不等关系
※ 1. 一般地 ,用符号“ <”(或“≤” ), “>”(或“≥” )连接的式子叫做不等式 .
2.要区别方程与不等式 : 方程表示的是相等的关系 ;不等式表示的是不相等的关
系 .
※ 3. 准确“翻译”不等式 ,正确理解“非负数” 、“不小于”等数学术语非负数 <===> 大于等于 0( ≥0) <===> 0 和正数 <===> 不小于非正数 <===> 小于等于 0( ≤0) <===> 0 和负数 <===> 不大于. 0 0
1．实数a，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（）A． ab＞0 B．a+b ＜0 C．＜1 D．a-b ＜0
2．在数轴上与原点的距离小于A． -8＜x＜8B．x＜-8
8 的点对应的 x 满足（
或 x＞8 C．x＜8
）
D． x＞ 8
3．下列不等式中，是一元一次不等式的是（）
A． +1 ＞2 B．x2＞ 9 C．2x+y ≤ 5D．＜ 0
4．下列表达式：① -m2≤0；②x+y＞ 0；③ a2+2ab+b 2；④（ a-b ）2≥0；
⑤ --（ y+1 ）2＜ 0．其中不等式有（）
A． 1 个B．2 个C．3 个D． 4 个
5．若 m 是非负数，则用不等式表示正确的是（A． m＜0B．m ＞0C．m≤0）
D． m≥0
6．无论 x 取什么数，下列不等式总成立的是（）
A． x+6＞0 B．x+6 ＜0 C．- （x-6 ）2＜0 D．（ x-6 ）2≥0
7．下列不等关系中，正确的是（）
A． a 不是负数表示为 a＞0
B． x 不大于 5 可表示为 x＞5
C． x 与 1 的和是非负数可表示为x+1＞0
D． m 与 4 的差是负数可表示为m-4 ＜0
不等式的基本性质
※ 1. 掌握不等式的基本性质 ,并会灵活运用 :
(1)不等式的两边加上 (或减去 )同一个整式 ,不等号的方向不变 ,即 : 如果 a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c.
(2)不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个正数 ,不等号的方向不变 ,即
a b
如果 a>b,并且 c>0,那么 ac>bc, c c
.
(3)不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个负数 ,不等号的方向改变 ,即:
a b
如果 a>b,并且 c<0,那么 ac c c ※2. 比较大小 :(a、b 分别表示两个实数或整式 ) 一般地 : 如果 a>b,那么 a-b 是正数 ;反过来 ,如果如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果如果 a 即: a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0 a-b 是正数 ,那么 a>b; a-b 等于 0,那么 a=b; a-b 是正数 ,那么 a 9、若 m＜n，比较下列各式的大小： （ 1） m－ 3______n－3 （2）－ 5m______－5n （3）m n ______ 3 3 （ 4）3－m______2－ n (5)0_____m － n （6）3 2m _____ 3 2n 4 4 10、用“＞”或“＜”填空： （1）如果 x－ 2＜3，那么 x______5；（ 2）如果2 x＜－ 1，那么 x______ 2 ； 3 3 （3）如果1 x＞－ 2，那么 x______－ 10；（ 4）如果－ x＞ 1，那么 x______－1；5 0 ，则x______ b . （5）若 ax b ，ac2 a 1．若 a＞b，则下列不等式不一定成立的是（） A． a+m＞b+m B．a（m 2+1）＞ b（m2+1）C． -＜- D．a2＞b2 2．已知 a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（） A． ac＞bc B．＞C．c-a ＞ c-b D． c+a ＞c+b 3．设 a、b、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这 三种物体的质量从小到大排序正确的是（） A． c＜b＜ a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D． b＜a＜c 4．已知 a＞b，若 c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（）A． a+c＜b+c B．a-c ＞b-c C．ac ＜bc D． ac＞bc 5．如果 a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（） A． a+c＞b+c B．c-a ＞c-b C．ac ＞bc D．＞ 6．下列不等式变形正确的是（） A．由 a＞b，得 ac＞ bc B．由 a＞b，得 -2a ＜ -2b C．由 a＞b，得 -a＞-b D．由 a＞b，得 a-2 ＜b-2 7．若 a＜c＜0＜b，则 abc 与 0 的大小关系是（） A． abc ＜0 B．abc=0 C．abc ＞ 0 D．无法确定 8．若 a+b ＞ 0，且 b＜0，则 a，b，-a，-b 的大小关系为（） A． -a＜-b＜b＜ a B．-a＜b ＜-b ＜a C．-a ＜b＜a＜-b D． b＜-a＜-b＜ a b 9．由不等式 ax＞ b 可以推出 x＜a那么 a 的取值范围是（）A． a≤0B．a＜0 C．a≥0D． a＞0 10、x＜y 得到 ax＞ay 的条件应是 ____________。 11、根据不等式的性质解下列不等式： （1）x－9＜1 （ 2）3 x 12 4 基础练习 1. 用不等式表示： x 的 2 倍与 1 的和大于－ 1 为__________， 1 y 的 3 与 t 的差的一半是负数为 _________。 a 是非正数 __________; n 的值不超过 15_____________; x 的 1 与 2 差不足 12____________; x 与 3 的和不小于 6_________; 2 2、a 是非负数，它的正确表达式是（ ） A. a 0 B. a 0 C. a 0 D. a 0 3、“— x 不大于— 3”用不等式表示为 （ ） （ A ）— x ≥— 3 （ B ）— x ≤— 3 （C ）— x ＞— 3 （ D ）— x ＜— 3 4、下列按条件列出的不等式中，正确的是 （ ） （ A ）a 不是负数，则 a ＞0 （B ） a 与 3 的差不等于 1，则 a —3＜1 （ C ）a 是不小于 0 的数，则 a ＞0 （D ）a 与 b 的和是非负数，则 a ＋b ≥0 5、下列四个不等式：（1）ac>bc ；（2）ma mb （；3） 2 bc 2 （；4） ac 2 bc 2 中， 能推出 a>b 的有（ ） ac A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 1、.有理数 a 、b 在数轴上的对应点如图所示，根据图示，用“ >”或“<”填空。 b 0 a （1）a ＋3______b ＋ 3； （2）b －a_______0 a b （3） 3 ______ 3 ； （4）a ＋b________0 2、若 m ＜n ，则下列各式中正确的是 （ ） （ A ）m －5＞n －5 （B ）3m ＞3n m n （ C ）－ 3m ＞－ 3n 1 1 （D ） 3 ＞ 3 3、 若 a>b ，则下列不等式中一定成立的是（ ） b 1 a 1 A. a b ab D. a b 0 B. C. 4、若m n；－m_____－n；m －n_____0。 2 2 5、已知 m是实数，比较 3m与 2m的大小： 当m>0时，3m_______2m；当 m＝ 0 时，3m_______2m；当 m<0时，3m_______2m。 6、已知 a a 2，1 ，a 7、若 0 不等式的解集 : 1.能使不等式成立的未知数的值 ,叫做不等式的解 ; 一个不等式的所有解 ,组成这个不等式的解集 ;求不等式的解集的过程 ,叫做解不等式 . 2.不等式的解可以有无数多个 ,一般是在某个范围内的所有数。 3、不等式的解集可在数轴上直观表示。 例如：不等式x>5 的解集可以用数轴上表示5 的点的右边部分来表示,在数轴上表示 5 的点的位置上画空心圆圈 , 表示 5 不在这个解集内 . ； 不等式x 4 的解集可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示,在数轴上表示 4 的点的位置画实心圆点 ,表示 4 在这个解集内 .正整数解是 用数轴表示不等式的解，应记住规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≤，≥）画实心点，无等号（ <,>）画空心圈。 一元一次不等式 1、不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤： 1）去分母（根据不等式的基本性质2、3） 2）去括号（根据整式运算法则） 3）移项（根据不等式基本性质1） 4）合并同类项（根据整式运算法则） 5）将 x 项的系数化为 1（根据不等式的基本性质2、3） 3、根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节： （1）审题，找出不等关系；（2）设未知数；（ 3）列出不等式；（4）求出不等 式的解集；（5）找出符合题意的值；（ 6）作答。 1、解下列不等式 ,并在数轴上表示出它们的解集. －2 x≤ 1－2x>－1－3x>－2x+1－3x－2（x－1）>0 2(2x 3) 5( x 1) 5 2( x 3) 6 x 4 1、不等式 2x>4 的解集为 _______， 2、要使 x+4=m的解为正，则 m的取值范围是 _______。 3、不等式x＋5＜1 的解集是． 4、不等式x＞－ 3 的负整数解是． 2、用不等式表示图中的解集, 其中正确的是 () A. x ≥－ 2 B. x ＞－ 2 C. x ＜－ 2 D. x ≤－ 2 3、不等式x－3＞1 的解集是( ) A.x ＞2 B. x ＞ 4 C.x ＞－ 2 D. x ＞－ 4 4、－ 3x≤6 的解集是（） -2 -1 0 -2 -1 0 0 1 2 0 1 2 A、 B 、 C 、 D 、 5、一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是＿＿＿. -1 0 1 2 3 4 6、不等式 2x＜6 的非负整数解为 ( ) A.0,1,2 B.1,2 C.0, －1, － 2 D. 无数个 7、下列不等式的解集中，不包括－ 4 的是（）（ A）x≥－ 4 （B）x ≤－ 4 （ C）x ＞－ 6 （D）x ＜－ 6 8、下列说法正确的是（）（A）x=4 不是不等式 2x＞ 7 的一个解 （B） x=4 是不等式 2x＞ 7 的解集 （C）不等式 2x＞7 的解集是 x＞ 4 7 2 （ D）不等式2x＞7 的解集是 x＞ 9、．下列说法中，错误的是（）．（A）不等式 x ＜5 的正整数解有无数多个 （B）不等式 x ＞－ 5 的负整数解有有限个 （C）不等式－ 2x＞8 的解集是 x＜－ 4 （D）－ 40 是不等式 2x＜－ 8 的一个解 10．如果 1－x 是负数，那么 x 的取值范围是（ ）． （ A ）x ＞ 0 （ B ）x ＜0 （C ）x ＞1 （ D ）x ＜ 1 1 1 11、已知 x 的 2 与 3 的差小于 x 的－ 2 与－ 6 的和，根据这个条件列出不等式 . 你能估计出它的解集吗？ 1、下列不等式中，属于一元一次不等式 的是（ ） A 、 4＞ 1 B 、 3x －24＜ 4 C 、 1 、 － ＜ － 2 D 4x 3 2y 7 x 2、若 (m 2) x 2m 1 1 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 3、关于 x 的方程 5－ a(1 －x) ＝ 8x －(3 －a)x 的解是 负数，则 a 的取值范围是 ( ) A 、 a ＜－ 4 B 、 a ＞ 5 C 、 a ＞－ 5 D 、a ＜－ 5 、若关于 x 的不等式 (2 n － 3) x ＜ 5 的解集为 x ＞－ 1 ，则 n ＝ 4 3 5、不等式 x 1 x 与 ax 6 5x 的解集相同，则 a ______. 2 6、已知 2R － 3y ＝6，要使 y 是正数，则 R 的取值范围是 _______________. 7. 要使方程 5x 2m 3( x 2m) 1 的解是负数，则 m________ 8. 当 x_______时，代数式 3x ＋4 的值为正数。 3 2x 1 9、与不等式 5 的解集相同的是（ ） A. 3 2x 5 B. 3 2x 5 C. 2 x 3 5 D. x 4 巩固提高： 1、不等式－ 5x ≥－ 13 的解集中，最大的整数解是 __________. 不等式 x+3≤6 的正整数解为 ___________________. 不等式－ 2x ＜8 的负整数解的和是 ______. 2、如果不等式 ax ≤2 的解集是 x ≥－ 4，则 a 的值为 （ ） 1 1 1 1 （ A ）a= 2 （B ） a ≤ 2 （C ） a ＞ 2 （ D ） ＜ 2 a 3、当 x 为何值时，－ 2x －6 的值小于 0。( ) A. x<3 B. x>3 C. x< － 3 D. x> －3 4、不等式 2x 8 的解集里，负整数解有（ ） A. 无数个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5、如果关于 x 的不等式 (a ＋1)x>a ＋1 的解集为 x<1，则 a 的取值范围是 （ ） A. a<0 B.a< －1 C. a>1 D. a> －1 6. 若 |2x 1| 1 2 x ，则 x___________ 7. 如果不等式 2x m 0 的负整数解是－ 1，－2，则 m 的取值范围是 _________ 8、三角形的三边的长度分别是 3cm, x cm 和 7cm ，则 x 的取值范围是（ ） Ａ． 4 x 10 Ｂ． 4 Ｃ． 4>x<10 Ｄ． 4 x 10 9．函数 y= x-2 的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 10、若不等式（ 3a －2）x ＋2＜3 的解集是 x ＜ 2，那么 a 必须满足 ( ) A 、a ＝ 5 B 、a ＞ 5 C 、 a ＜ 5 D 、a ＝－ 1 6 6 6 2 t 1 t 1 ．若代数式 5 2 的值不小于 -3，则 t 的取值范围是 _________． 1 ．不等式 3x k 的正数解是 1， 2， 3，那么 k 的取值范围是 ________． 2 b a ．若 a b ，用“＜”或“＞”号填空： 2a______ a b ， 3 3 ． 4 _____ | x 1 | 1 ．若 x 1 ，则 x 的取值范围是 _______． 5 ．如果 b a ，那么 [ ]． 4 1 1 1 1 1 1 A ． a b B ． a b C ． a b D ． b a 5．某数的 2 倍加上 5 不大于这个数的 3 倍减去 4，那么该数的范围是 [ ]． A ． x 9 B ． x 9 C ． x 9 D ． x 9 1．已知 2x ＋ y ＝ 3，当 x 取何值时， 0＜ y ≤ 3？ 2、已知方程 3x a x 7 的根是正数，求 a 的取值范围。 3．某车间生产一种产品，每人比原计划多生产 5 件产品，这样 6 个人一天生产的产品超过 80 件，后来由于进行技术改革， 每人每天比原计划多生产 10 件产品，这样 3 个人一天所生产的产品数比原计划 6 个人生产的产品数还多． 问该车间原计划每人每天生产多少件产品？ 4、小明准备了 30 元钱买罐头鱼和矿泉水。 已知买一盒罐头鱼需要 8 元，买一瓶 矿泉水需要 1.5 元，他买了 3 盒罐头鱼以后，还可能买多少瓶矿泉水？ 5．现用 甲、乙两种运输车将 46 吨抗旱物资运往 灾区，甲种运输车载重 5 吨， 乙种运输车载重 4 吨，安排车辆不超过 10 辆，则甲种运输车至少应安排 [ ]． A ． 4 辆 B ．5 辆 C ．6 辆 D ．7 辆 21 世纪教育 解下列不等式 x x 1 1 1 2 x 2 2 3 3 2x 5 3x 12 3x 1 5 2x 3 4 2x 3 3 ； 2 某商品原来的价格为 6 元 /件，涨价 x%后仍不高于 9 元 /件，求 x 的最大值。
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