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2016 年全国高中数学联赛（B卷）一试
一、选择题：（每小题8 分，共64 分）
1. 等比数列a n 的各项均为正数，且 a1a3 a2a6 2a3 2 36, 则a2 a4的值为．
2. 设 A a | 1 a 2 ，则平面点集 B x, y | x, y A,x y 0 的面积为．
3. 已知复数z 满足z2 2z z z （ z 表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为．
4. 已知 f x , g x 均为定义在R 上的函数， f x 的图像关于直线x 1对称，g x 的图像关于点1, 2 中心对称，且 f x g x 9x x3 1 ，则 f 2 g 2 的值为．
5.将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不同的盒子A, B,C, D,E中，恰有两个球放在同一
盒子的概率为．
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C1: x2 y2 a 0 关于直线 l 对称的圆为C2 : x2 y2 2x 2ay 3 0, 则直线 l 的方程为．
7.已知正四棱锥 V - ABCD 的高等于 AB 长度的一半， M 是侧棱 VB 的中点， N 是侧棱VD 上点，满足 DN 2VN ，则异面直线AM , BN 所成角的余弦值为．
8. 设正整数 n 满足n 2016，且n n n n
．这样的 n 的个数2 4 6
3
12
为．这里 x x x ，其中x 表示不超过 x 的最大整数．
二、解答题：（共 3 小题，共 56 分）
9. （ 16 分）已知a n 是各项均为正数的等比数列，且a50 , a51是方程 100lg 2 x lg 100x 的两个不同的解，求a1 a2 L a100的值．
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10. （ 20 分）在
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ABC 中，已知AB AC 2BA BC 3CA CB.
（ 1）将BC,CA, AB的长分别记为a,b,c ，证明：a2 2b2 3c2；
（ 2）求cosC的最小值．
11. （ 20 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为x2 y2 1 ．求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点a,0 任意作两条互相垂直的直线l 1与 l2，若 l1与双曲线C交于 P, Q 两点， l 2与C交于R,S两点，则总有 PQ RS 成立．
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加试
一、（ 40 分）非负实数x1 , x2 ,L , x2016和实数 y1 , y2 , L , y2016满足：（ 1）x k 2 y k 2 1,k 1,2,L ,2016 ；
（ 2） y1 y2 L y2016是奇数．
求 x1 x2 L x
2016 的最小值．
二、（40 分）设n,k是正整数，且 n 是奇数．已知2n的不超过k的正约数的个数为奇数，证明： 2n 有一个约数 d ，满足 k d 2k.
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三、（ 50 分）如图所示，ABCD是平行四边形，G是ABD 的重心，点P,Q在直线 BD 上，使得 GP PC, GQ QC. 证明：AG平分 PAQ.
P
C
D
G
A B
Q
四、（50 分）设A是任意一个11 元实数集合．令集合B uv |u ,v A, u v . 求B的元素个数的最小值．
2016 年全国高中数学联赛（
B 卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每小题 8 分，共 64 分）
1. 等比数列 a n 的各项均为正数，且 a 1a 3 a 2a 6 2a 3 2 36, 则 a 2 a 4 的值为
．
答案： 6．
解：由于 36
a 1a 3 a 2 a 6 2a 3 2 a 2
2
a 4 2
2a 2 a 4 a 2 2
, 且 a 2 a 4 0, 故 a 2 a 4 6.
a 4 另解：设等比数列的公比为 q ，则 a 2
a 6
a 1q a 1q 5 .又因
36 a a a a 2 a 2
a a q 2 a q a q 5
2 a q 2 2
1
3 2 6 3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 a 1 q a 1 q 3
a 1q 3
a 1 q a 1q 3
a 2 a 4
a 1q
,
而 a 2 a 4 0 ，从而 a 2
a 4
6.
2. 设 A
a | 1 a
2 ，则平面点集 B x, y | x, y A,x y 0 的面积为 ．
答案： 7．
解：点集 B 如图中阴影部分所示，其面积为
S
正方形 MNPQ
S
MRS
3 3
1 2 2 7.
2
3. 已知复数 z 满足 z 2 2z z z （ z 表示 z 的共轭复数） ，则 z 的所有可能值的积 为 ．
答案： 3．
解：设 z a bi a,b R .由 z
2
2z z 知，
a 2
b 2 2abi 2a 2bi a bi,
比较虚、实部得 a 2 b 2
a 0,2 a
b 3b 0. 又由 z
z 知 b 0 ，从而有
2a 3
0, 即 a
3
，进而 b
a 2 a
3 .
2
2
于是，满足条件的复数 z 的积为
3 3 i 3 3 3.
2
2 2
i
2
4. 已知 f x , g x 均为定义在 R 上的函数， f x
的图像关于直线 x 1对称， g x
的
