《不等式基本性质》综合练习有答案.docx

2021年人教版数学七下9.1.2《不等式的性质》课后练习1若x ＞y ，则下列式子中错误的是( )A.x －3＞y －3B.>x 3y 3C.x ＋3＞y ＋3D.－3x ＞－3y2.若a>b ，则a －b>0，其依据是( )A.不等式性质1B.不等式性质2C.不等式性质3D.以上都不对3.下列变形不正确的是( )A.由b>5得4a ＋b>4a ＋5B.由a>b 得b<aC.由－x>2y 得x<－4y 12D.－5x>－a 得x>a 54.若a ＞b ，am ＜bm ，则一定有( )A.m=0B.m ＜0C.m ＞0D.m 为任何实数5.不等式x －2>1的解集是( )A.x>1B.x>2C.x>3D.x>46.在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是( )7.不等式5x ≤－10的解集在数轴上表示为( )8.利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.(1)x ＋3<－2； (2)9x>8x ＋1；(3)x ≥－4； (4)－10x ≤5.129.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为( )A.■、●、▲B.▲、■、●C.■、▲、●D.●、▲、■10.某单位打算和一个体车主或一出租车公司签订月租合同.个体车主答应除去每月1 500元租金外，每千米收1元；出租车公司规定每千米收2元，不收其他费用.设该单位每月用车x 千米时，乘坐出租车合算，请写出x 的范围.11.a 、b 都是实数，且a<b ，则下列不等式的变形正确的是( )A.a ＋x>b ＋xB.－a ＋1<－b ＋1C.3a<3bD.>a 2b 212.不等式2x －6＞0的解集是( )A.x ＞1B.x ＜－3C.x ＞3D.x ＜313.下列说法不一定成立的是( )A.若a>b ，则a ＋c>b ＋cB.若a ＋c>b ＋c ，则a>bC.若a>b ，则ac 2>bc 2D.若ac 2>bc 2，则a>b14.若式子3x ＋4的值不大于0，则x 的取值范围是( )A.x ＜－B.x ≥C.x ＜D.x ≤－4343434315.利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并写出变形的依据.(1)若x ＋2 016>2 017，则x ；( )(2)若2x>－，则x ； ( )13(3)若－2x>－，则x ；( )13(4)若－>－1，则x . ( )x 716.利用不等式的性质填空(填“>”或“<”).(1)若a>b ，则2a ＋1 2b ＋1；(2)若－1.25y<－10，则y 8；(3)若a<b ，且c<0，则ac ＋c bc ＋c ；(4)若a>0，b<0，c<0，则(a －b)c 0.17.指出下列各式成立的条件：(1)由mx<n ，得x<；n m(2)由a<b ，得ma>mb ；(3)由a>－5，得a 2≤－5a ；(4)由3x>4y ，得3x －m>4y －m.18.利用不等式的性质解下列不等式.(1)8－3x ＜4－x ； (2)2(x －1)<3(x ＋1)－2.(3)≥x －1.x －131219.现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变.请解决以下两个问题：(1)利用性质①比较2a 与a 的大小(a ≠0)；(2)利用性质②比较2a 与a 的大小(a ≠0).参考答案1若x ＞y ，则下列式子中错误的是(D)A.x －3＞y －3B.>x 3y 3C.x ＋3＞y ＋3D.－3x ＞－3y2.若a>b ，则a －b>0，其依据是(A)A.不等式性质1B.不等式性质2C.不等式性质3D.以上都不对3.下列变形不正确的是(D)A.由b>5得4a ＋b>4a ＋5B.由a>b 得b<aC.由－x>2y 得x<－4y 12D.－5x>－a 得x>a 54.若a ＞b ，am ＜bm ，则一定有(B)A.m=0B.m ＜0C.m ＞0D.m 为任何实数知识点2　利用不等式的性质解不等式5.(梧州中考)不等式x －2>1的解集是(C)A.x>1B.x>2C.x>3D.x>46.(临夏中考)在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是(C)7.(崇左中考)不等式5x ≤－10的解集在数轴上表示为(C)8.利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.(1)x ＋3<－2；解：利用不等式性质1，两边都减3，得x<－5.在数轴上表示为：(2)9x>8x ＋1；解：利用不等式性质1，两边都减8x ，得x>1.在数轴上表示为：(3)x ≥－4；12解：利用不等式性质2，两边都乘以2，得x ≥－8.在数轴上表示为：(4)－10x ≤5.解：利用不等式性质3，两边都除以－10，得x ≥－.12在数轴上表示为：知识点3　不等式的简单应用9.(绵阳中考)设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为(C)A.■、●、▲B.▲、■、●C.■、▲、●D.●、▲、■10.某单位打算和一个体车主或一出租车公司签订月租合同.个体车主答应除去每月1 500元租金外，每千米收1元；出租车公司规定每千米收2元，不收其他费用.设该单位每月用车x 千米时，乘坐出租车合算，请写出x 的范围.解：根据题意，得1 500＋x>2x ，解得x<1 500.∵单位每月用车x(千米)不能是负数，∴x 的取值范围是0<x<1 500.中档题11.(滨州中考)a 、b 都是实数，且a<b ，则下列不等式的变形正确的是(C)A.a ＋x>b ＋xB.－a ＋1<－b ＋1C.3a<3bD.>a 2b 212.(云南中考)不等式2x －6＞0的解集是(C)A.x ＞1B.x ＜－3C.x ＞3D.x ＜313.(乐山中考)下列说法不一定成立的是(C)A.若a>b ，则a ＋c>b ＋cB.若a ＋c>b ＋c ，则a>bC.若a>b ，则ac 2>bc 2D.若ac 2>bc 2，则a>b14.若式子3x ＋4的值不大于0，则x 的取值范围是(D)A.x ＜－B.x ≥4343C.x ＜D.x ≤－434315.利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并写出变形的依据.(1)若x ＋2 016>2 017，则x>1；(不等式两边同时减去2_016，不等号方向不变)(2)若2x>－，则x>－；1316(不等式两边同时除以2，不等号方向不变)(3)若－2x>－，则x<；1316(不等式两边同时除以－2，不等号方向改变)(4)若－>－1，则x<7.x 7(不等式两边同时乘以－7，不等号方向改变)16.利用不等式的性质填空(填“>”或“<”).(1)若a>b ，则2a ＋1>2b ＋1；(2)若－1.25y<－10，则y>8；(3)若a<b ，且c<0，则ac ＋c>bc ＋c ；(4)若a>0，b<0，c<0，则(a －b)c<0.17.指出下列各式成立的条件：(1)由mx<n ，得x<；n m(2)由a<b ，得ma>mb ；(3)由a>－5，得a 2≤－5a ；(4)由3x>4y ，得3x －m>4y －m.解：(1)m>0.(2)m<0.(3)－5<a ≤0.(4)m 为任意实数.18.利用不等式的性质解下列不等式.(1)8－3x ＜4－x ；解：不等式两边同加x ，得8－2x ＜4.不等式两边同减去8，得－2x ＜－4.不等式两边同除以－2，得x>2.(2)2(x －1)<3(x ＋1)－2.解：去括号，得2x －2<3x ＋3－2.不等式两边加上2，得2x<3x ＋3.不等式两边减去3x ，得－x<3.不等式两边乘以－1，得x>－3.(3)≥x －1.x －1312解：不等式两边都乘以6，得2(x －1)≥3x －6.去括号，得2x －2≥3x －6.不等式两边都加2，得2x ≥3x －4.不等式两边都减去3x ，得－x ≥－4.不等式两边除以－1，得x ≤4.综合题19.(佛山中考)现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变.请解决以下两个问题：(1)利用性质①比较2a 与a 的大小(a ≠0)；(2)利用性质②比较2a 与a 的大小(a ≠0).解：(1)若a ＞0，则a ＋a ＞0＋a ，即2a ＞a.若a ＜0，则a ＋a ＜0＋a ，即2a ＜a.(2)若a ＞0，由2＞1得2·a ＞1·a ，即2a ＞a.若a ＜0，由2＞1得2·a ＜1·a ，即2a ＜a.。

3.1.2 不等式的性质一、解答题。

1. 判断下列各说法的正确性，并说明理由．若ac2>bc2，则a>b，反之也成立．若a>b，则1a <1b.若a<b，c<0，则ca <cb．若a>b，c>a，则a−c>b−d．若a>b>0，a>c，则a2>bc．若a>b，m∈N+，则a m>b m．2. 设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是（）A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab3. 若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是（）A.b a >b+1a+1B.a+1a>b+1bC.a+1b>b+1aD.2a+ba+2b>ab4. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：①若a>b，c>d，则a+c>b+d；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，则1a <1b；④若a>b，c>d，则ac>bd，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45. 如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是（）A.b a >caB.c(b−a)>0C.cb2<ab2D.ac(a−c)<06. 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca >cb；②a c<b c；③log b(a−c)>log a(b−c)．其中所有正确结论的序号是（）A.①B.①②C.②③D.①②③7. 如果30<x<42，16<y<24，分别求x+y，x−2y及xy的取值范围．8. 若α，β满足−π2<α<0<β<π3，则α−β的取值范围是（）A.(−π2,−π3) B.(−5π6,0) C.(−π2,π3) D.(−π6,0)9. 已知1<a<3，2<b<6，则2a+b的范围是________；a−2b的范围是________；ab的范围是________；ba的范围是________．10. 已知−1<a+b<3且2<a−b<4，求2a+3b的取值范围．11. 设f(x)=ax2+bx，1≤f(−1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(−2)的取值范围．12. 解答下列小题：如果a>b，能否得出1a <1b？证明：如果a>b，ab>0，那么1a <1b；如果a>b，ab<0，那么1a>1b．13. 已知下列三个不等式：①ab>0；②ca >db；③bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．14. 若1a <1b<0，则下列不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④a2<b2中，正确的不等式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15. 若c>x>y>0．证明：xc−x >yc−y．参考答案与试题解析 3.1.2 不等式的性质一、解答题。

第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回首和复习不等式的基天性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋ b| ≤|a＋ |b|；(2)|a－ b| ≤|a－c|＋ |c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋ b| ≤c， |ax＋ b| ≥c，|x－ c|＋ |x－ b| ≥a.,在自然界中存在着大批的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起侧重要的作用．学习时注意适合联系实质，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适合应用数形联合有益于解决问题．如函数的图象、会合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基天性质1．回首和复习不等式的基天性质．2．灵巧应用比较法比较两个数的大小．3．娴熟应用不等式的基天性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小次序的关系．数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞ b? a－ b________；a＝ b? a－ b________；a＜ b? a－ b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只需考察它们的差的符号即可．22答案: ＞2.不等式的基天性质．(1)对称性：假如a＞ b，那么 b＜ a；假如 b＜ a，那么 a＞b.(2)传达性：假如a＞ b，且 b＞ c，那么 a＞ c，即 a＞ b， b＞ c? a＞ c.(3)加法：假如a＞ b，那么 a＋ c＞b＋ c，即 a＞ b? a＋ c＞ b＋ c.推论：假如a＞b，且 c＞ d，那么 a＋ c＞ b＋ d.即 a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d.(4)乘法：假如a＞ b ，且 c＞ 0，那么 ac＞bc；假如 a＞ b，且 c＜ 0，那么 ac＜ bc.(5)乘方：假如a＞ b＞ 0，那么 a n＞b n (n∈N ，且 n＞ 1)．n n(6)开方：假如a＞ b＞ 0，那么a＞b(n∈N ，且 n＞ 1)．思虑 3若a＞b＞0，则有3a____2b.答案 : 2．思虑 2：＞思虑3：＞一层练习1．设 a， b， c∈R 且 a>b，则 ()112233A ． ac>bc B.a<b C． a >b D ． a >b答案 :D2． (2014 ·川高考理科四 )若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0，则必定有 ()A.a＞ bB.a＜ bC.a＞ bD.a＜bc d c d d c d c分析：选 D. 由于 c＜ d＜ 0，因此－ c＞－ d＞ 0，即得－1d＞－1c＞ 0，又 a＞b＞ 0.得－ad＞－bc，a b进而有d＜c.答案： D2 3．比较大小：(x＋ 5)(x＋ 7)________( x＋ 6) .答案：＜1＞1” 同时成立的条件是4 ．“ a ＞b”与“a b________________________________________________________________________ ．答案： b＜ 0＜ a二层练习5．已知 a ， b ，c 知足 c ＜ b ＜ a ，且 ac ＜ 0，那么以下选项中不必定建立的是 ( )A ． ab ＞ acB ． c(b － a)＞0C ．cb 2＜ ab 2D ． ac(a － c)＜ 0答案： Cππ )＜ α＜ β＜，则 α－ β的取值范围是 (6．设角 α，β 知足－ 22A ．－ π ＜ α－β＜ 0B ．－ π ＜ α－ β＜π πC ．－ 2 ＜ α－ β＜0ππD ．－ 2＜ α－ β＜2答案： A7．假如 a<b<0，那么以下不等式建立的是 ()1 12A. a <b B ． ab<b211C ．－ ab<－ aD ．－ a <－ b答案： D1 1b a 8．若 < <0，则以下不等式： ① a ＋b<ab ；② |a|>|b|；③ a<b ；④＋ >2. 此中正确的有 ()a babA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案： B9．已知 a>b>0，则a与 a ＋ 1的大小是 ________． b b ＋ 1答案： a >a ＋ 1b b ＋ 1b 2 a 210．已知 a>0，b>0，则 a ＋ b 与 a ＋ b 的大小关系是 ________．22答案： b＋a≥ a ＋ ba b三 层 练 习11．设 x ，y ∈ R ，则 “x ≥1且 y ≥ 2是”“x ＋y ≥ 3的”( ) A ．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件 C ．充要条件D ．即不充足也不用要条件 答案： A12．设 0< a<b<1，则以下不等式建立的是()331 1 A ． a >b B. a <bC ．a b >1D ． lg( b －a)<0答案： D13． (2014 ·东高考理科山 )已知实数 x ， y 知足 a x ＜ a y (0＜ a ＜ 1)，则以下关系式恒建立的是()11A.x 2＋1＞y 2＋ 1B ．ln( x 2＋ 1)＞ ln( y 2＋ 1)C ．sin x ＞sin y33D ． x ＞y分析：选 D. 由 a x ＜a y (0＜ a ＜1) 知， x ＞ y ，因此1A ． y ＝ x 2＋ 1在 (－ ∞， 0)递加， (0，＋ ∞)递减，没法判断B ．y ＝ ln( x 2＋ 1)在 (－∞， 0)递减， (0，＋ ∞)递加，没法判断C ．y ＝ sin x 为周期函数，没法判断D ． y ＝ x 3 在 R 上为增函数， x 3＞ y 3 答案： D14．设 a>b>1， c<0，给出以下三个结论：c c ① a >b ；② a c <b c ；③ log b (a －c)>log a (b － c)．此中全部的正确结论的序号是 ________． A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③分析：依据不等式的性质结构函数求解．1 1∵ a>b>1，∴ a <b .又 c<0，∴ca >cb ，故①正确．结构函数 y ＝ x c .∵ c<0，∴ y ＝ x c 在 (0，＋ ∞)上是减函数．又 a>b>1，∴ a c <b c ，故②正确． ∵ a>b>1，－ c>0，∴ a － c>b － c>1.∵ a>b>1，∴ log b (a － c)>log a ( a －c)>log a (b － c)，即 log b (a － c)>log a (b －c)，故③正确．答案： D1．不等关系与不等式．(1)不等关系重申的是关系，而不等式重申的则是表示二者不等关系的式子，可用“ a＞b”，“ a＜b”，“ a≠ b”，“ a≥ b”，“ a≤ b”等式子表示，不等关系可经过不等式来表现；走开不等式，不等关系就没法表现．(2)将不等关系娴熟化为不等式是解决不等式应用题的基础，不行忽略．2．不等式的性质．关于不等式的性质，重点是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和增强后，结论能否发生了变化；运用不等式的性质时，必定要注意不等式建立的条件，切不行用仿佛、是或很明显的原因取代不等式的性质．特别提示：在使用不等式的性质时，必定要搞清它们建立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，往常能够归纳为判断它们的差的符号 (仅判断差的符号，至于切实值是多少没关紧急 )．在详细判断两个实数 (或代数式 )的差的符号的过程中，常会波及一些详细变形，如：因式分解、配方法等．关于详细问题，怎样采纳适合的变形方式来达到目的，要视详细问题而定．。

(1)不等式(2)1、用不等号“<〞、“>〞、“≤〞、“≥〞、“≠〞表示不等关系的式子叫做不等式。

(3)2、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

(4)3、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程，叫做解不(5)等式。

(6)4、不等式的性质：(7)1〕如果a>b，那么a+c>b+c;(8)如果a>b，并且c>0，那么ac>bc(或a>b);c c（3〕如果a>b，并且c<0，那么ac<bc(或a<b);c c5、类似于一元一次方程，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

6、列不等式的关键是领会语句中的数量关系，常用的不等关系有：a是正数a>0：a是非负数a≤b〔a不大于b，即a=b或a<b等〕7、一元一次不等式解题步骤：1去分母→2去括号→3移项→4合并同类项→5系数化为1。

注意：进行“去分母〞和“系数化为1〞时，要根据不等号两边同乘以〔或除以〕的数的正负，决定是否改变不等号的方向，假设不能确定该数的正负，那么要分正、负两种情况讨论。

8、一元一次不等式是表达现实世界中量与量之间不等关系的重要数学模型，应用不等式解决问题的一般步骤为：①审题，弄清题目中的数量关系，用字母表示未知数；②找出题中隐含的一个不等关系，注意表达不等关系的术语，如：至多、至少、不大于、不小于等；③列出不等式；④解不等式；⑤根据实际问题写出符合题意的解。

1不等式与不等式组单元测试题一．选择题1.以下不等式中，是一元一次不等式的是〔〕1221B C．x-3＜10yD．2x+8≤5A．x．x92．一种牛奶包装盒标明“净重300g，蛋白质含量≥2.9%〞．那么其蛋白质含量为〔〕A．2.9%及以上B．C．及以上D．缺乏3．实数a，b在数轴上的对应点如下图，那么以下不等式中错误的选项是〔〕aA．ab＞0B．a+b＜0C．b＜1D．a-b＜04..假设a＞b，那么以下不等式成立的是〔〕A．a-3＜b-3B．-2a＞-2bC．4a＜4b D．a＞b-15.x=-1不是以下哪一个不等式的解〔〕A．2x+1≤-3B．2x-1≥-3C．-2x+1≥3D．-2x-1≤36.如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是〔〕x10x10x10x10A．x30B．3x0C．x30D．3x03x y1a7.假设关于的二元一次方程组x3y3的解满足x+y＜2，那么a的取值范围为〔〕A．a＜4B．a＞4C．a＜-4D．a＞-42x 1x1 ，那么关于x 的不等式bx-a ＞0的解集是〔8.设a ，b 是常数，不等式0 的解集为 5〕ab11 11 A ．xB ．xC ．xD ．x5555二．填空题“a 是负数〞用不等式可表示为 不等式2x+1＞-5的解集是1 1b c．〔填＞、＜或=〕．11. a ＞b ，那么ac2212. 在一次数学知识竞赛中， 竞赛题共30题．规定：答对一道题得4分，不答或答错一道题倒扣2分，得分不低于 60分者得奖．得奖者至少应答对道题。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：a b b a <⇔>ca cb b a >⇒>>,(3)加法法则：；(同向可加)c b c a b a +>+⇒>d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：； bc ac c b a >⇒>>0,bcac c b a <⇒<>0,(同向同正可乘)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则： (6)乘方法则：b a ab b a 110,<⇒>>)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（ ） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（ ）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（ ）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立， 当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时， 则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞） 答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（ ） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0， 即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］ 解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求： （1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围； （2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

高考数学常考题型：不等式基本性质1．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ） A ．[]4,10- B ．[]3,6-C ．[]2,14-D ．[]2,10-2．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（ ）A ．[,)22ππ-，(,0)2π- B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π- D ．(,)22ππ-，[,0)2π-3．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．设,a b 是不相等的两个正数，且ln ln b a a b a b -=-，给出下列结论：①1a b ab +->；②2a b +>；③112a b+>.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+D ．m n m n mn +>->6．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,55⎛⎤⎥⎝⎦C ．32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦7．已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围_________.8．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为_________.9．设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.10．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________.11．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 12．已知二次函数()2f x ax bx c =++，()411f -≤-≤-，()215f ≤≤，。

2．2 《不等式的基本性质》练习题一、选择题（每题4分，共32分）1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ）A 、m －9＜n －9B 、－m ＞－nC 、11n m > D 、1mn >2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、0ab < D 、－a ＞－b3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba ，那么a 的取值范围是（ ）A 、a≤0B 、a ＜0C 、a≥0D 、a ＞04、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ）A 、a ＋t ＞aB 、a ＋t ＜aC 、a ＋t≥aD 、不能确定5、如果34a a<--，则a 必须满足（ ）A 、a≠0B 、a ＜0C 、a ＞0D 、a 为任意数6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） a 0b cA 、cb ＞abB 、ac ＞abC 、cb ＜abD 、c ＋b ＞a ＋b7、有下列说法：（1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0；（3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ；（5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y--<， 则x ＞y 。

其中正确的说法有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、2a 与3a 的大小关系（ ）A 、2a ＜3aB 、2a ＞3aC 、2a ＝3aD 、不能确定二、填空题（每题4分，共32分）9、若m ＜n ，比较下列各式的大小：（1）m －3______n －3（2）－5m______－5n（3）3m -______3n - （4）3－m______2－n(5)0_____m －n（6）324m --_____324n -- 10、用“＞”或“＜”填空：（1）如果x －2＜3，那么x______5； （2）如果23-x ＜－1，那么x______32； （3）如果15x ＞－2，那么x______－10；（4）如果－x ＞1，那么x______－1； （5）若ax b >，20ac <，则x______b a. 11、x ＜y 得到ax ＞ay 的条件应是____________。

8.1.2不等式的基本性质1.2x ﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、2.在下列表示的不等式的解集中，不包括－5的是 （ ）A.x ≤ 4B.x ≥ －5 C .x ≤ －6 D .x ≥ －73.不等式 －21x > 1 的解集是 （ ） A.x >－21 B .x >－2 C.x <－2 D.x < －21 4.已知x <y ，下列不等式成立的有 （ ）①x －3<y －3 ②－5x < －6y ③－3x +2 <－3y +2 ④－3x +2 > －3y +2A.①②B.①③C.①④D.②③5.若不等式（m －2）x > n 的解集为x > 1,则m ，n 满足的条件是 （ ）A.m = n －2 且 m >2B. m = n － 2 且 m < 2C.n = m －2 且 m >2D. n = m －2且 m < 26.在二元一次方程12x +y = 8中，当 y <0 时，x 的取值范围是 （ ）A. x < 32B. x >－ 32C. x > 32D. x <－ 32 7.不等式5(x – 1)< 3x + 1 的解集是8.若关于x 的方程kx – 1 = 2x 的解为正实数，则k 的取值范围是9.已知关于x 的不等式x – m <1的解集为x <3，则m 的值为10.解下列不等式：（1）21-x < 354-x （2）－ 31+x > 3(3)2 －24+x ≥ 31x - (4)1－ 23-y > 3 + 4y(5)21-x － 312+x < 6x (6)25+x － 1 < 223+x11.已知不等式5x －2 < 6x +1的最小正整数解是方程 3x － 23ax = 6的解，求 a 的值。

第四节 基本不等式 1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”) 易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论 活用几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． [自测练习]1．下列不等式中正确的是( )A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6aB ．若a ，b ∈R ，则a ＋b ab≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b D ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab . ∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lg B. 答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立． 答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1 解析：∵y ＝x ＋4x中x 可取负值， ∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴y ＝sin x ＋4sin x >2sin x ·4sin x＝4， 其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号，∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立． 答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2. [证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a b. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”． 于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，。

高中数学 不等式的基本性质 习题1．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，则必有( )．A ．a ≤0 B．a ＞0 C ．b ＝0 D ．c ＞02．若a ＜1，b ＞1，那么下列命题中正确的是( )．A ．11a b >B ．1b a> C ．a 2＜b 2 D ．ab ＜a ＋b －13．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )．A ．11a b <B ．11a b> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 4．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，则3a －2b 的取值范围是( )．A ．B ．C ．D ．5．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( )．A ．2a a a b b >> B ．2a a a b b >> C ． 2a a a b b >> D ．2a a a b b>> 6．已知－3＜b ＜a ＜－1，－2＜c ＜－1，则(a －b )c 2的取值范围是__________． 7．若a ，b ∈R ，且a 2b 2＋a 2＋5＞2ab ＋4a ，则a ，b 应满足的条件是__________．8．设a ＞b ＞c ＞0，x =y =，z =x ，y ，z 之间的大小关系是__________．9．某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？列出其中的不等关系．10．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较33S a 与55S a 的大小．参考答案1. 答案：B 解析：由a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0知3a ＞0，故a ＞0.2. 答案：D 解析：由a ＜1，b ＞1得a －1＜0，b －1＞0，所以(a －1)(b －1)＜0，展开整理即得ab ＜a ＋b －1.3. 答案：C 解析：取a ＝2，b ＝12-，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b>，故A 错；取a ＝2，13b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b <，故B 错；取54a =，56b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错，只有C 正确.4. 答案：D 解析：令3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，，所以125.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3， 所以115()222a b ≤+≤，5515()222a b -≤-≤， 故－2≤3a －2b ≤10. 5. 答案：C 解析：∵a ＜0，b ＜－1，则0a b >，b ＜－1，则b 2＞1，∴211b <. 又∵a ＜0，∴0＞2a b＞a .∴2a a a b b >>.故选C. 6. 答案：(0,8) 解析：依题意0＜a －b ＜2,1＜c 2＜4，所以0＜(a －b )c 2＜8. 7. 答案：a ≠2或b ≠12 解析：原不等式可化为(ab －1)2＋(a －2)2＞0.故a ≠2或b ≠12. 8. 答案：x ＜y ＜z 解析：x 2－y 2＝a 2＋(b ＋c )2－b 2－(c ＋a )2＝2c (b －a )＜0，所以x ＜y ，同理可得y ＜z ，故x ，y ，z 之间的大小关系是x ＜y ＜z .9. 答案：解：设至少答对x 题，则6x －2(15－x )≥60.10. 答案：解：当q ＝1时，333S a =，555S a =，所以3535S S a a <； 当q ＞0且q ≠1时，353511243511(1)(1)(1)(1)S S a q a q a a a q q a q q ---=---＝23544(1)(1)10(1)q q q q q q q -----=<-， 所以有3535S S a a <.综上可知有3535S S a a <.。

初中精品试卷3.2 不等式的基本性质◆回顾探索1．不等式性质 1，如果 a>b ，那么 a ±b______b ±c ，如果 a<b ，那么 a ±c_____b ±c ．这就是说：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 b ________．2．不等式性质 2，如果 a>b ，并且 c____0，那么 ac>bc ．3．不等式性质 3，如果 a>b ，并且 c_____0，那么 ac<bc ．这就是说：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向______；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向________．测试点一1．（ 1）若 x>3，那么 x-m_____3-m ；（ 2）若 a<b ，那么 a+6_______b+6；（ 3） a<-b ，那么 a+b______0； （ 4）若 7a-2m<7b-2m ，那么 7a____7b ．2．不等式3+x ≥6的解集是（）A ．x=3B ．x ≥ 3C ．所有大于 3 的数D ．大于或等于 3 的整数3．若代数式x-3的值为负数，则（）A ．x<3B ． x<0C ．x>3D ．x>04．下列说法正确的是（）A ．方程 4+x=8 和不等式 4+x>8 的解是一样的 ;B ．x=2 是不等式 4x>5 的唯一解C ．x=2 是不等式 4x>15 的一个解 ;D ．不等式 x-2<6 的两边都加上 1，则此不等式成立测试点二5．若 a>b ，且 c 为实数，则（）A ．ac>bcB ．ac<bc 2222C ． ac >bcD ．ac ≥ bc 6．若 a<0，关于 a 的不等式 ax+1>0 的解集是（）A ．x<1B ．x>1C ．x<-1D ．x>-1a a aa 7．若代数式 3x+4 的值不大于 0，则 x 的取值范围是（）A ．x>-4B ．x ≥-4C ．x<-4D ．x ≤-43 3 338．解不等式 :（1）1x>-3（2）-2x<6（3）3x-6≤ 0（4）-12x-6>0 2测试点三1．若 a<b，用“ >或”“ <号”填空：（1）a+4_______b+4；（ 2） a-2______b-2；（3）22；（ 4） -2a______-2b．a_____b552．在下列各题的“ ____中”填写不等号并写出理由：（1）因为 x>5，所以 -x____-5，理由是 _______________．（2）因为 4x>12，所以 x_____3，理由是 _____________．（3）- 1x<-2，所以 x_______14，理由是 ________________．73．若 8+3a<8+3b，那么 a，b 的大小关系是（）A．a=b B． a<b C．a>b D．以上都不对4．由 x<y，得 ax>ay，则 a 应满足的条件是（）A．a≥ 0B．a≤ 0C．a>0D．a<0 5．求不等式 x+4≥ 3x-2 的非负整数解．6．利用不等式的性质，求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥ 1（2）4x-15>3x-2（ 3） 2x-3x<0（4）- 1x≥1 37．（ 1）若（ m+1）x<m+1 的解集是 x>1，求 m 的取值范围．（ 2）若关于 x 的方程 x-3k+2=0 的解是正数，求 k 的取值范围．8．在行驶于公路的汽车上，我们会看到不同的交通标志图形，它们有着不同的意义如图所示，如果设汽车质量为 xkg，速度为 ykm/小时，宽度 L 米，高度为hm?请用不等式表示图中各标志的意义．◆拓展创新若 a>4.（1）试比较 a2与 4a 的大小 ;（2）比较 ab 与 4b 的大小．参考答案回顾探索1．> < 不变2．> 3．< 不变 改变测试点一、二1．（1）>（2）< （3）< （4）< 2．B 3．A 4．D5．D （点拨：因为 c 是实数，所以 c ≥0）6．C （点拨：不等式两边同除以一个负数，不等号方向改变）7．D （点拨：由题设可得不等式： 3x+4≤0） 8．（ 1）x>-6 （2）x>-3（3）x ≤ 2 （4）x<-测试点三1．（1）<（2）< （3）< （4）>122．（ 1）< 不等式两边同乘以同一个负数，不等号方向改变．（2）>不等式两边两边同除以同一个正数，不等号方向不变（3）>不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变3．B （点拨：不等式性质 1、2）4．D （点拨：不等式性质 3）5．0，1，2，3（点拨：原不等式的解集是： x ≤3）6．（ 1）x ≥ 4 （2） x>13 （3）x>0（ 4） x ≤-37．（ 1）m<-1（点拨：由不等式的性质 m+1<0）（2）原方程的解为 x=3k-2，由解为正数得 3k-2>0，即 k> 2．38．x ≤ 5.5t ， y ≤ 30， L ≤ 2m ，h ≤ 3.5m ．拓展创新（1）a 2>4a （点拨：不等式性质 2）（2）因为 a>4，所以当 b>0 时， ab>4b ；当 b=0 时， ab=4b ；当 b<0 时， ab<4b ．。

不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1:如果a 〉b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ． 不等式的基本性质2：如果a 〉b,并且c 〉0，那么ac_____bc ． 不等式的基本性质3:如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ． 2．设a 〈b ，用“〈"或“>”填空．（1）a －1____b －1;(2）a+1_____b+1；(3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ；5）－a 2_____－b 2；（6)a 2____b 2．3．根据不等式的基本性质，用“<"或“〉"填空．（1）若a －1〉b －1，则a____b ；（2）若a+3〉b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ； （4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a 〉b ，m<0,n>0,用“〉”或“〈"填空．（1）a+m____b+m;（2）a+n___b+n ；（3)m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ;（6）a n _____bn ； 5．下列说法不正确的是( ）A ．若a 〉b,则ac 2>bc 2（c 0)B ．若a 〉b ，则b 〈aC ．若a>b ，则－a 〉－b D ．若a>b ，b 〉c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x 〉a 或x>a 的形式： （1）x －3>1；（2)－32x>－1;（3）3x<1+2x ；（4）2x 〉4． [学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．bc 〉abB ．ac>abC ．bc 〈abD ．c+b 〉a+b8．已知关于x的不等式(1－a）x〉2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（ ) A．3b〈p<3a B．a+2b〈p<2a+b C．2b<p<2（a+b） D．2a<p<2（a+b）[创新思维]（一）新型题10．若m〉n,且am<an,则a的取值应满足条件（ )A．a〉0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是( )A．由4x－1〉2，得4x>1 B．由5x〉3，得x〉35 C．由x2>0，得x〉2D．由－2x<4，得x<－2（三)易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a〉6a进行争论，甲说：“7a>6a正确"，乙说：“这不可能正确”,你认为谁的观点对?为什么?(四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x,y，且3〈k<6,则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质,把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示,一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗?[数学在生产、经济、科技中的应用]17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是:购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是:从第1本开始就按标价的85%卖．(1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y(元）与购买本数x（本)（x〉10）之间的关系式．（3)小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题:a,b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；(2)若条件保持不变，那么怎样改变结论,命题才能正确？[潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x〉4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x〉4x不是一回事吗?当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质,把下列不等变为x〉a或x<a的形式：(1)1x2〉－3；（2）－2x〈6．解:（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变,所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的? [开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接]22．（2004·山东淄博）如果m〈n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9〈n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a〉b B．ab>0 C．ab〉0 D．－a〉－b［奥赛赏析］24．要使不等式…〈753246a<a<a<a<a<a<a〈…成立，有理数a的取值范围是（）A．0〈a〈1 B．a〈－1 C．－1<a<0 D．a〉1［趣味数学]25．（1)A、B、C三人去公园玩跷跷板,如图13－2－3①中,试判断这三人的轻重．（2)P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②,试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1)<(2）<（3）<（4)>(5）>(6)〈3．(1）>（2）>(3）〉（4）<4．(1）>(2)〉（3)<（4）〉(5）〈(6)>5．C 点拨:a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3〉1+3，(根据不等式的基本性质1)x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32)<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x〈32；（3）3x<1+2x,3x－2x〈1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1)x<1；(4）2x〉4,2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负 9．D 10．B 11．B 12．错解:am2〉bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2:乙对,因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数,有三种情况：a为负数,a 为正数，a为0,应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a〉6a，②当a〈0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1〈x+y〈2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k〈6，即3<3（x+y）<6，∴1〈x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5,2x〈4x－6,2x－4x<4x－6－4x，－2x〈－6，-2x-6>-2-2，x〉3．解法2:2x+5〈4x－1，2x+5－2x〈4x－1－2x，5+1〈2x－1+1，6<2x，62x<22，3〈x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式,两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c〉b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解:（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本,共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．(2）甲商店中，收款y(元)与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x－10)，即y=0．7x+3（其中x〉10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3,解得x=30(本)．若到乙商店购买，则可买24÷（1⨯0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．18．解:(1)a，b是有理数,若a〉b>0,则22a>b(2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确,5a不一定大于4a．当a〉0时，5a>4a〉0；当a=0时，5a=4a=0;当a<0时，5a〈4a〈0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1"相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b,当b>0时，a+b>a－b；当b=0时,a+b=a－b；当b〈0时，a+b<a－b．22．C 23．D24．B 点拨:a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246a<a<a<0…，则这个负数一定小于－1,故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．(2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。

不等式基本性质练习题及答案一、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”1.不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。

2.如果a＞b，那么3－2a＞3－2b。

3.如果a是有理数，那么－8a＞－5a。

4.如果a＜b，那么a2＜b2。

5.如果a为有理数，则a＞－a。

6.如果a＞b，那么ac2＞bc2。

7.如果－x＞８，那么x＞－8。

8.若a＜b，则a＋c＜b＋c。

二、选择题：1．若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为A．a＞０ B．ａ＜０ C．ａ≥0 D．a≤02．若m＜ｎ，则下列各式中正确的是A．m－3＞ｎ－B.3m＞3n C.－3m＞－3n D.m3?1?n3?13．若a＜0，则下列不等关系错误的是A．a＋5＜a＋B.5a＞7a C.5－a＜7－a D.aa5?74．下列各题中，结论正确的是A．若a＞0，b＜0，则ba＞0; B．若a＞b，则a－b＞0C．若a＜0，b＜0，则ab＜0; D．若a＞b，a＜0，则ba＜05．下列变形不正确的是A．若a＞b，则b＜a; B．－a＞－b，得b＞aC．由－2x＞a，得x＞?a2; D．由x2＞－y，得x＞－2y6．有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b 恒成立，则a得取值范围是A．a＞b B．ab＞0 C．ab＜0 D．－a＞－b8．绝对值不大于2的整数的个数有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个- 1 -）三、填空：9．若a＜0，则－a?bb____－;2ab____.310．设a＜b，用“＞”或“＜”填空： a－1____b－1， a＋3____b＋3，－2a____－2b， 11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a－b____0， a＋b____0，ab____0，a2____b2，12．若a＜b＜0，则11____，︱a︱____︱b︱. ab1____0.四、解答题：13.根据不等式的性质，把下列不等式表示为x＞a或x＜a的形式：10x－１＞9x; x＋2＜3; －6x≥214.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件。

数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。

不等式的解集与性质练习题5套（含答案）（1）一、选择题1.m 与5的和的一半是正数，用不等式表示（ ） A.025>+m B.0)5(21≥+m C. 0)5(21>+m D. 0)5(21<+m 2.下列x 的值能使212->+x 成立的有（ ）-1，2,1,4,3,21--- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.当x =1时，下列不等式成立的是（ ）A.75>+xB.452<+-xC.4213>+x D.56>x 4. (2008内蒙古赤峰市)用 ○a 、○b 、○c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么○a 、○b 、○c 这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）A ．B ．C ．D ． 5.由n m >到kn km >成立的条件为（ ）A.0>kB. 0<kC. 0≤kD. 0≥k6.在数轴上，到原点的距离小于3的点对应的x 值应满足（ ）A. 3<xB.33->>xC. 3≤xD. 3-≥x7.62+a 是负数，则a 的值应为（ ）A. 3->aB. 3-<aC. 0>aD.0<a8.不等式063≤-a 的整数解为（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个9.若m +p <p ,m －p >m ,则m 、p 满足的不等式是（ ）A.m <p <0B.m <pC.m <0,p <0D.p <m10.已知x >y 且xy <0,a 为任意实数，下列式子正确的是（ ）A.－x>yB.a 2x>a 2yC.a －x<a －yD.x>－y二、填空题11. 判断下列各式①x +y ②3x ＞7 ③5=2x +3 ④x 2≥0 ⑤2x －3y =1 ⑥52是不等式的有 .12. 用适当符号表示下列关系.①a 的7倍与15的和比b 的3倍大；②a 是非正数； .13. 填上适当的不等号.①4x 2+1__________0 ②－x 2__________0③2x 2+2y +1__________x 2+2y ④a 2__________014.若b a <，用“＞，＜”填 a b c a b c a b c ab c①2a 2b ；②若0≠c ，则2a -c 2b -c;③c-2a c-2b ;15.三个连续奇数的和小于27，则有 组这样的正奇数.三、解答题16. 已知a ＞0，b ＜0，且a +b ＜0，试将a ，－b ，－|a |，－|b |用“＜”号按从小到大的顺序连接起来.17.用不等式表示下列语句①m 的2倍不小于n 的31； ②x 的51与y 的和是非负数； 18.解不等式：142117->+x x 19. 通过测量一棵树的树围，(树干的周长)可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm ，以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m ？请你列出关系式.20. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，导火线的长x (m)应满足怎样的关系式？请你列出.21.某次数学测验中，共有20道选择题.评分办法是：每答对1道题得5分，答错1道题扣1分，不答不给分.若某学生只有1道题没答，那么他至少要答对多少道题，成绩才不会低于80分.请根据题意列出正确的不等式（不求解）22.用甲、乙两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量分别为甲种600单位/千克，乙种100单位/千克..现要配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C,请写出所需要甲种原料的质量x 千克应满足的不等式.答案：一、1.C,提示：m 与5的和可表示为5+m ，和的一半可表示为)5(21+m ，正数即大于0，所以应选择C ；2.C ，提示：把每个数代入不等式成立的有-1，,1,21故选C ；3.B ，提示：把x =1分别代到各不等式中去逐一验证成立的只有B ；4.A ；5.C,提示：由于从n m >到kn km >，不等号方向没变，并且两边同时扩大k 倍，所以根据不等式的性质2，两边同时乘以一个非负数，故选C ；6.B ，提示：到原点的距离小于3的点可以记作333<<-∴<x x ，故选B ；7.B ，提示：由题意得，,062<+a 根据不等式的性质得3-<a ；8.D ；9.C ；10.C;二、11. ②④；12.①7a +15＞3b ；② a ≤0；13.①＞，②≤，③＞，④ ≥；14.①＜;②＜;③＞;15.3提示：设这3个连续奇数分别为32,12,12++-k k k （k 为大于0的整数）由题意得4,27321212<<++++-k k k k ，又k 为大于0的整数，故k 为1或2或3所以有3组这样的正奇数，分别为1，3，5；3，5，7；5，7，9；三、16. －|b |＜－|a |＜a ＜－b17.①n m 312≥，②051≥+y x 18.解：将不等式两边都减去11+2x ，得255->x ，两边都除以5得，5->x19. 解：设这棵树至少要生长x 年其树围才能超过2.4 m.根据题意得，3x +5＞2.4.20.解：41002.0>x . 21.解：设他至少要答对x 道题，根据题意列出正确的不等式80)19(5≥--x x .22.4200)10(100600≥-+x x .c a o b （2）一、选择题1，a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）A ．a<0，b>0B ．a>0，b<0C ．ab>0D ．│a│>│b│2，设“○”，“□”，“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”，“□”， “△”这样的物体，按质量由小到大的顺序排列为（ ）A ．○□△B ．○△□C ．□○△D ．△□○3，已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中，正确的是（• ）A ．cb<abB ．ac>abC ．cb>abD ．c+b>a+b4，若a<0，b>0且│a│<│b│，则a-b=（ ）A ．│a│-│b│B ．│b│-│a│C ．-│a│-│b│D ．│a│+│b│5，若0<a<1，则下列四个不等式中正确的是（ ）A ．a<1<1aB ．a<1a <1C ．1a <a<1D ．1<1a<a 6，已知x>y ，且xy<0，│x│<│y│，a 为任意有理数，下列式子正确的是（ ）A ．-x>-yB ．a 2x>a 2yC ．-x+a<-y+aD ．x>-y二、填空题7，规定一种新的运算：a △b=a·b-a+b+1加3△4=3×4-3+4+1，•请比较（-3）•△5______5△（-3）（填“<”“＝”“>”）.8，若│a -3│=3-a ，则a 的取值范围是_________．9，有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，用不等式表示：①a+b_____0 ②│a│____│b│ ③ab_____ ④a-b____0.10，设a ，b ，c 为有理数，且满足用a ，b ，c 分别去乘不等式的两边，•会使不等号依次为不变方向，变成等号，改变方向，则a ，b ，c 的大小关系是______．11，不等式m-5<1的正整数解是_______．12，若3a-2b<0，化简│3a -2b-2│-│4-3a+2b│的结果是_______．三、解答题13，若方程（a+2）x=2的解为x=2想一想不等式（a+4）x>-3的解集是多少？•试判断-2，-1，0，1，2，3这6个数中哪些数是该不等式的解．14，已知2（1-x ）<-3x ，化简│x+2│-│-4-2x│.15，已知关于x 的不等式2x-m>-3的解集如图所示求m 值．16，（2008新疆建议兵团）某社区计划购买甲、乙两种树苗共600棵，甲、乙两种树苗单价及成活率见下表：种类单价（元） 成活率 甲60 88% 乙 80 96%（1）若购买树苗资金不超过44000元，则最多可购买乙树苗多少棵？（2）若希望这批树苗成活率不低于90%，并使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？购买树苗的最低费用为多少？17，某童装加工企业今年五月份每个工人平均加工童装150套，•最不熟练的工人加工童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，•按时完成外商订货任务，企业计划从今年六月起进行工资改革，改革后每个工人的工资分两部分：•一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工一套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低标准450元，按五月份工人加工的童装套数的计算，工人每加工1•套童装企业至少应该奖励多少元？（精确到分）（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，•工人小张争取六月份工资不少于1200元．问小张六月份应至少加工多少套童装？答案一、1，B.解析：数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，故选项B正确，而选项C中ab<0，故C错误，选项D中│a│<│b│故选项D错误．2，D.解析：由第一个图可知1个○的质量大于1个□的质量，由第二个图可知1个□的质量等于2个△的质量，因此1个□质量大于1个△质量，故选D．3，C.解析：由数轴可知c<b<0<a，当c<b两边同乘以a,则由不等式基本性质2，ca<ab；同理当c<a两边都乘以b则由不等式基本性质3，cb>ab则已经c<a，两边都加上1，•则由不等式基本性质1，c+b<a+b，因此四个选项只有C正确．4，C.解析：利用绝对值性质│a│=00a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩，从而将四个选项中代数式化简看哪一个结果为a-b.5，A .正确：因为0<a<1，设a=12，1a=2，所以a<1<1a，另外由0<a<1中a<1•利用不等式基本性质2，两边都除以a得1<1a，∴a<1<1a，故答案选A．6，C.解析：x>y利用不等式基本性质3，两边都乘以-1得-x<-y则A错误，而-x<-y，利用不等式基本性质1，两边都加上a，得-x+a<-y+a，因此选项C正确，而A错误，另外由x>y，xy<0，则x>0，y<0又│x│<│y│可得x<-y，不是x>-y故D错误；又x>y•利用不等式基本性质2，两边都乘以a2（a≠0）可得a2x>a2y，而这里没有确定a是≠0的，故a2x>a2y•不一定成立，因此B错误．二、7，＜.解析：依据新运算a△b=a·b-a+b+1计算-3△5，5△（-3）再比较结果大小．8，a≤3.解析：根据│a│=-a时a≤0，因此│a-3│=3-a，则a-3≤0，a≤3．9，①<②<③>④> 解析：由数轴上的数可知：a<0，b<0且│b│>│a│，因此a+b<0，ab>0，a-b>0.10，a>b>c.解析：由不等式基本性质②和③可知a>0，b=0，c<0，所以a>b>c11，1，2，3，4，5.解析：不等式m-5<1，利用不等式基本性质1，两边都加上5得m<6，其中正整数解1，2，3，4，512，-2.解析：由3a-2b<0则3a-2b-2<0故│3a-2b-2│=-（3a-2b-2），同理│4-3a+2b│=4-3a+2b，原式=-（3a-2b-2）-（4-3a+2b）=-3a+2b+2-4+3a-2b=-2.三、13，解：把x=2代入方程（a+2）x=2得2（a+2）=2，a+2=1，a=-1，然后把a=-1代入不等式（a+4）x>-3得3x>-3，把x=-2代入左边3x=-6，右边=-3，-6<-3，∴x=-2不是3x>-3的解；同理把x=-1，x=0，x=1，x=2，x=3分别代入不等式，可知x=0，x=1，x=2，x=3这4个数为不等式的解．14，解：2（1-x）<-3x，2-2x<-3x，根据不等式基本性质1，两边都加上3x，2+x<0，根据不等式基本性质1，两边都减去2，x<-2，∴x+2<0，-2x>4，∴-4-2x>0，∴│x+2│-│-4-2x│=-（x+2）-（-4-2x）=-x-2+4+2x=x+2.点拨：先利用不等式基本性质化简得x<-2，再根据代数式中要确定x+2，-4-2x•的正负性，从而将x<-2不等式利用不等式基本性质变形可得：x+2<0，-4-2x<0•最后化简得出结果．15，解：2x-m>-3，根据不等式基本性质1，两边都加上m，2x>m-3，根据不等式基本性质2，两边都除以2，x>32m -，又∵x>-2，∴32m -=-2，∴m=-1.点拨：解不等式x>32m -，再根据解集得32m -=-2，本题将一元一次方程和一元一次不等式有机地结合起来，同时还利用了数形结合的方法，从数轴上观察一元一次不等式的解集x>-2．16，解：（1）设最多可购买乙树苗x 棵，则购买甲树苗（600 x -）棵60(600)8044000x x -+≤400x ≤．答：最多可购买乙树苗400棵．（2）设购买树苗的费用为y则60(600)80y x x =-+2036000y x =+根据题意 0.88(600)0.960.9600x x -+⨯≥150x ≥∴当150x =时，y 取最小值．min 2015036000y =⨯+39000=．答：当购买乙树苗150棵时费用最低，最低费用为39000元．17，解：（1）设工人每加工1套童装企业至少要奖励x 元，依题意可得：200+150×60%·x≥450，解这个不等式得x≥2.78，所以工人每加工1套童装企业至少应奖励2.78元.（2）设小张在六月份加工x 套童装，依题意可得200+5x≥1200，解这个不等式得x≥200，所以小张在六月份应至少加工200套童装．（3）一、选择题1，下列不等式，不成立的是（ ）A ．-2>-12B ．5>3C ．0>-2D ．5>-1 2，a 与-x 2的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）A ．12a-x 2>0B ．12a-x 2<0C ．12（a-x 2）<0D ．12（a-x 2）>0 3，用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是（ ）A ．x>-2B ．x<-2C ．x≥-2D ．x≤-24，不等式的解集中，不包括-3的是（ ）A ．x<-3B ．x>-7C ．x<-1D ．x<05，已知a<-1，则下列不等式中，错误的是（ ）A ．-3a>+3B ．1-4a>4+1C ．a+2>1D ．2-a>36，（2008年广州市数学中考试题）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（）A P R S Q >>>B Q S P R >>>C S P Q R >>>D S P R Q >>>二、填空题7，数学表达式中：①a 2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x ≠3.不等式是________（填序号）8，若m>n ，则-3m____-3n ；3+13m____3+13n ；m-n_____0． 9，若a<b<0，则-a____-b ；│a│_____│b│；1a ____1b ． 10，组成三角形的三根木棒中有两根木棒长为3cm 和10cm ，•则第三根棒长的取值范围是_______，若第三根木棒长为奇数，则第三根棒长是_______．11，在下列各数-2，-2.5，0，1，6中是不等式23x>1的解有______；•是-23x>1•的解有________． 12，x≥7的最小值为a ，x≤9的最大值为b ，则ab=______．三、解答题13，用不等式表示：①x 的2倍与5的差不大于1；②x 的13与x 的12的和是非负数； ③a 与3的和的30%不大于5；④a 的20%与a 的和不小于a 的3倍与3的差.14，说出下列不等式变形依据:①若x+2005>2007，则x>2；②若2x>-13，则x>-16； ③若-3x>2，则x<-23；④若-7x >-3，则x<21. 15，利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来：①x+13<12；②6x-4≥2；③3x-8>1；④3x-8<4-x. 16，若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%•的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品？设最低打x 折，用不等式表示题目中的不等关系．17，比较下列算式结果的大小（在横线上填“>”“<”“=”）42+32_____2×4×3； （-2）2+12_____2×（-2）×1； （164）2+（12）2______2×164×12； （-3）2+（-3）2______2×（-3）×（-3）. 通过观察归纳，写出能反映规律的一般性结论．参考答案：一、1，A.解析：此题主要依据有理数的大小比较，正数大于所有负数，零大于所有负数，两个负数大小比较时，绝对值大的反而小，因此-2<-12故选项A 这个不等式是不成立的，所以答案为A ． 2，C.解析：先表示a 与-x 2的和即是a-x 2，再表示和的一半即12（a-x 2），依题意12（a-x 2）负数，用不图3等式表示即为12（a-x 2）<0． 3，C.4，A.解析：可以把这些解集用数轴表示出来，通过观察可以确定-3不包括在x<-3中，所以选A ． 5，C.解析：可以把这些不等式的解集求出，从而发现a+2>1的解集为a>-1，不是a<-1，故应该选C ． 6，D二、7，①②⑤⑥.8，＜、＞、＜.9，＞、＞、＞.解析：由a<b<0，则a ，b 都为负数，设a=-3，b=-2，则1a =-13，1b =-12，所以1a >1b ，同理-a ，-b ，•及│a││b│大小都可以确定．10，7＜第三根木棒＜13；9，11.解析：根据三角形的边长关系定理，•三角形第三边大于两边之差而小于两边之和，可得第三边的取值范围．11，6，-2，-2．5.解析：分别把这些数代入不等式中看是否使不等式成立就可判断是否为不等式的解． 12，63.解析：x ≥7时x 的最小值就是7，而x≤9中x 的最大值就是x=9，故a=7，b=9，所以ab=63. 三、13，①2x-5≤1.②13x+12x≥0.③30100（a+3）≤5.④20100a+a≥3a -3.解：①不大于即“≤”.②非负数即正数和0也即大于等于0的数.③不小于即“≥”. 14，①若x+2005>2007，则x>2.变形依据：由不等式基本性质1，两边同减去2005；②若2x>-13，则x>-16.变形依据：由不等式基本性质2，两边都同除以2或（同乘以12）；③若-3x>2则x<-23.变形依据：利用不等式基本性质3，两边都除以-3或（同乘以-13）；④若-7x >-3则x<21.变形依据：利用不等式基本性质3，两边都除以-17或（同乘以-7）. 15，①x+13<12.解：根据不等式基本性质1，两边都减去得：x+13-13<12-13即x<16.②6x-4≥2.解：根据不等式基本性质1，两边都加上4得：6x≥6.根据不等式基本性质2，两边都除以6得，x≥1.③3x-8>1.解：根据不等式基本性质1，两边都加上8得：3x>9.根据不等式基本性质2，两边都除以3得：x>3.④3x-8<4-x.解：根据不等式基本性质1，两边都加上8，得3x<12-x.根据不等式基本性质1，两边都加上x 得4x<12，根据不等式基本性质2，两边都除以4得：x<316，解：设最低打x 折，列不等式为：750×10x -500≥500×5100.解析：依据不等式关系售价-进价≥500×5100列不等式，不低于就是大于等于．17，解：> > > = a 2+b 2≥2ab .解析：前面那些具体算式左边都是a 2+b 2的形式；而右边对应都是2ab ，•因此由比较大小结果可发现规律性质的结论是a 2+b 2≥2ab .（4）一、选择题1．下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个A 、2B 、3C 、4D 、52．下列不等关系中，正确的是（ ）A 、 a 不是负数表示为a ＞0；B 、x 不大于5可表示为x ＞5C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0；D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜03．若m ＜n ，则下列各式中正确的是（ ）A 、m －2＞n －2B 、2m ＞2nC 、－2m ＞－2nD 、22n m ＞ 4．下列说法错误的是（ ）A 、1不是x ≥2的解B 、0是x ＜1的一个解C 、不等式x ＋3＞3的解是x ＞0D 、x ＝6是x －7＜0的解集5．下列数值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x ＋3＞2成立的数有（ ）个.A 、2B 、3C 、4D 、56．不等式x －2＞3的解集是（ ）A 、x ＞2 B 、x ＞3 C 、x ＞5 D 、x ＜57．如果关于x 的不等式（a ＋1）x ＞a ＋1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ）A 、a ＞0B 、a ＜0C 、a ＞－1D 、a ＜－18．已知关于x 的不等式x －a ＜1的解集为x ＜2，则a 的取值是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39．满足不等式x －1≤3的自然数是（ ）A 、1，2，3，4B 、0，1，2，3，4C 、0，1，2，3D 、无穷多个10．下列说法中：①若a ＞b ，则a －b ＞0；②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；③若ac ＞bc ，则a ＞b ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11．下列表达中正确的是（ ）A 、若x 2＞x ，则x ＜0B 、若x 2＞0，则x ＞0C 、若x ＜1则x 2＜xD 、若x ＜0，则x 2＞x12．如果不等式ax ＜b 的解集是x ＜ab ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0二、填空题1．不等式2x ＜5的解有________个.2．“a 的3倍与b 的差小于0”用不等式可表示为_______________.3．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x ，则x 的取值范围是______________.4．在－2＜x ≤3中，整数解有__________________.5．下列各数0，－3，3，－0.5，－0.4，4，－20中，______是方程x ＋3＝0的解；_______是不等式x ＋3＞0的解；___________________是不等式x ＋3＞0.6．不等式6－x ≤0的解集是__________.7．用“<”或“>”填空：（1）若x ＞y ，则－2_____2y x －； （2）若x ＋2＞y ＋2，则－x______－y ； （3）若a ＞b ，则1－a ________ 1－b ；（4）已知31x －5＜31y －5，则x ___ y . 8．若∣m －3∣＝3－m ，则m 的取值范围是__________.9．不等式2x －1＞5的解集为________________.10．若6－5a ＞6－6b ，则a 与b 的大小关系是____________.11．若不等式－3x ＋n ＞0的解集是x ＜2，则不等式－3x ＋n ＜0的解集是________.12．三个连续正整数的和不大于12，符合条件的正整数共有________组.13．如果a ＜－2，那么a 与a1的大小关系是___________. 14．由x ＞y ，得ax ≤ay ，则a ______0三、解答题1．根据下列的数量关系，列出不等式（1）x 与1的和是正数（2）y 的2倍与1的和大于3（3）x 的31与x 的2倍的和是非正数 （4）c 与4的和的30％不大于－2（5）x 除以2的商加上2，至多为5（6）a 与b 的和的平方不小于22．利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.（1）4x ＋3＜3x （2）4－x ≥4 （3） 2x －4≥0 （4）－31x ＋2＞53．已知有理数m 、n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空.（1）n －m ____0； （2）m ＋n _____0； （3）m －n ____0；（4）n ＋1 ____0； （5）mn ____0； （6）m －1____0.4．已知不等式5x －2＜6x ＋1的最小正整数解是方程3x －23ax ＝6的解，求a 的值.5．试写出四个不等式，使它们的解集分别满足下列条件：（1） x ＝2是不等式的一个解；（2） －2，－1，0都是不等式的解；（3） 不等式的正整数解只有1，2，3；（4） 不等式的整数解只有－2，－1，0，1.6．已知两个正整数的和与积相等，求这两个正整数.解：不妨设这两个正整数为a 、b ，且a ≤b ，由题意得：ab ＝a ＋b ①则ab ＝a ＋b ≤b ＋b ＝2b ，∴a ≤2∵a 为正整数，∴a ＝1或2.（1） 当a ＝1时，代入①式得1·b ＝1＋b 不存在（2） 当a ＝2时，代入①式得2·b ＝2＋b ，∴b ＝2.因此，这两个正整数为2和2.仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考：是否存在三个正整数，它们的和与积相等？试说明你的理由.7．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两个数大小的方法：若A －B ＞0，则A ＞B ；若A －B =0，则A =B ；若A －B ＜0，则A ＜B ，这种比较大小的方法称为“作差比较法”，试比较2x 2－2x 与x 2－2x 的大小.（5）1．(黑龙江校级月考)下列式子：①1x ＜y ＋5；②1＞－2；③3m －1≤4；④a ＋2≠a －2中，不等式有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个2．“数x 不小于2”是指(B )A ．x ≤2B ．x ≥2C ．x ＜2D ．x ＞23．(陕西校级期末)若m 是非负数，则用不等式表示正确的是(D )A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ≤0D ．m ≥04．2016年2月1日武汉市最高气温是8 ℃，最低气温是－2 ℃，则当天武汉市气温变化范围t(℃)是(D )A ．t ＞8B ．t ＜2C ．－2＜t ＜8D ．－2≤t ≤85．用适当的符号表示下列关系：(1)a －b 是负数：a －b ＜0；(2)a 比5大：a ＞5；(3)x 是非负数：x ≥0；(4)m 不大于－3：m ≤－3．6．“b 的12与c 的和是负数”用不等式表示为12b ＋c<0. 7．下列说法中，错误的是(C )A ．x ＝1是不等式x ＜2的解B ．－2是不等式2x －1＜0的一个解C ．不等式－3x ＞9的解集是x ＝－3D ．不等式x ＜10的整数解有无数个8．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(C )A ．x>－2B ．x<－2C ．x ≥－2D ．x ≤－29．以下所给的数值中，是不等式－2x ＋3＜0的解的是(D )A ．－2B ．－1C .32D ．210．(长春中考改编)不等式x ＜－2的解集在数轴上表示为(D )11．在下列各数：－2，－2.5，0，1，6中，不等式23x>1的解有6；不等式－23x>1的解有－2，－2.5. 12．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x ≥－3；(2)x ＞－1；(3)x ≤3；(4)x<－32. 解：(1)(2)(3)(4) 13．不等式的解集x<3与x ≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．解：x<3的解集是小于3的所有数，在数轴上表示出来是空心圆圈；而x ≤3的解集是小于且等于3的所有数，在数轴上表示出来是实心圆点，包括3这个数，把它们表示在数轴上为：14．x 与3的和的一半是负数，用不等式表示为(C )A .12x ＋3>0 B .12x ＋3<0 C .12(x ＋3)<0 D .12(x ＋3)>015．(桂林中考)下列数值中不是不等式5x ≥2x ＋9的解的是(D )A ．5B ．4C ．3D ．216．(潍坊中考)对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3.若[x ＋410]＝5，则x 的取值可以是(C ) A ．40 B ．45 C ．51 D ．5617．某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 18 months .如果用x(单位：月)表示Eatable Date (保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为x ≤18.18．用不等式表示：(1)a 与5的和是非负数；解：a ＋5≥0.(2)a 与2的差是负数；解：a －2<0.(3)b 的10倍不大于27.解：10b ≤27.19．下列数值中哪些是不等式3x －1≥5的解？哪些不是？100，98，51，12，2，0，－1，－3，－5.解：100，98，51，12，2是不等式3x －1≥5的解；0，－1，－3，－5不是不等式3x －1≥5的解．20．直接写出下列各不等式的解集：(1)x ＋1＞0；解：x ＞－1.(2)3x ＜6.解：x ＜2.21．由于小于6的每一个数都是不等式12x －1<6的解，所以这个不等式的解集是x ＜6.这种说法对不对？ 解：这种说法是错的．22．学校要购买2 000元的图书，包括名著和辞典，名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买几本辞典？(列式即可)解：设还能买x 本辞典，得20×65＋40x ≤2 000.综合题23．阅读下列材料，并完成填空．你能比较2 0152 016和2 0162 015的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，比较n n ＋1和(n ＋1)n (n ≥1，且n 为整数)的大小．然后从分析n＝1，n ＝2，n ＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论．(1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小：(在横线上填上“>”“＝”或“<”)①12<21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；(2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出n n ＋1和(n ＋1)n 的大小关系；(3)根据以上结论，可以得出2 0162 017和2 0172 016的大小关系．解：(2)当n ＝1或2时，n n ＋1<(n ＋1)n ；当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n .(3)2 0162 017>2 0172 016.。

不等式的基本性质习题一、选择题1．若m>n ，且am<an ，则a 的取值应满足条件（ ）A ．a>0B ．a<0C ．a=0D ．a ≥02．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0mn < D ．－m ＞－n3．下列说法正确的是 （ ）A.若a 2＞1，则a ＞1B.若a ＜0，则a 2＞aC.若a ＞0，则a 2＞a D ．若，则4．如果x ＞0，那么a ＋x 与a 的大小关系是（ ）A ．a ＋x ＞aB ．a ＋x ＜aC ．a ＋x≥aD ．不能确定5．已知5＜7,则下列结论正确的（ ）①5a ＜7a ②5+a ＜7+a ③5-a ＜7-aA. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③6．如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（ ）A. ab ＞0B.C.D.7．-2a 与-5a 的大小关系（ ）A ．-2a ＜-5aB ．2a ＞5aC ．-2a ＝-5bD ．不能确定二、填空题1．用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ； （2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若5a>5b ，则a____b ； （4）若－5a>－5b ，则a___b ．2．x ＜y 得到ax ＞ay 的条件应是____________．3．若m ＋n ＞m －n ，n －m ＞n ，那么下列结论（1）m ＋n ＞0，（2）n －m ＜0，（3）mn≤0， 1<a a a <20<+b a 1<b a0<-b a（4）n m＜0中，正确的序号为________． 4．满足-3x ＞－18的非负整数有________________________．5．若am ＜b ，ac 4＜0，则m________．6.如果a －3＞－5，则a ；如果－2a ＜0，那么n ． 三、解答题1．如图所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a 和b ，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c ，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？2．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a 进行争论，甲说：“7a>6a 正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点。

2023高考数学复习专项训练《不等式的性质》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A ={ x |3a −1<x <2a +3}，B ={ x |x 2−x −2⩽0}，A ⊆B ，则a 的取值范围为( )A. { a |a ⩽−12} B. { a |a ⩽12或a ⩾0} C. { a |a ⩾4}D. { a |a ⩽0或a ⩾4}2.（5分）已知函数f(x)=|ax +1|(a >0)在区间[t,t +4]上的值域为[m,M]，对任意实数t 都有M −m ⩾4，则实数a 的取值范围是( )A. 0<a ⩽1B. a ⩾1C. 0<a ⩽2D. a ⩾23.（5分）已知p:0<x <2，q:−1<x <3，则p 是q 的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.（5分）已知数列{a n }为等比数列，则“a 5，a 7是方程x 2+2022x +1=0的两实根”是“a 6=1，或a 6=−1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.（5分）已知实数x,y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln (x 2+1)>ln (y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 36.（5分）关于x 的不等式x 2+|2x +m|⩽4在x ∈[0,+∞)有解，则实数m 的取值范围是( )A. [−5,5]B. [−5,4]C. [−4,5]D. [4,5]7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12)8.（5分）函数y =x 2+ln |x |的图象大致为( )A. B.C. D.9.（5分）关于命题p:∀a，b∈R，ab⩽(a+b2)2，下列说法正确的是()A. ¬p:∃a，b∈R，ab⩾(a+b2)2 B. 不能判断p的真假C. p是假命题D. p是真命题10.（5分）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 5211.（5分）已知f(x)是非零实数集上的偶函数，且在(−∞,0)上为减函数，若f(−1)= 0，则下列说法正确的是()A. f(−3)>f(4)B. ∀x∈R，∃M∈R，使f(x)⩾MC. 若xf(x)<0，则x∈(−∞,−1)∪(0,1)D. 若f(m−1)<f(2)，则m∈(−∞,3)12.（5分）已知集合A={x|x(x−2)⩽0}，B={x|−1⩽x⩽1}，则A∪B=()A、{x|−1⩽x⩽0}B、{x|0⩽x⩽1}C、{x|−1⩽x⩽2}D、{x|1⩽x⩽2}A. {x|−1⩽x⩽0}B. {x|0⩽x⩽1}C. {x|−1⩽x⩽2}D. {x|1⩽x⩽2}二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）【例3】二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：_______________.14.（5分）某班有学生50人，其中参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，则两个小组都参加的人数x的范围是__________.15.（5分）函数f(x)=x4−(a−1)x2+(a−3)x的导函数f′(x)是奇函数，则实数a=______．16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）在平面直角坐标系中，若直线l过点P0(x0,y0)，且以μ→=(A,B)为法向量(与直线方向向量垂直的向量)，则直线l上任意一点P(x,y)满足：A(x−x0)+B(y−y0)= 0.请你大胆类比猜想：在空间直角坐标系中，若平面α过点Q0(x0,y0,z0)，且以v→= (a,b,c)为法向量，则平面α上任意一点P(x,y,z)满足：______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）设U=R，A={ x|2x−a⩾4,a∈R}，B={ x|2x−3x+1<−1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．19.（12分）已知sinα=2−4cos2α2.(1)若α在第二象限，求cos2α−2sinαcosα的值；(2)已知β∈(0,π2)且tan2β−2tanβ−3=0，求tanα+2β的值．20.（12分）某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，求该班既爱好体育又爱好音乐的有人数．21.（12分）已知函数f(x)=tanx.(1)若α为钝角，且3f(2α)=4，求sin2α+3cos2α的值；(2)若α，β均为锐角，且f(α)−f(β)=12cosαcosβ，求sinα+cosβ的取值范围．22.（12分）在△ABC中，已知A=60°，c=37a.(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．23.（12分）已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)=ax−bx2+1，且f(−12)=−25.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性(不用证明)，解不等式f(3t)+f(2t−1)<0.四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）下列说法中正确的有()A. “a>b>0”是“a2>b2”成立的充分不必要条件B. 命题p：∀x>0，均有x2>0，则p的否定：∃x0⩽0，使得x02⩽0C. 设A，B是两个数集，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件D. 设A，B是两个数集，若A∩B≠∅，则∃x∈A，x∈B25.（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是()A. ab⩽14B. 1a+1b⩽4 C. √a+√b⩽√2 D. a2+b2⩾1226.（5分）下列函数中，最小值为4的是()A. y=e x+4e x B. y=lgx+12lgC. y=sin x+4sin x (x∈(0,π)) D. y=√x2+1+√x2+127.（5分）已知全集U={1,2,4,5,7,8}，集合A={2,7}，集合B={1,4,7}，则集合A∩∁U B 的子集有()A. ∁B. {2}C. {7}D. {2,7}28.（5分）在三角形ABC中，下列命题正确的有()A. 若A=30°,b=4,a=5，则三角形ABC有两解B. 若0<tan A∁tan B<1，则ΔABC一定是钝角三角形C. 若cos (A-B)cos (B-C)cos (C-A)=1，则ΔABC一定是等边三角形D. 若a-b=c∁cos B-c∁cos A，则ΔABC的形状是等腰或直角三角形答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B={ x|−1⩽x⩽2}，(1)A=∁时，3a−1⩾2a+3，解得a⩾4，满足题意；(2)A≠∁时，a<4，由A⊆B，即有{2a+3⩽2，解得{a⩽−1，可得a∈∁；2综上，a⩾4.故选：C.分别讨论A是否为空集，结合集合的关系，可得a的不等式组，解不等式可得所求范围．此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=|ax+1|(a>0)在区间[t,t+4]上的值域为[m,M]，对任意实数t都有M−m⩾4，<0.显然，m⩾0，M⩾4，函数f(x)的零点为−1a=t+2时，M−m最小，①当−1a+2)+1⩾4，求得a⩾2.此时，M−m=M−0=M=|a(t+4)+1|=a(−1a②当区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1的某一侧时，M−m最大，a的右侧，不妨假设区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1a则m=|at+1|，M=|a(t+4)+1|，由M−m=|a(t+4)+1|−|at+1|=a(t+4)+1−(at+1)=4a⩾4，∴a⩾1.综上，可得实数a的取值范围为[2,+∞),故选：D.由题意利用带有绝对值的函数的性质，分类讨论，求出a的范围．此题主要考查带有绝对值的函数的性质，函数的单调性和值域，属于中档题．3.【答案】A;【解析】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.根据充分和必要条件的定义即可求解.解：由p:0<x<2，可推出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，推不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4.【答案】A;【解析】解：在等比数列中，若a5，a7是方程x2+2022x+1=0的两实根，∴a5a7=1，a5+a7=−2022<0，则a5<0，a7<0，则a5a7=a6a6=1，则a6=1或a6=−1，即充分性成立，当a6=1，或a6=−1时，能推出a5a7=a6a6=1，但无法推出a5+a7=−2022，即必要性不成立，即“a5，a7是方程x2+2022x+1=0的两实根”是“a6=1，或a6=−1”的充分不必要条件，故选：A.根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质以及韦达定理建立等式关系是解决本题的关键，是中档题．5.【答案】D;【解析】此题主要考查指数函数、对数函数和幂函数的性质，同时考查正弦函数的性质与不等式的性质，属于基础题.由已知得x>y，然后逐一判断求解即可.解：由已知得x>y，此时x2,y2大小不定，所以排除A，B，由正弦函数的性质，可知C不一定成立，因为幂函数y=x3单调递增，所以x3>y3.故选D.6.【答案】B;【解析】解：原不等式可变形为|2x+m|⩽4−x2，作出函数f(x)=|2x+m|与g(x)=4−x2的图象，由题意，在x ⩾0时，至少有一点满足f(x)⩽g(x)，当y =−2x −m 与g(x)=4−x 2相切时，−2x −m =4−x 2，即x 2−2x −4−m =0， 由Δ=4+4(4+m)=0，得m =−5， 当y =2x +m 过点M(0,4)时，m =4. ∴−5⩽m ⩽4. 故选：B.原不等式可变形为|2x +m|⩽4−x 2，作出函数f(x)=|2x +m|与g(x)=4−x 2的图象，数形结合得答案．此题主要考查一元二次不等式的应用，考查分类讨论、数形结合思想与逻辑思维能力，是中档题．7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0， 所以1−2sin2A −3sin A +1=0， 所以sin A =12或−2(舍)， 又因为cos A <0， 所以A =5π6， 所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ， 又因为C ∈(0,π6)， 所以cos C ∈(√32,1)， 所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数图象及函数的单调性，同时考查函数的奇偶性，由已知f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，观察选项即可求解.解： 因为(−x)2+ln |−x|=x 2+ln |x|，定义域关于原点对称， 所以函数y =x 2+ln |x |为偶函数，得B ，C 不符合题意， 当x >0时，y =x 2+ln x ，因为在(0,+∞)上y =x 2和y =ln x 都单调递增， 所以函数y =x 2+ln |x |在(0,+∞)上单调递增， 观察A ，D ，只有A 符合. 故选A.9.【答案】D; 【解析】此题主要考查全称量词命题及全称量词命题的否定，属于中档题.解：由基本不等式可得p 为真命题，故BC 错误，D 正确.命题p 的否定为∃a ，b ∈R ，ab >(a+b 2)2，故A 错误，故选D.10.【答案】A; 【解析】作为选择压轴题，这道题考查的是函数奇偶性和对称性、周期性的综合应用，有一定的难度，但求出的周期后，此题做的就基本差不多了，但整体而言，作为选择压轴题，还是很不错的．【解析】因为f(x +1) 为奇函数，所以f(1)=0 ，即a + b =0 ，所以b =− a.又f(0)= f(−1+1)=− f(1+1)=− f(2)=−4 a − b =−3 a.f(3)= f(1+2)= f(−1+2)=f(1)=0 ，由f(0)+ f(3)=6 ，得a =−2. f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)=−f(−12+2)=−f(32)=−94a −b =−54a =52.故选A.11.【答案】C;【解析】解：因为f(x)是非零实数集上的偶函数，且在(−∞,0)上为减函数，f(−1)=0，所以函数f(x)的定义域为{ x |x ≠0}，且f(−1)=f(1)=0， f(x)在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数， 作出符合题意得f(x)的一个图象，如图所示，对于A，f(−3)=f(3)且f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以f(3)<f(4)，故f(−3)<f(4)，故选项A错误；对于B，因为函数f(x)的定义域为{ x|x≠0}，所以函数不存在最小值，即不存在M，使得f(x)⩾M成立，故选项B错误；对于C，因为xf(x)<0，则{f(x)>0或{f(x)<0，由图可知，x∈(−∞,−1)∪(0,1)，故选项C正确；对于D，因为f(m−1)<f(2)，即f(|m−1|)<f(2)，所以{m−1≠0，解得−1<m<3且m≠1，则m∈(−1,1)∪(1,3)，故选项D错误．故选：C.利用偶函数的性质，先确定函数的单调性和定点，然后作出一个符合题意的图象，利用图象分别判断各个选项即可．此题主要考查了抽象函数对称性的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性(对称性)、单调性、周期性等性质着手研究，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．12.【答案】null;【解析】此题主要考查集合的并集运算，属于基础题.先求得集合A={x|0⩽x⩽2}，结合集合并集的概念与运算，即可求解.解：由不等式x(x−2)⩽0，解得0⩽x⩽2，所以A={x|0⩽x⩽2}，又由集合B={x|−1⩽x⩽1}，所以A∪B={x|−1⩽x⩽2}.故选C.13.【答案】（-∞，-2）∪（3，+∞);【解析】略14.【答案】{x∈N∗|7⩽x⩽25};【解析】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，设参加数学、物理小组的学生构成的集合分别为A，B，card(A)=25，card(B)=32，由公式card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，知card(A∪B)=25+32−card(A∩B).又card(A∪B)⩽50，所以card(A∩B)⩾7，且card(A∩B)⩽25，则两个小组都参加的人数x的范围是{x∈N∗|7⩽x⩽25}.此题主要考查集合的实际应用，属中档题.根据题意结合Venn图即可得解.15.【答案】3;【解析】解：根据题意，函数f(x)=x4−(a−1)x2+(a−3)x，其导数f′(x)=4x3−2(a−1)x+(a−3)，又由其导函数f′(x)是奇函数，则f′(0)=(a−3)=0，解可得a=3，故答案为：3根据题意，求出函数f(x)的导数，由奇函数的性质可得f′(0)=0，分析可得答案，即可得答案．该题考查导数的计算以及奇函数的性质，关键是求出函数的导数，属于基础题．16.【答案】f（x）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，故考虑基本初等函数中的指数函数，又f(x)在R上单调递增，则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案． 此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】null;【解析】解：根据题意可得平面α上任意一点P(x,y,z)满足： a(x −x 0)+b(y −y 0)+c(z −z 0)=0.故答案为：a(x −x 0)+b(y −y 0)+c(z −z 0)=0. 根据已知条件将平面中的关系式类比到空间中的关系式．此题主要考查类比推理等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：∵2x −3x+1＜-1，∴3x −2x+1＜0， 解得，-1＜x ＜23，即B=（-1，23）； ∵2x-a ≥4，∴x≥a+2， 即A=[a+2，+∞）， ∵（-1，23）⊆[a+2，+∞），∴a+2≤-1，解得a≤-3，故实数a 的取值范围为（-∞，-3]．; 【解析】由分式不等式的解法解不等式，从而化简集合A 、B ，从而求实数a 的取值范围． 此题主要考查了集合的化简与运算，属于基础题．19.【答案】解：（1）sinα=2-4co s 2α2=2-4×1+cosα2，可得sinα=2-2-2cosα，可得tanα=-2， cos2α-2sinαcosα=cos 2α−sin 2α−2sinαcosαcos 2α+sin 2α=1−tan 2α−2tanα1+tan 2α=1−4+41+4=15；（2）因为β∈（0，π2）， 所以tanβ＞0， 又ta n 2β-2tanβ-3=0，可得（tanβ-3）（tanβ+1）=0，可得tanβ=3，或tanβ=-l （舍）， 所以tan2β=2tanβ1−tan 2β=61−9=-34， 所以tan （α+2β）=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−2−341−2×34=112．;【解析】(1)根据已知条件，利用降幂公式求出tanα的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．(2)根据β的范围和tan 2β−2tanβ−3=0求出tanβ，根据正切二倍角公式求出tan2β，再根据正切和角公式即可求tan(α+2β)的值．此题主要考查了降幂公式，同角三角函数基本关系式，正切二倍角公式以及正切和角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】解：设该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为x 人， 则（43-x ）+x+（34-x ）=55，得x=26．答：该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为26人．; 【解析】根据条件设该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为x 人，建立方程关系即可得到结论． 这道题主要考查集合元素关系的求解，根据条件建立方程是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）因为函数f （x ）=tanx ，α为钝角，所以f （α）=tanα＜0， 因为3f （2α）=4，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=43，解得：tanα=-2（tanα=12舍去）， 所以sin2α+3cos 2α=sin2α+3cos 2α1=2sinαcosα+3cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+3tan 2α+1，把tanα=-2代入可得： sin2α+3cos 2α=2tanα+3tan 2α+1=2×(−2)+3(−2)2+1=15；（2）因为f(α)−f(β)=12cosαcosβ，所以tanα−tanβ=12cosαcosβ， 所以sinαcosβ−cosαsinβcosαcosβ=12cosαcosβ，即sin(α−β)cosαcosβ=12cosαcosβ，因为α，β均为锐角，所以cosαcosβ≠0，所以sin(α−β)=12，所以α−β=π6， 因为{0＜α＜π20＜β＜π2，所以{0＜β+π6＜π20＜β＜π2，所以0＜β＜π3， 所以sinα+cosβ=sin(β+π6)+cosβ =sinβcos π6+cosβsin π6+cosβ =√32sinβ+32cosβ =√32sinβ+32cosβ =√3sin(β+π3)，因为0＜β＜π3，所以π3＜β+π3＜2π3，所以sin(β+π3)∈(√32，1]，所以√3sin(β+π3)∈(32，√3]，即sinα+cosβ的取值范围为(32，√3]．; 【解析】(1)先利用二倍角的正切公式求出tanα=−2，再进行弦化切，代入求出sin2α+3cos 2α的值； (2)由f(α)−f(β)=12cosαcosβ求出α−β=π6，把sinα+cosβ消去α，利用三角函数求最值．此题主要考查了三角函数的综合应用，属于中档题．22.【答案】null;【解析】此题主要考查了正弦定理、三角形面积公式和两角和与差的三角函数公式，是一般题.(1)由正弦定理可得sinC =37sinA 可得sinC 的值；(2)由a =7，则c =3，由(1)可得cosC =1314，则由sinB =sin(A +C)可得sinB ，由三角形面积公式可得△ABC 的面积．23.【答案】解：（1）定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=ax−b x 2+1，则f （0）=0，即-b=0，解得b=0，又f(−12)=−25，即−12a 14+1=-25，解得a=1，∴f （x ）=xx 2+1；（2）由（1）得f （x ）=xx 2+1，f （x ）在（-1，1）上单调递增， 任取a,b ∈（-1，1），且-1＜a ＜b ＜1，则f （a ）-f （b ）=aa 2+1-bb 2+1=(a−b)(1−ab)(a 2+1)(b 2+1)，∵-1＜a ＜b ＜1，∴a-b ＜0，1-ab ＞0， ∴f （a ）-f （b ）＜0，即f （a ）＜f （b ）， ∴f （x ）在（-1，1）上单调递增，∵f （3t ）+f （2t-1）＜0，∴f （3t ）＜-f （2t-1）=f （1-2t ）， ∴{−1＜3t ＜1−1＜1−2t ＜13t ＜1−2t ，解得0＜t ＜15，∴不等式的解集为（0，15）．; 【解析】(1)由题意得f(0)=0，又f(−12)=−25，求解即可得出答案；(2)由(1)得f(x)=xx 2+1，判断：f(x)在(−1,1)上单调递增，根据单调性和奇偶性，即可得出答案．此题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．24.【答案】ACD;【解析】解：对于A ，当a >b >0时，能推出a 2>b 2，而由a 2>b 2不能推出a >b >0，如(−3)2>22，而−3<2，所以“a >b >0是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，命题p ：∀x >0，均有x 2>0，则p 的否定：∃x 0>0，使得x 02⩽0，故B 不正确；对于C ，A ，B 是两个数集，则由A ∩B =A 能推出A ⊆B ，反之，由A ⊆B 能推出A ∩B =A ，所以“A ∩B =A ”是“A ⊆B ”的充要条件，故C 正确；对于D ，A ，B 是两个数集，若A ∩B ≠∅，即集合A 、B 存在相同的元素，则存在x ∈A ，x ∈B ，故D 正确， 故选：ACD.举反例可判断A 选项；由全称命题的否定是特称命题可判断B 选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C 选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D 选项． 此题主要考查全称命题的否定，集合间的交集运算和集合间的关系，集合非空和集合与元素间的关系，属于基础题．25.【答案】ACD;【解析】解：A.∵a +b =1⩾2√ab ，∴√ab ⩽a+b 2=12，∴ab ⩽14，当且仅当a =b =12时取“=“，故选项A 正确；B.∵1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+ba +ab ⩾2+2√1=4， 当且仅当a =b =12时取“=“，∴1a+1b⩾4，故选项B 错误；C.∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2，∴√a +√b ⩽√2， 当且仅当a =b =12时取“=“，故选项C 正确；D.1=(a +b)2=a 2+b 2+2ab ⩽a 2+b 2+a 2+b 2=2(a 2+b 2)， ∴a 2+b 2⩾12，当且仅当a =b =12时取“=“，故选项D 正确， 故选：ACD ．利用基本不等式逐个选项判断即可．这道题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．26.【答案】AD;【解析】解：对于选项A ，y =e x +4e x ⩾2√4=4， 当且仅当x =ln 2时，等号成立，故正确；对于选项B ，当x =110时，y =−13−12<0，故不正确；对于选项C，∵x∈(0,π)，∴sin x∈(0,1],由对勾函数的性质知，y=sin x+4sin x(x∈(0,π))的最小值为5，故不正确；对于选项D，y=√x2+1√x2+1⩾2√4=4，当且仅当x=±√3时，等号成立，故正确；故选：AD.由基本不等式的性质及前提依次对四个选项判断即可．此题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．27.【答案】AB;【解析】∵∁U B={ 2,5,8}，所以A∩∁U B={ 2}，∴A∩∁U B的子集为∁，{ 2}.故选AB.28.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了正弦定理和两角和与差的三角函数公式，属于中档题.根据正弦定理可以判断A；根据同角三角函数关系结合两角差公式可判断B；根据已知可得cos(A−B)=1,cos(B−C)=1,cos(C−A)=1即可判断C；根据正弦定理结合两角和公式可得cos C=0或sin B−sin A=0，即可判断D.解：由正弦定理得asin A =bsin B，即512=4sin B，得sin B=25，由b<a，所以B<A，所以B为锐角，所以三角形ABC有一解，故A错误；若0<tan A.tan B<1，则tan A>0，tan B>0，所以A、B为锐角，则0<sin A sin Bcos A cos B<1，所以cos A cos B−sin A sin B=cos(A+B)>0，所以A+B为锐角，所以C为钝角，则ΔABC一定是钝角三角形，故B正确；若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，所以cos(A−B)=1,cos(B−C)=1,cos(C−A)=1，则A−B=B−C=C−A=0，则A=B=C，则ΔABC一定是等边三角形，故C正确；若a−b=c.cos B−c.cos A，则由正弦定理得sin A−sin B=sin C⋅cos B−sin C⋅cos A，即sin(B+C)−sin(A+C)=sin C⋅cos B−sin C⋅cos A，则sin B cos C+cos B sin C−sin A cos C−cos A sin C=sin C⋅cos B−sin C⋅cos A，所以cos C(sin B−sin A)=0，则cos C=0或sin B−sin A=0，所以C=90°或A=B，所以ΔABC的形状是等腰或直角三角形，故D正确.故选BCD.。