【2020】八年级数学上册第十三章13-4课题学习最短路径问题

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】课本P85页问题1练习、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址【例2】P86页问题2【课堂检测】课本P93页、15题。

课题学习《最短路径问题》说课稿各位领导、专家、同仁们大家好：今天我说课的的内容是：人教八年级上册第13章第四节课题学习最短路径问题。

下面我将从：教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法、学法、教学手段、教学过程、板书设计、反思十个方面展开我的说课。

一、教材分析：本节课的内容是在学习了轴对称图形及两点之间线段最短知识的基础上学习的最短路径问题。

同时为我们今后解决坐标系下线段和最短的问题打下基础。

所以本节课的学习既是对前面所学知识的应用又为今后学习新知识做了铺垫，起到了呈上起下的作用。

二、学情分析1、已有的知识与能力：八年级学生已经学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”这些关于距离最短问题的解决依据。

也初步接触了逻辑推理证明的方法。

2、未接触的知识能力：由于八年级学生首次遇到线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。

3.综合能力方面：八年级学生这一阶段的学生思维能力发展较快,自我意识增强,有较强的求知欲和表现欲,在情感方面他们能进行自我教育。

经过一年多新课程理念的熏陶及实践,学生已有了初步的自主学习、合作探究的能力,但部分学生存在不自信,羞于表现等思想顾虑,但又希望能得到他人的肯定。

因此我的教学目标分了三层,照顾不同程度的学生。

在教学活动中尽量让他们参与到活动中来,减少他们的恐惧感,通过学生间的合作学习,降低他们的学习难度,使各层次的学生都有所收获,使他们体验到成功的喜悦。

通过以上教材与学情分析我制定了本节课教学目标：三、教学目标：1、知识与能力目标：（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

（2）能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把实际问题抽象为数学问题。

2、过程与方法目标：（1）使学生经历提出问题——合作探究——动手操作——组间对比——理论证明——解决问题的过程。

13. 4课题学习最短路径问题通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.重点应用所学知识解决最短路径问题.难点选择合理的方法解决问题.一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径.这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1.多媒体出示图①和图②，提出问题：(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题.探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法.让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明.教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.探究三：造桥选址问题多媒体出示问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小.尝试选址作出图形.多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程.根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]四、归纳总结1.本节课你学到了哪些知识？2.怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.。

13.4课题学习最短路径问题◇教学目标◇【知识与技能】能利用轴对称解决简单的最短路径问题.【过程与方法】体会图形的变换在解决最值问题中的作用.【情感、态度与价值观】通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.◇教学重难点◇【教学重点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.【教学难点】利用图形变换进行线段的转移.◇教学过程◇一、情境导入如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由.二、合作探究探究点1三角形周长最短的问题典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F,∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短.探究点2坐标系中的将军饮马问题典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶.(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标.(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标.(3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置.[解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近.(2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近.(3)如图所示,过点A作关于x轴的对称点A',连接A'B,A'B与x轴的交点即为所求.三、板书设计最短路径问题最短路径问题◇教学反思◇本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.。

第十三章13.4 最短路径问题
知识点：最短路径的选择
(1)当两点在某一条直线的双侧时,这两点的最短距离就是连结这两点的线段与直线的交点就是
最短路径的点 .
(2)当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法:
作随意一个点对于这条直线的对称点 ,而后再连结对称点与另一点之间的线段 ,与直线的交点就是最短距离的点的地点 .
注意：在解决最短路径的问题时 ,我们往常利用平移、轴对称等变化把已知问题转变成简单解决的
问题 ,进而作出最短路径的选择 .
考点：解决实质生活中的最短路径问题
【例】如图 ,在河岸 l 的同侧有亚运村A 到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥地点 .和奥运村B,现计划在河畔修筑一座小型休闲中心P,使 P Q,使 Q 与 A 、B 两村的距离相等,试画出 P、Q 所在的
解:如图.
(1)作点 B 对于直线l 的对称点B';
(2) 连结 AB', 交直线 l 于点 P,则点 P 就是所求的小型休闲中心的地点;
(3)连结 AB;
(4)作线段 AB 的垂直均分线,交直线 l 于点 Q,则点 Q 就是所求的桥的地点.
点拨 :要使点 P 到两村的距离最短 ,可知点 P 必定是点 B 对于河岸 l 的对称点 B'和点 A 的连线与河岸 l 的交点 ;点 Q 与 A 、 B 两村的距离相等 ,则表示点 Q 在线段 AB 的垂直均分线上 .。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。

这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。

教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。

但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。

2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。

3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。

4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。