{高中试卷}黄冈中学高考数学易错题精选(一)三角函数与平面向量[仅供参考]

湖北省黄冈中学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，23AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG 长的最大值为421 D ．PA PB ⋅的最小值642+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y ，23AB =G 为弦AB 的中点， 3GB ∴=，而()()22:114C x y +++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2， 故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.3．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误；32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确；16ED ⎛= ⎝⎭，1,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.4．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.6．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.7．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等，∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD. 【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．113C 313+ D 313- 【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.二、立体几何多选题9．在正三棱柱111ABC A B C -中，AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是（ ） A ．111122A D AB AC AA =+-B ．三棱锥11D ABC -C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC DD ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B ．根据1111D ABC A DB C V V --=，然后计算出对应三棱锥的高AD 和底面积11DB C S，由此求解出三棱锥的体积；C ．先假设1AB BC ⊥，然后推出矛盾；取AB 中点E ，根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立；D ．将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】A ．()11111111222A D A A AD AD AA AB AC AA AB AC AA =+=-=+-=+-，故正确； B ．1111D AB C A DB C V V --=，因为D 为BC 中点且AB AC =，所以AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥且1BB BC B =，所以AD ⊥平面11DB C ，又因为22AD BC ===，11111122DB C S BB B C =⨯⨯=，所以1111111133D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯==C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以11,,,D E A C 四点共面，又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.10．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC 6D ．若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD【分析】 根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，1302B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以132a BC b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,，132a AB b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=， 即222302a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于122BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，12022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，132222a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,， 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为6，选项C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，即有312E F EB =，又因为在1CE F ∆中，311E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析9：三角函数图象与性质考点透析【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题； 【考题形式】1。

由参定形，由形定参。

2。

对称性、周期性、奇偶性、单调性 【考点小测】1.（安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C 。

2.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭解析：从图象看出，41T=1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，选D. 3．2007年广东5.)()4(sin )4(sin )(22是函数ππ--+=x x x f A.周期为π的奇函数；B. 周期为π的偶函数 C.周期为π2的奇函数D.周期为π2的偶函数4．（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，∴ 最小正周期为π，选B. 5．（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（A ） （A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y6（天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ） (A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度7．（全国卷I ）设函数()()()cos30f x x j j p =+<<。

专题考案(3)三角板块测试第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(12×5′＝60′)1.已知sin(α+β)=1,tan β=31,则tan α的值为 ( )A.-3B.-31C.31 D.32.已知3cos 5cos sin sin 222=α+αα-α,则tan α的值是 ( )A.1B.-2C.1或-2D.-1或23.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)=-f (x )，且在［-3,-2］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则 ( )A.f (sin α)>f (cos β)B.f (sin α)<f (cos β)C.f (sin α)>f (sin β)D.f (cos α)>f (cos β)4.函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y =A cos(ωx +φ)(ω>0,A ≠0)的图象在区间(0x ，ωπ+0x )上 ( )A.至少有两个交点B.至多有两个交点C.至多有一个交点D.至少有一个交点 5.对于函数f (x )=⎩⎨⎧,cos ,sin x x ，下列命题中正确的是 ( ) A.该函数的值域是［-1,1］ B.当且仅当x =2k π+2π(k ∈Z )时，函数取得最大值1 C.该函数是以π为最小正周期的周期函数 D.当且仅当2k π+π<x <2k π+23π(k ∈Z )时，f (x )<0 6.已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)的图象的 一部分如图所示，则ω、φ的值可能是 ( )A.ω=5,φ=3πB.ω=1,φ=-3πC.ω=2,φ=3πD.ω=3,φ=-3π 7.已知两线段a =2,b =22，若以a 、b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围是 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ3,6B.⎥⎦⎤ ⎝⎛π6,0C.⎪⎭⎫ ⎝⎛π2,0D.⎥⎦⎤ ⎝⎛π4,08.设函数f (x )=2sin(2πx +5π),若对任意x ∈R 都有f (1x )≤f (x )≤f (2x )成立，则|1x -2x |的最小值为( )A.4B.2C.1D.21当sin x ≥cos-x 时 当sin x <cos x 时第6题图9.把函数y =sin(2x +34π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是 ( )A.65πB.125πC.32πD.6π10.若函数f (x )=sin ωx +a cos ωx (ω>0)的图象关于点M (3π,0)对称，且在x =6π处函数有最小值，则a +ω的一个可能的取值是 （ ）A.0B.3C.6D.9 11.函数y =2sin x sin2x 的最大值是 ( )A.2764B.2738 C.22 D.22 12.已知α、β是锐角，sin α=x ,cos β=y ,cos(α+β)=-53,则y 与x 的函数关系式为（ ）A.y =-x x 541532+- (53<x <1)B.y =-x x 541532+- (0<x <1)C.y =-x x 541532+- (0<x <53)D.y =-x x 541532+- (0<x <1) 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(4×4′＝16′)13.函数y =sin 32x +cos(632π+x )的图象中相邻两对称轴的距离是 .14.⎪⎭⎫ ⎝⎛π++⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=3cos 6sin x x a y 为偶函数,则a 的值是 .15.当x ≥y ≥0，且3≤x+y ≤5时，22y xy x +-的最大值为 . 16.给出下列命题：①存在实数x ，使sin x +cos x =23; ②若α、β是第一象限角，且α>β,则cos α<cos β； ③函数⎪⎭⎫⎝⎛π+=2732sin x y 是偶函数；④若cos αcos β=1，则sin(α+β)=0； ⑤将函数y =sin2x 的图象向左平移4π个单位，得到的是函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=42sin x y 的图象，其中正确命题的序号是 .三、解答题(5×12′+14′＝74′)17.已知函数f (x )=a x x ++2sin 3cos 22(a ∈R )， (1)若x ∈R ,求f (x )的单调递增区间.(2)若x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0时，f (x )的最大值为4，求a 的值.18.已知函数f (x )=a +b sin x +c cos x (x ∈R )的图象经过点A (0,1),B ⎪⎭⎫⎝⎛π1,2,且b >0,又f (x )的最大值为22-1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)由函数y =f (x )的图象经过平移是否能得到一个奇函数y =g (x )的图象？若能，请写出平移过程；若不能，请说明理由.19.已知函数f (x )=a +b sin x +c cos x 的图象经过点A (0,1),B ⎪⎭⎫⎝⎛π1,2；当x ∈［0,2π］时f (x )的最大值为22-1.求f (x )的解析式.20.已知函数2)cos (sin 22sin a x x x y ++-=.(1)设t =sin x +cos x ,t 为何值时，函数y 取得最小值； (2)若函数y 的最小值为1,试求a 的值.21.如图所示，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东北方OB ，现要修建一条铁路L ，L 在AO 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路距中心O 多远处才能使|AB |最短，并求其最短距离.22.设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数α、β，有f (α)+f (β)=2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛β+α2·f ⎪⎭⎫⎝⎛β-α2,且213=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf . (1)求f (0)及⎪⎭⎫⎝⎛π32f 的值.(2)求证：f (-x )=f (x )=-f (π-x ). (3)若0≤x <2π时，f (x )>0，求证:f (x )在［0,π］上单调递减. (4)求f (x )的最小正周期.参考答案第21题图1.D ∵α+β=2k π+2π (k ∈Z ),∴tan α=tan(2k π+2π-β)=tan(2π-β)= cot β=3tan 1=β,∴选D. 2.C 由α+αα-α⇒=α+αα-α2222cos 5cos sin sin 23cos 5cos sin sin 2=02tan tan 0cos 2cos sin sin )cos (sin 322222=-α+α⇒=α-αα+α⇒α+αα⇒tan =1或-2.3.A ∵f (x +1)=-f (x ),且f (x )为偶函数，∴f (x )的周期为2，且关于直线x =1对称，故当x ∈［-3,-2］上是减函数，则在［0，1］上是增函数.又α+β>2π,α>2π-β,∴sin α>cos β>0.∴f (sin α)>f (cos β).4.C 不失一般性，令ω=1,φ=0,A =1，于是两函数即为y =sin x ,y =cos x ，则在区间(0x ,0x +π)上判断两函数图象交点的个数，如图所示.区间(0x ,0x +π)长度为半个周期(不包括两端点)，显然C 正确，如0x =4π，则在区间(4π,45π)内两函数图象无交点；又如0<0x <4π,则π<0x +π<45π,此时两函数图象有一个交点(横坐标为4π).5.D 在直角坐标系内作出函数f (x )的图象(一部分)，如图实线所示.第4题图解第5题图解由图象知:该函数的值域为［-22,1］；当函数取得最大值时，x =2k π+2π(k ∈Z )或x =2k π(k ∈Z )；该函数的周期为2π；当且仅当2k π+π<x <2k π+23π(k ∈Z )时，f (x )<0.6.C 从图象中可以看出，函数图象是由y =2sin ωx 向左平移得到，故φ>0，剔除选项B 、D ，再由A 、C 中φ=3π结合点(3π，0)法”中的第三个关键点，故应有ω·3π+3π=π，即ω=2.7.D 由a ∶sin A =b ∶sin B ,得sin A =22sin B ≤22,∴A ∈(0,4π].8.B 依题意f (1x )为最小值，f (2x )为最大值，联系f (x )的图象，|1x -2x |最小时为半个周期长，∴2||min 21=-x x .9.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ-π+=2342sin x y ,由⎪⎭⎫⎝⎛ϕ-π+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ-π+2342sin 2342sin x x ， 则ϕ-π+-π=ϕ-π+234222342x k x (k ∈Z )，此时φ无解； 或1252234222342π+π-=ϕ⇒ϕ+π-+π+π=ϕ-π+k x k x (k ∈Z ),又φ>0， 故φ的最小值为125π.10.D 如图，下列两种情况都有可能.如图①，周期π=π-π=32)63(4T ，∴ω=3.又最小值-2cos 2sin 12π+π=+a a ，a =0. 但a =0时，f (6π)为最大值，故不可能.如图②，周期T =π=π-π92)63(43,ω=9,又最小值π+π=+-23cos 23sin 12a a ,a =0,f (6π)恰为最小值.11.B x x x x x y x x y 2222422cos 2sin sin 8cos sin 16cos sin 4⋅⋅==⇒=≤273827383283cos 2sin sin 33222≤≤-⇒⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x x x,第10题图解当且仅当x x 22cos 2sin =时取“=”.12.A y =cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-x x 541532+-, 且153100<<⇒⎩⎨⎧<<>x x y . 13.π32 ⎪⎭⎫⎝⎛π+=+=-+=332sin 32sin 2132cos 2332sin 2132cos 2332sin x x x x x x y , 相邻两对称轴的距离为半个周期，即π23. 14.1 3sin sin 3cos cos 6sin cos 6cossin π-π+π+π=x x x a x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212cos 2323sin a x a x ∴a =1时为偶函数,故填a =1.15.25 令θ=2cos r x ,θ=2sin r y ，3≤r ≤5，于是,θ+θθ-θ=+-422224222sin sin cos cos r r r y xy x=θθ-θθ-θ+θ222222222sin cos ]cos sin 2)cos [(sin r r=252sin 43cos sin 322222222≤≤θ-=θθ-r r r r r 当且仅当02sin 2=θ，r =5时取得最大值25. 16.③④ 由于sin x +cos x =232)4sin(2≤≤π+x ,故不存在x ，使得sin x +cos x =23; 令α=π+π26，β=3π,则α>β,且α、β∈I ,但cos α>cos β,故②是假命题； ⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=2732sin x y =-cos 23x ，故③为真命题；由cos αcos β=1，知cos α=1且cos β=1或cos α=-1或cos β=-1，则sin α=sin β=0⇒sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=0.故④为真命题； 将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到的是 )22sin()4(2sin π+=π+=x x y 的图象.故⑤是假命题，综上所述，③④为真命题.17.解 (1)f (x )=1)62sin(212cos 2sin 3++π+=+++a x a x x解不等式226222π+π≤π+≤π-πk x k ,得63π+π≤≤π-πk x k (k ∈Z ) ∴f (x )的单调递增区间为［63π+π≤≤π-πk x k (k ∈Z ).(2)若0≤x ≤2π,则6π≤2x +6π≤67π，则当262π=π+x ,即x =6π时，f (x )取得最大值.∴a +3=4,a =1.18.解 (1)f (x )=)sin(cos sin 22θ+++=++x c b a x c x b a ,又图象经过(0,1)、⎪⎭⎫⎝⎛π1,2，其最大值为22-1.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=+=+1221122c b a b a c a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=221c b a , ∴f (x )=-1+2sin x +2cos x(2)能. f (x )=-1+22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π+4x ,把f (x )的图象向上平移1个单位，得)4sin(22π+=x y 的图象，把)4sin(22π+=x y 的图象向右平移4π个单位，得x y sin 22=的图象.g (x )=22sin x 即为一个奇函数. 19.解 由题意知.1111⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+a b ac b a c a∴f (x )=a +(1-a )(sin x +cos x )=a +2(1-a )sin(x +4π). ∵x ∈［0,2π］，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π+43,44x .∴当1-a >0时，a +2(1-a )=22-1,a =-1. 当1-a <0时，a +2(1-a )·22=22-1，无解. 当1-a =0时，f (x )=a =22-1，矛盾. 综上可得，a =-1，∴f (x )=-1+2sin x +2cos x .20.解 (1)∵t =sin x +cos x =2sin )4(π+x ,-2≤t ≤2, ∴x x x t 2sin 1cos sin 212+=+=,sin2x =12-t .∴2)1(212222-+-=+--=a t a t t y .∵-2≤t ≤2,∴当t =1时，函数y 取得最小值22-a . (2)∵22-a =1,∴a =±3. 答:a 的值为±3.21.解 如题图所示，设AO =a ,OB =b ∵AO 在正西方向，OB 为东北方向. ∴∠AOB =135°.ab ab ab b a AB )22()22(2||222+≥+≥++= (当且仅当a=b 时，等号成立)，又O 到AB 的距离为10 km ，设∠OAB =α，则∠OBA =45°-α， ∴a =αsin 10,b =)45sin(10α-︒,ab =224002)452cos(2400)45sin(sin 100-≥-︒-α=α-︒α.(α=22°30′,且a =b 时，等号成立) ∴22)12(40022)22(400||+=-+≥AB .因此当a =b =224100322sin 10+='︒时，|AB |最短，其最短距离为20(2+1),A 、B 分别位于OA 、OB 上离O 点22410+km 处时，能使|AB |最短，其最短距离为20(2+1) km.22.解 (1)∵)0()3(2)3()3(f f f f π=π+π，)6()2(2)3()32(π⋅π=π+πf f f f ，又21)3(=πf ,)2(πf =0， ∴f (0)=1,21)32(=πf .(2)证明 f (x )+f (-x )=2 f (0)f (x ),f (x )+f (π-x )=)2()2(2π-πx f f ，又f (0)=1, )2(πf =0,∴f (-x )=f (x )=-f (π-x ).(3)∵f (-x )=f (x ),且0≤x <2π时，f (x )>0，∴-2π<x <2π时，f (x )>0.设0≤1x <2x ≤π，则f (1x )-f (2x )=f (1x )＋f (π-2x )=)2()2(22121π-+π+-x x f x x f . ∵0≤1x <2x ≤π,∴0≤221π+-x x <2π,-2π<221π-+x x <2π. ∴f (221π+-x x )>0,f (221π-+x x )>0，∴f (1x )>f (2x ),∴f (x )在［0,π］上为减函数.(4)∵f (-x )=-f (π-x )，∴f (x )=-f (π+x ), f (π+x )=-f (2π+x ). ∴f (x )=f (2π+x ),即2π为f (x )的一个周期,任取α∈(0,2π). ①当α∈(0,π)时，∵f (x )在［0,π］上单调递减，∴f (0)>f (α).②当α∈(π,2π)时，2π-α∈(0,π),f (0)>f (2π-α)=f (-α)=f (α)， 总之，当α∈(0,2π)时，f (0)>f (α+0)，∴α不可能为f (x )的周期. ∴2π为f (x )的最小正周期.。

专题考案(3)三角板块 第4课 三角函数的最值(时间：90分钟 满分：100分)题型示例已知f (x )=4m sin x -cos2x (x ∈R ).若f (x )的最大值为3，求实数m 的值.分析 将sin x 整体代换成变量t ，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量t 的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解f (x )=4m sin x -cos2x =2sin 2x +4m sin x -1=2(sin x +m )2-(2m 2+1),令t =sin x ,则f (x )可化为g (t )=2(t +m )2-(2m 2+1)(-1≤t ≤1).①当-m ≤0时，则在t =1处,f (x )max =1+4m , 由⎩⎨⎧≤-=+0341m m 得m =21;②当-m >0时，则在t =-1处，f (x )max =1-4m ,由⎩⎨⎧>-=-0341m m ;综上，m =±21.点评 本题主要考查三角函数的值域问题和二次函数的值域问题.一、选择题(9×3′＝27′)1．函数y =2sin x sin2x 的最大值是 ( ) A .398 B.2764C.932D.2 2．若函数y =1-2cos x -2sin 2x 的值域为［a ,b ］，则b 2+4a 的值为 ( )A.1B.2C.3D.4 3．函数y =(sin 2x +csc 2x )+(cos 2x +sec 2x )的最小值是 ( ) A.4 B.3 C.5 D.不存在4．函数y =cos2x +3sin x 的最小值与最大值分别是 ( ) A.-4,4 B.817,4 C.-4, 817 D-817,817 5．函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1-sin x )，当x ∈［-6π,4π］时的值域为 ( ) A.［-1,0］ B.(-1,]0 C.［0,1］ D.［0,1］ 6．函数f (x )=sin(2π-x )·sin(2π+2x )·cos(25π+x )的最大值和最小值分别为 ( ) A.41,-41 B 21,-21C.1,-1D.1,0 7．函数y =x 21x -,x ∈［-1,1］的最大值、最小值分别是 ( ) A .1，0 B.1,-1 C.21，-21 D 21，0 8．函数y =x2sin 3+sin 2x (x ≠k π,k ∈Z )的值域是 ( ) A.［23,+)∞ B.(1,2]3 C.(0,]4 D.［4,+∞］9．当0<x <4π时，函数f (x )=xx x x 22sin sin cos cos -的最小值是 ( )A.41 B.21C.2D.4二、填空题(4×3′＝12′) 10．y =sin(x -6π)cos x 的最大值是 ，最小值是 . 11．函数y =2sin(kx -12π)的周期为T ,且T ∈(1,3)，则正整数k 的最大值是 . 12．函数f (x )=2sin 1sin 3+-x x 的最大值和最小值分别为 和 .13．已知函数y =a cos x +b 的最大值为1，最小值为-7,则a cos x +b sin x 的最大值是 . 三、解答题(7′＋3×8′＋10′＝41′)14．求函数f (x )=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期，最大值和最小值.15．求下列函数的最值：(1)y =2sec 2x +cot 4x .(2)y =(1+cos x )·sin2x(0<x <π). 16．求函数y =sin x ·cos x +a (sin x +cos x )的最值.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且cos A =31.(1)求sin 22CB ++cos2A 的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.18．欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ， 则水渠壁的倾角α(0<α<90)应为多大时，方能使修建成本最低? 四、思考与讨论 (2×10′＝20′) 19．求函数y =x 2sin 41-+|sin x |的值域. 20．记x 的函数y =1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为f (a ),试用a 表示f (a ).参考答案图11．A y =4sin 2x cos x =2.3983cos 2sin sin 22cos 2sin sin 23222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤∙∙∙x x x x x x 2．C y =cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2(cos x -21)2-23. 当cos x =21时,y min =-23=a ;当cos x =-1时,y max =3=b .∴b 2+4a =9+4×(-23)=3. 3．C y =1+csc 2x +sec 2x =3+cot 2x +tan 2x ≥3+2=5. 4．C y =1-2sin 2x +3sin x =-2(sin x -43)2+817.sin x =43时，y max =817;sin x =-1时，y min =-4. 5．A y =log 2(1-sin 2x )=log 2cos 2x .x ∈［-6π,4π］时，cos x ∈［22,1］，cos 2x ∈［21,1］∴y ∈［-1,0］.6．A ∵f (x )=cos2x ·cos x ·(-sin x )=-41sin4x ,∴最大值和最小值分别为41.-41. 7．C 设x =sin α,α∈［-2π,2π］,则y =sin αcos α=21sin2α，2α∈［-π,π］，∴-21≤y ≤21. 8．D 设t =sin 2x ,t ∈(0,1)，y =t +t3在 (0,1］上为减函数，∴y ≥1+13=4. 9．D ∵0<x <4π,∴cos 2x ≠0,∴f (x )=41)21(tan 1tan tan 122+--=-x x x ,∴f (x )min=4,此时，tan x =21. 10．41;-43 y =21［sin(2x -6π)-sin 6π］=21sin(2x-6π)-41.y max =21-41=41,y min =-21-41=-43. 11．6 由题意1<32,1231,3||2π<π<∴<πk k <k <2π,∴k 的最大值为6. 12．32;-4 由y =2sin 732sin 1sin 3+-=⇒+-x y x x ,sin x =1时，y max =32;sin x =-1时，y min =-4. 13．5 .34||7||1||⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+b a b a b a a cos x +b sin x =22b a +sin(x +φ)≤22b a +=5.14．分析 将f (x )化简成y =A sin(ωx +φ)+k 形式，再由周期公式T =||2ωπ，及三角函数性质求最值.解 f (x ) =)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin 2222222x x x x x x x x x x --=--+=21(1+sin x cos x )=41sin2x +21. 所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 点评 本题是一道基础题，难度系数不大，主要考查三角公式的简单变形，化简以及三角函数的周期性和最值性.15．解 (1)y =2(1+tan 2x )+cot 4x =2+tan 2x +tan 2x +cot 4x ≥2+3422cot tan tan x x x ∙∙=2+3=5，当且仅当x =n π±4π时等号成立(n ∈Z ),∴y min =5,无最大值.(2)∵0<x <π,∴sin2x >0,y 2=4cos 42x ·sin 22x =2cos 22x ·cos 22x ·2sin 22x ≤2271632sin 22cos 2cos 3222=++xx x ， 当且仅当tan2x =22时等号成立，∴y ≤394，即y max =394,无最小值. 16．解 设sin x +cos x =t ,则sin x ·cos x =21(t 2-1),t =sin x +cos x =2sin(x +4π)∈［-2,2］, y =21(t 2-1)+at =21t 2+at -21=21(t +a )2-21a 2-21(t ∈［-2,2］) (1)若-a <-2,即a >2时 当t =-2时,y min =-2a +21;当t =2时,y max =2a +21; (2)若-2≤-a ≤0即0≤a ≤2时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =2时,y max =2a +21; (3)若0<-a ≤2,即-2≤a <0时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =-2时y max =-2a +21; (4)若-a >2,即a <-2时 当t =2时,y min =2a +21;当t =-2时,y max =-2a +21. 点评 一个看似简单的题目，讨论却很繁琐，本题将三角函数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17．分析 （1）分别用降幂公式、二倍角公式，化简所求式子再求值.(2)三角形中出现bc 联想用余弦定理解题.解 （1）sin 22C B ++cos2A =21［1-cos(B +C )］+(2cos 2A -1) =21(1+cos A )+(2cos 2A -1)=21(1+31)+ (92-1)=-91. (2)∵bc a c b 2222-+=cos A =31,∴32bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2.∴bc ≤43a 2,又∵a =3,∴(bc )max =49. 当且仅当b =c =23时，bc =49,故bc 的最大值是49. 点评 本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式，以及考查了学生的运算能力.18．解 作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =αsin h,CE =h cot α，又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =h S 2,故CD =hS-h cot α. 设y =AD +DC +BC ,则y =αα-+=α+α-sin )cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)，由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=αα-sin cos 2取最小值，u 可看作(0，2)与(-sin α,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2+y 2=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-23，21)，则有sin α=23,且cos α=21，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低. 19．解 设t =|sin x |，则有t ∈［0,21］，故y =241t -+t . 由于t ∈［0, 21］,令t =21sin θ,θ∈［0, 2π］,∴y =θ-2sin 4141+21sin θ=22sin(θ+4π). ∵θ∈［0, 2π］，θ+4π∈［4π,43π］，∴sin(θ+4π)∈［22,1］．∴22sin(θ+4π)∈[21,22].∴原函数的值域为［21，22］． 20．解 y =1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2(cos x -2a )2-22a -2a -1∴f (a )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----1411222a a a（-2≤a ≤2） （a >2）（a <-2）。

高考数学易错题精选：三角函数与平面向量1．在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数x y =的图像有( )个公共点..函数x y sin =的图像和函数tan y x =（ (),x ππ∈-）的图像有( )个公共点.A. 1 ,3B. 1 ,1C. 3, 1D. 3, 32cos x x a +=在[0,2]π上有两个不同的实数解，的取值范围是则a ( )A. (2,0)(1,2)a ∈-⋃B. (2,2)a ∈-C. (2,1)(1,2)a ∈-⋃D.(2,1)a ∈-3.当20π<<x 时,函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )A.2B.32C.4D.344．已知平面上直线l 的方向向量43(,)55e =-，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是'O 和'A ，则''O A e λ=，其中λ等于( ) A.2 B.-2 C.5 D. 5-5.在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形③对任意||||,m R m ≥-∈恒成立，则ABC ∆的形状为直角三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.②③④6．如图123,,l l l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2 正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是（ ）A ．B C D 7．设O 为△ABC 所在平面内一点，已知222222||||||||||||OA BC OB AC OC AB +=+=+， 、则点O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心8．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （ ）． A .(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ>D.(sin )(cos )f f αβ<9．.若22sin sin =+βα,则βαcos cos +的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22C ．[]2,2-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-214,21410.如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆的三个内角的正弦值,则( ) A.111C B A ∆ 与222C B A ∆都为锐角三角形. B. 111C B A ∆ 222C B A ∆与都为钝角三角形. C.111C B A ∆ 为钝角三角形, 222C B A ∆为锐角三角形. D. 111C B A ∆ 为锐角三角形, 222C B A ∆为钝角三角形.11．某时钟的秒针端点A 到中点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ．其中[0,60]t ∈12．若平面向量a ，b 满足||1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ． 13．已知向量a =(1,2)-,b (1,)λ=(R λ∈），则使a 与b 的夹角为锐角的λ的范围为 ． 14．设点A （1，0），B （0，1），O 为坐标原点，点P 在线段AB 上移动，AP AB λ=，若OP AB PA PB ≥，则实数λ的取值范围是 ．15．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为 ．16．点O 在ABC ∆内部且满足220OA OB OC ++=，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是 ．17.在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =的图像所围成的封闭图形的面积是________。

一、多选题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是42．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C4．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+5．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C7．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD8．在ABC 中，若30B =︒，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°9．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AFCE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =10．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5B ．23C ．23-D 512．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=eB ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭eD ．()12,6=e ，()21,3=--e13．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个14．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4B ．72C ．258D ．25917．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥18．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对19．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒20．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:521．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-22．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形23．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +26．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ） A ．(,32⎤-∞+⎦B ．)32,⎡++∞⎣C ．(,32⎤-∞-⎦D ．)32,⎡-+∞⎣27．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米28．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7229．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形30．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 31．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心 D ．外心重心内心32．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1433．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8334．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 35．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利 解析：AC 【分析】对于A 32sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】32sin a c A =32sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故3sin C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4343sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则2481cos 11497B sin B =±-±-±，故B 错误； 若sin 2cos sin A B C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sinc A =，即sina A=sin2cosA c B=，所以sin A B=，因为23A B Cππ+=-=，则23A Bπ=-，故2sin()3B Bπ-=，1sin2B B B+=，即1sin cos22B B=，解得tan B=3Bπ=，则3Aπ=，即3A B Cπ===，所以ABC是等边三角形，故C正确；若ABC的面积是1sin2ab C=2a=，由余弦定理可得22212cos416224122c a b ab C=+-=+-⨯⨯⨯=，即c=设三角形的外接圆半径是R，由正弦定理可得24sincRC===，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC．【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．2．ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【解析：ABD【分析】对于A，利用A Bπ+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由a b>，可得sin sinA B>，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用in12sS ab C=和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【详解】对于A，∵A Bπ+<，∴0A Bππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cosA B Bπ>-=-，∴cos cos0A B+>，故A正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．3．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.4．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.5．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确；锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin a R A ===，R =D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．6．ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBDBC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.8．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，解析：AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系10．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或解析：ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a bA B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°11．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.12．ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.13．BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以解析：BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时解析：ABD 【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.15．无二、平面向量及其应用选择题16．C 【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BCR A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==， 由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===， 所以258R =， 此三角形的外接圆半径是258故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．A 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 18．B 【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形.故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 19．C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 20．A 【解析】分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 21．D 【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 22．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 23．D 【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒ 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．C【解析】【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦ ()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．25．D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 26．A【分析】 不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解.【详解】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形, (.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-= 因为a c b d T -+-≥恒成立， +=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为2的一个圆.又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离322MN232T NM故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．27．D【分析】作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．【详解】解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒，在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，在Rt BSD ∆中，sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，故选：D ．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．28．B【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.29．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 30．D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】 ∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23223a b a cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ， 故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 31．C【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.32．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n ==所以1344CP CA CD=+可得4AD PD=因为BPC∆与ABC∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP与AD之比所以BPC∆与ABC∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.33．C【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB⋅=，同理得出212AM AC AC⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM=+且EM AB⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC⋅=，86cos6024AB AC⋅=⨯⨯=，由221212AM AB ABAM AC AC⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC ABAB AC ACλμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.34．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ， 已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=， 即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =， 解得：37AM AC →→=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△， 则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =， 解得：17AN AB →→=， 四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+， 所以1377AF AB AC →→→=+. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 35．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE 62=-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA 2=BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°62+=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒， ∴1622AE =+，∴AE 62=）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．。

2024年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为()A. B. C. D.2.已知复数z满足，则()A. B. C. D.3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A.42B.96C.48D.1244.已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别过，，则()A.或B.2或C.D.5.已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为()A.9B.C.D.86.已知函数的定义域为R，，若函数为奇函数，为偶函数，且，则()A. B.0 C.1 D.27.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为A，l交另一条渐近线于点B，且点F在点A、B之间，若，则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.8.已知a，b，c，d分别满足下列关系：，则a，b，c，d的大小关系为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7C.若样本数据，，⋯，的平均数为3，则，，⋯，的平均数为10D.用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是10.如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，点Q满足，则下列说法中正确的是()A.平面B.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段C.若，则四面体的体积为定值D.若M为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为11.已知圆：，圆：，动圆P与圆外切于点M，与圆内切于点N圆心P的轨迹记为曲线C，则()A.C的方程为B.的最小值为C. D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2014届高三上数学测试题（13）（理科）考查范围：函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何命题人：张智一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合,,若,则的值为 (B ){}a A ,2,0={}2,1a B ={}16,4,2,1,0=B A 得a A.2B.4C.-2D.-42.复数则D ,1i z -==+z z1A.B. C.D.i 2321+i 2321-i 2323-i 2123-3．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ A ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22cos 1x y α+=x A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.[答案]A （教材选修2-1 页第4题改编）80P 4.设非零向量，满足，，则= ( )a b c r r r 、、||||||a b c ==r r r ||||a b c +=r r r sin ,a b <>r rA ．B ．C ．D 12-124.【答案】D.法一:【解析】∵∴，∴解得：||||a b c +=r r r ||||||a b c a +==r r r222||a b b b ∙=-=-r r r ∴∴法二:利用向量几何意义画图求解.21cos ,2||||||a b a ba b a b b ∙∙<>===-r r r rr r r r r sin ,a b <>=r r 5.已知点是圆内任意一点，点是圆上任意一(,)(0,0)M a b a b >>22:1C x y +=(,)P x y 点，则实数 ( A )1ax by +-A ．一定是负数 B ．一定等于0C ．一定是正数D ．可能为正数也可能为负数6.已知函数的部分图像如图，()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><则（）20131()6n n f π==∑A ．B ．C ．D ．1-12106.【答案】C 【解析】根据图像，解得，把点的坐标代入，1254126πππω⨯=-2ω=(,1)6π得，结合得，故，1sin(2)6πϕ=⨯+2πϕ<6πϕ=()sin(2)6f x x π=+，213145161()1,(),(),()1,(),()6626266262f f f f f f ππππππ===-=-=-=函数的最小正周期是，在一个周期内的各个函数值之和为，，π020*******=⨯+。

黄冈中学高考数学易错题精选（三）不等式、直线与圆易错题1．设a b 、为任意为实数，记||,||,|1|a b a b b +--三者中的最大值为M ，则（ ） A ．12M ≥ B ．1M ≥ C ．12M ≤D ．1M ≤2．已知方程2(2)10x a x a b +++++=的两根为1x 、2x ，并且1201x x <<<，则ba的取值范围是（ ） A ．1(2,]2--B ．1(2,)2--C ．2(2,)3--D ．2(2,]3--3．给出平面区域如图所示，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） A ．14B ．53C ．4D ．354．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条5．过圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图）．若这四部分图形面积满足S Ⅰ+S Ⅳ=S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线AB 有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条6．在平面直角坐标系中，不等式040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值是（ ） A ．232+B ．322-+C ．5-D ．17．若不等式组0,22,0,.x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A．43a≥B．01a<≤C．43a1≤≤D．4013a a<≤≥或8．已知实数,a b满足11()()23a b=，下列5个关系式：①0b a<<；②0a b<<；③0a b<<；④0b a<<；⑤a b=．其中不可能成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知关于t的方程20t tx y++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y所对应的区域图形大致是（）10．已知两点(1,1),(2,2)P Q-，若直线:0l x my m++=与线段PQ没有公共点，则m的取值范围是．11．满足||||4x y+≤的整点（横、纵坐标为整数的点）的个数是．12．已知实数,x y满足24,,0x y sx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩当35s≤≤时，则2z x y=+3的最大值的变化范围是．13．不等式2229t tat t+≤≤+在(0,2]t∈上恒成立，则a的取值范围是．14．对于满足04p≤≤的所有实数p，使不等式243x px x p+>+-恒成立的x的取值范围为．15．当Rx∈时，不等式2cos32sin21m x x m+<+++恒成立，则实数m的取值范围为．16．（1）求使2log()1x x-<+成立的x的取值范围为；（2）不等式2log0ax x-<在1(0,)2上恒成立，则a的取值范围为．17．若三条直线(4)230,3210m x y x y--+=++=及60mx y-+=能围成三角形，求实数m 的取值范围．18．设R a b c ∈、、，函数2(),f x ax bx c =++()g x ax b =+，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤． （1）求证：||1c ≤；（2）求证：当11x -≤≤时，|()|2g x ≤．19．已知2()(,R),[1,1]f x x ax b a b x =++∈∈-． （1）若|()|f x 的最大值为M ，求证：12M ≥； （2）当12M =时，求()f x 的表达式．20．过圆2225x y +=上一点(3,4)A -作两直线12,l l ，分别与圆相交于另一点P 、Q ，若直线12,l l 的倾斜角互补，试推断直线PQ 的斜率是否为定值．21．方程20x ax a ++=在(0,1]上有解，求a 的取值范围．22．若不等式230x ax a ++->对于满足22x -≤≤的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知,x y 满足约束条件0041603150x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨+-≤⎪⎪+-≤⎩，且z ax y =+的最大值为7，求a 的值．24．设m 为实数，若{}22250(,)30(,)|25,0x y x y x x y x y m mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭求的取值范围．25．设满足||y x a ≥-的点(,)x y 的集合为A ，满足||y x b ≤-+的点(,)x y 的集合为B ，其中,a b 是正数，且A B ≠∅．（1）问,a b 之间有什么关系？ （2）求A B 表示的图形面积．26．已知集合1{(,)||2|}2A x y y x =≥-，{(,)|||}B x y y x b =≤-+，且A B ≠∅． （1）求b 的取值范围；（2）若(,)x y A B ∈，且2x y +的最大值为8，求b 的值．27．已知R a ∈，二次函数2()22f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又知集合{|13}B x x =<<，若A B ≠∅，求a 的取值范围．28．设2()(,)f x x bx c b c =++都为常数，方程()f x x =的两个实数根为1x 、2x ，且满足10x >，211x x ->．（1）求证：22(2)b b c >+；（2）设10t x <<，试比较()f t 与1()f x 的大小．29．设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根1x 、2x 满足1210x x a<<<，当1(0,)x x ∈时，证明：1()x f x x <<．30．已知直线:l y kx =和抛物线2:(1)3(1)C y x +=-．当k 变化(0)k ≠且直线l 与抛物线C 有公共点时，点(,0)P a 关于直线l 的对称点00(,)Q x y ．请写出0x 关于k 的函数关系式0()x f k =，并求出点Q 直线1x =上时a 的取值范围．不等式、直线与圆易错题参考答案1．解析：由题设，||M a b ≥+，||M a b ≥-，|1|M b ≥-，于是4||||2|1|M a b a b b ≥++-+-|()()2(1)|2a b a b b ≥+----=，所以12M ≥，故选A ． 2．解析：令2()(2)1f x x a x a b =+++++，因为1201x x <<<，所以(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即10240a b a b ++>⎧⎨++<⎩，此不等式组表示的平面区域， 如图所示．又b b a a -=-的几何意义是原点和点(,)a b 所在直线的斜率，由图可知：223b a -<<-，故选C ． 3．解析：依据题意，直线ax y z +=与直线AC 平行，所以22235515ACa k --===--，即35a =，故选D ． 4．解析：因为圆22241640x y x y ++--=的标准方程为：222(1)(2)13x y ++-=，即此圆是一个以点(1,2)O -为圆心，以R=13为半径的圆．因为||11(1)12OA =--=，而R=13，所以经过A 点且垂直于OA 的弦是经过A 点的最短的弦，其长度为222131210-=； 而经过OA 的弦则是经过A 点的最长的弦，其长度为圆的直径，即2R=26；所以经过A 点且为整数的弦长还可取11,12,13,14,15,…,25共15个值，又由于圆内弦的对称性，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而经过某一点的圆的最长弦与最短弦各有1条，故一共有15×2+2=32条，故选C ．5．解析：由已知得S Ⅳ-S Ⅱ=S Ⅲ-S Ⅰ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，所以S Ⅳ-S Ⅱ为定值，即S Ⅲ-S Ⅰ为定值．当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B ．6．解析：作出可行域，可知当2a <-时，可行域就是040x y x y +≥⎧⎨-+≥⎩构成的区域，其面积是一个无穷大的值，不可能是9，故2a >-（以下同上述错解）．答案D ．7．解析：先把前三个不等式表示平面区域画出来，如图所示． 此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为22(,)33，故当x y a +=过B 时43a =， 所以43a ≥时可行域仍为△AOB ，当x y a +=过A 点时，101a =+=．故当01a <≤时，此时可行域也为三角形，故4013a a <≤≥或．答案：D ．8．解析：作1()3x y =，1()2x y =的图象，如图所示．当0x <时，11()()23a b =，则有0a b <<；当0x >时，11()()23a b =，则有0b a <<；当0x =时，11()()23a b =，则有0a b ==．答案：B ．9．解析：依题意，方程有两个在区间[-1,1]上的实根，因而有240,11,2(1)10,(1)10.x y x f x y f x y ⎧∆=-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-=-+≥⎪=++≥⎪⎩作出可行域，易得答案为A ．10．解析：由线性规划知识得，点P 、Q 在直线的同侧，故(1)(22)0m m m m -++++>， 即(21)(32)0m m -+>，解得12m >或23m <-． 11．解析：坐标轴上有92117⨯-=个整点，第一象限有6个整数，根据对称性四个象限有6424⨯=个整点，故满足条件下整点有17+24=41个，故填41．12．解析：当45s ≤≤时，约束条件表示的区域为24y x +=与x 轴，y 轴在第一象限围成的三角形区域．所以直线32z x y =+过点（0,4）时，z 的最大值取值为最大，8z =；当34s ≤<时，直线32z x y =+过y x s +=与24y x +=的交点时最大，此时4z s =+，显然3s =，z 的最大值的取值为最小．由324y x y x +=⎧⎨+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以7z =．所以78z ≤≤，即z 的最大值变化范围是[7,8]．13．解析：设222212111()2()48t f t t t t t +==+=+-，它在（0，2]上为减函数， a 要小于等于22t t +，即a 要小于或等于()f t 在（0，2]上的最小值(2)1f =．设2()9t g t t =+，它在（0，2]上为增函数，a 要大于或等于29tt +，即a 要大于或等于()g t 在（0，2]上的最大值．而max 22[()](2)4913g t g ===+，所以2113a ≤≤，故应填入的答案是2[,1]13． 14．解析：已知不等式可化为2(1)430x x p x +--+>．设2()(1)43f p x p x x =-+-+，则22(0)0430,3(4)010f x x x f x ⎧>-+>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨>->⎪⎩⎩或1x <-． 15．解析：2cos 32sin 21m x x m +<+++恒成立22132sin cos m m x x ⇔-+<+-的解集为R ，求m 的范围，即21m m -+小于2(32sin cos )x x +-的最小值．令22()32sin cos (sin 1)1,R f x x x x x =+-=++∈． 当sin 1x =-时，()f x 的最小值为1．10,211211210;m m m m m m -<⎧-+<⇔+>-⇔⎨+≥⎩或21021(1)m m m -≥⎧⎨+>-⎩． 112m ⇔-≤<或114,42m m ⎡⎫≤<⇔∈-⎪⎢⎣⎭． 16．解析：(1)由图可知，x 的取值范围是(1,0)-．1(0,)2上(2)原不等式等价于2log a x x <．当1a >时，显然在log 0a x <，而20x ≥，故不符合条件．于是0α<<1．画出2y x =和log (0)a y x a =<<1的图象，如图所示．由图可知，在1(0,)2范围内，要使函数log (01)a y x a =<<的图象在函数2y x =的上方，a 的取值范围是)1,161[． 17．解：三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交，且不共点．12(4)3(2)033(1)202(4)(2)04m m m m m m m ≠⎧--⨯-≠⎧⎪⎪⎪⨯--≠⇒≠-⎨⎨⎪⎪----≠⎩≠-⎪⎩． 由4(4)23011332102(1)x m x y m m x y y m ⎧=-⎪--+=⎧-⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=-⎪-⎩．由413()()60512(1)m m m m m --++=⇒=--， 即5m =时三线共点，所以34,,12m m m ≠-≠-≠且5m ≠时，三条直线能围成三角形．18．证明：（1）因为当11x -≤≤时，|()|1f x ≤，所以|(0)|1f ≤，即||1c ≤．（2）由于11x -≤≤时，|()|1f x ≤，所以|(1)|||1f a b c =++≤，|(1)|||1f a b c -=-+≤． 所以||||||||112a b a b c c a b c c +=++-≤+++≤+=． ||||||||112a b a b c c a b c c -=-+-≤-++≤+=，即|(1)|2g ≤，|(1)|2g -≤．而()g x ax b =+在[-1,1]上单调，所以11x -≤≤时，|()|2g x ≤． 19．（1）证明：因为|(0)|,|(1)|M f M f ≥≥，|(1)|M f ≥-，所以42|(0)||(1)||(1)||2(0)(1)(1)|2M f f f f f f ≥++-≥---=，所以12M ≥． （2）因为|(0)|,|(1)|,|(1)|M f M f M f ≥≥≥-，又12M =， 所以11221112211122b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤++≤⎨⎪⎪-≤-+≤⎪⎩，即11223122b b ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩，故12b =-．代入得10a -≤≤，且01a ≤≤，所以0a =，故21()2f x x =-． 20．解：过点A 作x 轴的垂线交圆O 于B 点，设直线12,l l 分别与x 轴相交于M 、N 点，依据题意△AMN 为等腰三角形，所以AB 为∠PAQ 的平分线．所以B 为PQ 的中点．连结OB ，则OB ⊥PQ ．由对称性知，点(3,4)B --，所以43OB k =，所以134PQ OB k k =-=-，为定值．21．解：方法1：设2()f x x ax a =++， （1）若()0f x =在(0,1]上有两解，如图，则有0(0)0(1)0012f f a ∆≥⎧⎪>⎪⎪⎨≥⎪⎪<-<⎪⎩，所以此不等式无解．（2）若()0f x =在(0,1]上有且仅有一解， 则有(0)(1)0(0)0f f f ≤⎧⎨≠⎩，即(21)00a a a +≤⎧⎨≠⎩，解得102a -≤<．综上所述得a 的取值范围为1[,0)2-．方法2：因为(0,1]x ∈，所以1x ≠-，原方程可变为22211111111()24x a x xx x =-=-=-+++-．因为01x <≤，所以11x≥ 故2211111()(1)22424x +-≥+-=，即10124x 21<≤11(+)-2，所以1[,0)2a ∈-．22．解：设2()3f x x ax a =++-，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足22x -≤≤ 的一切实数x 恒有()0f x >，只需满足：（1）24(3)0a a =--<，∴62a -<<．（2）0,2,2(2)0,a f ∆≥⎧⎪⎪-<-⎨⎪->⎪⎩即24(3)0,4,7.3a a a a ⎧⎪--≥⎪>⎨⎪⎪<⎩∴a ∈∅．（3）0,2,2(2)a f ∆≥⎧⎪⎪->⎨⎪>0,⎪⎩即24(3)0,4,7,a a a a ⎧--≥⎪<-⎨⎪>-⎩∴26,4,7,a a a a ≥≤-⎧⎪<-⎨⎪>-⎩或∴76a -<≤-．综合①、②、③得，当72a -<<时，不等式230x ax a ++->对一切[2,2]x ∈-均成立．23．解：画出可行域，如图．直线:0l ax y +=的斜率为a -．若134a -≤-≤-，即134a ≤≤， 则直线ax y z +=过点B （4,3）时，max 437z a =+=，得1a =；若3a -<-，即3a >，则直线ax y z +=过点(5,0)C 时，max 57z a ==，得75a =（不符）； 若14a ->-，即14a <，则直线ax y z +=过点(0,4)A 时，max 4z =（不符）．故1a =．24．解：画出可行域及圆，如图．直线:0l mx y +=恒过原点，所以当直线l 与线段AB 有交点时，可行域在圆内，满足题意，则0OA k m ≤-≤，解得403m ≤≤．25．解：（1）作函数||y x a =-及||y x b =-+的图象，画出||y x a ≥-及||y x b ≤-+表示的区域，如图．可知，A B ≠∅，则b a ≥．（2）当b a >时，A B 表示一矩形区域，各边所在直线方程为0x y a --=，0x y b -+=，0x y a +-=，0x y b +-=，矩形两边长分别是两平行线间的距离． 即12,22d d ==，所以222212||22a b b a S d d --===矩形． 当b a =时，面积0S =．综上，所求面积221()2S b a =-． 26．解：（1）分别画出不等式1|2|2y x ≥-和||y x b ≤-+所表示的平面区域，如图．因为A B ≠∅，由图可知，1b ≥，所以b 的取值范围是[1,)+∞．（2）平移直线20x y +=，当这条直线经过点(0,)b 时，2x y +取得最大值． 所以028b +=，所以4b =．27．解：由2()22f x ax x a =--为二次函数，所以0a ≠．令()0f x =，因为224(2)0a a ∆=-->，所以方程有两个不等实数根．设为12x x <，则1222111120,20x x a a a a=-+<=++>． ①若0a >，则12{|}A x x x x x =<>或．由A B ≠∅的充要条件得23x <， 即21123a a ++<，解这一无理不等式得67a >． ②若0a <，则12{|}A x x x x =<<．由A B ≠∅的充要条件得2x >1， 即2112a a++>1，解这一无理不等式得2a <-． 综合知所求a 的取值范围是6(,2)(,)7-∞-+∞．28．解：（1）由()f x x =，得2(1)0x b x c +-+=，所以121x x b +=-，12x x c =，所以222211212()()4(1)41x x x x x x b c -=+-=-->，即22141b b c -+->，所以2242(2)b b c b c >+=+，证毕．（2）由10t x <<，知10t x -<．又211x x ->，且121x x b +=-， 所以12122121,10,110x x x x t x x x +<+-<+-<+-<， 所以22111()()()f t f x t bt c x bx c -=++-++111()()()t x t x b t x =+-+-11()()t x t x b =-++12()(1)0t x t x =-+->，所以1()()f t f x >．29．证明：令2()()(1)F x f x x ax b x c =-=+-+，依题意有12()()()F x a x x x x =--， 当1(0,)x x ∈时，因为12x x <，所以12()()0x x x x -->． 又0a >，所以12()()()0F x a x x x x =-->．即()f x x >．又11()[()]x f x x F x x -=-+112()()x x a x x x x =---- 12()[1()]x x a x x =-+-，因为1210x x x a<<<<，所以10x x ->，21ax <， 即2221()110a x x ax ax ax +-=+->->，所以1()0x f x ->，即1()f x x <．综上，1()x f x x <<． 30．解：由2(1)3(1)y kxy x =⎧⎨+=-⎩，知22(23)40k x k x +-+=．因为l 与C 有公共点，且0k ≠，所以0∆≥，于是可得3122k -≤≤且0k ≠． 因为点Q 00(,),(,0)x y P a 关于y kx =对称，所以000221y x a k y x ak +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，所以202(1)1a k x k -=+．而31,022k k -≤≤≠， 所以202(1)31(,0)221a k x k k k -=-≤≤≠+．当点Q 在直线1x =上时，22(1)11a k k -=+，则211a k a -=+，而2904k ≤≤， 所以19014a a -<≤+，解得135a ≤-或1a >．故实数a 的取值范围是13(,](1,)5-∞-+∞．。