高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习

专题12 平面向量【标题01】平行向量单位向量的概念理解不透彻忽略了一些特殊情况 【习题01】给出下列命题：(1)向量AB 与向量BA 是共线向量，不是平行向量； (2)若向量a 与向量b 都是单位向量，则a b ；(3)若AB DC ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；(4),为实数，若ab ，则a 与b 共线.其中错误的命题的序号是 .【经典错解】（1）（2）【习题01针对训练】下列命题正确的是（ ） A. 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线.B. 任意两个相等的非零向量的起点和终点是一个平行四边形的四个顶点.C. 向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量.D. 有相同起点的两个非零向量不平行.【标题02】把“cos,0,a b a b 是钝角”当作了真命题【习题02】已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，(1,1)A -，(3,3)B ，则使向量PA 与PB 的夹角为钝角的充要条件是 .【经典错解】由题意知P 点的坐标为（a ，2a ），PA =（﹣1﹣a ，1﹣2a ），PB =（3﹣a ，3﹣2a ）． 由向量PA 与PB 的夹角为钝角，得：PA •PB =（﹣1﹣a ，1﹣2a ）•（3﹣a ，3﹣2a ）=（﹣1﹣a ）（3﹣a ）+（1﹣2a ）（3﹣2a ）=25100a a -<，∴02a <<，则向量PA 与PB 的夹角为钝角的充要条件是02a <<.【习题02针对训练】已知i 和j 是两个互相垂直的单位向量，2a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .【标题03】向量加法和减法的三角形法则运用错误 【习题03】在ABCD 中，错误的式子是( )A.AD AB BD -=B.AD AB DB -=C.=+D.=+ 【经典错解】.AD AB DB A -=因为，所以选择【详细正解】根据平行四边形法则知，错误的为B .在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如=+，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如AD AB BD -=，对于D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得AC AB AD =+.【习题03针对训练】如图，空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于( )A.12 a －23b ＋12cB.－23a ＋12b ＋12cC.12 a ＋12b －23cD.23 a ＋23b －12c【标题04】把向量平行的充要条件记成了12120x x y y【习题04】已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x = . 【经典错解】根据a ∥b 有12120x x y y ，所以 122(3)03x x【详细正解】根据a ∥b 有01221=-y x y x ,可知022)3(1=⨯--⨯x ,得43-=x 【深度剖析】（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了12120x x y y .（2）||a b 12210x y x y ⇔-=，不是12120x x y y ，可以记为“斜乘相减等于零”.12120a bx x y y ，可以记为“竖乘相加等于零”.这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢.【习题04针对训练】已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为 ．【标题05】求模时没有开方【习题05】已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b -等于 . 【经典错解】2221|3|6919672a b a a b b ，所以|3|7a b -=. 【详细正解】2221|3|6919672a b aa b b，所以|3|7a b -=.【习题05针对训练】若向量()cos ,sin a θθ=，()3,1b =-，则2a b -的最大值为（ ）A.4B.2222【标题06】对a 在b 上的投影的概念和公式理解不透彻 【习题06】已知e a ,4=为单位向量，当e a ,的夹角为32π时，a 在e 上的投影为（ ） A.2 B. 2- C. 32 D.32- 【经典错解】2cos ,41cos23a e a e a a e aa eeπ⋅⋅〈〉===⨯⨯=-，所以a 在e 上的投影为2，所以选择A . 【详细正解】a 在e 上的投影为2cos ,41cos23a e a e a a e aa eeπ⋅⋅〈〉===⨯⨯=-,所以选择B . 【深度剖析】（1）经典错解错在对a 在b 上的投影的概念和公式理解不透彻.（2）a 在b 上的投影为||cos ,a a b ，由于||0,1cos ,1a a b，所以a 在b 上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零.有的同学把a 在b 上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数.经典错解就是错在这里，它算出一个负值后，想象投影应该是一个非负数，所以最后取了一个正数.（3）数学是一门很严谨的自然科学，要从概念出发，利用公式进行推理，不能光凭想象.【习题06针对训练】已知||6a =，||3b =，12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．【标题07】向量的夹角的概念理解错误 【习题07】在边长为1的等边△ABC 中，AB BC .【经典错解】01||||cos602AB BC AB BC 【详细正解】01||||cos1202AB BC AB BC【习题07针对训练】已知正△ABC 的边长为1，则AB BC BC CA CA AB −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅+⋅+⋅= ． 【标题08】对向量的夹角的范围没有记清 【习题08】已知向量,a b 满足：2a b +与54a b -垂直，且||1,||1a b ==，则a b 与的夹角为 . 【经典错解】由已知得（2a b +）.（54a b -）=0，故12a b ⋅=，则cos a b a b a b⋅<⋅>=⋅＝12，故a 与b 的夹角为3π和53. 【详细正解】由已知得（2a b +）.（54a b -）=0，故12a b ⋅=，则cos a b a b a b⋅<⋅>=⋅＝12，又因为[0,]a b π<⋅>∈，故a 与b 的夹角为3π.【深度剖析】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清.（2）两个向量的夹角的范围是[0,]，不是[0,2]，所以本题只有一个答案.【习题08针对训练】已知)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos θθC ，O 为坐标原点. （1）31-=•，求θ2sin 的值； （1）若7||=+，且)0,(πθ-∈，求与的夹角.【标题09】把向量的运算和乘法公式类比出现错误 【习题09】对于非零向量b a ,，下列命题正确的是（ ）A.⇒=⋅0b a 00a b==或 B. ⇒b a // a b 在上的投影是||a C .⇒⊥b a 2)(b a b a ⋅=⋅ D.b a c b c a =⇒⋅=⋅ 【经典错解】类比乘法性质000a b a b 或，所以选择A .【详细正解】对于选项A , 0||||cos ,00=0a b a b a bab 或，,=2a b 或 ,故A 错误；对于B ，a b 在上的投影||cos ||a a 是，所以B 错误.对于D ，||||cos ||||cos ;a c b c a c b c a b αα→→→→=∴==不能推出所以D 错误，排除法选C .故选C .【习题09针对训练】已知两不共线向量()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==则下列说法不正确的是 （ ） A ．1a b == B ．()()a b a b +⊥-C ．a 与b 的夹角等于αβ-D ．a 与b 在a b +方向上的投影相等【标题10】没有认真审题忽略了“方向相同”这个条件【习题10】已知点1(2,)2A -, 13(,)22B ，则与向量AB 同方向的单位向量是 .【经典错解】∵1313(,)(2,)(,2)2222AB =--=-设所求的向量为(,)x y ,所以223315534420-255x x x y y x yy或所以填3434(,),(,)5555. 【详细正解】方法一：∵1313(,)(2,)(,2)2222AB =--=-，设所求的向量为(,)x y ,所以223315534420-255x x xy y x yy或但是向量34(,)55和向量AB 方向相反，所以舍去，故填34(,)55方法二： ∵1313(,)(2,)(,2)2222AB =--=-，2235||()222AB ∴=-+= ∴与向量AB 同方向的单位向量=2334(,2)(,)5255||AB AB =-=-【习题10针对训练】若(6,8)a =-，则与a 方向相反的单位向量是 ．【标题11】对平面向量基本定理和基底没有理解清楚 【习题11】下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底12,e e ，使12a e e λμ=+成立的实数对一定是唯一的． A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①②③④ 【经典错解】四个命题都是正确的，故选D . 【详细正解】根据平面向量基本定理知：①一个平面内任何一对不平行的向量都可作为表示该平面所有向量的基底，故错误； ②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基底，故正确； ③零向量不可作为基底中的向量，因为零向量和任何向量都共线，故正确；④对于平面内的任一向量a 和一组基底12,e e ，使12a e e λμ=+成立的实数对一定是唯一的，根据平面向量基本定理可知正确．故选B .【习题11针对训练】如果12,e e 是平面β内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 .(把所有正确命题的序号都填上)①若存在实数12,λλ，使得11220e e λλ+=，则120λλ==；②平面内β任一向量a 都可以表示为1122a e e λλ=+，其中12,R λλ∈； ③1122a e e λλ=+不一定在平面β内，其中12,R λλ∈；④对于平面β内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对.【标题12】对于向量的相关概念公式法则理解不透彻【习题12】对任意向量,a b →→，下列命题中正确的是___________.A ．若,a b →→满足||||a b →→>，且a →与b →同向，则a b →→> B ．||||||a b a b →→→→-≤- C ．||||||a b a b →→→→≥ D ．||||||a b a b →→→→+≤+ 【经典错解】选A .【详细正解】对于选项A ,由于向量不能比较大小，故不正确；对于选项B ，根据三角形法则，||||||a b a b →→→→-≥-；对于选项C ，|||||||cos ||||||cos |||||a b a b a b a b θθ→→→→==≤，所以选项C 错误；对于选项D ，根据三角形法则，选项D 正确.【深度剖析】（1）经典错解错在对于向量的相关概念公式法则理解不透彻. (2) ||a b →→-≥||||a b →→- ，||||||a b a b →→→→+≤+和||||||a b a b →→→→≤是与向量有关的介个重要结论，可以理解的记住.【习题12针对训练】下列命题中，正确的命题有_________. ①||||||a b a b →→→→-≤-； ②||||||a b a b →→→→-≤+； ③||||||a b a b →→→→+≤+； ④||||||a b a b →→→→-≤+【标题13】平行向量的概念和性质理解错误 【习题13】下列各命题中，真命题是_______.A ．若||||a b →→=，则a b →→=B ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→C ．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D ．单位向量都相等 【经典错解】由平行的传递性得选B【详细正解】对于选项A ,显然是错误的；对于选项B ,当0b = 时，满足//a b →→，//b c →→，但是a c →→不一定和平行；对于选项D ,单位向量不一定相等，因为它们可能方向不同.故选C .【深度剖析】(1)经典错解错在平行向量的概念和性质理解错误. （2）判断向量的有关命题时，注意向量的两个要素（方向和大小）.【习题13针对训练】下列说法正确的是（ ） A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量【标题14】把“||2||2a b →→==”看成了“||2||2a b →→==”【习题14】已知||2||2a b →→==，且向量a →在b →上的投影为1-，则(2)_____a b b →→→-=. 【经典错解】由题得1||cos 1cos 2a αα=-∴=-2221(2)2||||cos 2||22()22102a b b a b b a b b α→→→∴-=-=-=⨯⨯--⨯=-【详细正解】由题得1||cos 1cos 2a αα=-∴=-221(2)2||||cos 2||2()132a b b a b b a b b α→→→∴-=-=-=⨯--=-【习题14针对训练】若向量b a ,满足||2||2||3b a a b ==-=，则|32|a b -的值为 .【标题15】数量积的公式和运算理解不透彻【习题15】下列命题正确的是_________.A ．若0a b →→=，则0a →→=或0b →= B ．a b b a →→→→= C ．若a c b c →→→→=(0)c →→≠，则a b →→= D ．()()a b c a b c →→→→→→= 【经典错解】类比实数的运算性质得选A . 【详细正解】对于选项A 0||||cos ,00=0,=2a ba b a b a b a b 或或,A 所以是错误的.,||||cos ,.B a b a b b a B θ==对于选项所以选项是正确的对于选项C ,||||cos ||||cos ;a c b c a c b c a b αα→→→→=∴==不能推出对于选项D ，向量的数量积不满足结合律，所以是错误的. 故选A .【习题15针对训练】对于非零向量,，下列命题正确的是（ ）A.⇒=⋅000a b ==或B. ⇒// a b 在上的投影是||a C .⇒⊥b a 2)(b a b a ⋅=⋅ D.=⇒⋅=⋅高中数学经典错题深度剖析及针对训练第12讲：平面向量参考答案【习题01针对训练答案】C【习题01针对训练解析】因为零向量与任何向量都是共线向量，所以C 正确.故选C .【习题04针对训练答案】17- 【习题04针对训练解析】因为a b λ+(31,2),λλ=--2a b -(1,2),=-所以由向量a b λ+与2a b -垂直得：13140,.7λλλ++==- 【习题05针对训练答案】A【习题05针对训练解析】由题意可知1a =，2b =，3cos sin a b θθ⋅=-，而()222a b a b -=- ()()2244443cos sin 44sin 3cos 88sin 83a a b b πθθθθθ⎛⎫=-⋅+=--+=-+=-+ ⎪⎝⎭因此2a b -884+=，故选A .【习题06针对训练答案】4-【习题06针对训练解析】向量a 在向量b 方向上的投影是a θcos ⋅（θ是，的夹角），a θcos ⋅=b -4.【习题07针对训练答案】32-【习题07针对训练解析】由题意得题中三组向量的夹角皆为120,所以311cos12011cos12011cos120.2AB BC BC CA CA AB −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-又)2,0(=OB ，)23,21(-=OC ， ∴23230,cos -=-=>=<， ∴65,π>=<. 【习题09针对训练答案】C【习题09针对训练解析】()()cos ,sin ,cos ,sin ,1a b a b ααββ==∴==，故A 正确；()()22110,a b a b a b +⋅-=-=-=()(),a b a b ∴+⊥-故B 正确；a 在a b +方向上的投影为cos ,,a ba b a a b a a b a b b ⋅⋅=⋅==⋅⋅同理可得b 在a b +方向上的投影也为,a b ⋅故D 正确．对于C ，两向量的夹角范围为[]0,,π而αβ-可以是任意角，故C 错误．综上所述选C ．【习题10针对训练答案】34(,)55【习题10针对训练解析】与a 方向相反的单位向量为(6,8)34(,)1055||a a --=-=- ，故填34(,)55． 【习题11针对训练答案】①② 【习题11针对训练解析】根据平面向量基本定理可以知道①②正确. 对于命题③，1122a e e λλ=+一定在平面β内.对于命题④，对于平面β内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有且只有一对.故填①②.【习题12针对训练答案】①②③④【习题1413【习题14针对训练解析】22||3231423a b a b a b a b -=∴+-=∴+-= 1a b ∴= 22|32|941291613a b a b a b -=+-=+=13【习题15针对训练答案】C【习题15针对训练解析】对于选项A ,0||||cos ,00=0a b a b a b a b 或，,=2a b 或 ,故A 错误；对于B ，a b 在上的投影||cos ||a a 是，所以B 错误；对于D ，a c b c →→→→=||||cos ||||cos ;a c b c a b αα∴==不能推出所以D 错误，排除法选C .故选C .。

新数学复习题《平面向量》专题解析一、选择题1．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（ ） A ．31- B ．23-C ．12D ．22【答案】A 【解析】 【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，13MF c =，∴23a c c =+，∴31ce a==-. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.2．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．3B 3C 3D 3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uu u r uuu r， ∴cos cos AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．3．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.4．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（ ）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】 【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】 ()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A .本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.5．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，所以23c ≥u r ，即c ≥u r故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.7．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（ ）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10．在ABC ∆中，已知3AB =23AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v的取值范围为（ ）A ．()3,5B ．(5,53C ．()5,9D ．()5,7【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解． 【详解】如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AB AC =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r＝8﹣113233cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．11．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（ ）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】 【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．12．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )A ．4B ．2C ．1D ．16【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，所以|2|2a b -=r r，故选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuur =2，则△ABC 的面积为（ ）A B ．32C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积． 【详解】在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 3=BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，∴△ABC 的面积为：116223acsinB =⨯⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．14．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2D ．98【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率.【详解】由题得双曲线的渐近线方程为by xa=±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc bA cB c P ca a a-因为(),OP OA OB Rλμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v，所以2(,)((),())b bcc u c ua aλλ=+-.所以,,bu c ucλλ+=-=解之得,.22b c c buc cλ+-==因为225+=8λμ，所以22522()(),3, 3.22833b c c b cec c a+-+=∴=∴=故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB Rλμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,uλ.15．如图，在ABCV中，已知D是BC边延长线上一点，若2B CC D=u u u v u u u v，点E为线段AD的中点，34AE AB ACλ=+u u u v u u u v u u u v，则λ=（）A．14B．14-C．13D．13-【答案】B【解析】【分析】由12AE AD=u u u r u u u r，AD BD BA=-u u u r u u u r u u u r，AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r，32BD BC=u u u r u u u r，代入化简即可得出．【详解】13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，可得14λ=-，故选B.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】A【解析】【分析】 画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ， ()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题17．下列命题为真命题的个数是（ ）①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.18．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ）A ．8+B ．8-C ．12D ．4 【答案】C【解析】【分析】【详解】由题意1122 OM OA OB =+u uu u r u u u r u u u r，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又圆的半径为4，4AB=uu u r，则,OA OBu u u r u u u r两向量的夹角为π3．则8OA OB⋅=u u u v u u u v，2216OA OB==u u u v u u u v，所以12OC OM⋅=u u u r u u u u r．故本题答案选C．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.19．三角形ABC中，5BC=，G，O分别为三角形ABC的重心和外心，且5GO BC⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】【分析】取BC中点D，利用GO GD DO=+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC中点D，连接,OD AD，则G在AD上，13GD AD=，OD BC^，()GO BC GD DO BC GD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB=⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2223025AC AB BC-=>=，∴2220AB BC AC+-<，由余弦定理得cos0B<，即B为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC中点D，用,AB ACu u u r u u u r表示出,GD BCu u u r u u u r．20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）A ．4BC ．2D 【答案】A【解析】【分析】 根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】 因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ， 故选：A【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题提优专项训练试题一、平面向量多选题1．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()2112PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.3．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 324OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，132BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.5．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=【答案】ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.7．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．8．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系9．下列说法中错误的为 （）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角， 可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++， 即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠， 故A 不正确；对于B，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，AB CA ABCA+表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.。

高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题提优专项训练一、平面向量多选题1．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】 根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【详解】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2cos ,22a ba b a b ⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.【点睛】 关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.2．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y = C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-【答案】BCD【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对 x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD【分析】 根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 324OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，132BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解. 4．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB = C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅= 【答案】BCD【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确； 对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=， 11cos ,212AB ADAB AD AB AD ⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．32OA OB OC ++=D ．132DE = 【答案】AC【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；B ．因为E 为AB 中点，所以ABCE ，所以0AB CE ⋅=，故错误； C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以1,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3OA OB OC ++=D ．因为()1,0,03DE ⎛ ⎝⎭，所以1,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.6．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ）A ．若a b ⊥，则0k =B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥ 【答案】AD【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确.故答案为：AD.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.7．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】 解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( )A ．||2a b +=B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】 本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝ (2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或 2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． 判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b cos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值. 9．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC = C ．AB CD AD BC -=+D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】 本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】 利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC.【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。