第1讲 数列的概念与简单表示法

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计一、教材与教学分析1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。

教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学任务分析(1)了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．3．教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系二、教学方法小组合作、探究学习模式通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。

三、学习过程设计【问题情境】1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿；4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。

教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？学生：1：23631,2,2,2,,2 2一列数：23451111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，3设计说明：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”活动一：数列的概念探究教师：以上几列数的共同特点是什么？引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。

第六篇数列第1讲数列的概念与简单表示法A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n(n∈N*)，则a100等于()．A．1 B．－1 C．2 D．0解析法一由a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得此数列周期为6，故a100＝－1.法二a n＋2＝a n＋1－a n，a n＋3＝a n＋2－a n＋1，两式相加可得a n＋3＝－a n，a n＋6＝a n，∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.答案 B2．已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＋S n＋1＝a n＋1(n∈N*)，则此数列是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析∵S n＋S n＋1＝a n＋1，∴当n≥2时，S n－1＋S n＝a n.两式相减得a n＋a n＋1＝a n＋1－a n，∴a n＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴a n＝0(n∈N*)，故选C.答案 C3．(2013·北京朝阳区一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( )． A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)．∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 答案 B4．(2013·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )．A ．2 020×2 012B ．2 020×2 013C ．1 010×2 012D ．1 010×2 013解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)．所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 解析 易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{a n }的最末一个非负项．令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大．答案 10或116．(2013·杭州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________；a n ＝________.解析 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n＝n ＋1n ， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，∴a 2＝2，a n ＝n .答案 2 n三、解答题(共25分)7．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，112a n ＝14a n －1＋13(n ≥2)，求{a n }的通项公式．解 ∵112a n ＝14a n －1＋13(n ≥2)，∴a n ＝3a n －1＋4，∴a n ＋2＝3(a n －1＋2)．又a 1＋2＝3，故数列{a n ＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴a n ＋2＝3n ， 即a n ＝3n －2.8．(13分)(2013·西安质检)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 013＝ ( )．A ．－1B ．－12 C.12 D ．1 解析 将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1， 得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2 013＝x 1＝1.答案 D2．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n } 既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·合肥模拟)已知f (x )为偶函数，f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝________.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )＝f (x －2)．故f (x )周期为4，∴a 2 013＝f (2 013)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案 124．(2012·太原调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，∴⎩⎨⎧ 3－a >0，a >1，f (8)>f (7)⇒2<a <3.答案 (2,3) 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋(a －3)2n －2，n ≥2. a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．6．(13分)(2012·山东)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m}的前m项和S m.解(1)因为{a n}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得b m＝92m－1－9m－1.于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×(1－81m)1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.。

2.1数列的概念与简单表示法 第一课时一、学习目标：1、理解数列及数列的通项公式的相关概念，明白数列和函数之间的关系；2、对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、自学探究：阅读课本2830P P -页，完成下列问题：1. 数列及其有关概念：① 数列的概念：②数列的一般形式可以写成：③说出{}n a 与n a 的区别：④ 数列的分类：2. 数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；136,10，、、、；1,4,9,16，、、、.（数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：（作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：___________,___________,__________3、数列与函数之间的关系：4、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？三、合作探究1、根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）2,5,8,11,14,---（2）4,0,4,0,4,0(4) (1)9,99,999,9999,(2)1,11,111,1111,(3)7,77,777,7777,⎧⎪⎨⎪⎩（5）1925,2,,8,,222（6）246810,,,,315356399--- 2、已知数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-。

（1）写出数列的第4项和第6项；（2）问-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？四、课堂检测：1、课本31页练习题4题2、课本33也A 组2题，3题，5题五、反思与小结六、课后作业根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）1,3,7,15,31,（2）0.9,0.99.0.999.0.9999,（3）222221324354,,,,;1357---- （4）414242,,,,,,5211717---。

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。

1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。

1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。

1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。

1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。

1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。

1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。

第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。

2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。

2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。

2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。

2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。

2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。

2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。

第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。

3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。

3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。

3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。

3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。

3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。

3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。

第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。

4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。

§2.1数列的概念与简单表示法学习目标 1.理解数列及其有关概念(难点)；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.4、理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).知识点一数列的概念1.数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.2.数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.3.数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.知识点二数列的分类1.按项的个数分类2.按项的变化趋势分类知识点三数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列.知识点四数列的表示方法1、如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.3.数列的通项公式与递推公式有什么区别？题型一 数列的概念与分类规律方法 处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列. (2)数列的单调性若满足a n ＜a n ＋1(n ∈N *)则是递增数列；若满足a n ＞a n ＋1(n ∈N *)则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1(n ∈N *)则是常数列；若a n 与a n ＋1(n ∈N *)的大小不确定时，则是摆动数列.【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1，12，13，14，… B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C.－1，－12，－14，－18，… D.1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 (1)C (2)D【训练】 下列形式中哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ (1){0，1，2，3，4}；(2)0，1，2，3，4； (3)0，1，2，3，4，…；(4)1，－1，1，－1，1，－1，…； (5)6，6，6，6，6.解 (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列.其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.题型二 数列的通项公式规律方法 1.根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等；(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式； (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.3.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.方向1 根据通项公式写数列的项【例2－1】根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1； (2)a n＝(－1)n n.方向2 观察法求数列的通项公式【例2－2】根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.(1)－3，0，3，6，9，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)2，0，2，0，2，0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解(1) a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*).(2)a n＝2n＋1(n∈N*).(3)a n＝1＋(－1)n－1(n∈N*).(4)a n＝(－1)n 2n－32n(n∈N*).方向3 数列的通项公式的简单应用【例2－3】已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n（n＋2）(n∈N*)，则(1)计算a3＋a4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.解(1)∴a3＋a4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n}中的项，则1n（n＋2）＝1120，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项.题型三 数列的函数特性1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎨⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534， a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.题型四数列的递推数列规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n＋1＝a n＋f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为a n＋1－a n＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如a n＋1＝f(n)a n的通项公式.将原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，…，an a n－1＝f(n－1)，累乘可得ana1＝f(1)f(2)…f(n－1).方向1 由递推公式写出数列的项1、已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由递推公式a n＋1＝2a nan＋2给出，试写出这个数列的前5项.解∵a1＝1，a n＋1＝2a nan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.方向2 由数列的递推公式求通项公式2、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式.解∵a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，∴a2＝a1＋12×1＝1＋12＝32，a3＝a2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a3＋14×3＝53＋112＝74，a5＝a4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n＝2－1n.方向3 构造数列法求通项公式3、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n.练习1.下列叙述正确的是( D )A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n }C.数列0，1，0，1，…是常数列 D.数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列 2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( B )A.a n ＝nB.a n ＝n ＋1C.a n ＝n ＋2D.a n ＝2n 解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3.数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是(D )A.a n ＝(－1)n·n 2＋n 2n ＋1 B.a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C.a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1 D.a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋14.已知数列{a n }的通项公式a n ＝（－1）n －1·n2n －1，则a 1＝________；a n ＋1＝________.a 1＝（－1）1－1×12×1－1＝1，a n＋1＝（－1）n＋1－1（n＋1）2（n＋1）－1＝（－1）n（n＋1）2n＋1.答案 1（－1）n（n＋1）2n＋15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0.解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍). ∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项.(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.6.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n＋2＝a n＋1＋a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n＝n＋1n＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.7.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( c )A.a n＝a n－1＋2(n≥2)B.a n＝2a n－1(n≥2)C.a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2)D.a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)解析A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.8.数列{x n}中，若x1＝1，x n＋1＝1xn＋1－1，则x2 017等于( D )A.－1B.－12C.12D.1解析∵x1＝1，∴x2＝－12，∴x3＝1，∴数列{x n}的周期为2，∴x2 017＝x1＝1.9.已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________.由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝89，∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝89＋19＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.10.求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.a n ＝－2n2＋29n＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n－2942＋10818.由于n∈N*，故当n取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.。