吉林省白山市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

2021年吉林省白山市高考数学联考试卷（文科）（三模） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列复数中实部与虚部互为相反数的是( )A. 2−iB. (1−i)2C. i(1−2i)D. i(1+i)2. 已知集合A ={x ∈Z|−3<x <5}，B ={y|y =2x,x ∈A}，则A ∩B 的元素个数为( )A. 6B. 5C. 4D. 33. 在△ABC 中，若AB =1，AC =5，sinA =35，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3 B. ±3 C. 4 D. ±44. 函数f(x)=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f(4))处的切线的斜率为( )A. −5B. −6C. −7D. −85. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要( )A. 16天B. 17天C. 18天D. 19天6. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图(2)所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图(1)，(2)，(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139,5645,107，设图(1)，(2)，(3)中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A. e 1>e 3>e 2B. e 2>e 3>e 1C. e 1>e 2>e 3D. e 2>e 1>e 37. 已知函数f(x)=lgx −(12)x ，f(m)=1，且0<p <m <n ，则( )A. f(n)>1且f(p)<1B. f(n)>1且f(p)>1C. f(n)<1且f(p)>1D. f(n)<1且f(p)<18. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A 1C//平面BC 1D ，则D 为( )A. 棱AB 的中点B. 棱AA 1的中点C. 棱BC 的中点D. 棱A 1B 1的中点9. 执行如图所示的程序框图，则输出的i =( )A. 10B. 20C. 15D. 2510. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x ≤7,x ∈N)天进店消费的人数为y ，且y 与[5xx 2]([t]表示不大于t 的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为( )A. 74B. 76C. 78D. 8011. 已知函数f(x)=tanx −sinxcosx ，则( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的图象关于y 轴对称C. f(x)的图象关于(π,0)对称D. f(x)的图象不关于(π2,0)对称12. 如图，正四棱锥P −ABCD 的每个顶点都在球M 的球面上，侧面PAB 是等边三角形.若半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球M 的体积的比值为( )A. √314B. √316C. √315D. √318二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某文学兴趣小组要从《飘》《围城》《红与黑》《西游记》《红楼梦》五本名著中任意选取两本，一起交流读书心得，则该小组选取的名著都是中国名著的概率为______ ．14. 若x ，y 满足约束条件{3x +y ≥0,2x −y ≤5,则x +y 有最______ (填“大”或“小”)值为______ ．15. 在数列{a n }中，a 1=2，(n 2+1)a n+1=2(n 2−2n +2)a n ，则a n = ______ ． 16. 已知P 是双曲线x 2−y 23=1右支上一点，则P 到直线y =2x 的距离与P 到点F(−2,0)的距离之和的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =√3，b =2．(1)若A =π6，求cos2B ；(2)当A 取得最大值时，求△ABC 的面积．18. 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的线性回归方程为y ̂=0.8135x +a ̂． (1)求a ^的值；(2)该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F 有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F 需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额.(结果用万元表示)参考数据：取0.8135×36=29.29．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆O(O为圆心)过点A，且AO=AC=AP=2，PA⊥底面ABCD，M为PC的中点．(1)证明：平面OAM⊥平面PCD．(2)求四棱锥M−AOCD的侧面积．x2)e x的定义域为[−1,+∞)．20.已知函数f(x)=(x3−43(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论函数g(x)=f(x)−a在[−1,2]上的零点个数．21. 已知F 为抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，直线l ：y =2x +1与C 交于A ，B两点，且|AF|+|BF|=20． (1)求C 的方程；(2)若直线m ：y =2x +t(t ≠1)与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x =√−y 2+2y +3．(1)写出曲线C 的一个参数方程；(2)若A(1,0)，B(−1,0)，点P 为曲线C 上的动点，求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x +b|．(1)若a =b 2+3b +2，证明：∀x ∈R ，b ∈R ，f(x)≥1．(2)若关于x 的不等式f(x)≤7的解集为[−6,1]，求a ，b 的一组值，并说明你的理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A ，复数2−i 的实部是2，虚部是−1，不是相反数； 对于B ，(1−i)2=1−2i +i 2=−2i ，实部为0，虚部是−2，不是相反数； 对于C ，i(1−2i)=2+i ，实部是2，虚部是1，不是相反数；对于D ，i(1+i)=−1+i ，实部是−1，虚部是1，是相反数，符合题意． 故选：D ．分别求出各个选项的实部与虚部，即可求得结论．本题主要考查复数的运算，复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵A ={−2,−1,0，1，2，3，4}，B ={−4,−2,0，2，4，6，8}， ∴A ∩B ={−2,0，2，4}， ∴A ∩B 的元素个数为：4． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算求出A ∩B ，从而得出A ∩B 的元素个数． 本题考查了集合的描述法和列举法的定义，元素与集合的关系，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：在△ABC 中，若AB =1，AC =5，sinA =35，可得cosA =±45， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×5×(±45)=±4． 故选：D ．利用已知条件求解A 的余弦函数值，然后求解向量的数量积即可． 本题考查新来的数量积的求法，三角函数求值，是基础题．4.【答案】D【解析】解：f(x)=x 3−7x 2+1的导数为f′(x)=3x 2−14x ，可得f(x)的图象在点(4,f(4))处的切线的斜率为k =3×42−14×4=−8． 故选：D ．求得f(x)的导数，由导数的几何意义，代入x=4，计算可得所求切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设需要n天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，以8为首项，0.5为公差的等差数列，∴8n+n(n−1)2×0.5≥200，∴n2+31n−800≥0，当n=16时，162+31×16−800<0，当n=17时，172+17×31−800>0，故选：B．利用题中的条件，易知每天跑步的里程为等差数列，求其前n项和即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：图(1)，(2)，(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139,5645,107，图(1)，(2)，(3)中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，所以e1=ca =√1−(ba)2=√1−(913)2=√8813e2=ca =√1−(ba)2=√1−(4556)2=3√10156，e3=ca =√1−(ba)2=√1−(710)2=√5110，因为4556>710>913，所以e1>e3>e2，故选：A．利用已知条件，推出离心率的大小即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】∵y=lgx在(0,+∞)上是单调递增的，y=(12)x在(−∞,+∞)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．又∵f(m)=1，且0<p<m<n，∴f(n)>1且f(p)<1故选：A．)x的单调性判断出f(x)的单调性，然后根据单调判断出f(n)，先根据y=lgx和y=(12f(m)，f(n)的大小关系．本题主要考查基本初等函数的单调性，考查推理论证能力．8.【答案】D【解析】解：如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，连接CE，A1E，由A1D=BE，A1D//BE，可得四边形BEA1D为平行四边形，即有A1E//BD，由A1E⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，所以A1E//平面BDC1，同理可得CE//平面BDC1，由CE∩A1E=E，可得平面A1CE//平面BC1D，由于A1C⊂平面A1CE，则A1C//平面BC1D.故选：D．当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，由平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定和性质，可得结论．本题考查线面平行的判定，考查直观想象、推理论证的能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：执行如图所示的程序框图，a=1+10=11，i=5；a=5+22=27，i=10；a=21+54=75，i=15；a=69+150=219>100，i=20；满足题意，输出i=20．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由题意可设比例系数为k，]，∴10=k[5112∴k=2，]=2×39=78，∴y=2[5442故选：C．利用题中的条件，第1天有10人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：因为f(x+π)=f(x)，即函数的最小正周期为π，又f(−x)=−f(x)≠f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象不关于y轴对称，A，B错误；因为f(2π−x)=−tanx+sinxcosx=−f(x)，所以函数图象关于(π,0)对称，C正确，D错误．故选：C．结合三角函数的对称性，周期性，奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了三角函数的对称性与周期性，考查了逻辑推理的核心素养．12.【答案】D【解析】解：如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H，可知PO⊥底面ABCD，设AB=4，则BD=√42+42=4√2，BD=2√2，PO=√BP2−BO2=2√2，BO=12设球M的半径为R，半球O的半径为r，则R=2√2，r=OH，在等边三角形PCD中，求得PE=√42−22=2√3，由Rt △PHO∽Rt △POE ，可得r R =OH PO =OE PE =2√3=√3， 故V 半球OV球M=12×43πr 343πR 3=12×(rR)3=√318． 故选：D ．设AB =4，求得O 到四棱锥各个顶点的距离相等，说明O 为球M 的球心，分别求出半球O 与球M 的半径，代入球的体积公式得答案．本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．13.【答案】310【解析】解：某文学兴趣小组要从《飘》《围城》《红与黑》《西游记》《红楼梦》五本名著中任意选取两本，基本事件总数n =C 52=10，其中该小组选取的名著都是中国名著包含的基本事件个数m =C 32=3，则该小组选取的名著都是中国名著的概率为P =m n=310．故答案为：310．基本事件总数n =C 52=10，其中该小组选取的名著都是中国名著包含的基本事件个数m =C 32=3，由此能求出该小组选取的名著都是中国名著的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14.【答案】小 −2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z =x +y ，得y =−x +z ，平移直线y =−x +z ，由图象知当直线y =−x +z 经过A(1,−3)时，直线y =−x +z 的截距最小，此时最小值为z =1−3=−2，无最大值， 故答案为：小，−2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】2n(n−1)2+1【解析】解：∵数列{a n }中，a 1=2，(n 2+1)a n+1=2(n 2−2n +2)a n ， 即(n 2+1)a n+1=2[(n −1)2+1]⋅a n ，∴{[(n −1)2+1]⋅a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故[(n −1)2+1]⋅a n =2n ， ∴a n =2n(n−1)2+1， 故答案为：2n(n−1)2+1．根据递推关系式推得[(n −1)2+1]⋅a n }是首项为2，公比为2的等比数列，进而求解结论．本题主要考查等比数列的定义以及通项公式，考查推理能力，属于中档题．16.【答案】4√55+2【解析】解：易知F(−2,0)是双曲线的左焦点，设右焦点为F′，则|PF|−|PF′|=2a =2， ∴|PF|=|PF′|+2，∴当P 到直线y =2x 的距离与P 到点F(−2,0)的距离之和取得最小值时，P 到直线y =2x 的距离与P 到点F′的距离之和也取得最小值， 又点F′到直线y =2x 的距离为d =4√5=4√55， ∴所求最小值为d +2=4√55+2．故答案为：4√55+2．由双曲线定义可得|PF|=|PF′|+2，易知当P 到直线y =2x 的距离与P 到点F(−2,0)的距离之和取得最小值时，P 到直线y =2x 的距离与P 到点F′的距离之和也取得最小值，由此即可得出答案．本题考查双曲线的定义的运用，考查化归与转化的数学思想，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理a sinA =bsinB 得，√312=2sinB ，解得sinB =√33，∴cos2B =1−2sin 2B =1−23=13；(2)由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=c 2+14c，∵c 2+14c≥2c 4c =12，当且仅当c =1时等号成立，∴cosA ≥12，则0<A ≤π3，即A 的最大值为π3， 此时，S △ABC =12bcsinA =12×2×1×√32=√32．【解析】(1)根据正弦定理即可求出sin B 的值，然后根据二倍角的余弦公式即可求出cos2B 的值；(2)根据余弦定理可得出cosA =c 2+14c≥12，当c =1时取等号，这样即可求出A 的最大值为π3，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．本题考查了正余弦定理，二倍角的正弦公式，余弦函数的图象，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意可得，x −=15(5000+4000+3500+3000+2500)=3600，A ，B ，C ，D ，E 五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为4000，3600，2800，2400，2100，则y −=15(4000+3600+2800+2400+2100)=2980， 因为y ̂=0.8135x +a ̂．所以有a ̂=2980−0.8135×3600=51；(2)当x =10000时，y ̂=0.8135×10000+51=8186， 故补贴总额约为8186×1000=818.6万元．【解析】(1)先求出样本中心，然后代入已知的回归方程中求解即可； (2)将x =10000代入回归方程中求解即可．本题考查了线性回归方程的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：由题意知点A 为圆上一点，则AB ⊥AC ，由PA ⊥底面ABCD ，知PA ⊥AB ， 又PA ∩AC =A ，PA 、AC ⊂平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥AM ，又AB//CD，则AM⊥CD，∵AC=AP，M为PC中点，∴AM⊥PC，∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PCD，∴AM⊥平面PCD，∵AM⊂平面OAM，∴平面OAM⊥平面PCD．(2)由(1)知AM⊥平面PCD，∴AM⊥MD，AM=√22PA=√2，MD=√AD2−AM2=√16−2=√14，∴S△AMD=√2×√142=√7，∵BP=BC=4，O，M分别为BC，PC的中点，∴OM=12BP=2=OA，设AM边的高为h，则ℎ=√OA2−(AM2)2=√142，S△OAM=√2×√14 22=√72，∵OA=OC，MA=MC，∴S△OCM=S△OAM=√72，∵V M−ACD=V A−OMD，∴13×PA2×S△ACD=13×AM×S△CMD，解得S△CMD=√6，∴四棱锥M−AOCD的侧面积S=2√7+√6．【解析】(1)推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAC，AB⊥AM，由AB//CD，得AM⊥CD，由AC=AP，M为PC中点，得AM⊥PC，从而AM⊥平面PCD，由此能证明平面OAM⊥平面PCD．(2)由AM⊥平面PCD，得AM⊥MD，由V M−ACD=V A−OMD求出S△CMD=√6，由此能求出四棱锥M−AOCD的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=(x3+53x2−83x)e x=x3(3x+8)(x−1)e x，∵x∈[−1,+∞)，∴f′(x)的零点为0和1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，令f′(x)>0，解得：x>1或−1≤x<0，故f(x)在(0,1)递减，在[−1,0)，(1,+∞)递增；(2)由(1)知：f(x)在(−1,+∞)上的极大值是f(0)=0，极小值是f(1)=−e3，∵f(−1)=−73e ，f(−1)f(1)=7e 2<72.72<1，∴f(1)<f(−1)<0， f(2)=8e 23，由g(x)=0，得f(x)=a ，当a <−e3或a >8e23时，g(x)的零点个数是0，当a =−e3或0<a ≤8e23时，g(x)的零点个数为1，当−e 3<a <−73e 或a =0时，g(x)的零点个数为2， 当−73e ≤a <0时，g(x)的零点个数为3．【解析】(1)求出函数的等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)根据函数的单调性求出函数的极大值和极小值，通过讨论a 的范围，判断函数的零点个数即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得F(0,p 2)，准线方程为y =−p2，由y =2x +1与x 2=2py 联立，可得x 2−4px −2p =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=4p ，y 1+y 2=2(x 1+x 2)+2=8p +2， 所以|AF|+|BF|=y 1+y 2+p =8p +2+p =20，解得p =2， 则抛物线的方程为x 2=4y ；(2)证明：设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，T(x 0,y 0)，TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠1)， 因为AB//MN ，所以TN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λTB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由{x 12=4y 1x 22=4y 2，可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)=4(y 1−y 2)， 可得x 1+x 2=4(y 1−y 2)x 1−x 2=8，同理可得x 3+x 4=8，由{x 3−x 0=λ(x 1−x 0)x 4−x 0=λ(x 2−x 0)，两式相加可得x 3+x 4−2x 0=λ(x 1+x 2−2x 0)， 即(4−x 0)(1−λ)=0，λ≠1，可得x 0=4， 所以T 在定直线x =4上．【解析】(1)由y =2x +1与x 2=2py 联立，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程可得p ，可得抛物线的方程；(2)设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，T(x 0,y 0)，TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠1)，由点差法推得x 1+x 2=8，x 3+x 4=8，再由向量共线的坐标表示，可得T 在定直线上．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的方程为x =√−y 2+2y +3，整理得x 2+(y −1)2=4，转换为参数方程为{x =2cosθy =1+2sinθ(θ为参数，−π2≤θ≤π2).(2)由(1)得：点P(2cosθ,1+2sinθ)， 由于A(1,0)，B(−1,0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2cosθ,−1−2sinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−2cosθ,−1−2sinθ)， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2cosθ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4sinθ，故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+4√2sin(θ+π4)， 由于−π2≤θ≤π2， 故−√22≤sin(θ+π4)≤1， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0,4+4√2].【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用平面向量的数量积和三角函数的关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)证明：f(x)=|x +a|+|x +b|≥|x +a −(x +b)|=|a −b|，因为a =b 2+3b +2，所以|a −b|=|b 2+2b +2|=|(b +1)2+1|≥1， 当b =−1时，|a −b|取得最小值1， 故∀x ∈R ，b ∈R ，f(x)≥1．(2)解：由题意可得，f(−6)=f(1)=7，即|a −6|+|b −6|=|1+a|+|1+b|=7， 不妨取a =0，则b =5，下面证明|x|+|x +5|≤7的解集为[−6,1]．证明：当x ≤−5时，−2x −5≤7，则x ≥−6，又x ≤−5，所以−6≤x ≤−5； 当−5<x <0时，5≤7，显然成立，所以−5<x <0； 当x ≥0时，2x +5≤7，则x ≤1，又x ≥0，所以0≤x ≤1； 综上所述，|x|+|x +5|≤7的解集为[−6,1]，故a，b的一组值为0和5．【解析】(1)利用绝对值不等式的结论求出f(x)≥|a−b|，然后再利用二次函数的性质求解|a−b|的最小值，即可证明；(2)利用f(−6)=f(1)=7，取a=0，则b=5，然后证明不等式|x|+|x+5|≤7的解集为[−6,1]即可．本题考查了含有绝对值的函数，绝对值不等式结论的应用，此类问题的一般解法是利用绝对值的定义进行分类讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．。

吉林省白山市2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，表示出向量AM ,然后求解向量的数量积． 【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，可得12.33AM AB AC =+ 则AB AM ⋅=12()33AB AB AC ⋅+=212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 2．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.3．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当6x =时取等号，此时123S =故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 4．复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．3 B ．22C ．2 D 2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+， 所以1z i =--，z =， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ． 方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 6．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出． 【详解】①因为()()f x f x π=+，所以π是()f x 的一个周期，①正确；②因为()2fπ=，5242f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，②错误；③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，又π是()f x 的一个周期，所以可以只考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]cos 0,1t x =∈， 22()cos cos 2cos cos22cos cos 121f x x x x x x x t t =+=+=+-=+-221y t t =+-在[]0,1上单调递增，所以[]()1,2f x ∈-，()f x 的值域为[]1,2-，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．8．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误； 对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9．已知函数1()sin 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【分析】化简()1sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

不要在试卷上作答。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。

A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。

A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。

则S占地球表面积的百分比约为（）。

A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。

A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。

吉林省白山市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题． 2．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】由()2xf x e mx =-是偶函数，则只需()2xf x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然()2xf x e mx =-是偶函数所以只需()0,x ∈+∞时，()22xxf e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可令20xe mx -=，则2xe m x=令()2xe g x x =，()()32x e x g x x -'=()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥=()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点，只需24e m > 故选：B 【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.3．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由题可知：04i i x y <<≤，且i i y xi i x y =可得ln ln i i i i x y x y =，构造函数()()ln 04t h t t t=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <， 从而得出n 的最大值. 【详解】因为04i i x y <<≤，i i y xi i x y = 则ln ln yi xii i x y =，即ln ln i i i i y x x y =整理得ln ln i ii ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04th t t t =<≤， 则()2211ln 1ln t tt t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤， 故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e=， 因为i i x y <，()()i i h x h y =，由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<， 所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<， 故14n -≤，即5n ≤， 所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.4．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-【答案】B 【解析】 【分析】 由点012π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项. 【详解】 由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=-所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π= 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.5．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．B ．CD ．20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B . 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.6．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解.【详解】23sin 22cos y x x =-()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．7．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640 B ．416C ．406D ．236-【答案】B 【解析】 【分析】2m n +=，有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得．【详解】当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的m nx y 的系数之和为8024096416++=．故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．8．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 9．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2 B ．2C ．0D ．1或2【答案】C 【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数10．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A 【解析】 【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3b a，离心率22224a b e a +=，2e ∴，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．11．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3ϕ=，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．已知2z i =-，则()(z z i +=)A．62i-B．42i-C．62i +D．42i+，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．C．4D．4．下列区间中，函数()7sin(6f x x π=-单调递增的区间是()A．(0,)2πB．(2π，)πC．3(,)2ππD．3(2π，2)π5．已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为()A．13B．12C．9D．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+)A．65-B．25-C．25D．657．若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则()A．b e a<B．a e b<C．0b a e <<D．0ab e <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，⋯，n y ，其中(1i i y x c i =+=，2，⋯，)n ，c 为非零常数，则()A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A．12||||OP OP =B．12||||AP AP =C．312OA OP OP OP ⋅=⋅D．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则()A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA ∠最小时，||PB =D．当PBA ∠最大时，||PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则()A．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年吉林省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设()()i z z z z 6432+=-++，则=z （）A .i 21-B .i 21+C .i +1D .i-12.已知集合{}Z n n s s S ∈+==,12，{}Z n n t t T ∈+==,14，则=T S （）A .φB .SC .TD .Z3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）A .60种B .120种C .240种D .480种7.把函数()x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象，则()=x f （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx B .⎪⎭⎫⎝⎛+122sin πx C .⎪⎭⎫ ⎝⎛+122sin πx D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx 8.在区间()1,0与()21，中各随机取1个数，则两数之和大于47的概率为（）A .97B .3223C .329D .929.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题时测量海岛的高.如图，点G H E ,,在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，成为“表高”，EG 成为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”.则海岛的高=AB （）A .表高表目距的差表距表高+⨯B .表高表目距的差表距表高-⨯C .表距表目距的差表距表高+⨯D .表距表目距的差表距表高-⨯10.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >11.设B 是椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足b PB 2≤，则C 的离心率的取值范围是（）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，C .⎦⎤⎝⎛220，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛21.012.设01.1ln 2=a ，02.1ln =b ，104.1-=c ，则（）A .c b a <<B .a c b <<C .c a b <<D .ba c <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C ：()0122>=-m y m x 的一条渐近线为03=+my x ，则C 的焦距为.14.已知向量()3,1=a，()4,3=b ，若()b b a ⊥-λ，则=λ.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）求BC ；（2）求二面角B PM A --的正弦值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.519.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212=+nn b S .（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.20.（12分）设函数()()x a x f -=ln ，已知0=x 是函数()x xf y =的极值点.（1）求a ；（2）设函数()()()x xf x f x x g +=，证明：()1<x g .21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点为F ，且F 与圆M ：()1422=++y x 上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PB P A ,是C 的两条切线，B A ,是切点，求P AB ∆面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C 解析：设bi a z +=，则bi a z -=，∴()()i bi a z z z z 646432+=+=-++，∴1,1==b a ，∴i z +=1.2.C 解析：当Z k k n ∈=,2时，{}Z k k s s S ∈+==,14；当Z k k n ∈+=,12时，{}Z k k s s S ∈+==,34；∴S T ⊂，∴=T S T .3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.5.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .6.C 解析：所求分配方案数为2404425=A C .7.B解析：逆向：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221sin 12sin 4sin 23ππππx y x y x y 倍横坐标变为原来的左移.8.B解析：由题意记()1,0∈x ，()2,1∈y ，题目即求47>+y x 的概率，如下图所示，故322314343211112111=⨯⨯-=⨯⋅-⨯==AN AM S S P ABCD正阴.9.A解析：连接DF 交AB 于M ，则BM AM AB +=.记βα=∠=∠BFM BDM ，，则DF MD MF MBMB =-=-αβtan tan .而EHEDGC FG ==αβtan ,tan .∴ED EH GC MB ED EH FG GC MB MB MB MB -⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβtan 1tan 1tan tan 故=-⋅=EH GC DFED MB 表目距的差表距表高⨯，∴高=AB 表高表目距的差表距表高+⨯.10.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.11.C 解析：由题意，点()b B ,0.设()00,y x P ，则1220220=+b y a x ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2202201b y a x .故()2202022202022022220221b a by y b c b by y b y a b y x PB ++--=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=，[]b b y ,0-∈.由题意，当b y -=0时，2PB 最大，则b cb -≤-23，∴22c b ≥，∴222c c a ≥-，∴22≤=a c e ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0e .12.B解析：设()()1211ln ++-+=x x x f ，则()02.0f c b =-.易得()()()xx x x x x x f 211121212211+++-+=+-+='.当0≥x 时，()x x x 21112+≥+=+，故()0≤'x f .∴()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴()()0002.0=<f f ，故c b <.再设()()1411ln 2++-+=x x x g ，则()01.0g c a =-，易得()()()xx x x x x x g 4111412412412+++-+⋅=+-+='，当20<≤x 时，x x x x +=++≥+121412，∴()0≥'x g ，故()x g 在[)2,0上单调递增，∴()()0001.0=>g g ，故c a >，综上，b c a >>.二、填空题13.4解析：易知双曲线渐近线方程为x aby ±=，由题意得1,22==b m a ，且一条渐近线方程为x my 3-=，则有0=m （舍去），3=m ，故焦距为42=c .14.53解析：由题意得()0=⋅-b b a λ，即02515=-λ，解得53=λ.15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()36.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()4.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，34.01022221≈+s s .显然<-x y 1022221s s +，∴不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，且矩形ABCD 中，DC AD ⊥，∴以DP DC DA ，，分别为z y x ,,轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系xyz D -.设t BC =，()()()1000,1,20,1,0,0,，，，，，P t M t B t A ⎪⎭⎫⎝⎛∴()1,1,-=t PB ，⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1,2t AM .∵AM PB ⊥，∴0122=+-=⋅t AM PB ，∴2=t ，∴2=BC .（2）设平面APM 的一个法向量为()z y x m ,,=，由于()10,2，-=AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02202y x AM m z AP m ，令2=x ，得()2,1,2=m.设平面PMB 的一个法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅0202c b a PB n a CB n，令1=b ，得()1,1,0=n.∴14143273,cos =⨯=⋅=nm n m n m，∴二面角B PM A --的正弦值为14143.19.解：（1）∵n b 为数列{}n S 的前n 项积，∴()21≥=-n b b S n nn 又∵212=+nn b S ，∴2121=+-n n n b b b ，即n n b b 2221=+-，∴()2211≥=--n b b n n ，∵212=+nn b S ，当1=n 时，可得231=b .故{}n b 是以23为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知()()22121123+=⨯-+=n n b n ，则2222=++n S n ，∴12++=n n S n .当1=b 时，2311==S a .2≥n 时，()111121+-=+-++=-=-n n n n n n S S a n n n .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-==2111,23n n n n a n ，.20.解：（1）()[]()()x f x x f x x xf '+'='.当0=x 时，()[]()0ln 0==='a f x xf ，∴1=a .（2）由()()x x f -=1ln ，得1<x .当10<<x 时，()()01ln <-=x x f ，()0<x xf ；当0<x 时，()()01ln >-=x x f ，()0<x xf .故即证()()x xf x f x >+，()()01ln 1ln >---+x x x x .令t x =-1（0>t 且1≠t ），t x -=1，即证()0ln 1ln 1>--+-t t t t .令()()t t t t t f ln 1ln 1--+-=，则()()t tt t t t t t t t f ln 1ln 111ln 111=--++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-='.∴()t f 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.故()()01=>f t f ，得证.21.解：（1）焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛20p F ，到()1422=++y x 的最短距离为432=+p，∴2=p .（2）抛物线241x y =.设()()()002211,,,y x P y x B y x A ，，，则()1121111121412121y x x x x x y x x x y l P A -=-=+-=：，2221y x x y l PB -=：，且15802020---=y y x .PB P A l l ，都过点()00,y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202010102121y x x y y x x y ，故：y x x y l AB -=0021：，即0021y x x y -=.联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y x x y 421200得042002=+-y x x x ，∴020164y x -=∆.∴02020020204416441y x x y x x AB -⋅+=-⋅+=，4420020+-=→x y x d AB P ，∴()()230202320020020151221421442121---=-=-⋅-=⋅=→∆y y y x y x y x d AB S AB P P AB 而[]3,50--∈y .故当50-=y 时，P AB S ∆达到最大，最大值为520.11（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--k k k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。

吉林省白山市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．2．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13± B ．223±C ．±1D ．3±【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得m =， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.3．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】1sin 2-=|sin cos |x x =-sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π544xππ∴故选：C 【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目.4．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】设cos {sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之，0a b 满足 sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．5【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 6．已知圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．5C 5D ．54【答案】C 【解析】 【分析】将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.再根据21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.【详解】已知圆224210x y x y +-++=，所以其标准方程为：()()22214x y -++=，所以圆心为()21-，. 因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以其渐近线方程为by x a=±， 又因为圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以12b a =.所以c e a ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】 解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.9．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12 B ．3.13C ．3.14D ．3.15【答案】B 【解析】 【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【详解】因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.10．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ） A ．13B ．23C ．12D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|＝22171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝50100＝12＝22. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.11．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年吉林省白山市高考数学第三次联考试卷（理科）（4月份）一、选择题（每小题5分）．1．已知z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），则z•（z+1）＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1﹣i D．1+i2．已知集合P＝{x|lnx≥0}，Q＝{x|≤2}，则P∪Q＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥﹣1}C．R D．{x|1≤x≤3}3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62977424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676（注：表中的数据为随机数表的第一行和第二行）A．24B．36C．46D．474．若变量x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值为（）A．2B．4C．6D．85．满足黄金分割比的身材是完美的，0.618是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72°，则sin54°＝（）A．B．C．D．6．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的侧面积为（）A．8+8B．8+6C．6+8D．167．将函数f（x）＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．函数g（x）的最小正周期为4πB．函数g（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z）C．直线x＝是函数g（x）图象的一条对称轴D．函数g（x）图象的一个对称中心为点（，0）8．已知函数f（x+1）＝x4﹣2x，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x+y﹣2＝0B．2x+y+1＝0C．x﹣2y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0 9．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M（，y0）在抛物线C上，|MF|＝，则△MAF的面积为（）A．B．C．D．10．光线通过一块玻璃，强度要损失10%，那么若光线强度要减弱到原来的以下，要通过这样的玻璃的块数至少为（）（lg3≈0.477，lg2≈0.3）A．14B．15C．16D．1811．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知菱形ABCD的边长为，沿对角线AC将△ABC折起，则当四面体B﹣ACD的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．已知单位向量，满足|﹣2|＝，则与的夹角为．14．在（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则展开式中的常数项为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝sin2C，且a2+b2＝2a+4b﹣5，则c＝．16．已知函数f（x）＝，则关于x的不等式f（x+3）+f（x）+15＞0的解集为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

吉林省吉林市普通中学2021届高三数学第三次调研测试试本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。

注意事项：1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指泄位置上。

2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号：非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹淸楚。

3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确泄后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面淸洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给岀的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

已知集合A = {-1,04.2}, B = {xlj=lg(l-x)},则=已知加M 为两条不重合直线，80为两个不重合平而，下列条件中，a 丄0的充分条件1.2.3.A ・{2}C.{-1}已知复数Z 满足- =则云二zB.D.2 21 1. MM —]2 2已知向量N = (-=(3,x/3)，则向量5在向量N 方向上的投影为B. V3C. -1D.4.A. m // fi^in u a y n u pB. in // n^ni 丄 a/ 丄 05.C. tn 丄 n y m // a^n 〃 0D ・ tn 丄 n y m 丄 aji 丄 0一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 2^13 132>/7A ?B.387C. 一D.336.函数f(x) = cos(2x +半)的对称轴不可能为5兀n n7tA. x = ------ B・x = --- C・ x =—D・x =—6363 7.已知/(兀)为立义在R上的奇函数，且满足f(x + 4) = f(x),当xw(0,2)时，/(x) = 2x2,则/(3)=A. -18B・18 C. -2 D. 28.已知数列｛©｝为等比数列, 若°6 +"7 +a a =26 ,」1. "5 •"g= 36,则—+ —+ —«6 a7 «8A. 12B・13 十19—或一 C. E D. E1818 36969.椭圆善+牛=1的焦点为许,佗，点P在椭圆上，若IPF2I=2,则ZFfF?的大小为A. 150°B・ 135°C・ 120°D・ 90。

吉林省白山市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 2．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A B ．C D 【答案】B 【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos 5α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.3．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d . 【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。