《13.4 课题学习 最短路径问题》课件
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最短路径问题PPT课件
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实 际问题
人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ
《13.4 课题学习 最短路径问题》优质课件(2套)
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
A
于是AD=FD′,
C
DF
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小.
C′ D ′ E E′
BG
拓展提升
6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
在△AB′C′中，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择.
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ） A．P是m上到A、B距离之和最短的
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
人教版数学八年级上册课件13.4课题学习-最短路径问题
模型二：线型，两点在直线同侧 作对称一连接 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
2019秋人教版八年级数学上册课件：13.4课题学习最短路径问题(共36张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
答案 D 如图,作点A关于BC的对称点A',关于CD的对称点A″,
连接A‘A″,与BC、CD的交点分别为M、N,此时△AMN的周长最小. ∵∠BAD=110°,∴∠A'+∠A″=180°-110°=70°, 由轴对称的性质得∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN, ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×70°=140°. 故选D.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
动到点A',则AA'=MN,AM+NB=A'的什么位置时,A'N+NB最小?
图13-4-4 如图13-4-5,在连接A',B两点的线中,线段A'B最短.因此,线段A'B与直线b 的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是 最短的.
图13-4-1 分析 将题意用数学语言叙述如下:如图13-4-1所示,已知直线a和a同侧 的两点A,B.求作:点C,使点C在直线a上,并且AC+CB最小.此题实际上是 求最短路径问题,需要比较路径的长短,与之有关的内容是:两点之间,线 段最短.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
解析 如图13-4-2(1)所示,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B交直线a 于点C,则点C即为水泵站的位置. 理由如下:如图13-4-2(2)所示,在直线a上任取一点C'(异于点C),连接BC', A'C',AC'. ∵A与A‘关于直线a对称,∴AC=A'C,AC'=A'C'. ∴AC+CB=A'C+CB=A'B<A'C'+BC'=AC'+BC'.
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》精品课件(共15张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题 的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学 习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时， 又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题 的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学 习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时， 又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
人教版八年级上册第十三章《13.4课题学习最短路径问题 》课件
能不能作出B点的对称 点B',连接AB'，与l还交
于P点吗？
A
P A'
B l
B'
探 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ 索 证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合)
新
知 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
检 的任意一点，则AP+BP的最小值是（ A）
测 A.4 B.5
C.6
D.7
E
A
P
B
C
F
当 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
堂 检
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 5 .
测
A
方法总结：此类求线段和的最小值问题， 找准对称点是关键，而后将求线段长的
课 堂 小 结
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同 侧点转为异侧点
利用“两点之间， 线段最短”确定 所求位置
P
l
A
探 模型二：一定直线，同侧两定点
索 新 问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
知
A
B
B
A
抽象成
l
PP
l
A′
利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′.
作 模型二：一定直线，同侧两定点
图 探 作法 究 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′；
（2）连接A′B，与直线l相交于点P． 则点P 即为所求．
测
A
于P点吗？
A
P A'
B l
B'
探 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ 索 证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合)
新
知 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
检 的任意一点，则AP+BP的最小值是（ A）
测 A.4 B.5
C.6
D.7
E
A
P
B
C
F
当 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
堂 检
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 5 .
测
A
方法总结：此类求线段和的最小值问题， 找准对称点是关键，而后将求线段长的
课 堂 小 结
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同 侧点转为异侧点
利用“两点之间， 线段最短”确定 所求位置
P
l
A
探 模型二：一定直线，同侧两定点
索 新 问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
知
A
B
B
A
抽象成
l
PP
l
A′
利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′.
作 模型二：一定直线，同侧两定点
图 探 作法 究 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′；
（2）连接A′B，与直线l相交于点P． 则点P 即为所求．
测
A
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4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD， ∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__4__．
5．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，AD＝6，M是AD上的动点， E是AC边的中点，则EM＋CM的最小值为_6___．
6．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别 是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( D )
知识点：最短路线问题 1．如图，小明小丽家有四条路，其中路程最短的是( B ) A．① B．② C．③ D．④
2．如图，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田(记作点O)， 以便对农田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是(B ) A．OA B．OB C．OC D．OD
3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建 一个水泵站，分别向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中 实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( D )
这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把 圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短 路径．那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？
二、自主探究 探究一：最短路径问题的概念 1．多媒体出示图①和图②，提出问题： (1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与 直线AB上所有的连线中哪条线最短？
尝试选址作出图形． 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导 学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过 程． 根据问题1和问题2，你有什么启示？ 三、知识拓展 已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只 蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条 路最近，最短的路程是多少？
解：分别作P关于AB，CD的对称P1，P2，连接P1P2交AB于M， 交CD于N，则最佳路线为PM－MN－NP
9．(问题2变式)如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼 此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′＝河的宽度； ②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC，则 CD即为桥的位置．图略
13．4 课题学习 最短路径问题
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之 间线段最短和垂线段最短．
重点 应用所学知识解决最短路径问题． 难点 选择合理的方法解决问题．
一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高 AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿 着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径．
思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找 到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？
教师引导学生讨论，明确找点的方法． 让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明． 教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．
探究三：造桥选址问题 多媒体出示问题2.(教材第86页) 提出问题： (1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？ (2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？ 学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB 最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．
方法技能： 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直， 利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小 值． 易错提示： 混淆什么情况下用“两点之间，线段最短”，什么情况下用“垂线 段最短”而出错．
2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一 点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我 们称之为最短路径问题．
探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河 边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使 所走的路径最短？
提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在 直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？
[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中 的路程，再进行比较]
四、归纳总结 1．本节课你学到了哪些知识？ 2．怎样解决最短路径问题？
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为 载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将 实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对 称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问 题．
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．如图，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A， B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．
解：作点A关于公路的对称点A′，连接A′B交公路于点P，点P即为机场 的位置
8．如图，P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧 人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马 厩．请你帮他确定一条最佳行走路线．