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第七章沉淀反应参考答案P 142【综合性思考题】：给定体系0.02mol/LMnCl 2溶液(含杂质Fe 3+)，经下列实验操作解答问题。
（已知K θSPMn(OH)2=2.0×10-13，K θSPMnS =2.5×10-13，K θbNH3=1.8×10-5，K θaHAc =1.8×10-5①与0.20mol/L 的NH 3.H 2O 等体积混合，是否产生Mn(OH)2沉淀？解：等体积混合后浓度减半，[Mn 2+]=0.01mol/L ，c b =[NH 3.H 2O]=0.10mol/L∵是一元弱碱体系，且c b /K b θ>500∴10.0108.1][5⨯⨯=⋅=--b b c K OH θ又∵ 622108.101.0][][--+⨯⨯=⋅=OH Mn Q c=1.8×10-8> K θSPMn(OH)2=2.0×10-13∴ 产生Mn(OH)2沉淀。
②与含0.20mol/L 的NH 3.H 2O 和0.2mol/LNH 4Cl 的溶液等体积混合，是否产生Mn(OH)2沉淀？ 解：混合后属于NH 3.H 2O~NH 4Cl 的碱型缓冲液体系此时浓度减半：c b =[NH 3.H 2O]=0.2V/2V=0.1(mol.L -1)c S= [NH 4+]=0.2V/2V=0.1(mol.L -1)[Mn 2+]=0.02V/2V=0.01(mol.L -1)A 、求[OH -] 用碱型缓冲液计算式求算：s b b c c K OH ⋅=-θ][ 55108.11.01.0108.1--⨯=⨯⨯= B 、求Qc 22][][-+⋅=OH Mn Q c=0.01×[1.8×10-5]2=3.24×10-12C 、比较θ2)(,OH Mn SP K ∵13)(,100.22-⨯=>θOH Mn SP C K Q故有Mn(OH)2沉淀产生。
第七章 吸 收7-1 总压101.3 kPa ，温度25℃时，1000克水中含二氧化硫50克，在此浓度范围内亨利定律适用，通过实验测定其亨利系数E 为4.13 MPa ， 试求该溶液上方二氧化硫的平衡分压和相平衡常数m 。
（溶液密度近似取为1000kg/m 3）解：溶质在液相中的摩尔分数：50640.01391000501864x ==+ 二氧化硫的平衡分压：*34.13100.0139kPa=57.41kPa p Ex ==⨯⨯相平衡常数：634.1310Pa40.77101.310PaE m P ⨯===⨯7-2 在逆流喷淋填料塔中用水进行硫化氢气体的吸收，含硫化氢的混合气进口浓度为5%（质量分数），求填料塔出口水溶液中硫化氢的最大浓度。
已知塔内温度为20℃，压强为1.52×105 Pa ，亨利系数E 为48.9MPa 。
解：相平衡常数为：6548.910321.711.5210E m P ⨯===⨯ 硫化氢的混合气进口摩尔浓度：15340.04305953429y ==+若填料塔出口水溶液中硫化氢达最大浓度，在出口处气液相达平衡，即：41max 0.0430 1.3410321.71y x m -===⨯7-3 分析下列过程是吸收过程还是解吸过程，计算其推动力的大小，并在x - y 图上表示。
（1）含NO 2 0.003(摩尔分率)的水溶液和含NO 2 0.06 (摩尔分率) 的混合气接触，总压为101.3kPa ，T=15℃，已知15℃时，NO 2水溶液的亨利系数E =1.68×102 kPa ；（2）气液组成及温度同（1），总压达200kPa （绝对压强）。
解：（1）相平衡常数为：51311.6810Pa 1.658101.310Pa E m P ⨯===⨯ *1 1.6580.0030.00498y m x ==⨯=由于 *y y >，所以该过程是吸收过程。
第七章 吸 收7-1 总压101.3 kPa ，温度25℃时，1000克水中含二氧化硫50克，在此浓度范围内亨利定律适用，通过实验测定其亨利系数E 为4.13 MPa ， 试求该溶液上方二氧化硫的平衡分压和相平衡常数m 。
（溶液密度近似取为1000kg/m 3）解：溶质在液相中的摩尔分数：50640.01391000501864x ==+ 二氧化硫的平衡分压：*34.13100.0139kPa=57.41kPa p Ex ==⨯⨯相平衡常数：634.1310Pa40.77101.310PaE m P ⨯===⨯7-2 在逆流喷淋填料塔中用水进行硫化氢气体的吸收，含硫化氢的混合气进口浓度为5%（质量分数），求填料塔出口水溶液中硫化氢的最大浓度。
已知塔内温度为20℃，压强为1.52×105 Pa ，亨利系数E 为48.9MPa 。
解：相平衡常数为：6548.910321.711.5210E m P ⨯===⨯ 硫化氢的混合气进口摩尔浓度：15340.04305953429y ==+若填料塔出口水溶液中硫化氢达最大浓度，在出口处气液相达平衡，即：41max 0.0430 1.3410321.71y x m -===⨯7-3 分析下列过程是吸收过程还是解吸过程，计算其推动力的大小，并在x - y 图上表示。
（1）含NO 2 0.003(摩尔分率)的水溶液和含NO 2 0.06 (摩尔分率) 的混合气接触，总压为101.3kPa ，T=15℃，已知15℃时，NO 2水溶液的亨利系数E =1.68×102 kPa ；（2）气液组成及温度同（1），总压达200kPa （绝对压强）。
解：（1）相平衡常数为：51311.6810Pa 1.658101.310Pa E m P ⨯===⨯ *1 1.6580.0030.00498y m x ==⨯=由于 *y y >，所以该过程是吸收过程。
第七章复习思考题参考答案1、为什么垄断厂商的需求曲线是向右下方倾斜的？并解释相应的TR曲线、AR 曲线和MR曲线的特征以及相互关系。
解答：垄断厂商所面临的需求曲线是向右下方倾斜的，其理由主要有两点：第一，垄断厂商所面临的需求曲线就是市场的需求曲线，而市场需求曲线一般是向右下方倾斜的，所以垄断厂商的需求量与价格成反方向的变化。
第二，假定厂商的销售量等于市场的需求量，那么，垄断厂商所面临的向右下方倾斜的需求曲线表示垄断厂商可以通过调整销售量来控制市场的价格，即垄断厂商可以通过减少商品的销售量来提高市场价格，也可以通过增加商品的销售量来降低市场价格。
关于垄断厂商的TR曲线、AR曲线和MR曲线的特征以及相互关系，以图7-1加以说明：第一，平均收益AR曲线与垄断厂商的向右下方倾斜的d需求曲线重叠。
因为，在任何的销售量上，都是P=AR。
第二，边际收益MR曲线是向右下方倾斜的，且位置低于AR曲线。
其原因在于AR曲线是一条下降的曲线。
此外，在线性需求曲线的条件下，AR曲线和MR曲线的纵截距一样，而且MR曲线的斜率的绝对值是AR曲线的斜率的绝对值的两倍。
第三，由于MR值是TR曲线的斜率，即dTRMR，所以，当MR>0时，TR曲线是上dQ升的；当MR＜0时，TR曲线是下降的；当MR=0时，TR曲线达极大值。
图7-1垄断竞争厂商的AR与TR之间的关系12、根据图7-22中线性需求曲线d和相应的边际收益曲线MR，试求：〔1〕A点所对应的MR值；〔2〕B 点所对应的MR值。
解答：〔1〕根据需求的价格点弹性的几何意义，可得A点的需求的价格弹性为：(155)21e2，或者，e2，根据MRP(1)，那么A点的dd5(32)edMR值为：MR=2×〔2×1/2〕=1。
〔2〕方法同〔1〕。
B点所对应的MR＝－1。
3、图7-23是某垄断厂商的长期本钱曲线、需求曲线和收益曲线。
试在图中标出：(1)长期均衡点及相应的均衡价格和均衡产量；〔2〕长期均衡时代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线；〔3〕长期均衡时的利润量。
第七章图（参考答案）7．1（1）邻接矩阵中非零元素的个数的一半为无向图的边数；（2）A[i][j]= =0为顶点，I 和j无边，否则j和j有边相通；（3）任一顶点I的度是第I行非0元素的个数。
7．2（1）任一顶点间均有通路，故是强连通；（2）简单路径V4 V3 V1 V2;（3）0 1 ∞ 1∞ 0 1 ∞1 ∞ 0 ∞∞∞ 1 0邻接矩阵邻接表（2）从顶点4开始的DFS序列：V5,V3,V4,V6,V2,V1（3）从顶点4开始的BFS序列：V4,V5,V3,V6,V1,V27．4（1）①adjlisttp g; vtxptr i,j; //全程变量② void dfs(vtxptr x)//从顶点x开始深度优先遍历图g。
在遍历中若发现顶点j，则说明顶点i和j间有路径。
{ visited[x]=1; //置访问标记if (y= =j){ found=1;exit(0);}//有通路，退出else { p=g[x].firstarc;//找x的第一邻接点while (p!=null){ k=p->adjvex;if （!visited[k]）dfs(k);p=p->nextarc;//下一邻接点}}③ void connect_DFS (adjlisttp g)//基于图的深度优先遍历策略，本算法判断一邻接表为存储结构的图g种，是否存在顶点i //到顶点j的路径。
设 1<=i ,j<=n,i<>j.{ visited[1..n]=0;found=0;scanf (&i,&j);dfs (i);if (found) printf （” 顶点”,i,”和顶点”,j,”有路径”）；else printf （” 顶点”,i,”和顶点”,j,”无路径”）；}// void connect_DFS(2)宽度优先遍历全程变量，调用函数与（1）相同，下面仅写宽度优先遍历部分。
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
第七章 思考题与习题7.1 什么是角度调制？解：用调制信号控制高频载波的频率（相位），使其随调制信号的变化规律线性变化的过程即为角度调制。
7.2 调频波和调相波有哪些共同点和不同点，它们有何联系？解：调频波和调相波的共同点调频波瞬时频率和调相波瞬时相位都随调制信号线性变化，体现在m f MF ∆=；调频波和调相波的不同点在：调频波m f m f k V Ω∆=与调制信号频率F 无关，但f m f k V M Ω=Ω与调制信号频率F 成反比；调相波p p m M k V Ω=与调制信号频率F 无关，但m f m f k V Ω∆=Ω与调制信号频率F 成正比；它们的联系在于()()d t t dtϕω=，从而具有m f MF ∆=关系成立。
7.3 调角波和调幅波的主要区别是什么？解：调角波是载波信号的频率（相位）随调制信号的变化规律线性变化，振幅不变，为等福波；调幅波是载波信号的振幅随调制信号的变化规律线性变化，频率不变，即高频信号的变化规律恒定。
7.4 调频波的频谱宽度在理论上是无限宽，在传送和放大调频波时，工程上如何确定设备的频谱宽度？ 解：工程上确定设备的频谱宽度是依据2m BW f =∆确定7.5为什么调幅波调制度 M a 不能大于1，而调角波调制度可以大于1？解：调幅波调制度 M a 不能大于，大于1将产生过调制失真，包络不再反映调制信号的变化规律；调角波调制度可以大于1，因为f fcmmV M k V Ω=。
7.6 有一余弦电压信号00()cos[]m t V t υωθ=+。
其中0ω和0θ均为常数，求其瞬时角频率和瞬时相位解： 瞬时相位 00()t t θωθ=+ 瞬时角频率0()()/t d t dt ωθω==7.7 有一已调波电压1()cos()m c t V A t t υωω=+，试求它的()t ϕ∆、()t ω∆的表达式。
如果它是调频波或调相波，它们相应的调制电压各为什么？解：()t ϕ∆＝21A t ω，()()12d t t A t dtϕωω∆∆==若为调频波，则由于瞬时频率()t ω∆变化与调制信号成正比，即()t ω∆＝()f k u t Ω＝12A t ω，所以调制电压()u t Ω＝1fk 12A t ω 若为调相波，则由于瞬时相位变化()t ϕ∆与调制信号成正比，即 ()t ϕ∆＝p k u Ω（t ）所以调制电压()u t Ω＝1pk 21A t ω 由此题可见，一个角度调制波可以是调频波也可以是调相波，关键是看已调波中瞬时相位的表达式与调制信号：与调制信号成正比为调相波，与调制信号的积分成正比（即瞬时频率变化与调制信号成正比）为调频波。
第七章课后习题解答一、选择题7-1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们[ ](A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强分析：理想气体分子的平均平动动能32k kT ε=，仅与温度有关，因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同。
又由理想气体的压强公式p nkT =，当两者分子数密度相同时，它们压强也相同。
故选（C ）。
7-2 理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则每个气体分子所具有的[ ](A) 动能为2i kT (B) 动能为2iRT(C) 平均动能为2i kT (D) 平均平动动能为2iRT分析：由理想气体分子的的平均平动动能32k kT ε=和理想气体分子的的平均动能2ikT ε=，故选择（C ）。
7-3 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()1/21/21/222::2A B Cv v v =1:2:4，则其压强之比为A B C p :p :p[ ](A) 1:2:4 (B) 1:4:8 (C) 1:4:16 (D) 4:2:1=，又由物态方程p nkT =，所以当三容器中得分子数密度相同时，得123123::::1:4:16p p p T T T ==。
故选择（C ）。
7-4 图7-4中两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线。
如果()2p O v 和()2p H v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则[ ](A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =分析：在温度相同的情况下，由最概然速率公式p ν=质量22H O M M <，可知氢气的最概然速率大于氧气的最概然速率，故曲线a 对应于氧分子的速率分布曲线。
第七章谓词逻辑P285：作业：3、5、81、（1）(∀(x))(S(x)→G(x))其中S(x)：x是运动员。
G(x)：x是大学生。
（2）⌝∀(x)(S(x)→G(x))其中 S(x)：x是运动员。
G(x)：x是大学生。
（3）⌝(∃x)( W(x)∧A(x)∧B(x))其中W(x)：x是女同志。
A(x)：x是国家选手。
B(x)：x是家庭妇女。
（4）(∃x)( D(x)∧B(x)∧C(x))其中D(x)：x是狗。
B(x)：x是黑色的。
C(x)：x很聪明。
2、（1）所有不能被2整除的数都是奇数。
（2）存在能被3整除的偶数。
（3）存在奇数是素数，但并非所有奇数都是素数。
3、（1）令D(x)：x是数。
B(x,y)：x与y的和大于x乘y。
命题等价于：∃x∃y((D(x)∧D(y)∧B(x,y))（2）令I(x)：x是整数。
A(x,y)：x2=y。
命题等价于：(∀x)(∃y)(I(x)∧I(y)∧A(x,y))4、（1）令 P(x)：x是素数。
E(x)：x是偶数。
命题等价于：⌝(∀x)(P(x)→⌝E(x)) （2）令I(x)：x是整数。
Q(x)：x是有理数。
⌝(∀x)(Q(x)→⌝I(x)) ∧⌝(∀x)(Q(x)→ I(x))5、(1) (∀x)(P(x)→Q(x))⇔ (P(1)→Q(1)) ∧ (P(2)→Q(2)) ∧ (P(3)→Q(3))(2) (∀x)(∃y)R(x,y)⇔ (∀x)(R(x,1) ∨ R(x,2) ∨ R(x,3))⇔ (R(1,1) ∨ R(1,2) ∨ R(1,3)) ∧ (R(2,1) ∨ R(2,2) ∨ R(2,3)) ∧ (R(3,1) ∨ R(3,2) ∨ R(3,3))(3) (∃y)(∀x)R(x,y)⇔ (∃y) (R(1,y) ∧ R(2,y) ∧ R(3,y))⇔ (R(1,1) ∧ R(2,1) ∧ R(3,1)) ∨ (R(1,2) ∧ R(2,2) ∧ R(3,2)) ∨ (R(1,3) ∧ R(2,3) ∧ R(3,3))6、(1) 约束变元：x；自由变元：y。
(2) 约束变元：x；(3) (∃x)(∀y)(P(x) ∧ Q(y)) → (∀x)R(x,y)x是约束变元；(∃x)(∀y)(P(x) ∧ Q(y))中的变元y是约束变元。
(∀x)R(x,y)中的变元y是自由变元。
7、(1) (∀x)(P(x,y) →Q(x)) ∧ R(x,y)对约束变元x换成变元z，可得：(∀z)(P(z,y) →Q(z)) ∧ R(x,y)(2) (∃x)(P(x) ∧ Q(x,y)) ∨ R(x,y)对约束变元x换成变元z，可得：(∃z)(P(z) ∧ Q(z,y)) ∨ R(x,y)8、(1) (∃y)(P(x) ∧ R(x,y))将自由元x进行代入可得：(∃y)(P(z) ∧ R(z,y))(2) (∀y)(P(x) →Q(x,y)) ∧ R(x,y)将自由元x和y分别进行代入可得：(∀y)(P(z) →Q(z,y)) ∧ R(z,s)P 291:1、(1) (∀x)P(x) ∧⌝(∃x)Q(x) ⇔(∀x)(P(x) ∧⌝Q(x))证明：(∀x)P(x) ∧⌝(∃x)Q(x) ⇔(∀x) P(x) ∧(∀x)⌝Q(x)⇔(∀x)(P(x) ∧⌝Q(x))(2)(∃x)(P(x) ∨ Q(x)) ⇔(∀x) ⌝P(x) → (∃x)Q(x)证明：(∃x)(P(x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x)P(x) ∨ (∃x)Q(x)⇔⌝⌝ (∃x)P(x) ∨ (∃x)Q(x)⇔⌝ (∃x)P(x) → (∃x)Q(x)⇔ (∀x)⌝P(x) → (∃x)Q(x)(3) (∀x) (⌝A(x) ∧B(x)) → (∃x)A(x) ⇔ (∃x)(B(x) →A(x))证明：(∀x) (⌝A(x) ∧B(x)) → (∃x)A(x) ⇔⌝ ((∀x)⌝A(x) ∧(∀x)B(x)) ∨(∃x)A(x) ⇔⌝(∀x)⌝A(x) ∨⌝(∀x)B(x)) ∨(∃x)A(x)⇔(∃x)A(x) ∨ (∃x) ⌝B(x)) ∨(∃x)A(x)⇔ (∃x) (⌝B(x)) ∨A(x))⇔ (∃x)(B(x) →A(x))(4) (⌝(∃x)⌝P(x))∧ (∀x)(P(x) →Q(x))⇔ (∀x)P(x)∧ (∀x)Q(x)证明：(⌝(∃x)⌝P(x))∧ (∀x)(P(x) →Q(x))⇔(∀x)P(x)∧ (∀x)(P(x) →Q(x))⇔(∀x)P(x)∧ (∀x)(P(x) →Q(x))⇔(∀x)(P(x)∧(P(x) →Q(x)))⇔(∀x)(P(x)∧( ⌝P(x) ∨Q(x)))⇔(∀x)((P(x)∧⌝P(x)) ∨(P(x)∧Q(x)))⇔(∀x)(P(x)∧Q(x))⇔ (∀x)P(x)∧ (∀x)Q(x)2、（略）3、(1) ⌝(∀x)P(x) ⇔(∃x)⌝P(x)⌝(∀x)P(x) ⇔⌝ (P(a) ∧ P(b))⇔⌝ P(a) ∨⌝P(b)⇔(∃x)⌝P(x)(2) ⌝(∃x) P(x) ⇔ (∀x)⌝P(x)⌝(∃x) P(x) ⇔⌝ (P(a) ∨ P(b))⇔⌝P(a) ∧⌝P(b))⇔ (∀x)⌝P(x)(3) (∀x)(A(x) ∧B(x)) ⇔ (∀x)A(x) ∧(∀x)B(x)(∀x)(A(x) ∧B(x)) ⇔ (A(a) ∧B(a)) ∧(A(b) ∧B(b))⇔ (A(a) ∧A(b)) ∧(B(a) ∧B(b))⇔ (∀x)A(x) ∧(∀x)B(x)(4) (∃x)(A(x) ∨ B(x)) ⇔ (∃x)A(x) ∨ (∃x)B(x)(∃x)(A(x) ∨ B(x)) ⇔ (A(a) ∨ B(a)) ∨ (A(b) ∨ B(b))⇔ (A(a) ∨ A(b)) ∨ (B(a) ∨ B(b))⇔ (∃x)A(x) ∨ (∃x)B(x)4、(1)是永真式。
只需证明当(∀x)(P(x)∨Q(x))为真时，(∀x)P(x)∨(∃x)Q(x)必为真。
若(∀x)P(x)为真，显然(∀x)P(x)∨(∃x)Q(x)为真。
若⌝(∀x)P(x)为真，即(∃x)⌝P(x)为真，假设⌝P(a)为真，即P(a)为假，而由假设(∀x)(P(x)∨Q(x))为真可知：P(a)∨Q(a)为真，故Q(a)为真，因此(∃x)Q(x)为真，进而，(∀x)P(x)∨(∃x)Q(x)必为真。
所以，当(∀x)(P(x)∨Q(x))为真时，(∀x)P(x)∨(∃x)Q(x)必为真。
(2)是永真式。
(3)不是永真式。
5、(1) (∀x)(P(x)→ (∃y)Q(x,y)) ⇔ (∀x)(⌝P(x) ∨ (∃y)Q(z,y))⇔ (∀x)(⌝P(x) ∨ (∃y)Q(z,y))⇔ (∀x)(⌝P(x) ∨ (∃y)Q(z,y))⇔ (∀x) (∃y) (⌝P(x) ∨ Q(z,y))(2) (∀x)P(x) ∧ (∃x)Q(x) ⇔ (∀x)P(x) ∧ (∃y)Q(y)⇔ (∀x) (∃y) (P(x) ∧ Q(y))(3) (∃x)( ⌝ (∃y)P(x,y) → ((∃y)Q(z)→R(x))) ⇔ (∃x)( ⌝⌝ (∃y)P(x,y) ∨ (⌝ (∃z)Q(z) ∨R(x)))⇔ (∃x)((∃y)P(x,y) ∨ ((∀z)⌝Q(z) ∨R(x)))⇔ (∃x)((∃y)P(x,y) ∨ ((∀z)⌝Q(z) ∨R(w)))⇔ (∃x)(∃y)(∀z) (P(x,y) ∨⌝Q(z) ∨R(w))P 294:作业：1（3、4）、2（3）、31、（1）①(∃x) (P(x) → Q(x)) P②P(c) → Q(c) ES①③(∀x) P(x) P④P(c) US③⑤Q(c) T②④（2）①(∀x) (Q(x) →⌝R(x)) P②(∀x) (R(x) →⌝Q(x)) T①③R(c) →⌝Q(c) US②④(∀x) (P(x) → Q(x)) P⑤(∀x) (⌝Q(x) →⌝P(x)) T④⑥⌝Q(c) →⌝P(c) US⑤⑦(∀x) (R(x) →⌝P(x)) UG⑥（3）①(∀x) ⌝ (P(x) → Q(x)) P②(∀x) (P(x) ∧⌝Q(x)) T①③(∀x) ⌝Q(x) P④⌝Q(c) US③⑤P(c) ∧⌝Q(c) US②⑥P(c) T④⑤⑦(∃x) P(x) EG⑥（4）①(∃x) R(x) P②R(c) ES①③(∀x) (Q(x) →⌝R(x)) P④Q(c) →⌝R(c) US③⑤⌝Q(c) T②④⑥(∀x) (P(x) ∨ Q(x)) P⑦P(c) ∨ Q(c) US⑥⑧P(c) T⑤⑦⑨(∃x) P(x) ES⑧2（1）①(∀x) P(x) P(附加前提)②P(c) US①③(∀x) (P(x) →Q(x)) P④P(c) →Q(c) US③⑤Q(c) T②④⑥(∀x) Q(x) UG⑤（2）显然，(∃x) Q(x) ⇔⌝ (∀x) ⌝ Q(x)因此，(∀x) P(x) ∨ (∃x) Q(x) ⇔(∀x) ⌝ Q(x)→ (∀x) P(x)②⌝ Q(c) US①③(∀x) (P(x) ∨ Q(x)) P④P(c) ∨ Q(c) US③⑤P(c) T②④⑥(∀x) P(x) UG⑤（3）因为(∃x) ⌝P(x) ⇔ (∃x) ⌝P(x) ∨0 ⇔⌝ (∀x) P(x) ∨ 0 ⇔ (∀x) P(x) → 0因此，可将(∀x) P(x)作为附加前提。
①(∃x) ⌝R(x) P②⌝R(c) ES①③(∀x) (Q(x) ∨ R(x)) P④Q(c) ∨ R(c) US③⑤Q(c) T②④⑥(∀x) (Q(x) →⌝P(x)) P⑦Q(c) →⌝P(c) US⑥⑧⌝P(c) T⑤⑦⑨(∀x) P(x) P(附加前提)○10P(c) US⑨○11⌝P(c)∧P(c)(永假式)3、（1）N(x)：x是自然数；O(x)：x是奇数；E(x)：x是偶数；D(x)：x能被2整除；需证：(∀x) (N(x) →O(x) ∨ E(x))，(∀x) (N(x) ∧ E(x)→ D(x))，(∃x)(N(x) ∧⌝D(x)) ⇒(∃x)(N(x) ∧O(x)) 证明：①(∃x)(N(x) ∧⌝D(x)) P②N(c) ∧⌝D(c) ES①③⌝D(c) T②④(∀x) (N(x) ∧ E(x)→ D(x)) P⑤N(c) ∧ E(c)→ D(c) US④⑥⌝N(c) ∨⌝E(c) T③⑤⑦N(c) T②⑧⌝E(c) T⑥⑦⑨(∀x) (N(x) →O(x) ∨ E(x)) P⑩N(c) →O(c) ∨ E(c) US⑨○11O(c) ∨ E(c) T⑦⑩○12O(c) T⑧○11○13(∃x)(N(x) ∧O(x)) EG○12（2）M(x)：x是人。
