2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(2)
一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)
1.(5分)函数y =√4?x 2的定义域为A ,集合B ={x |log 2(x +1)>1},则A ∩B =( ) A .{x |1<x ≤2} B .{x |﹣2≤x ≤2}
C .{x |﹣2<x <3}
D .{x |1<x <3}
2.(5分)已知复数z =5i
2?i
+5i ,则|z |=( ) A .√5
B .5√2
C .3√2
D .2√5
3.(5分)已知实数1,m ,9成等比数列,则椭圆x 2m
+y 2=1的离心率为( )
A .2
B .
√6
3
C .
√6
3
或2 D .
√2
2
或√3 4.(5分)在边长为2的菱形ABCD 中,∠BAD =60°,E 是BC 的中点,则AC →
?AE →
=( ) A .
3+√3
3
B .9
2
C .√3
D .9
5.(5分)甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出如下预测: 甲说:获奖者在乙丙丁三人中; 乙说:我不会获奖,丙获奖; 丙说:甲和丁中的一人获奖; 丁说:乙猜测的是对的.
成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖,则获奖的是( ) A .甲和丁
B .甲和丙
C .乙和丙
D .乙和丁
6.(5分)函数f(x)=(
x?1x+1
)e x
的部分图象大致是( ) A . B .
C .
D .
7.(5分)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题,每人均有23
的概率解答
正确,且三个人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率( ) A .
1320
B .
9
20
C .1
5
D .
1
20
8.(5分)已知函数f(x)=sin(2x ?π
3),则下列关于函数f (x )的说法,不正确的是( ) A .f (x )的图象关于x =?π
12对称
B .f (x )在[0,π]上有2个零点
C .f (x )在区间(π
3,5π
6)上单调递减 D .函数f (x )图象向右平移
11π6
个单位,所得图象对应的函数为奇函数
9.(5分)将函数y =sin (4x +π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移π3
个单位,得到的函数图象的一条对称轴的方程为( ) A .x =?π
12
B .x =π
16
C .x =π
4
D .x =π
2
10.(5分)已知直线y =a 与双曲线C :x 2a 2?y 2b
2=1(a >0,b >0)的一条渐近线交于点P ,
双曲线C 的左、右顶点分别为A 1,A 2,若|PA 2|=√5
2
|A 1A 2|,则双曲线C 的离心率为( )
A .√2
B .
√10
3
C .2 或√10
3
D .
√10
3
或√2 11.(5分)正三棱锥P ﹣ABC 中,已知点E 在P A 上,P A ,PB ,PC 两两垂直,P A =4,PE =3EA ,正三棱锥P ﹣ABC 的外接球为球O ,过E 点作球O 的截面α,则α截球O 所得截面面积的最小值为( ) A .π
B .2π
C .3π
D .4π
12.(5分)已知函数f (x )={xlnx ?2x ,x >0x 2+3
2x ,x ≤0的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =﹣1的对称点在y =kx ﹣1的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A .(1
2,1)
B .(12,3
4)
C .(1
3,1)
D .(1
2,2)
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
13.(5分)二项式(12x ?1
√
x )9的展开式中的常数项是 .
14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3是a 2与a 6的等比中项,S 3
=3,则S 9的值为 .
15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线mx﹣y﹣3m﹣2=0(m∈R)被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的所有弦中弦长的最小值为.
16.(5分)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2,则f(?√3)=;
不等式f(1﹣2x)<f(3)的解集是.
三.解答题(共5小题,满分60分,每小题12分)
17.(12分)如图(1),在平面四边形ABCD中,AC是BD的垂直平分线,垂足为E,AB 中点为F,AC=3,BD=2,∠BCD=90°,沿BD将△BCD折起,使C至C'位置,如图(2).
(1)求证:AC'⊥BD;
(2)当平面BC′D⊥平面ABD时,求直线AC与平面C'DF所成角的正弦值.
18.(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2A+sin2C?2
3sin A sin C=
sin2B.
(1)求sin B的值;
(2)若b=2,△ABC的面积为√2,求△ABC的周长.
19.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如图:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结
论不要求证明)
20.(12分)已知O 为坐标原点,椭圆C :
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)过点P(1,3
2
),F (﹣1,
0)为椭圆C 的一个焦点,抛物线D :y 2=2px (p >0)与椭圆C 相交于A ,B 两点,且|AB|=4√6
3
(1)求椭圆C 及抛物线方程
(2)若直线l :y =x +t 与抛物线D 交于M ,N 两点,点W 满足OW →
=OM →
+ON →
,求证:点W 在定直线上
21.(12分)已知函数f (x )=ae x (a ∈R ),g (x )=lnx
x +1. (1)求函数g (x )的极值;
(2)当a ≥1
e 时,求证:
f (x )≥
g (x ). 四.解答题(共1小题,满分10分,每小题10分)
22.(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2+rcosαy =rsinα(α为参数),以
坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+
π
6
)=3,且曲线C 1与C 2恰有一个公共点. (Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程;
(Ⅱ)已知曲C 1上两点,A ,B 满足∠AOB =π
4
,求△AOB 面积的最大值. 五.解答题(共1小题)
23.已知a >0,函数f (x )=|x ﹣a |.
(1)若a =2,解不等式f (x )+f (x +3)≤5;
(2)若函数g (x )=f (x )﹣f (x +2a ),且存在x 0∈R 使得g(x 0)≥a 2?2a 成立,求实数a 的取值范围.
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(2)
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)
1.(5分)函数y =√4?x 2的定义域为A ,集合B ={x |log 2(x +1)>1},则A ∩B =( ) A .{x |1<x ≤2}
B .{x |﹣2≤x ≤2}
C .{x |﹣2<x <3}
D .{x |1<x <3}
【解答】解:集合A ={x |﹣2≤x ≤2},log 2(x +1)>1,可得x >1,即B ={x |x >1}, 则A ∩B ={x |1<x ≤2}, 故选:A .
2.(5分)已知复数z =5i
2?i
+5i ,则|z |=( ) A .√5
B .5√2
C .3√2
D .2√5
【解答】解:∵z =
5i 2?i +5i =5i(2+i)5
+5i =?1+7i , ∴|z|=√(?1)2+72=5√2. 故选:B .
3.(5分)已知实数1,m ,9成等比数列,则椭圆x 2m
+y 2=1的离心率为( )
A .2
B .
√6
3
C .
√6
3
或2 D .
√2
2
或√3 【解答】解:∵实数1,m ,9成等比数列,∴m 2=9,即m =±3, ∵m >0,∴m =3,椭圆的方程为x 23
+y 2=1,∴a =√3,b =1,c =√2
∴离心率为e =c a =√2
3
=√6
3, 故选:B .
4.(5分)在边长为2的菱形ABCD 中,∠BAD =60°,E 是BC 的中点,则AC →
?AE →
=( ) A .
3+√3
3
B .9
2
C .√3
D .9
【解答】解:如图所示,边长为2的菱形ABCD 中,∠BAD =60°, ∴AB →
?AD →
=2×2×cos60°=2;又E 为BC 中点, ∴AE →
=AB →
+BE →
=AB →
+1
2AD →,且AC →=AB →+AD →
,
∴AC →
?AE →
=(AB →
+AD →
)?
(AB →
+12AD →
)
=AB →
2+32AB →
?AD →
+12AD →
2=4+32×2+12
×4=9. 故选:D .
5.(5分)甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出如下预测: 甲说:获奖者在乙丙丁三人中; 乙说:我不会获奖,丙获奖; 丙说:甲和丁中的一人获奖; 丁说:乙猜测的是对的.
成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖,则获奖的是( ) A .甲和丁
B .甲和丙
C .乙和丙
D .乙和丁
【解答】解:由题意,可知: ∵乙、丁的预测是一样的,
∴乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符. ①假设乙、丁的预测成立,则甲、丙的预测不成立, 根据乙、丁的预测,丙获奖,甲、丁中必有一人获奖; 这与丙的预测不成立相矛盾. 故乙、丁的预测不成立,
②乙、丁的预测不成立,则甲、丙的预测成立, ∵甲、丙的预测成立, ∴丁必获奖.
∵乙、丁的预测不成立,甲的预测成立, ∴丙不获奖,乙获奖. 从而获奖的是乙和丁. 故选:D .
6.(5分)函数f(x)=(x?1
x+1)e x 的部分图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
【解答】解:当x →﹣∞时,e x →0+,x?1x+1=1?2
x+1
→1+,所以f (x )→0+,排除C ,D ;
因为x →+∞时,e x →+∞,x?1x+1=1?2
x+1→1+,所以f (x )→+∞,因此排除B , 故选:A .
7.(5分)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题,每人均有2
3的概率解答
正确,且三个人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率( ) A .
1320
B .
9
20
C .1
5
D .
1
20
【解答】解:甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题, 每人均有2
3的概率解答正确,且三个人解答正确与否相互独立,
在三人中至少有两人解答正确的概率为:
p 1=C 32
(23)2(13)+(23)3=20
27,
三人中有两人解答正确且甲解答不正确的概率为: p 2=(2
3
)2(13
)=
427
, ∴在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率:
p =p 2p 1
=4
272027=15. 故选:C .
8.(5分)已知函数f(x)=sin(2x ?π
3),则下列关于函数f (x )的说法,不正确的是( )
A .f (x )的图象关于x =?
π
12
对称
B .f (x )在[0,π]上有2个零点
C .f (x )在区间(π
3,5π
6)上单调递减 D .函数f (x )图象向右平移
11π6
个单位,所得图象对应的函数为奇函数
【解答】解:函数f(x)=sin(2x ?π
3),
在A 中,函数f(x)=sin(2x ?π3
)的对称轴方程满足2x ?π3=k π+π
2
,k ∈z , 整理得x =
kπ2+5π12,k ∈Z ,当k =﹣1时,对称轴为x =?π
12
,故A 正确; 在B 中,函数f(x)=sin(2x ?π
3
)在[0,π]上有2个零点,故B 正确; 在C 中,函数f(x)=sin(2x ?π
3)的增区间满足: ?π
2+2kπ≤2x ?π
3≤π
2+2kπ,k ∈Z , 解得?
π12+kπ≤x ≤5π12
+kπ,k ∈Z , ∴f (x )在区间(π3
,5π5
)上单调递增,故C 错误;
在D 中,函数f(x)=sin(2x ?π
3)图象向右平移11π6
个单位,
得到的函数为f (x )=sin[2(x ?
11π6)?π
3
]=2sin (2x ﹣4π)=2sin2x , 所得图象对应的函数为奇函数,故D 正确. 故选:C .
9.(5分)将函数y =sin (4x +π
3
)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移π
3
个
单位,得到的函数图象的一条对称轴的方程为( ) A .x =?
π12
B .x =
π16
C .x =π4
D .x =π2
【解答】解:将函数y =sin (4x +π3
)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,可得函数y =sin (2x +π
3)的图象;
再向右平移π
3个单位,可得函数y =sin (2x ?π
3)的图象.
令2x ?π3=k π+π2,求得x =kπ2+5π
12,k ∈Z ,
再令k =﹣1,可得所得函数图象的一条对称轴的方程为x =?π
12
, 故选:A .
10.(5分)已知直线y =a 与双曲线C :
x 2a 2?y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的一条渐近线交于点P ,双曲线C 的左、右顶点分别为A 1,A 2,若|PA 2|=√5
2
|A 1A 2|,则双曲线C 的离心率为( )
A .√2
B .√10
3
C .2 或√10
3
D .√10
3
或√2
【解答】解:双曲线C :x 2a 2?y 2
b
2
=1(a >0,b >0)的一条渐近线:y =b
a x ,则P (a 2
b ,a ),
因为|PA 2|=√5
2|A 1A 2|,所以(a 2
b ?a )2+a 2=5a 2,可得(a
b
?1)2=4,
所以a b
=3,从而e =√1+b
2
2=√103
,
双曲线的渐近线为:y =?b
a x , 则p (?
a 2
b ,a ),|PA 2|=√52|A 1A 2|,所以(?a 2
b ?a )2+a 2=5a 2,可得(a b
+1)2=4, 所以a b
=1,可得e =√2. 则双曲线C 的离心率为:√2或√10
3
. 故选:D .
11.(5分)正三棱锥P ﹣ABC 中,已知点E 在P A 上,P A ,PB ,PC 两两垂直,P A =4,PE =3EA ,正三棱锥P ﹣ABC 的外接球为球O ,过E 点作球O 的截面α,则α截球O 所得截面面积的最小值为( ) A .π
B .2π
C .3π
D .4π
【解答】解:如图,
∵三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线,∴R =2√3,
过O 作OH ⊥P A ,H 为垂足,OH =2√2,在Rt △OHE 中,OH =2√2,HE =1,∴OE =3,
当OE 垂直截面α时,截面圆半径最小,有r 2=R 2?OE 2=(2√3)2?32=3, ∴α截球O 所得截面面积的最小值S =πr 2=3π. 故选:C .
12.(5分)已知函数f(x)={xlnx?2x,x>0
x2+32x,x≤0
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y
=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上,则实数k的取值范围是()
A.(1
2,1)B.(
1
2,
3
4
)C.(13,1)D.(12,2)
【解答】解:∵函数f(x)={xlnx?2x,x>0
x2+32x,x≤0
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线
y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上,
而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1,
∴f(x)={xlnx?2x,x>0
x2+32x,x≤0
的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点,
作函数f(x)={xlnx?2x,x>0
x2+32x,x≤0
的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下,
易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A(0,﹣1),
设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C(x,xlnx﹣2x),y′=lnx﹣1,
故lnx﹣1=xlnx?2x+1
x,
解得,x=1;故k AC=﹣1;
设直线AB与y=x2+3
2x相切于点B(x,x
2+3
2x),
y′=2x+3 2,
故2x+3
2
=
x2+32x+1
x,
解得,x=﹣1;
故k AB =﹣2+32=?12
; 故﹣1<﹣k <?12
, 故1
2<k <1;
故选:A .
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
13.(5分)二项式(12x ?√x )9
的展开式中的常数项是 212
.
【解答】解:二项式(12x ?x )9的展开式的通项是T r+1=C 9r
(12x)9?r x )r =
C 9r
(?1)r (1
2
)9?r x 9?3
2r ,
令9?3
2r =0,解得r =6. 故二项式(12
x 1√x
9的展开式中的常数项是T 7=C 96(?1)6(12)9?6=212.
故答案为:
212
14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3是a 2与a 6的等比中项,S 3
=3,则S 9的值为 63 .
【解答】解:公差d 不为零的等差数列{a n },若a 3是a 2与a 6的等比中项, 可得a 2a 6=a 32,即(a 1+d )(a 1+5d )=(a 1+2d )2, 化为d =﹣2a 1,
又S 3=3,可得3a 1+3d =3,解得a 1=﹣1,d =2,
则S9=9a1+36d=﹣9+72=63,
故答案为:63.
15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线mx﹣y﹣3m﹣2=0(m∈R)被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的所有弦中弦长的最小值为2√2.
【解答】解:直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I(3,﹣2),
圆(x﹣2)2+(y+1)2=4的圆心坐标C(2,﹣1),半径为r=2.
如图,
∵|CI|=√(3?2)2+(?2+1)2=√2,
∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的所有弦中弦长的最小值为2√r2?(√2)2=2√2.
故答案为:2√2.
16.(5分)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2,则f(?√3)=﹣3;
不等式f(1﹣2x)<f(3)的解集是{x|x>﹣1}.
【解答】解:由f(x)为奇函数且x≥0时,f(x)=x2,
可得,f(?√3)=﹣f(√3)=﹣3,
因为≥0时,f(x)=x2单调递增,根据奇函数的对称性可知,f(x)在R上单调递增,故由式f(1﹣2x)<f(3)可得,1﹣2x<3,
解可得,x>﹣1.
故答案为:﹣3,{x|x>﹣1}.
三.解答题(共5小题,满分60分,每小题12分)
17.(12分)如图(1),在平面四边形ABCD中,AC是BD的垂直平分线,垂足为E,AB 中点为F,AC=3,BD=2,∠BCD=90°,沿BD将△BCD折起,使C至C'位置,如图(2).
(1)求证:AC '⊥BD ;
(2)当平面BC ′D ⊥平面ABD 时,求直线AC 与平面C 'DF 所成角的正弦值.
【解答】解:(1)证明:在平面四边形ABCD 中,AC 是BD 的垂直平分线,垂足为E , 将△BCD 沿BD 折起,使C 到C ′,则C ′E ⊥BD ,AE ⊥BD , ∵C ′E ∩AE =E ,∴BD ⊥平面AC ′E , ∵AC ′?平面AC ′E ,∴AC ′⊥BD .
(2)解:由平面BC ′D ⊥平面ABD ,C ′E ⊥BD ,得C ′E ⊥平面ABD , ∵AE ⊥BD ,∴以E 为原点,EA ,EB ,EC ′为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系, ∵∠BCD =90°,∴∠BC ′D =90°,BD =2,E 是BD 中点,∴C ′E =1, ∵AC =3,CE =C ′E =1,∴AE =2,
∴C ′(0,0,1),A (2,0,0),B (0,1,0),D (0,﹣1,0),F (1,1
2
,0),
AC ′→
=(﹣2,0,1),C ′D →
=(0,﹣1,﹣1),C ′F →
=(1,1
2
,?1),
设平面C ′DF 的一个法向量m →
=(x ,y ,z ),
则{m →
?C′D →
=?y ?z =0m →?C′F →=x +1
2
y ?z =0
,取z =2,则m →=(3,﹣2,2), cos <m →
,AC′→
>=
m →?AC′→
|m →
|?|AC′→
|
=
?4√17?√5
=?4√85
85,
∴直线AC 与平面C 'DF 所成角的正弦值为
4√85
85
.
18.(12分)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2A +sin 2C ?2
3sin A sin C =
sin2B.
(1)求sin B的值;
(2)若b=2,△ABC的面积为√2,求△ABC的周长.
【解答】解:(1)因为sin2A+sin2C?2
3sin A sin C=sin
2B.
由正弦定理可得,a2+c2?b2=2
3 ac,
由余弦定理可得,cos B=1 3,
故sin B=2√2 3;
(2)∵S△ABC=1
2
acsinB=√56ac=√2,
所以ac=3,
因为a2+c2?b2=2
3 ac,
所以(a+c)2=4+8
3
ac=4+8=12,
所以a+c+b=2+2√3.
19.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如图:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)
【解答】解:(I )由图表可知,测试成绩在80分以上的女生有2人,占比为
220
=0.1,
在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1=5万人;
(II )由图表得,选取的8名男生中,成绩在70分以上的有3人,70分及其以下的有5人,
记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,选出的8名男生中随机抽取2人,则X =0,1,2,
则P (X =0)=C 5
2
C 82=5
14
, P (X =1)=C 51C 31
C 82=1528, P (X =2)=
C 32C 8
2=328, X 的分布列如下:
x 0
1
2
p
514
1528
3
28
故E (X )=0?5
14+1?15
28+2?3
28=3
4, (III )m 的最小值为4.
20.(12分)已知O 为坐标原点,椭圆C :
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)过点P(1,3
2),F (﹣1,
0)为椭圆C 的一个焦点,抛物线D :y 2=2px (p >0)与椭圆C 相交于A ,B 两点,且|AB|=4√6
3
(1)求椭圆C 及抛物线方程
(2)若直线l :y =x +t 与抛物线D 交于M ,N 两点,点W 满足OW →
=OM →
+ON →
,求证:
点W 在定直线上
【解答】解:(1)由于点P(1,32),F (﹣1,0)为椭圆C 的一个焦点;则{1a 2+9
4b
2=1c =1
; ∵a 2=b 2+c 2;
∴{1a 2+9
4b
2=1a 2=b 2+1
; ∴{a 2
=4b 2=3
; ∴椭圆C 的标准方程为:
x 24
+
y 23
=1..
又由于抛物线D :y 2=2px (p >0)与椭圆C 相交于A ,B 两点,即A ,B 两点关于x 轴对称;
∴A (x 0,y 0),B (x 0,﹣y 0); ∵|AB|=4√6
3; ∴y 0=2√63,
∵A ,B 两点在椭圆上, ∴
x 024
+
89
=1;
∴x 0=2
3; ∴A(2
3
,
2√63),B(23,?2√6
3
); 由于A ,B 两点在抛物线上,代入可以得出p =2; ∴抛物线的标准方程为:y 2=4x ; (2)证明:设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)
由于直线l :y =x +t 与抛物线D 交于M ,N 两点,联立:{y 2=4x
x =y ?t ,
∴y 2﹣4y +4t =0, ∴{y 1+y 2=4y 1y 2=4t
; ∴x 1+x 2=y 1+y 2﹣2t =4﹣2t ; ∵点W 满足OW →
=OM →
+ON →
,
∴OW →
=(x 1+x 2,y 1+y 2)=(4?2t ,4),
∴W (4﹣2t ,4)
∴点W 在定直线x ﹣y +2t =0上;
21.(12分)已知函数f (x )=ae x (a ∈R ),g (x )=lnx
x
+1. (1)求函数g (x )的极值;
(2)当a ≥1
e 时,求证:
f (x )≥
g (x ). 【解答】解:(1)由g(x)=
lnx x +1,得g ′(x)=1?lnx
x 2
,定义域为(0,+∞). 令g ′(x )=0,解得x =e , 列表如下:
x (0,e )
e (e ,+∞)
g ′(x ) + 0 ﹣ g (x )
单调递增
极大值
单调递减
结合表格可知函数g (x )的极大值为g (e )=
1
e
+1,无极小值. 证明:(2)要证明f (x )≥g (x ),即证ae x ≥lnx
x +1,而定义域为(0,+∞), 所以只要证axe x ﹣lnx ﹣x ≥0,
又因为a ≥1
e ,所以axe x ﹣lnx ﹣x ≥1
e xe x ?lnx ?x , 所以只要证明1e xe x ?lnx ﹣x ≥0.
令F (x )=1e xe x ?lnx ?x ,则F ′(x)=(x ?1)(e x?1?1
x ), 记h (x )=e x?1?1
x ,则h (x )在(0,+∞)单调递增且h (1)=0, 所以当x ∈(0,1)时,h (x )<0,从而F ′(x )<0; 当x ∈(1,+∞)时,h (x )>0,
从而F ′(x )>0,即F (x )在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,F (x )≥F (1)=0.
所以当a ≥1
e 时,
f (x )≥
g (x ).
四.解答题(共1小题,满分10分,每小题10分)
22.(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2+rcosαy =rsinα
(α为参数),以
坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+
π
6
)=3,且曲线C 1与C 2恰有一个公共点. (Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程;
(Ⅱ)已知曲C 1上两点,A ,B 满足∠AOB =π4
,求△AOB 面积的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π6
)=3, 可得C 2的直角坐标方程为:x +√3y ?6=0,即曲线C 2为直线. 曲线C 1是圆心为(2,0),半径为|r |的圆. 因为圆C 1与直线C 2恰有一个公共点,可得|r |=|2?6|
2
=2, 圆C 1的普通方程为x 2+y 2﹣4x =0, 所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(Ⅱ)由题意可设A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+π
4),(ρ1>0,ρ2>0), S △AOB =1
2|OA ||OB |sin π4
=
√24
ρ1ρ2=4√2cos θcos (θ+π
4)=4(cos 2θ﹣sin θcos θ) =4(
1+cos2θ
2?sin2θ2
)=2+2√2cos (2θ+π4
),
所以△AOB 面积的最大值为2+2√2. 五.解答题(共1小题)
23.已知a >0,函数f (x )=|x ﹣a |.
(1)若a =2,解不等式f (x )+f (x +3)≤5;
(2)若函数g (x )=f (x )﹣f (x +2a ),且存在x 0∈R 使得g(x 0)≥a 2?2a 成立,求实数a 的取值范围.
【解答】解:(1)当a =2时,f(x)+f(x +3)=|x ?2|+|x +1|={1?2x ,x <?1
3,?1≤x <22x ?1,x ≥2
,
当x <﹣1时,由1﹣2x ≤5,解得﹣2≤x <﹣1; 当﹣1≤x <2时,由3≤5,解得﹣1≤x <2; 当x ≥2时,由2x ﹣1≤5,解得2≤x ≤3; 综上可知,原不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤3}; (2)g (x )=f (x )﹣f (x +2a )=|x ﹣a |﹣|x +a |, 存在x 0∈R 使得g(x 0)≥a 2?2a 成立,
等价于g(x)max≥a2?2a;
又因为|x﹣a|﹣|x+a|≤|x﹣a﹣x﹣a|=2a,
所以2a≥a2﹣2a,即a2﹣4a≤0,
解得0≤a≤4,结合a>0,所以实数a的取值范围为(0,4].
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图
高考模拟试卷(四) 一、填空题 1. 已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =( ) A. B. C. D. 2. 复数 在复平面上对应的点位于第( )象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中,,9,则 ( ) A . B .5 C . D .3 4. 若对任意实数,不等式成立,则实 数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中,为其前项和,若, ,也成等差数列,,则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100,则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数,且的最小正周 期为3, 的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1( 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点 等),理解正切函数在区间??? ?-π2,π2内的单调性. 【热点题型】 题型一 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数y =1 tan x -1 的定义域为____________. (2)函数y =2sin ??? ?πx 6-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1 D .-1-3 解析 (1)要使函数有意义,必须有???? ?tan x -1≠0,x ≠π2+kπ,k ∈Z , 即? ??x ≠π 4+kπ,k ∈Z ,x ≠π 2+kπ,k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z}. (2)∵0≤x≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π 6, ∴sin ????π6x -π3∈???? ??-32,1. ∴y ∈[]-3,2,∴ymax +ymin =2- 3. 答案 (1){x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: ①形如y =asin x +bcos x +c 的三角函数化为y =Asin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域);②形如y =asin2x +bsin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t 的二次函数求值域(最值);③形如y =asin xcos x +b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t =sinx±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值 2018技能高考模拟题(数学部分) ―、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1. 下列四个命题:(1)空集没有子集.(2)空集是任何集合的真子集(3)}0{=? (4)任何集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有( )个 A.0 B. 1 C.2 D.3 2.下列函数:(l )2x y =,(2)3x y =,(3)x x y -+=11lg ,(4)2 1131--=x y 其中奇函数有( )个 A.3 B.2 C.1 D.0 3.下列命题:(l )02sin 2cos >-,(2)若54sin =a ,则53cos =a . (3)在三角形ABC 中,若A A cos 3sin 2=,则角A 为30度角.其中正确的有()个 A.3 B. 2 C.1 D.0 4.下列说法:(1)两个相等的向量起点相同,则终点相同.(2)共线的单位向量相等.(3)不相等的向量一定不平行.(4)与零向量相等的向量一定是零向量. (5)共线向量一定在一条直线上.其 中正确的有( )个 A.2 B.3 C.4 D.5 5. 有点(3,4),(3-,4-),(1,1+3)(1-,31-),其中在直线013=+-y x 上的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法中:⑴数列{112-n }中负项有6项.(2)73为数列{12-n }中的项. (3)数列2.4.6.8可表示为{2. 4. 6.8}.其中正确的有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 1.若数列{n a }中,11++= n n n a a a 对任意正整数都成立,且216=a ,则5a = 。 n a = 。 2. 若a =(3,4),b =(2,1),且(a +xb ))(b a -⊥ = 。 3. 满足2 1sin ≥ a 的角a 的集合为 。 4. 4.函数|3|log 2 1-=x y 的单调减区间为 。 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 1.(1)角a 的终边上一点P 的坐标为(t t 3,4-)(t 不为0),求a a cos sin 2+. (2)设2e ,2e 是两不共线的向量,若涵212ke +=,113e e +=,212e e -= 若三点A 、B 、D 共线,求k 的值. 2.(1)求函数)6 2sin(3π-=x y 的单增区间. (2)说出函数)3tan(π-=x y 的周期和单调区间. 3.(1)过点P (1-,1-)的直线与两坐标轴分别相交于A 、B 两点,若P 点为线段AB 的中点,求该直线的方程和倾斜角. (2)已知数列{n a }为等差数列,n S 为其前n 项和,且77=S ,1515=S . ①求n S .②若为数列的{n S n }前n 项和,求n T . 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何(含答案解析) 1.(2020·河南省实验中学高三二测(理))现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合,其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -,如图所示,已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=,三棱锥的外接球的表面积为4π,该三棱锥的体积的最大值为 ( ) A 3 B .36 C 3 D 3 2.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) A .16 B .163 C .163 D .1283 3.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是( ) A .若αβ⊥,则α内一定存在直线平行于β B .若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β C .若αγ⊥,βγ⊥,l αβ=I ,则l γ⊥ D .若αβ⊥,则α内所有直线垂直于β 4.(2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟(理))榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明, 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑,同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构,榫卯结构 中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( ) A .36 B .45 C .54 D .63 5.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .83π3 B .4π1633 C 16343π+ D .43π1636.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))在平面五边形ABCD E 中,60A ∠=?,63AB AE ==BC CD ⊥,DE CD ⊥,且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起,使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?,则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为( ) A .63π B .84π C .252π D .126π 7.(2020·陕西省西安中学高三三模(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) 高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<< F D C B A 2019年高考数学模拟试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合}032{2>--=x x x A ,}4,3,2{=B ,则B A C R ?)(= A .}3,2{ B .}4,3,2{ C .}2{ D .φ 2.已知i 是虚数单位,i z += 31 ,则z z ?= A .5 B .10 C . 10 1 D . 5 1 3.执行如图所示的程序框图,若输入的点为(1,1)P ,则输出的n 值为 A .3 B .4 C .5 D .6 (第3题) (第4题) 4.如图,ABCD 是边长为8的正方形,若1 3 DE EC =,且F 为BC 的中点,则EA EF ?= A .10 B .12 C .16 D .20 5.若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ,则y x z 82?=的最大值是 A .4 B .8 C .16 D .32 6.一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为 A .3228516++ B .32532+ C .32216+ D .32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张,则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A . 101 B .51 C .103 D .5 4 8.设n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11++?=n n n S S a ,则5a = A . 301 B .031- C .021 D .20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8,若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ,则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 一、选择题(5分×6=30分) 19. 下列命题中错误的个数是( ) ①若A B =?I ,则,A B 中至少一个是空集 ②若A B S =I ,S 为全集,则A B S == ③()()A B A A B ≠≠ ??I U ④22 (2)0(2)0x y x y +-=-=是的必要不充分条件 A.0 B.1 C.2 D.3 20. 不等式(5)(4)14x x -+-≥的解集是( ) A. 32x -≤≤ B. {}|32x x x ≤-≥或 C. {}|32x x -≤≤ D. {}|32x x -<< 21. 下列说法正确个数的是( ) ①1,(,)y x =+∈-∞+∞表示一个函数 ②22()1()sin cos f x t t t ==+和g 表示同一函数 ③设函数()y f x =在区间(,)a b 上有意义.如果有12,(,)x x a b ∈,当12x x <时,12()()f x f x <成立,那么函数()f x 叫作区间(,)a b 上的增函数 ④如果函数2()2(1)31+)f x x a x =-++∞在区间[,是增函数,则a 的取值范围是[3,)+∞ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 22. 下列函数在定义域内为减函数且为奇函数的是( ) A. ()3x f x -= B. 3 ()f x x =- C. ()sin f x x = D. ()cos f x x = 23. 已知向量,a b r r ,且22,56,92,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r 则一定三点共线的是() A. A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D 24. 小明抛一块质地均匀的硬币两次,出现正反各一次的概率是( ) A 14 B 12 C 34 D 1 二、填空(5分×4=20分) 25. 计算( 34 1 log 50.5330.125+29--+= 26. 函数()f x =的定义域是 27. 在等差数列{}n a 中,已知1110a =,则21S = 28. 已知正四棱柱底面边长为4cm ,侧面积为80cm 2,则它的体积是 xx 北技能高考数学模拟试题(一) 2020全国各地模拟分类汇编(文):集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1.“lg lg x y >”是“1010x y >”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M , )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I ( ) A .}21||{<≤x x B .}20||{<高考数学模拟复习试卷试题模拟卷20144
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