苏教版必修五2.1数列的通用项公式及性质(练习及答案)

【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。

难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

数列专项-2 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

例1.写出下列数列的一个通项公式a n（1）-1,4，-9,16，-25,36，......；（2）2,3,5,9,17,33，......。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

例2.设数列{}a n 的前n 项和为()()*∈-=N n a S n n 131 （1）求21a a 、；（2）求数列n a 的通项公式。

例3.设数列{}a n 的前n 项和为()*∈+=N n a S nn 12，求证n a 为等比数列并求其通项公式。

类型Ⅲ 累加法：形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造： 11221(1)(2)..(1.)n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨--=--=⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥适用于)(n f 是可求和的情况。

①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;例4.设数列{}a n 满足11=a ，121+=-+n a a n n ，求数列的通项公式。

② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;例5.设数列{}a n 满足21=a ，n n n a a 21=-+，求数列的通项公式。

*1. （扬州检测）在等差数列{an}中，已知a3＝4，a5＝－4，则a7＝________。

*2. 已知点（1，1），（3，7）是等差数列{an}图象上的两点，则a5＝________。

**3. 已知数列{an}满足：21+n a ＝2n a ＋4，且a1＝1，若an ＞0，则an ＝________。

*4. 已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x －1＝0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________。

*5. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________块。

**6. 在等差数列{an}中，a1＝251，从第10项开始，每一项均不小于1，则公差d 的取值范畴是________。

*7. 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，求an 。

**8. 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式。

***9. 在数列{an}中，a1＝1，an ＝1311+--n n a a （n ≥2），bn ＝na 1。

（1）求证数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式。

1. －12 解析：∵数列{an}是等差数列，∴a3＋a7＝2a5， 又∵a3＝4，a5＝－4，∴a7＝2a5－a3＝－12。

2. 13 解析：a1＝1，2d ＝7－1，∴d ＝3，∴a5＝a1＋4d ＝1＋4×3＝13。

3. 34-n 解析：设2n a ＝bn ，则{bn}为等差数列，∵bn ＋1＝bn ＋4且b1＝1，∴bn ＝1＋4（n －1）＝4n －3，∴an ＝n b ＝34-n 。

4. 15 解析：∵a3和a15是方程x2－6x －1＝0的两根，∴a3＋a15＝2a9＝6，a9＝3，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝（a7＋a11）＋（a8＋a10）＋a9＝5a9＝15。

2．1数列1.了解数列的概念及分类．2.理解数列与函数的关系．3.掌握数列的表示方法．1．数列及其相关概念(1)数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每个数都叫做这个数列的项，第1项通常也叫做首项，若是有穷数列，最后一项叫做末项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….简记为{}a n.2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的表示方法通项公式法、列表法、图象法．4．数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1，2，3，4，…，100无穷数列项数无限的数列1，4，9，…，n2，…按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列3，4，5，…，n＋2递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列1，12，13，…，12 016常数列各项都相等的数列6，6，6，6，…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1，－2，3，－4，…5．数列与函数的关系在数列{a n }中，对于每一个正整数n (或n ∈{1，2，…，k })，都有一个数a n 与之对应，因此，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f (x )，如果f (i )(i ＝1，2，3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，….6．数列的图象数列用图象来表示，可以以序号n 为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，数列的图象是一系列孤立的点，从数列的图象可以直观地看出数列的变化情况．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24. 答案：243．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 解析：令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3. 答案：34．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________． 解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4， a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， 所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219. 答案：219数列的概念[学生用书P19]下列叙述正确的是________．①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；②数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列；③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1k ； ④数列0，2，4，6，8，…可表示为a n ＝2n (n ∈N *)．【解析】 对于①，{1，3，5，7}是集合； 对于②，是两个不同的数列，排列顺序不同； 对于③，a k ＝k ＋1k ＝1＋1k ；对于④，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)．【答案】 ③(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的． (2)判断数列单调性的方法：①若数列{a n }满足a n <a n ＋1，则是递增数列． ②若数列{a n }满足a n >a n ＋1，则是递减数列． ③若数列{a n }满足a n ＝a n ＋1，则是常数列．1.下列各组元素能构成数列吗？如果能构成数列，判断是有穷数列，还是无穷数列，并说明理由．(1)3，11，1，2，8，9； (2)自然数集；(3)－3，－1，1，x ，5，7，y ，11. 解：(1)能构成数列，且是有穷数列．(2)能构成数列，且是无穷数列，形式如：0，1，2，3，….(3)当x ，y 代表数时表示数列，此时是有穷数列，当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定次序排列组成的．由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P19]写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3，5，9，17；(2)23，415，635，863；(3)－1，32，－54，78；(4)0，1，0，1；(5)9，99，999，9 999.【解】 (1)3＝2＋1，5＝4＋1＝22＋1，9＝8＋1＝23＋1，17＝16＋1＝24＋1，通项公式a n ＝2n ＋1.(2)根据题意分析可知：分子为2的倍数， 即为2n ，分母比分子的平方小1，所以a n ＝2n（2n ）2－1.(3)该数列各项的符号是负正交替变化的， 其绝对值为11，32，54，78，故a n ＝(－1)n ·2n －12n －1.(4)该数列前4项可以写成1－12，1＋12，1－12，1＋12，再归纳为1＋（－1）12，1＋（－1）22，1＋（－1）32，1＋（－1）42，所以a n ＝1＋（－1）n2.(5)因为9＝101－1，99＝102－1，999＝103－1，9 999＝104－1，所以a n ＝10n －1.用观察法求数列通项公式的注意事项给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．2.写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)12，34，78，1516. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， …，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)12＝21－121＝1－121，34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123， 1516＝24－124＝1－124， …，故a n ＝2n －12n ＝1－12n (n ∈N *)．通项公式的简单应用[学生用书P20]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解】 (1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 解：(1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 3＝3×32－28×3＝－57， a 8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n 2－28n ＝20， 解得n ＝10或n ＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项．(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n 项，然后列出关于n 的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－12n ＋34.。

第二章数列答案第1课时数列的概念及其通项公式1．（１）21，81（2）6465,89 2．53．（１）n a n n )1(-= （２）n a n 2= （3）2n a n =（４）111+-=n n a n 4.解：(1)n a ＝2n ＋1；(2)n a ＝)12)(12(2+-n n n；(3)n a ＝2)1(1n-+；(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,∴n a ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……， ∴n a ＝(－1)1+n n(n ＋1)５．（1）440,80208==a a（2）323是这个数列的第17项 ６．（1）21-=a 72-=a 103-=a 114-=a 105-=a （2）当4=n 时，取最小的值11-第2课时数列的概念及其通项公式1．C2．25-3．∵13a =,121n n a a +=+,∴27a =,315a =,431a =,563a =, ∴121n na +=-4．解：(1)1a ＝0,2a ＝1,3a ＝4,4a ＝9,5a ＝16,∴n a ＝(n －1)2;(2)1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52,5a ＝6231=,∴n a ＝12+n ;5．（１）n n a 2= （２）3n a n =（3）2)1(2ab b a a nn --++=（４）n a n =（5）)110(31)1(!--=+n n n a6．设n a kn b =+,则31021k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得21k b =⎧⎨=⎩,∴21()n a n n N *=+∈,∴20054011a =,又∵2a ,4a ,6a ,8a ,L 即为5,9,13,17,…,∴41n b n =+第3课时等差数列的概念和通项公式1.C2.A3.D4.C5.23n -6.87.108.39.由题意知27na n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项.又由2727n k -=+解得7n kN *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.10.(1)445,2171==d a (2)179=a第4课时等差数列的概念和通项公式1. D2.B3.A4.245.26.3:17.218.解：∵{a n }是等差数列∴1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2 ∴d=4a －3a =7－2=5∴9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2,9a =329.解：当n ≥2时,（取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p.10.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.第5课时等差数列的概念和通项公式1.B2.C3.B4.D5.B6.3：4：57.1,5,11-或11,5,1-或6,5,16-或16,5,6-8.共40项;9．中间三个齿轮的齿数为16，20，2410.(1)每一行与每一列都成等差数列(2)100,10020200a =第6课时等差数列的前n 项和（1）1.C2.D3.A4.B 5．6(1)84(1,)n n n n N *=⎧⎨->∈⎩6．0 7．6 8.8769．∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+=∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=L g . 10．0,121,1,n n a n n n N *=⎧=⎨->∈⎩第7课时等差数列的前n 项和（2）1． D2.B3.A4.401003- 5.66．247．1650 8．-110 9.14710．①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩g ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ 解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩, 又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S L 中6S 最大.第8课时等差数列的前n 项和（3）1.A2.C3.A4.C5.B6.113,-227.208.209．前18、19项和相等且最大；n A 最大值略10.（1）第100行是199个数的和，这些数的和是10000 （2）第ｎ行的值2n第9课时等比数列的概念和通项公式1.A2.D3.A4.C 102.510⨯8.证明略 9.9，6，4，2或25，－10，4，18 10.证明略第10课时等比数列的概念和通项公式1.D2.B3.A4.C7.58.①②③9.平均每年至多只能减少8公顷 10．(1)Ａ1Ｂ1=a 5，Ａ2Ｂ2=a 35，Ａ3Ｂ3=a 955 (2)Ａn Ｂn=a n 1)35(5-⋅ 第11课时等比数列的概念和通项公式1.C2.B3.C4.C5.46.81,4096--或7.3,(1)2,(2)n n n =⎧⎨⎩… 8.20%9.∵在等比数列{}n a 中,12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+== 10.解：（1）a n +1=S n +1–S n221)2(81)2(81+-+=+n n a a , ∴8a n +1=221)2()2(+-++n n a a , ∴0)2()2(221=+--+n n a a , ∴（a n +1+a n ）（a n +1–a n –4）=0， ∵a n ∈N *，∴a n +1+a n ≠0，∴a n +1–a n –4=0，即a n +1–a n =4， ∴数列{a n }是等差数列. （2）由a n +1–a n =4，由题知B n +1=5B n –4B n –1 B n +1–B n =4（B n –B n –1） b n +1=4b n （n ≥2）又已知b 1=1，b 2=4.故{b n }是首项为1，公比为4的等比数列.a n =4n –1（n ∈N +）第12课时等比数列的前n 项和(1)1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+9.2710.⎛ ⎝⎭ 11.由211128n n a a a a -==gg ,又166n a a +=得,1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.第13课时等比数列的 前n 项和(2)1.A2.B3.C4.A5.C6.35 7.88.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=)111(82122+-=+⋅=n n n n b n ∴数列{bn}的前n 项和：)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝18+n n9.解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11nn a a a n -+--- 10．解：设nn n n a n -+=++=111，则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n )1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n第14课时等比数列的前n 项和(3)1.D2.D3.C4.C5.A6.31123n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦7.20468.12(1)q +9.【解】∵⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a ,解得1a ＝5,d ＝3,∴n a ＝3n ＋2,n b ＝n a 2＝3×n2＋2,n S ＝(3×2＋2)＋(3×22＋2)＋(3×32＋2)＋……＋(3×n 2＋2)＝3·12)12(2--n ＋2n ＝7·n2－6.（分组求和法）10.甲方案的总利润68.161≈S 万元 乙方案的总利润56.162≈S 万元 甲方案优第15课时数列复习课练习(1)（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）－1 （7）120 （8）54 （9）92（10）31nn --（11）①，不能一次性还清贷款；②617.4万元 （1231[1()]23n n a =-;1311(21)()443n n S n -=-+. 第16课时数列复习课练习(2)（1）D.（2）C.（3）C.（4）B.（5）A.（6）C.（7）D.（8）3000.（9）10，11，12. （10）25. （11）提示：利用等差中项的概念.（12）提示:设()f x kx b =+求得()21f x x =-,(1)(2)(3)(4)(5)25f f f f f ++++=.第2章数列数列单元测试1、B2、B3、C4、A5、120°6、10，37、11，178、12，183249、13，10（略）11、解：由⎩⎨⎧=++=,28,44322a a a a 得⎩⎨⎧=+=.24)1(,4211q q a q a 由0>n a 解出⎩⎨⎧==.2,21q a 所以833==+q a a nn . 12、（1）a n =-2m=10；（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=6n 40n 9n 5n 1n9n S 22n ；（3）m=713、A14、B15、D16、C17、B18、123n +-19、12-n20、5421、222、(3)63110f =++=;观察图4,不难发现第n 堆最底层（第一层）的乒乓球数123n a n =++++L (1)2n n +=,第n 堆的乒乓球总数相当于n 堆乒乓球的底层数之和,即123()n f n a a a a =++++L 222211(1)(1)(2)(123)2226n n n n n n +++=+++++⋅=L 23、解:∵10S n =a n 2+5a n +6,①∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3.又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②由①－②得10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0,∴a n －a n －1=5(n ≥2).当a 1=3时,a 3=13,a 15=73.a 1,a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时,a 3=12,a 15=72,有a 32=a 1a 15,∴a 1=2,∴a n =5n －3. 24、（I ）证明：2132,n n n a a a ++=-Q21112*2112(),1,3,2().n n n n n n n na a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-Q{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

高中数学学习材
料
（灿若寒星 精心整理制作）
第2课时 数列的概念及其通项
公式
【分层训练】
1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 2．已知数列{}
n a 满足12a =-，
1221n n n
a a a +=+
-，则4
a = .
3.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
【拓展延伸】
4．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)； (2) 1a ＝1, 1+n a ＝2
2+n n
a a (n ∈N)；
5．写出一个数列的通项公式，使它的前４项分别是下列各数： （１）2，4，8，16； （２）1，8，27，64； （３）a ，b ，a ，b ； （４）1，2，3，2; （5）3,-33,333,-3333.
6. 已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ①求{}n a 的通项公式，并求2005a ； ②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归
纳{}n b 的一个通项公式.
【师生互动】学生质疑
教师释疑。

习题课(一) 求数列的通项公式学习目标n 项和S n 与a n 的关系求通项公式的方法．知识点一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式思考 你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2): 0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．答案 数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是a n ＝(－1)n，故数列(2)的通项公式是a n ＝(－1)n＋1.梳理 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托根本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系． 知识点二 利用递推公式求通项公式思考 还记得我们是如何用递推公式a n ＋1－a n ＝d 求出等差数列的通项公式的吗？ 答案 累加法．梳理 递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．知识点三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式 思考 如何用数列{a n }的前n 项和S n 表示a n ?答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.梳理 当S n 或S n 与a n 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n 讨论．1．数列可由其前四项完全确定．(×)2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n 任意赋值．(√) 3．{S n }也是一个数列．(√)类型一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)12，23，34，45，56，…； (3)2，52，134，338，8116，…；(4)12，16，112，120，130，…. 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式a n ＝4＋(－1)n .(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝nn ＋1.(3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋116，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12n －1.(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，15×6，…，所以它的一个通项公式为a n ＝1n (n ＋1).反思与感悟 这类数列通常是由根本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想根本数列，再考察它与根本数列的关系．跟踪训练1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(6n －5)．(2)数列化为14，37，510，713，916，…，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －13n ＋1.(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－19，…，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n ＋1)2－12n ＋1.类型二 利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)， 即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ≥2)，a 1＝1也符合上式．∴a n ＝n (n ＋1)2.(2)由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1， 代入上式得(n －1)个等式累乘之， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n(n ≥2)，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n (n ≥2)，a 1＝23也符合上式．∴a n ＝23n.反思与感悟 型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )．第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来． 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n .第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．累乘法类似．跟踪训练 2 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (1)22n n-n a =(n ∈N *)解析 由a n ＋1＝2na n ，得a n ＋1a n＝2n， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝21×22×23×…×2n －1，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)(经历证a 1＝1也符合)(n ∈N *)．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1 (n ＝2,3,4，…)，求{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，这n －1个等式累加得， a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋22且a 1＝1也满足该式，∴a n ＝n 2－n ＋22(n ∈N *)．命题角度2 构造等差(比)数列例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n . 考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，那么t ＝－3. 故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．(1)(1)(1)22212,22---===n n n n n n n a a 故令b n ＝a n ＋3，那么b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.反思与感悟 型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )． 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1.第三步 写出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1的通项公式．第四步 写出数列{a n }通项公式．跟踪训练3 数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 设a n ＋1＋x ×5n ＋1＝2(a n ＋x ×5n)，①将a n ＋1＝2a n ＋3×5n代入①式，得2a n ＋3×5n＋x ×5n ＋1＝2a n ＋2x ×5n，等式两边消去2a n ，得3×5n＋x ×5n ＋1＝2x ×5n，两边除以5n，得3＋5x ＝2x ，那么x ＝－1，代入①式得a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)．②由a 1－51＝6－5＝1≠0及②式得a n －5n≠0，那么a n ＋1－5n ＋1a n －5n ＝2，那么数列{a n －5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，那么a n －5n ＝2n －1，故a n ＝2n －1＋5n (n ∈N *)．类型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式例4 数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2a n －4，n ∈N *，那么a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n ＋1解析 因为S n ＝2a n －4，所以S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，那么a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.反思与感悟 S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式．第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式．第三步 假设求出n ≥2时的{a n }的通项公式，那么根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进展验证，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．如果求出的是{a n }的递推公式，那么问题化归为类型二．跟踪训练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 (1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2·3n －2.于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.1．等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.考点 等比数列的通项公式 题点 数列为等比数列求通项公式 答案 2n解析 ∵{a n }单调递增，∴q ＞0， 又a 25＝a 10＞0，∴a n ＞0，q ＞1， 由条件得2⎝⎛⎭⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，∴q ＝2或q ＝12(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9， ∴a 1＝q ＝2，故a n ＝2n.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，那么a 1＝________，S 5＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 1 121解析 a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，即a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么此数列的通项公式a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.证明{a n }是等比数列，并求其通项公式． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 所以{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.1．不管哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为根底．2．利用数列前假设干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜测，是否对所有项都适用还需论证．3．待定系数法求通项，其本质是猜测所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜测成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项．4．使用递推公式或前n 项和求通项时，要注意n 的取值范围．一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，那么a 100的值是________． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 9902解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n ，那么这个数列的第n 项为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案12n －1解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1. ∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝______________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 2＋ln n解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 得a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×…×n n －1＝ln n ，即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2(经历证a 1＝2也符合)．4．数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，那么此数列的通项公式a n ＝__________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案n2n －1解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2， 即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2na n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2na n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝n2n －1.5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 2n－1解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，即a n ＝2n－1.6．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：那么第8行中的第5个数是________．考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式 答案 132解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，那么第8行中的第5个数是127＋5＝132.7．假设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，那么数列{a n }的通项公式为________________． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 a n ＝4n －2解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列．∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式．∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n(n ∈N *)，那么b n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列， ∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法 题点 累乘法求通项 答案 n 解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n (经历证a 1＝1也符合)． 10．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，那么a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 那么a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，那么{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 即a n ＝－2a n －1，又a n ≠0，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 二、解答题12．S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3， ∴当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. ∴a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，∴2n a n －2n －1a n －1＝2， ∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2S n －2S n －1－2n ＋1，∴S n ＝2S n －1＋2n －1，①∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6， ∴a n ＋2≠0.∴a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 又a 2＋2a 1＋2＝2，也满足上式， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋2＝3·2n －1， ∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.三、探究与拓展14．假设在数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，那么它的通项公式a n 为________________．考点 递推数列通项公式求法题点 其他递推数列问题答案 a n ＝123n －解析 由题意知a n >0且a n ≠1，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，且lg a n ≠0，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝lg 123n －.即a n ＝123n －.15．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－3a n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4的值；(2)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列(1)解 a 3＝4a 2－3a 1＝13，a 4＝4a 3－3a 2＝40.(2)证明 ∵a n ＋2＝4a n ＋1－3a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )．又a 1＝1，a 2＝4，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，那么{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，3为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n ＋1－a n ＝3n ， 那么当n ≥2时，a n －a n －1＝3n －1， 故a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1＝1－3n 1－3＝3n －12. 又a 1＝1适合上式，故a n ＝3n －12，n ∈N *.。

[学业水平训练]一、填空题1．已知数列{a n }为等差数列，a 3，a 9是方程x 2－4x ＋2＝0的两个根，则a 6＝________．解析：∵2a 6＝a 3＋a 9＝4，∴a 6＝2.答案：22．已知等差数列的前三项为a －1，a ＋1，2a ＋3，则这个数列的通项公式是________．解析：由题意得a ＋1－(a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，得a ＝0，∴数列是首项为－1，公差为2的等差数列，∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3.答案：a n ＝2n －33．数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，n ∈N *，则a 101＝________.解析：根据题意，得2a n ＋1－2a n ＝1，2a 1＝4.∴{2a n }是首项为4，公差为1的等差数列，∴2a 101＝4＋(101－1)＝104，∴a 101＝52.答案：524．(2014·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．解析：法一：因为a 1，a 4，a 7成等差数列，所以a 1＋a 7＝2a 4，得a 4＝13.同理a 2＋a 8＝2a 5，得a 5＝11，从而a 6＝a 5＋(a 5－a 4)＝9，故a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27.法二：由{a n }为等差数列可知，三个数a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a 3＋a 6＋a 9＝33＋(－6)＝27.答案：275．数列{a n }中，首项a 1＝3，且有2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，则数列{a n }的通项公式是________．解析：递推关系式2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，两边同时除以a n ＋1·a n ，可得2（a n ＋1－a n ）a n ＋1·a n ＝1，即1a n ＋1－1a n＝－12. 若令b n ＝1a n ，显然数列{b n }是以－12为公差的等差数列且首项b 1＝1a 1＝13. 所以b n ＝13＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12＝－12n ＋56＝5－3n 6. 所以a n ＝1b n ＝65－3n. 答案：a n ＝65－3n6．设首项为－20的数列{a n }为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋（7－1）d ＝－20＋6d ≤0，a 8＝a 1＋（8－1）d ＝－20＋7d >0，解得⎩⎨⎧d ≤103，d >207.从而d 的取值范围是(207，103]． 答案：(207，103] 7．如果f (n ＋1)＝2f （n ）＋12(n ＝1，2，3，…)且f (1)＝2，则f (2 014)等于________． 解析：∵f (n ＋1)＝2f （n ）＋12＝f (n )＋12， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12， 即数列{f (n )}是首项为2，公差为12的等差数列． 所以通项公式为：f (n )＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32，∴f (2 014)＝12×2 014＋32＝1 008.5. 答案：1 008.5二、解答题8．设等差数列{a n }中，a n >0，a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，求通项a n .解：法一：∵{a n }为等差数列，∴a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)， 则a n －1－（a n －1＋a n ＋1）24＋a n ＋1＝0 ⇒4(a n －1＋a n ＋1)＝(a n －1＋a n ＋1)2，又a n －1＋a n ＋1>0，所以a n －1＋a n ＋1＝4.又a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2.法二：∵{a n }为等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1.根据题意，得2a n －a 2n ＝0.∵a n >0，∴a n ＝2.法三：设a n ＝pn ＋q (p ，q 均为常数)．代入a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0化简，得p 2n 2＋(2pq －2p )n ＋q 2－2q ＝0，因为此式对一切n 均成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝0，2pq －2p ＝0，q 2－2q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝2. 所以a n ＝0或a n ＝2，因为a n >0，所以a n ＝2.9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N *.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[高考水平训练]一、填空题1．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，则a 2 014＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，①由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②由①②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220.∴d 2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a 2 014＝4 027.答案：4 0272．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________．解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19， 又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.答案：19二、解答题3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 3＝10.若b n ＝12a n －30，求： (1)数列{b n }的通项公式；(2)|b n |的最小值．解：(1)由题意，知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，故数列{a n }为等差数列．又a 1＝2，a 3＝10，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝4， 所以a n ＝4n －2，从而b n ＝12a n －30＝2n －31. (2)由2n －31≥0，解得n ≥312. 又n ∈N *，所以当1≤n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0.又数列{b n }为递增数列，从而b 15是前15项中绝对值最小的，b 16是15项之后绝对值最小的．而|b 15|＝1，|b 16|＝1，所以|b n |的最小值为1.4．已知{a n }是等差数列且a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列．求：(1)原数列中的第12项是新数列中的第几项？(2)新数列中的第29项是不是原数列中的项？为什么？解：(1)记新的等差数列为{b n }，设其公差为d .则d ＝3－24＝14，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2＋14(n －1)，又原数列第12项为13.令2＋(n －1)·14＝13，解得n ＝45.∴原数列的第12项为新数列的第45项．(2)是．理由：∵b 29＝2＋28×14＝9，令2＋(n －1)＝9，∴n ＝8.∴新数列的第29项是原数列的第8项．。