八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径习题讲评课件新版新人教版

l2
∙Q ∙P
l1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小. l2 Q1
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对
称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2
N ∙Q ∙P
于点M，N，则点M，N即为所求.
l1 M
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，
A∙
M
M′ a
A′
b
N′
N
∙B
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
l2
∙P
l1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对 称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1， l2于点M，N，则点M，N即为所求.
B A
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
∙B A∙
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
∙B A∙
l
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？
∙B
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的
值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也
可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所
求作的点.

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探究三：“两点两线型”的最短路径问题
N
A' C
D
草地
MA
B
B'
河流
l
解： （1）作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′； （2）连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路 线行走，马一天行走的路程最短．
【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB
A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″= AE＋EF＋FA，所以△AEF的 周长最小，故E，F就是我们所求使△AEF周长最短的点．
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探究二：“一点两线型”的最短周长问题
练习 如图所示，点P为∠AOB内一点，P1、P2分别是点P关于OA、
OB的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F. 若P1P2=9，则△PEF
又在△AB′C′中，AB′ ﹤AC′+B′C′， ∴ AC+BC﹤AC′+BC′，
即AC +BC 最短．
B l
B'
8
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动5 集思广益，理解新知
重点、难点知识★▲
追问2 证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′ (与点 C不重合)？
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和 都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
追问3 回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决 问题的？
9
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动6 反思总结，归纳新知
重点、难点知识★▲
【方法归纳】 1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时， 利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另 一点与直线的交点就是所求的点.

新课讲解( jiǎngjiě)
练一练 两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫(kūnchóng)沿着A至 B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后， 再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程
最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交 AB于点E，则点E即为所求. 也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样 (tóngyàng)交AB于点E的位置，则点E即为所求.
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点 两点一线(yīxiàn)型问 如图，在直线题l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
作法：过点P分别(fēnbié)作关于直线l1，l2的对 称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于 点M，N，则点M，N即为所求.
12/13/2021
新课讲解( jiǎngjiě)
证明：在直线(zhíxiàn)b上另外任意取一点N′，过点N′作
N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′， ∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.
A∙
M
A′
∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
学习(xuéxí)目标
1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.（重点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为 数学问题的思想.（难点）
12/13/2021

巩固练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修
建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
P
Q
Q
P
M A Ql P
B Ml Q
P
M C
l
M
l
D
巩固练习 2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便 灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地， 问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中 确定该点（保留作图痕迹）.
点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
①
P
②
A ③B
A BC
Dl
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识 探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
探究新知
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到
B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
人教版 数学 八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新知
1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
①
②
②最短，因为两点之间，线段最短.
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短.
A BC
Dl
导入新知 3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？
A
A
M
N
B
B
探究新知
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路