§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：. 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a的第一项11a=，且nnn aaa+=+11(1,2,3.n=，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na}中，11()2n nna aa=+（2n≥），试猜想这个数列的通项公式.2※ 动手试试练1..练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn n a a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________. 5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出_____________ . 1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.4§2.1.2 演绎推理1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3942复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.复习2：合情推理的结论.二、新课导学※学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C︒时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sinα是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么. 新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提——；小前提——；结论——. 试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※典型例题例1 在锐角三角形ABC中，,AD BC BE AC⊥⊥，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2证明函数2()2f x x x=-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.6§2.1 合情推理与演绎推理(练习)1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.2840复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .二、新课导学※ 典型例题 例1 观察（1）（2）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.8§2.2.1 综合法和分析法（1）1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4547复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b >, 求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.※ 典型例题 例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.1011§2.2.1 综合法和分析法(二)学习目标 1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法 问题：如何证明基本不等式(0,0)2a bab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例1求证3526+>+变式：求证:3725+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.12§2.2.1 综合法和分析法（3）1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证： 222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例 1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例 2 在四面体P ABC -中，P D A B C ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.※知识拓展14§2.2.2 反证法1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.5254复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例 1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.16第二章 推理与证明(复习)1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；.2855复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 .复习2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？※ 典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式 21()(1)n a n N n +=∈+，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.变式：已知数列()()1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+ ⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S . （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px +2=0的两实根.（1）求证：tan()p αβ+=；（2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性AB C S F E※知识拓展18理：§2.3 数学归纳法(1)1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解.104106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n aa a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q-=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.)*20中山市东升高中 高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏理：§2.3 数学归纳法(2)1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.107108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 1111,,,,1447710(32)(31)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.试试：已知数列1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+ ,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.※ 典型例题例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.22。
