ）的对称轴是x =x 0；求证；x 0＞－1； （2）如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.（1）证明；设g （x ）=f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +1.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=⋅--=+.0112121a x x a b x x ，x 1＜2＜x 2＜4.∴（x 1－2）（x 2－2）＜0； 即x 1x 2＜2（x 1+x 2）－4. 于是x 0=－a b 2=21（－a b 1-－a 1）=21（x 1+x 2）－21x 1x 2＞21（x 1+x 2）－（x 1+x 2）+2=－21（x 1+x 2）+2＞－21（2+4）+2=－1；即x 0＞－1. （2）解；由方程g （x ）=ax 2+（b －1）x +1=0；可知x 1x 2=a 1＞0；∴x 1、x 2同号. 若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2.g （2）=4a +2b －1＜0.①又|x 2－x 1|2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=221a b）（-－a4=2. ∴2a +1=112+-）（b ；代入①式得2112+-）（b ＜3－2b .②解②得b ＜41. 若－2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2. ∴g （－2）=4a －2b +3＜0. ③将2a +1=112+-）（b 代入③式得2112+-）（b ＜2b －1.④解④得b ＞47. 综上；可知b ＜41或b ＞47. ●意犹未尽五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次；年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路；阿巴格又累又怕；到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出５枚硬币；把一枚硬币埋在草地里；把其余4枚放在阿巴格的手上；说；“人生有５枚金币；童年、少年、青年、中年、老年各有一枚；你现在才用了一枚；就是埋在草地里的那一枚；你不能把５枚都扔在草原里；你要一点点地用；每一次都用出不同来；这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原；你将来也一定要走出草原.世界很大；人活着；就要多走些地方；多看看；不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下；那天阿巴格走出了草原.长大后；阿巴格离开了家乡；成了一名优秀的船长.一语中的；珍惜生命；就能走出挫折的沼泽地.。

6.7 不等式的综合问题 答案●点击双基 1.（湖北，5）若a1＜b1＜0，则下列不等式中，正确的不等式有①a +b ＜ab ②|a |＞|b | ③a ＜b ④ab +ba ＞2 A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵a1＜b1＜0，∴b ＜a ＜0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>><+.||||00a b ab b a ，，故①正确，②③错误. ∵a 、b 同号且a ≠b ，∴a b 、b a 均为正. ∴a b +b a ＞2ba ab ⋅=2.故④正确.∴正确的不等式有2个. 答案：B2.（福建，11）（理）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则A.f （sin6π）＜f （cos6π）B.f （sin1）＞f （cos1）C.f （cos3π2）＜f （sin3π2）D.f （cos2）＞f （sin2）解析：由f （x ）=f （x +2），知T =2，又∵x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，可知当3≤x ≤4时，f （x ）=－2+x . 当4＜x ≤5时，f （x ）=6－x .其图象如下图.故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|＜|sin2|，∴f （cos2）＞f （sin2）. 答案：D（文）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，4］时，f （x ）= x －2，则A.f （sin21）＜f （cos21）B.f （sin3π）＞f （cos3π）C.f （sin1）＜f （cos1）D.f （sin23）＞f （cos23）解析：仿理科分析. 答案：C 3.设M =a +21-a （2＜a ＜3），N =log 21（x 2+161）（x ∈R ），那么M 、N 的大小关系是 A.M ＞NB.M =NC.M ＜ND.不能确定解析：由2＜a ＜3，M =a +21-a =（a －2）+21-a +2＞2+2=4（注意a ≠1，a ≠3），N =log 21（x 2+161）≤log21161=4＜M . 答案：A4.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，则x 的取值范围是____________.解析：转化为m （x －1）+x 2－4x +3＞0在0≤m ≤4时恒成立. 令f （m ）=m （x －1）+x 2－4x +3.则⎩⎨⎧>-<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->+-⇒⎩⎨⎧>>.113101034040022x x x x x x x f f 或，或）（，）（ ∴x ＜－1或x ＞3. 答案：x ＞3或x ＜－1 ●典例剖析【例1】 已知f （x ）=log a 11-+x x （a ＞0，a ≠1）.（1）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）当x ∈（r ，a －2）时，f （x ）的值域为（1，+∞），求a 与r 的值；（3）若f （x ）≥log a 2x ，求x 的取值范围.剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a ＞1与0＜a ＜1求解，同时要注意定义域.解：（1）任取1＜x 1＜x 2，则 f （x 2）－f （x 1）=log a1122-+x x －log a 1111-+x x =log a ））（（））（（11111212+--+x x x x =log a 1121212121-+---+x x x x x x x x .又∵x 2＞x 1＞1，∴x 1－x 2＜x 2－x 1. ∴0＜x 1x 2－x 2+x 1－1＜x 1x 2－x 1+x 2－1.∴0＜1121212121-+---+x x x x x x x x ＜1.当a ＞1时，f （x 2）－f （x 1）＜0， ∴f （x ）在（1，+∞）上是减函数； 当0＜a ＜1时，f （x 2）－f （x 1）＞0， ∴f （x ）在（1，+∞）上是增函数. （2）由11-+x x ＞0得x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞）.∵11-+x x =1+12-x ≠1，∴f （x ）≠0.当a ＞1时，∵x ＞1⇒f （x ）＞0，x ＜－1⇒f （x ）∈（0，1），∴要使f （x ）的值域是（1，+∞），只有x ＞1. 又∵f （x ）在（1，+∞）上是减函数，∴f －1（x ）在（1，+∞）上也是减函数. ∴f （x ）＞1⇔1＜x ＜f －1（1）=11-+a a .∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=.1121a a a r ，∴⎪⎩⎪⎨⎧±==.321（负号不符合）a r当0＜a ＜1时，∵x ＞1⇒f （x ）＜0，x ＜1⇔f （x ）＞0，∴要使值域是（1，+∞），只有x ＜－1. 又∵f （x ）在（－∞，－1）上是增函数， ∴f （x ）＞1⇒－1＞x ＞f －1（1）=11-+a a .∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=，，1211a a a r 无解. 综上，得a =2+3，r =1.（3）由f （x ）≥log a 2x 得 当a ＞1时，⎩⎨⎧->+>）（1211x x x x ⇒4173-＜x ＜4173+且x ＞1. ∴1＜x ＜4173+.当0＜a ＜1时，⎩⎨⎧<+>），－（，1211x x x x ∴x ＞4173+.【例2】 已知抛物线y =ax 2－1上存在关于直线x +y =0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围. 解法一：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y =x +b ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组⎩⎨⎧-=+=12axy b x y ，有两组不同的实数解，即得方程ax 2－x －（1+b ）=0. ① 判别式Δ=1+4a （1+b ）＞0.②由①得x 0=221x x +=a 21，y 0=x 0+b =a21+b .∵M ∈l ，∴0=x 0+y 0=a21+a21+b ，即b =－a1，代入②解得a ＞43.解法二：设同解法一，由题意得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=---=-=④③，②，①，.02211121212121222211x x y y x x y y ax y ax y将①②代入③④，并注意到a ≠0，x 1－x 2≠0，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+⑥⑤，.2112222121a a x x a x x由二元均值不等式易得2（x 12+x 22）＞（x 1+x 2）2（x 1≠x 2）. 将⑤⑥代入上式得 2（－21a+a2）＞（a1）2，解得a ＞43.解法三：同解法二，由①－②，得y 1－y 2=a （x 1+x 2）（x 1－x 2）.∵x 1－x 2≠0，∴a （x 1+x 2）=2121x x y y --=1.∴x 0=221x x +=a21.∵M （x 0，y 0）∈l ，∴y 0+x 0=0，即y 0=－x 0=－a 21，从而PQ 的中点M 的坐标为（a21，－a21）.∵M 在抛物线内部，∴a （a21）2－（－a21）－1＜0.解得a ＞43.（舍去a ＜0，为什么?）思考讨论解法三中为何舍去a ＜0?这是因为a ＜0，中点M （x 0，y 0），x 0=a21＜0，y 0=－a21＞0.又∵a ＜0，y =ax 2－1＜0，矛盾.∴a ＜0舍去. ●闯关训练 夯实基础1.已知y =log a （2－ax ）在 ［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是 A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.［2，+∞）解析：∵y =log a （2－ax ）在［0，1］上是关于x 的减函数， ∴⎩⎨⎧>->.021a a ，∴1＜a ＜2.答案：B2.如果对任意实数x ，不等式|x +1|≥kx 恒成立，则实数k 的范围是____________. 解析：画出y 1=|x +1|，y 2=kx 的图象，由图可看出0≤k ≤1.xy1-1k=O答案：0≤k ≤13.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=□□91+.解析：设a 1+b9=1，a 、b ∈N *，则a =9-b b .∴a +b =9-b b +b +1，b ＞9时 ，a +b =99-b +b －9+10≥16. 99-b =b －9，即b =12取等号，此时a =4.b ＜9无解.∴a =4，b =12. 答案：4 124.已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足①x ＞1时，f （x ）＜0；（2）f （21）=1；（3）对任意的x 、y∈（0，+∞），都有f （xy ）=f （x ）+f （y ），求不等式f （x ）+f （5－x ）≥－2的解集.解：需先研究y =f （x ）的单调性，任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＞x 2，则21x x ＞1.f （x 1）=f （21x x ·x 2）=f （21x x ）+f （x 2），∴f （x 1）－f （x 2）=f （21x x ）＜0.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （1）=f （1）+f （1），则f （1）=0. 又∵f （1）=f （2）+f （21）=f （2）+1=0.∴f （2）=－1.∴f （4）=2f （2）=－2.∴原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤->->.45050）（，，x x x x解得{x |0＜x ≤1或4≤x ＜5}.5.设p =（log 2x ）2+（t －2）log 2x －t +1，若t 在区间［－2，2］上变动时，p 恒为正值，试求x 的取值范围.解：p =（log 2x －1）t +（log 2x ）2－2log 2x +1，∵t ∈［－2，2］时p 恒为正值，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-+->+-+--，）（）（，）（）（01log 2log 1log 201log 2log 1log 222222222x x x x x x解得1＜log 2x ＜3.∴2＜x ＜8. 培养能力6.（江西九校联考三月）已知函数f （x ）=－a1+x2（x ＞0）.（1）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并证明； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0；（3）若f （x ）+2x ≥0在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）f （x ）在（0，+∞）上为减函数， ∵f '（x ）=－22x＜0，∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数. （2）由f （x ）＞0得－a 1+x2＞0，即axa x 2-＜0.①当a ＞0时，不等式解集为{x |0＜x ＜2a }. ②当a ＜0时，原不等式为xa x 2-＞0.解集为{x |x ＞0}.（3）若f （x ）+2x ≥0在（0，+∞）上恒成立， 即－a1+x2+2x ≥0.∴a1≤x2+2x .∵x 2+2x ≥4，∴a 1≤4. 解得a ＜0或a ≥41.7.已知二次函数f （x ）=x 2+bx +c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0.（1）求证：b +c =－1； （2）求证：c ≥3；（3）若函数f （sin α）的最大值为8，求b 、c 的值.（1）证明：∵|sin α|≤1且f （sin α）≥0恒成立，可得f （1）≥0. 又∵1≤2+cos β≤3且f （2+cos β）≤0恒成立，可得f （1）≤0， ∴f （1）=0⇒1+b +c =0⇒b +c =－1. （2）证明：∵b +c =－1⇒b =－1－c ， ∴f （x ）=x 2－（1+c ）x +c =（x －1）（x －c ）. ∴x －c ≤0，即c ≥x 恒成立.∴c ≥3.（3）解：∵f （sin α）=sin 2α－（1+c ）sin α+c =（sin α－21c +）2+c －（21c +）2，∴当sin α=－1时，f （sin α）的最大值为1－b +c . 由1－b +c =8与b －c =－1联立可得b =－4，c =3. 8.设f （x ）=a1x 2－bx +c ，不等式f （x ）＜0的解集是（－1，3），若f （7+|t |）＞f （1+t 2），求实数t 的取值范围.解：∵f （x ）＜0的解集是（－1，3）， ∴a ＞0，f （x ）的对称轴是x =1，且ab =2. ∴f （x ）在［1，+∞）上单调递增. 又∵7+|t |≥7，1+t 2≥1，∴由f （7+|t |）＞f （1+t 2），得7+|t |＞1+t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 探究创新9.有点难度哟！已知函数f （x ）满足2axf （x ）=2f （x ）－1，f （1）=1，设无穷数列{a n }满足a n +1=f （a n ）.（1）求函数f （x ）的表达式；（2）若a 1=3，从第几项起，数列{a n }中的项满足a n ＜a n +1； （3）若1+m1＜a 1＜1-m m （m 为常数且m ∈N ，m ≠1），求最小自然数N ，使得当n ≥N 时，总有0＜a n＜1成立.解：（1）令x =1得2a =1，∴a =21.∴f （x ）=x-21.（2）若a 1=3，由a 2=121a -=－1，a 3=221a -=31，a 4=321a -=53，假设当n ≥3时，0＜a n ＜1，则0＜a n +1=na -21＜121-=1⇒2－a n ＞0.从而a n +1－a n =na -21－a n =nn a a --212）（＞0⇒a n +1＞a n .从第2项起，数列{a n }满足a n ＜a n +1. （3）当1+m1＜a 1＜1-m m 时，a 2=121a -，得1-m m ＜a 2＜21--m m .同理，21--m m ＜a 3＜32--m m .假设1121+--+--）（）（n m n m ＜a n －1＜）（）（111--+--n m n m .由a n =121--n a 与归纳假设知）（）（12----n m n m ＜a n ＜nm n m ---）（1对n ∈N *都成立.当n =m 时，）（）（12----n m n m ＜a m ，即a m ＞2.∴a m +1=ma -21＜0.0＜a m +2=121+-m a ＜21＜1.由（2）证明知若0＜a n ＜1，则0＜a n +1=na -21＜121-=1.∴N =m +2，使得n ≥N 时总有0＜a n ＜1成立.拓展题例【例1】 设f （x ）=ax 2+bx +c ，若f （1）=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式x 2+21≤f （x ）≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论.解：由f （1）=27，得a +b +c =27.令x 2+21=2x 2+2x +23⇒x =－1.由f （x ）≤2x 2+2x +23推得f （－1）≤23，由f （x ）≥x 2+21推得f （－1）≥23，∴f （－1）=23.∴a －b +c =23.故a +c =25且b =1.∴f （x ）=ax 2+x +25－a .依题意ax 2+x +25－a ≥x 2+21对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1且Δ=1－4（a －1）（2－a ）≤0. 由a －1＞0得a =23.∴f （x ）=23x 2+x +1.证明如下：23x 2+x +1－2x 2－2x －23=－21x 2－x －21=－21（x +1）2≤0.∴23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式x 2+21≤f （x ）≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.【例2】 已知二次函数y =ax 2+2bx +c ，其中a ＞b ＞c 且a +b +c =0. （1）求证：此函数的图象与x 轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x 轴所得线段的长为l ，求证：3＜l ＜23. 证明：（1）由a +b +c =0得b =－（a +c ）. Δ=（2b ）2－4ac =4（a +c ）2－4ac =4（a 2+ac +c 2）=4［（a +2c ）2+43c 2］＞0.故此函数图象与x 轴交于相异的两点. （2）∵a +b +c =0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0.由a ＞b 得a ＞－（a +c ）， ∴ac ＞－2.由b ＞c 得－（a +c ）＞c ， ∴ac ＜－21.∴－2＜ac ＜－21.l =|x 1－x 2|=32142++）（ac .由二次函数的性质知l ∈（3，23）.。

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。

2023高考数学复习专项训练《不等式的性质》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A ={ x |3a −1<x <2a +3}，B ={ x |x 2−x −2⩽0}，A ⊆B ，则a 的取值范围为( )A. { a |a ⩽−12} B. { a |a ⩽12或a ⩾0} C. { a |a ⩾4}D. { a |a ⩽0或a ⩾4}2.（5分）已知函数f(x)=|ax +1|(a >0)在区间[t,t +4]上的值域为[m,M]，对任意实数t 都有M −m ⩾4，则实数a 的取值范围是( )A. 0<a ⩽1B. a ⩾1C. 0<a ⩽2D. a ⩾23.（5分）已知p:0<x <2，q:−1<x <3，则p 是q 的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.（5分）已知数列{a n }为等比数列，则“a 5，a 7是方程x 2+2022x +1=0的两实根”是“a 6=1，或a 6=−1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.（5分）已知实数x,y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln (x 2+1)>ln (y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 36.（5分）关于x 的不等式x 2+|2x +m|⩽4在x ∈[0,+∞)有解，则实数m 的取值范围是( )A. [−5,5]B. [−5,4]C. [−4,5]D. [4,5]7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12)8.（5分）函数y =x 2+ln |x |的图象大致为( )A. B.C. D.9.（5分）关于命题p:∀a，b∈R，ab⩽(a+b2)2，下列说法正确的是()A. ¬p:∃a，b∈R，ab⩾(a+b2)2 B. 不能判断p的真假C. p是假命题D. p是真命题10.（5分）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 5211.（5分）已知f(x)是非零实数集上的偶函数，且在(−∞,0)上为减函数，若f(−1)= 0，则下列说法正确的是()A. f(−3)>f(4)B. ∀x∈R，∃M∈R，使f(x)⩾MC. 若xf(x)<0，则x∈(−∞,−1)∪(0,1)D. 若f(m−1)<f(2)，则m∈(−∞,3)12.（5分）已知集合A={x|x(x−2)⩽0}，B={x|−1⩽x⩽1}，则A∪B=()A、{x|−1⩽x⩽0}B、{x|0⩽x⩽1}C、{x|−1⩽x⩽2}D、{x|1⩽x⩽2}A. {x|−1⩽x⩽0}B. {x|0⩽x⩽1}C. {x|−1⩽x⩽2}D. {x|1⩽x⩽2}二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）【例3】二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：_______________.14.（5分）某班有学生50人，其中参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，则两个小组都参加的人数x的范围是__________.15.（5分）函数f(x)=x4−(a−1)x2+(a−3)x的导函数f′(x)是奇函数，则实数a=______．16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）在平面直角坐标系中，若直线l过点P0(x0,y0)，且以μ→=(A,B)为法向量(与直线方向向量垂直的向量)，则直线l上任意一点P(x,y)满足：A(x−x0)+B(y−y0)= 0.请你大胆类比猜想：在空间直角坐标系中，若平面α过点Q0(x0,y0,z0)，且以v→= (a,b,c)为法向量，则平面α上任意一点P(x,y,z)满足：______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）设U=R，A={ x|2x−a⩾4,a∈R}，B={ x|2x−3x+1<−1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．19.（12分）已知sinα=2−4cos2α2.(1)若α在第二象限，求cos2α−2sinαcosα的值；(2)已知β∈(0,π2)且tan2β−2tanβ−3=0，求tanα+2β的值．20.（12分）某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，求该班既爱好体育又爱好音乐的有人数．21.（12分）已知函数f(x)=tanx.(1)若α为钝角，且3f(2α)=4，求sin2α+3cos2α的值；(2)若α，β均为锐角，且f(α)−f(β)=12cosαcosβ，求sinα+cosβ的取值范围．22.（12分）在△ABC中，已知A=60°，c=37a.(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．23.（12分）已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)=ax−bx2+1，且f(−12)=−25.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性(不用证明)，解不等式f(3t)+f(2t−1)<0.四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）下列说法中正确的有()A. “a>b>0”是“a2>b2”成立的充分不必要条件B. 命题p：∀x>0，均有x2>0，则p的否定：∃x0⩽0，使得x02⩽0C. 设A，B是两个数集，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件D. 设A，B是两个数集，若A∩B≠∅，则∃x∈A，x∈B25.（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是()A. ab⩽14B. 1a+1b⩽4 C. √a+√b⩽√2 D. a2+b2⩾1226.（5分）下列函数中，最小值为4的是()A. y=e x+4e x B. y=lgx+12lgC. y=sin x+4sin x (x∈(0,π)) D. y=√x2+1+√x2+127.（5分）已知全集U={1,2,4,5,7,8}，集合A={2,7}，集合B={1,4,7}，则集合A∩∁U B 的子集有()A. ∁B. {2}C. {7}D. {2,7}28.（5分）在三角形ABC中，下列命题正确的有()A. 若A=30°,b=4,a=5，则三角形ABC有两解B. 若0<tan A∁tan B<1，则ΔABC一定是钝角三角形C. 若cos (A-B)cos (B-C)cos (C-A)=1，则ΔABC一定是等边三角形D. 若a-b=c∁cos B-c∁cos A，则ΔABC的形状是等腰或直角三角形答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B={ x|−1⩽x⩽2}，(1)A=∁时，3a−1⩾2a+3，解得a⩾4，满足题意；(2)A≠∁时，a<4，由A⊆B，即有{2a+3⩽2，解得{a⩽−1，可得a∈∁；2综上，a⩾4.故选：C.分别讨论A是否为空集，结合集合的关系，可得a的不等式组，解不等式可得所求范围．此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=|ax+1|(a>0)在区间[t,t+4]上的值域为[m,M]，对任意实数t都有M−m⩾4，<0.显然，m⩾0，M⩾4，函数f(x)的零点为−1a=t+2时，M−m最小，①当−1a+2)+1⩾4，求得a⩾2.此时，M−m=M−0=M=|a(t+4)+1|=a(−1a②当区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1的某一侧时，M−m最大，a的右侧，不妨假设区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1a则m=|at+1|，M=|a(t+4)+1|，由M−m=|a(t+4)+1|−|at+1|=a(t+4)+1−(at+1)=4a⩾4，∴a⩾1.综上，可得实数a的取值范围为[2,+∞),故选：D.由题意利用带有绝对值的函数的性质，分类讨论，求出a的范围．此题主要考查带有绝对值的函数的性质，函数的单调性和值域，属于中档题．3.【答案】A;【解析】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.根据充分和必要条件的定义即可求解.解：由p:0<x<2，可推出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，推不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4.【答案】A;【解析】解：在等比数列中，若a5，a7是方程x2+2022x+1=0的两实根，∴a5a7=1，a5+a7=−2022<0，则a5<0，a7<0，则a5a7=a6a6=1，则a6=1或a6=−1，即充分性成立，当a6=1，或a6=−1时，能推出a5a7=a6a6=1，但无法推出a5+a7=−2022，即必要性不成立，即“a5，a7是方程x2+2022x+1=0的两实根”是“a6=1，或a6=−1”的充分不必要条件，故选：A.根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质以及韦达定理建立等式关系是解决本题的关键，是中档题．5.【答案】D;【解析】此题主要考查指数函数、对数函数和幂函数的性质，同时考查正弦函数的性质与不等式的性质，属于基础题.由已知得x>y，然后逐一判断求解即可.解：由已知得x>y，此时x2,y2大小不定，所以排除A，B，由正弦函数的性质，可知C不一定成立，因为幂函数y=x3单调递增，所以x3>y3.故选D.6.【答案】B;【解析】解：原不等式可变形为|2x+m|⩽4−x2，作出函数f(x)=|2x+m|与g(x)=4−x2的图象，由题意，在x ⩾0时，至少有一点满足f(x)⩽g(x)，当y =−2x −m 与g(x)=4−x 2相切时，−2x −m =4−x 2，即x 2−2x −4−m =0， 由Δ=4+4(4+m)=0，得m =−5， 当y =2x +m 过点M(0,4)时，m =4. ∴−5⩽m ⩽4. 故选：B.原不等式可变形为|2x +m|⩽4−x 2，作出函数f(x)=|2x +m|与g(x)=4−x 2的图象，数形结合得答案．此题主要考查一元二次不等式的应用，考查分类讨论、数形结合思想与逻辑思维能力，是中档题．7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0， 所以1−2sin2A −3sin A +1=0， 所以sin A =12或−2(舍)， 又因为cos A <0， 所以A =5π6， 所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ， 又因为C ∈(0,π6)， 所以cos C ∈(√32,1)， 所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数图象及函数的单调性，同时考查函数的奇偶性，由已知f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，观察选项即可求解.解： 因为(−x)2+ln |−x|=x 2+ln |x|，定义域关于原点对称， 所以函数y =x 2+ln |x |为偶函数，得B ，C 不符合题意， 当x >0时，y =x 2+ln x ，因为在(0,+∞)上y =x 2和y =ln x 都单调递增， 所以函数y =x 2+ln |x |在(0,+∞)上单调递增， 观察A ，D ，只有A 符合. 故选A.9.【答案】D; 【解析】此题主要考查全称量词命题及全称量词命题的否定，属于中档题.解：由基本不等式可得p 为真命题，故BC 错误，D 正确.命题p 的否定为∃a ，b ∈R ，ab >(a+b 2)2，故A 错误，故选D.10.【答案】A; 【解析】作为选择压轴题，这道题考查的是函数奇偶性和对称性、周期性的综合应用，有一定的难度，但求出的周期后，此题做的就基本差不多了，但整体而言，作为选择压轴题，还是很不错的．【解析】因为f(x +1) 为奇函数，所以f(1)=0 ，即a + b =0 ，所以b =− a.又f(0)= f(−1+1)=− f(1+1)=− f(2)=−4 a − b =−3 a.f(3)= f(1+2)= f(−1+2)=f(1)=0 ，由f(0)+ f(3)=6 ，得a =−2. f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)=−f(−12+2)=−f(32)=−94a −b =−54a =52.故选A.11.【答案】C;【解析】解：因为f(x)是非零实数集上的偶函数，且在(−∞,0)上为减函数，f(−1)=0，所以函数f(x)的定义域为{ x |x ≠0}，且f(−1)=f(1)=0， f(x)在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数， 作出符合题意得f(x)的一个图象，如图所示，对于A，f(−3)=f(3)且f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以f(3)<f(4)，故f(−3)<f(4)，故选项A错误；对于B，因为函数f(x)的定义域为{ x|x≠0}，所以函数不存在最小值，即不存在M，使得f(x)⩾M成立，故选项B错误；对于C，因为xf(x)<0，则{f(x)>0或{f(x)<0，由图可知，x∈(−∞,−1)∪(0,1)，故选项C正确；对于D，因为f(m−1)<f(2)，即f(|m−1|)<f(2)，所以{m−1≠0，解得−1<m<3且m≠1，则m∈(−1,1)∪(1,3)，故选项D错误．故选：C.利用偶函数的性质，先确定函数的单调性和定点，然后作出一个符合题意的图象，利用图象分别判断各个选项即可．此题主要考查了抽象函数对称性的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性(对称性)、单调性、周期性等性质着手研究，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．12.【答案】null;【解析】此题主要考查集合的并集运算，属于基础题.先求得集合A={x|0⩽x⩽2}，结合集合并集的概念与运算，即可求解.解：由不等式x(x−2)⩽0，解得0⩽x⩽2，所以A={x|0⩽x⩽2}，又由集合B={x|−1⩽x⩽1}，所以A∪B={x|−1⩽x⩽2}.故选C.13.【答案】（-∞，-2）∪（3，+∞);【解析】略14.【答案】{x∈N∗|7⩽x⩽25};【解析】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，设参加数学、物理小组的学生构成的集合分别为A，B，card(A)=25，card(B)=32，由公式card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，知card(A∪B)=25+32−card(A∩B).又card(A∪B)⩽50，所以card(A∩B)⩾7，且card(A∩B)⩽25，则两个小组都参加的人数x的范围是{x∈N∗|7⩽x⩽25}.此题主要考查集合的实际应用，属中档题.根据题意结合Venn图即可得解.15.【答案】3;【解析】解：根据题意，函数f(x)=x4−(a−1)x2+(a−3)x，其导数f′(x)=4x3−2(a−1)x+(a−3)，又由其导函数f′(x)是奇函数，则f′(0)=(a−3)=0，解可得a=3，故答案为：3根据题意，求出函数f(x)的导数，由奇函数的性质可得f′(0)=0，分析可得答案，即可得答案．该题考查导数的计算以及奇函数的性质，关键是求出函数的导数，属于基础题．16.【答案】f（x）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，故考虑基本初等函数中的指数函数，又f(x)在R上单调递增，则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案． 此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】null;【解析】解：根据题意可得平面α上任意一点P(x,y,z)满足： a(x −x 0)+b(y −y 0)+c(z −z 0)=0.故答案为：a(x −x 0)+b(y −y 0)+c(z −z 0)=0. 根据已知条件将平面中的关系式类比到空间中的关系式．此题主要考查类比推理等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：∵2x −3x+1＜-1，∴3x −2x+1＜0， 解得，-1＜x ＜23，即B=（-1，23）； ∵2x-a ≥4，∴x≥a+2， 即A=[a+2，+∞）， ∵（-1，23）⊆[a+2，+∞），∴a+2≤-1，解得a≤-3，故实数a 的取值范围为（-∞，-3]．; 【解析】由分式不等式的解法解不等式，从而化简集合A 、B ，从而求实数a 的取值范围． 此题主要考查了集合的化简与运算，属于基础题．19.【答案】解：（1）sinα=2-4co s 2α2=2-4×1+cosα2，可得sinα=2-2-2cosα，可得tanα=-2， cos2α-2sinαcosα=cos 2α−sin 2α−2sinαcosαcos 2α+sin 2α=1−tan 2α−2tanα1+tan 2α=1−4+41+4=15；（2）因为β∈（0，π2）， 所以tanβ＞0， 又ta n 2β-2tanβ-3=0，可得（tanβ-3）（tanβ+1）=0，可得tanβ=3，或tanβ=-l （舍）， 所以tan2β=2tanβ1−tan 2β=61−9=-34， 所以tan （α+2β）=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−2−341−2×34=112．;【解析】(1)根据已知条件，利用降幂公式求出tanα的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．(2)根据β的范围和tan 2β−2tanβ−3=0求出tanβ，根据正切二倍角公式求出tan2β，再根据正切和角公式即可求tan(α+2β)的值．此题主要考查了降幂公式，同角三角函数基本关系式，正切二倍角公式以及正切和角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】解：设该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为x 人， 则（43-x ）+x+（34-x ）=55，得x=26．答：该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为26人．; 【解析】根据条件设该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为x 人，建立方程关系即可得到结论． 这道题主要考查集合元素关系的求解，根据条件建立方程是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）因为函数f （x ）=tanx ，α为钝角，所以f （α）=tanα＜0， 因为3f （2α）=4，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=43，解得：tanα=-2（tanα=12舍去）， 所以sin2α+3cos 2α=sin2α+3cos 2α1=2sinαcosα+3cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+3tan 2α+1，把tanα=-2代入可得： sin2α+3cos 2α=2tanα+3tan 2α+1=2×(−2)+3(−2)2+1=15；（2）因为f(α)−f(β)=12cosαcosβ，所以tanα−tanβ=12cosαcosβ， 所以sinαcosβ−cosαsinβcosαcosβ=12cosαcosβ，即sin(α−β)cosαcosβ=12cosαcosβ，因为α，β均为锐角，所以cosαcosβ≠0，所以sin(α−β)=12，所以α−β=π6， 因为{0＜α＜π20＜β＜π2，所以{0＜β+π6＜π20＜β＜π2，所以0＜β＜π3， 所以sinα+cosβ=sin(β+π6)+cosβ =sinβcos π6+cosβsin π6+cosβ =√32sinβ+32cosβ =√32sinβ+32cosβ =√3sin(β+π3)，因为0＜β＜π3，所以π3＜β+π3＜2π3，所以sin(β+π3)∈(√32，1]，所以√3sin(β+π3)∈(32，√3]，即sinα+cosβ的取值范围为(32，√3]．; 【解析】(1)先利用二倍角的正切公式求出tanα=−2，再进行弦化切，代入求出sin2α+3cos 2α的值； (2)由f(α)−f(β)=12cosαcosβ求出α−β=π6，把sinα+cosβ消去α，利用三角函数求最值．此题主要考查了三角函数的综合应用，属于中档题．22.【答案】null;【解析】此题主要考查了正弦定理、三角形面积公式和两角和与差的三角函数公式，是一般题.(1)由正弦定理可得sinC =37sinA 可得sinC 的值；(2)由a =7，则c =3，由(1)可得cosC =1314，则由sinB =sin(A +C)可得sinB ，由三角形面积公式可得△ABC 的面积．23.【答案】解：（1）定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=ax−b x 2+1，则f （0）=0，即-b=0，解得b=0，又f(−12)=−25，即−12a 14+1=-25，解得a=1，∴f （x ）=xx 2+1；（2）由（1）得f （x ）=xx 2+1，f （x ）在（-1，1）上单调递增， 任取a,b ∈（-1，1），且-1＜a ＜b ＜1，则f （a ）-f （b ）=aa 2+1-bb 2+1=(a−b)(1−ab)(a 2+1)(b 2+1)，∵-1＜a ＜b ＜1，∴a-b ＜0，1-ab ＞0， ∴f （a ）-f （b ）＜0，即f （a ）＜f （b ）， ∴f （x ）在（-1，1）上单调递增，∵f （3t ）+f （2t-1）＜0，∴f （3t ）＜-f （2t-1）=f （1-2t ）， ∴{−1＜3t ＜1−1＜1−2t ＜13t ＜1−2t ，解得0＜t ＜15，∴不等式的解集为（0，15）．; 【解析】(1)由题意得f(0)=0，又f(−12)=−25，求解即可得出答案；(2)由(1)得f(x)=xx 2+1，判断：f(x)在(−1,1)上单调递增，根据单调性和奇偶性，即可得出答案．此题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．24.【答案】ACD;【解析】解：对于A ，当a >b >0时，能推出a 2>b 2，而由a 2>b 2不能推出a >b >0，如(−3)2>22，而−3<2，所以“a >b >0是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，命题p ：∀x >0，均有x 2>0，则p 的否定：∃x 0>0，使得x 02⩽0，故B 不正确；对于C ，A ，B 是两个数集，则由A ∩B =A 能推出A ⊆B ，反之，由A ⊆B 能推出A ∩B =A ，所以“A ∩B =A ”是“A ⊆B ”的充要条件，故C 正确；对于D ，A ，B 是两个数集，若A ∩B ≠∅，即集合A 、B 存在相同的元素，则存在x ∈A ，x ∈B ，故D 正确， 故选：ACD.举反例可判断A 选项；由全称命题的否定是特称命题可判断B 选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C 选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D 选项． 此题主要考查全称命题的否定，集合间的交集运算和集合间的关系，集合非空和集合与元素间的关系，属于基础题．25.【答案】ACD;【解析】解：A.∵a +b =1⩾2√ab ，∴√ab ⩽a+b 2=12，∴ab ⩽14，当且仅当a =b =12时取“=“，故选项A 正确；B.∵1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+ba +ab ⩾2+2√1=4， 当且仅当a =b =12时取“=“，∴1a+1b⩾4，故选项B 错误；C.∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2，∴√a +√b ⩽√2， 当且仅当a =b =12时取“=“，故选项C 正确；D.1=(a +b)2=a 2+b 2+2ab ⩽a 2+b 2+a 2+b 2=2(a 2+b 2)， ∴a 2+b 2⩾12，当且仅当a =b =12时取“=“，故选项D 正确， 故选：ACD ．利用基本不等式逐个选项判断即可．这道题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．26.【答案】AD;【解析】解：对于选项A ，y =e x +4e x ⩾2√4=4， 当且仅当x =ln 2时，等号成立，故正确；对于选项B ，当x =110时，y =−13−12<0，故不正确；对于选项C，∵x∈(0,π)，∴sin x∈(0,1],由对勾函数的性质知，y=sin x+4sin x(x∈(0,π))的最小值为5，故不正确；对于选项D，y=√x2+1√x2+1⩾2√4=4，当且仅当x=±√3时，等号成立，故正确；故选：AD.由基本不等式的性质及前提依次对四个选项判断即可．此题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．27.【答案】AB;【解析】∵∁U B={ 2,5,8}，所以A∩∁U B={ 2}，∴A∩∁U B的子集为∁，{ 2}.故选AB.28.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了正弦定理和两角和与差的三角函数公式，属于中档题.根据正弦定理可以判断A；根据同角三角函数关系结合两角差公式可判断B；根据已知可得cos(A−B)=1,cos(B−C)=1,cos(C−A)=1即可判断C；根据正弦定理结合两角和公式可得cos C=0或sin B−sin A=0，即可判断D.解：由正弦定理得asin A =bsin B，即512=4sin B，得sin B=25，由b<a，所以B<A，所以B为锐角，所以三角形ABC有一解，故A错误；若0<tan A.tan B<1，则tan A>0，tan B>0，所以A、B为锐角，则0<sin A sin Bcos A cos B<1，所以cos A cos B−sin A sin B=cos(A+B)>0，所以A+B为锐角，所以C为钝角，则ΔABC一定是钝角三角形，故B正确；若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，所以cos(A−B)=1,cos(B−C)=1,cos(C−A)=1，则A−B=B−C=C−A=0，则A=B=C，则ΔABC一定是等边三角形，故C正确；若a−b=c.cos B−c.cos A，则由正弦定理得sin A−sin B=sin C⋅cos B−sin C⋅cos A，即sin(B+C)−sin(A+C)=sin C⋅cos B−sin C⋅cos A，则sin B cos C+cos B sin C−sin A cos C−cos A sin C=sin C⋅cos B−sin C⋅cos A，所以cos C(sin B−sin A)=0，则cos C=0或sin B−sin A=0，所以C=90°或A=B，所以ΔABC的形状是等腰或直角三角形，故D正确.故选BCD.。

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·贵阳检测)下列命题中，正确的是( ) A.若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B.若ac ＞bc ，则a ＞b C.若a c 2＜bc2，则a ＜bD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2＜bc 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 答案 C2.若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b ＞1b B.a 2＜ab C.|b||a|＜|b|＋1|a|＋1D.a n ＞b n解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|＜|b|＋1|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)＜|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|＜|a||b|＋|a|⇔|b|＜|a|， ∵a ＜b ＜0，∴|b|＜|a|成立，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a|0＜a ＜4} B.{a|0≤a ＜4} C.{a|0＜a≤4} D.{a|0≤a ≤4} 解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4. 答案 D4.若函数f(x)＝|x ＋1|＋|2x ＋a|的最小值为3，则实数a 的值为( )A.5或8B.－1或5C.－1或－4D.－4或8解析 分类讨论：当a≤2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x<－1，－x ＋1－a ，－1≤x≤－a 2，3x ＋1＋a ，x>－a 2， 显然，x ＝－a 2时，f(x)min ＝a2＋1－a ＝3，∴a ＝－4，当a>2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x<－a2，x －1＋a ，－a 2≤x≤－1，3x ＋1＋a ，x>－1，显然x ＝－a 2时，f(x)min ＝－a2－1＋a ＝3，∴a ＝8.答案 D5.(2016·皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5]解析 由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案 A 二、填空题6.已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________.解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x 2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x<0. 不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－x 2－4x>x.解得x>5或－5<x<0. 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)7.(2015·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________. 解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，45 8.已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f(x)对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f(x)＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0三、解答题9.已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x)≤g(x)，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为 |2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}. (2)∵a ＞－1，则－a 2＜12，∴f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎫x ＜－a 2a ＋1 ⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ＜12.4x ＋a －1 ⎝⎛⎭⎫x≥12.当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)＝a ＋1，即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立. ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x|x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎥⎤－∞，1－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32解析 ∵x ∈(0，2]，∴a 2－a≥x x 2＋1＝1x ＋1x ，要使a 2－a≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立，则a 2－a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12， 故a 2－a≥12，解得a≤1－32或a≥1＋32.答案 C12.(2015·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c≤3a ，则ca 的取值范围为( ) A.(1，＋∞)B.(0，2)C.(1，3)D.(0，3)解析 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞ba ，∴⎩⎨⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0，2).故选B.答案 B13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f(x)＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 14.已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)， f(x)＋2x ＝a(x －1)(x －3)，且a<0，因而f(x)＝a(x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a)x ＋3a.① 由方程f(x)＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a)x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a<0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f(x)＝－15x 2－65x －35.(2)由f(x)＝ax 2－2(1＋2a)x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a<0，可得f(x)的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a<0，解得a<－2－3或－2＋3<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。