湖北省宜城一中2020-2021学年上学期高三年级数学阶段测试(含答案)

湖北省襄阳市宜城一中2016-2017学年度上学期高三年级8月月考数学（文科）试题时间：120分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1． 函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致范围是（ ） )2,1.(A ),.(+∞e B)4,3()1,1.(和eC )3,2.(D2．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．24 B ．48 C ．60 D ．724．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的向量分别是和,若复数z 与+的积为实数,且|z|=,则z=A.1-2iB.-1+2iC.1-2i,-1+2iD.1+2i,1-2i5．若{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013()0a a a +>,则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4027B ． 4026C ．4025D ．40246．若不等式22412ax x a x ++>-对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A.23a a ≥≤-或B.23a a >≤-或C.2a >D.22a -<<7．将函数y=cos(x －56π)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式是 A.cos()24x y π=-B.cos(2)6y x π=-C.sin 2y x =D.2cos()23x y π=-8．函数y = （ ）A ．2,2()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．22,2()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ． 222,2()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,2-B.()(),22,-∞-+∞C.(][),22,-∞-+∞ D.[]2,2-10．在矩形ABCD 中，4,3AB BC == E 是CD 的中点，沿AE 将ADE ∆折起，使二面角--D AE B 为60°，则四棱锥D ABCE -的体积是A.13399 B.133927 C.1313911．在等差数列{}n a 中，20111-=a ，其前n 项的和为n S ．若=2011S ( )A ．2010- B. 2010 C ．2011 D ．2011-12．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为( )．A ．－12 B.12第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．在平面直角坐标系中，定义2121),(y y x x Q P d -+-=为两点),(),,(2211y x Q y x P ,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到)0,1(),0,1(N M -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到)0,1(),0,1(N M -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）14．已知F 1、F 2是双曲线的两焦点,过F 2且垂直于实轴的直线交双曲线于P 、Q 两点,∠PF 1Q=60°,则离心率e=________________.15．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．16．Rt △ABC 中，AB =AC ，以C 点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB 上，且椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的离心率为三、解答题（70分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=-.（1）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式.18．（本题12分）已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2ziω=+，且||ω=求复数ω. 19．（本题12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率． 20．（本题12分）公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X 毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，重庆市公安局交通管理部门在对G 42高速路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾依据上述材料回答下列问题：(1)求t 的值；(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率． 21．（本题12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若33=a ，2=c ，0150=B ，求边b 和ABC ∆的面积．22．（本题10分）已知点P 在椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上，以P 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点2F ，且,22=⋅OF 2t a n 2=∠O P F ，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =, 求直线l 的方程;（3）作直线1l 与椭圆D :222221x y a b+=交于不同的两点S ,T ,其中S 点的坐标为(2,0)-,若点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线上一点,且满足4GS GT ⋅=,求实数t 的值.参考答案1．D【解析】因为根据零点存在性原理可知道，函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间端点值函数值异号，因此可知f(2)>0,f(3)<0,选D 2．D 【解析】试题分析：A.α内有无穷多条直线与β平行 ，只要有一条与β由交点，则平面α与平面β不平行B. 直线a//α,a//β，但当βαβα⊄⊄=⋂a c ,a ,且时，亦满足题意，故B 错C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//α，但当βαβα//,//a ,b c 且=⋂时，亦满足题意 故C 错D. α内的任何直线都与β平行，平面α与平面β没有公共点，βα//，故D 正确 考点：平面与平面平行的定义 3．B 【解析】 试题分析：58a =，36S =1113248,360,22a d a d a d ⨯∴+=+=∴== ()107891093301648S S a a a a ∴-=++==+=考点：等差数列点评：等差数列题目的求解一般首要找到首项和公差，本题中用到了公式()11n a a n d =+-()112n n n S na d -=+4．C 【解析】+=(6＋5i)+(－2＋3i)=4+8i设z=a+bi(a,b 为实数),则|z|==①∵复数z 与+的积为实数,∴2a+b=0 ② 解①②式得或∴z=1-2i 或 z=-1+2i5．D 【解析】试题分析：对于首项大于零的递减的等差数列，由等差数列前n 项和公式可判断结论． 根据题意可知{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且20132012201320122013()00,00a a a a aa a +>∴+<<∴>，可知，数列是递减的数列，同时可知则利用等差中项性质可知14023201220a a a +=>，同理14025201320a a a +=<，所以20122013140240a a a a +=+<，因此使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4024，因此选D.考点：等差数列以及性质的运用点评：本题没有具体的数字运算，它考查的是等差数列的性质，有数列的等差中项，等差数列的前n 项和，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，对同学们来说有些抽象 6．C【解析】原不等式可化为（a ＋2）x 2＋4x ＋a －1＞0,显然a ＝－2时不等式不恒成立；当a ＋2≠0时，只需20,164(2)(1)0.a a a +>⎧⎨∆=-+-<⎩解得a >2.也可利用特值代入的办法进行排除.7．D 【解析】试题分析：将函数y=cos(x －56π)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到解析式为y=cos(12 x －56π)，再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式是y=cos[12 （x+3π）－56π]=2cos()23x y π=-,故选D. 考点：三角函数的图像变换点评：解决的关键是理解周期变换仅仅影响w 的变换，其余的不变，同时平移变换，只对x 加上或者减去一个数，属于基础题。

2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）联考数学试卷（10月份）1.已知全集U=R，M={x|x<−1}，N={x|x(x+2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. {x|−1≤x<0}B. {x|−1<x<0}C. {x|−2<x<−1}D. {x|x<−1}2.从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为()A. 55B. 80C. 90D. 1103.已知A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2−a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤54.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是()A. 此人第六天只走了5里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C. 此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5.已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a6.函数f(x)=Asin(ωx+π4)(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000+12×1000×2=32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000+12×32×1000×2=94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间约为( )(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A. 34小时B. 37小时C. 40小时D. 43小时8. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)9. 如图，点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论有( )A. 三棱锥A −D 1PC 的体积不变B. A 1P 与平面ACD 1所成的角大小不变C. DP ⊥BC 1D. DB 1⊥A 1P10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个顶点分别是A 1，A 2，左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有( )A. |PF1|−|PF2|=2aB. 直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2C. 使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有4个D. 焦点到渐近线的距离等于b11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，b=4，下列判断：A.若c=√3，则角C有两解；B.若a=92，则角C有两解；C.△ABC为等边三角形时周长最大；D.△ABC为等边三角形时面积最小．其中判断正确的是()A. AB. BC. CD. D12.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，其中e为自然对数的底数，k∈R.若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，则下列命题正确的是()A. k=e2+1eB. 曲线y=g(x)在点(e,g(e))处的切线与直线x−ey+1=0平行C. 函数y=g(x)+2ex2在[0,e]上的最大值为2e2+1D. 函数y=g(x)−xe−e2x在(0,1)上单调递增13.(x+2y)(x+y)4的展开式中x3y2的系数为______．14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a=______．15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+ c2−ac)x+1有极值点，则∠B的范围是______ ．16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p,当x=qp(p,q都是正整数,qp是既约真分数)0,当x=0,1或[0,1]上的无理数，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2−x)+f(x)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(lg103)−f(85)=______．17.已知函数f(x)=log k x(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k=√2时，设a n b n=2n+14n2−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，最小正周期为2π3，且最小值为−1．(1)求函数f(x)的解析式．(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−1,−√32]，求m的取值范围．19.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；(Ⅱ)求证：AB⊥VC；(Ⅲ)求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√52,√32)，离心率为2√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x=a2c的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立，(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．22.已知函数f(x)=x2+ax−a，其中a∈R．e x(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程；(2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用Venn图表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．由图可得图中阴影部分为N∩(∁U M)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．【解答】解：图中阴影部分为N∩(∁U M)，∵M={x|x<−1}，∴∁U M={x|x≥−1}，又N={x|x(x+2)<0}={x|−2<x<0}，∴N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．由已知求得A或B等级所占比例，乘以200得答案．【解答】解：由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，则A或B等级所占比例为55%，∴200人的样本中，获得A或B等级的学生一共有：200×45%=90人．故选：C．3.【答案】C【解析】解：因为命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题，所以“∀x∈[1,2]，a≥x2”恒成立，所以a≥4，a ≤4，a ≤5是真命题的既不充分也不必要条件， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5， 故选：C ．将命题“∀x ∈A ，x 2−a ≤0”是真命题，转化为“∀x ∈A ，a ≥x 2”恒成立求得a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断． 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．4.【答案】BCD【解析】解：设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x =192．A .此人第六天只走了125×192=6里路，因此不正确；B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多=192−(378−192)=6里，正确；C .此人第二天走的路程比全程的14还多=12×192−14×378=1.5里，正确； D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的(1+12+122)x(123+124+125)x =8倍，正确．故选：BCD ．设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x.进而判断出结论．本题考查了等比数列的求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数， ∴f(−1)=f(1)，即2|−1−m|−1=2|1−m|−1，解得m =0， ∴f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减， ∵2−3=18∈(0,1)，3m =1，|log 0.53|=log 23>1， ∴f(2−3)<f(3m )<f(log 0.53)，即a <b <c ． 故选：A ．由题意可得m =0，可得f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象及其变换规律，属于中档题．函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知周期T =2π3，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知最小正周期T =2π3，那么：ω=2πT=2π×32π=3．则f(x)=Asin(3x +π4)=Asin3(x +π12).要得到g(x)=Acos3x =Asin(3x +π2)=Asin3(x +π6)的图像， 只需将f(x)向左平移π12即可． 故选A ．7.【答案】C【解析】解：设第n 个小时后细胞个数为a n ， 则a n+1=12a n +12a n ×2=32a n ， 又a 1=32×1000，可得{a n }是等比数列， ∴a n =32×1000×(32)n−1=1000×(32)n ， 由a n =1000×(32)n >1010，得(32)n >107， 即nlg 32>7，∴n >7lg3−lg2=70.4771−0.3010≈40．故选：C．设第n个小时后细胞个数为a n，由题意结合等比数列的通项公式求得a n，再由a n= 1000×(32)n>1010，结合对数的运算性质求解．本题考查等比数列的通项公式，考查对数的运算性质，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，由题意知AD1//BC1，AD1⊂面ACD1，BC1⊄面ACD1，∴BC1//面ACD1，故BC 1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，△ACD1面积为定值，而V A−D1PC =V P−AD1C，所以，以动点P在BC1任何位置，三棱锥A−D1PC体积不变，故A正确；对于B，如图，连接A1B，A1C1，由正方体性质可知，A1C1//AC，A1C1⊄面ACD1，AC⊂面ACD1，∴A1C1//面ACD1，由A知：BC1//面ACD1，A1C1∩BC1=C1，故平面ACD1//平面A1C1B，而A1P⊂面A1C1B，由面面平行的性质易得：A1P//平面ACD1，故B正确；对于C，∵DC⊥面BCC1D1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥面DCP，则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，故C错误，对于D，如图，由正方形A1B1C1D1可得A1C1⊥B1D1，又BB1⊥面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，D1B1∩BB1=B1，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴DB1⊥A1C1，同理，DB1⊥BC1，∴DB1⊥面BA1C1，∵A1P⊂面A1BC1，∴DB1⊥A1P，故D正确，故选：ABD．对于A选项，可将三棱锥A−D1P的体积转化为求P−AD1C的体积进行求证；对于B选项，可通过证明面ACD1//面A1C1B，进而证明出A1P//平面ACD1；对于C选项，可利用线面垂直的判定以及性质进行证明；对于D选项，可通过证明DB1⊥面BA1C1，进而证明出，DB1⊥面BA1C1．本题考查了三棱锥体积，空间中线面夹角求法，以及空间中线线垂直的判定，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a，故A不正确；由点差法知，直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2，故B正确．若点P在第一象限，可以分别以点F1，F2为顶点构成等腰三角形，根据对称性，一共有八个等腰三角形，故C错误．由点F(c,0)到直线y=ba x的距离为√a2+b2=b，故D正确，故选：BD．由双曲线的定义可判断A不正确；由点差法可判断B正确；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断C不正确，由点到直线的距离公式可得D正确．本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，由bsinB =csinC，得sinC=csinBb=√3sin60°4=38，由于c<b，所以C<B，故C为锐角，所以只有一组解，A错误；对于B，同理，由asinA =bsinB，可得sinA=9√3256<1，由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，B正确；对于C，由b2=a2+c2−2accosB，得16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2．故a+c≤8，当且仅当a=c时取等号，此时三角形周长最大，三角形为等边三角形，C正确；对于D，由C推导过程知得16=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，此时三角形ABC面积最大，又B=60°，所以三角形为等边三角形，D正确，故选：BC．根据A、B选项给出的条件，利用正弦定理解出sin C和sin A，结合角度大小进行判断；C，D选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．本题考查的是正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，可得f(x)=g(x)，即为lnxx=x2−2ex+k有唯一解．设ℎ1(x)=lnxx，ℎ2(x)=x2−2ex+k，ℎ1(x)的导数为ℎ1′(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ1(x)递减；当0<x<e时，ℎ1(x)递增，可得ℎ1(x)的最大值为1e，ℎ2(x)=x 2−2ex +k 的最小值为ℎ2(x)min =ℎ2(e)=k −e 2， 所以k −e 2=1e ，即k =e 2+1e ，故A 正确；由g(x)=x 3−2ex 2+kx 的导数为g′(x)=3x 2−4ex +e 2+1e ，g′(e)=1e ，g(e)=1，所以切线的方程为y −1=1e (x −e)，即为x −ey =0， 故切线与直线x −ey +1=0平行，故B 正确； 由函数y =F(x)=g(x)+2ex 2=x 3+(e 2+1e )x ， 导数为F′(x)=3x 2+e 2+1e >0，可得函数F(x)在[0,e]上递增，可得最大值为F(e)=2e 3+1，故C 错误； 设G(x)=g(x)−xe −e 2x =x 3−2ex 2的导数为G′(x)=3x 2−4ex ，可得当0<x <43e 时，G′(x)<0，G(x)递减，则G(x)在(0,1)上递减，故D 错误． 故选：AB ．由函数方程的关系，求得函数的最值，可判断A ；求得g(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，可得切线的方程，可判断B ；设F(x)=g(x)+2ex 2，求得导数和单调性，可得最大值，即可判断C ；设G(x)=g(x)−xe −e 2x ，求得导数和单调性，可判断D ． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：因为(x +y)4展开式的通项公式为：T r+1=∁4r ⋅x4−r⋅y r ； 令4−r =2可得r =2； 令4−r =3可得r =1；∴(x +2y)(x +y)4的展开式中，x 3y 2的系数为：∁42+2×∁41=14．故答案为：14．求出(x +y)4展开式的通项公式，进而求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形可得：a2−(a+2)x21−x2=1，必有a=−1；故答案为：−1．根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】(π3,π)【解析】解：∵f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1，∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，又∵函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点，∴x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，∴△=(2b)2−4(a2+c2−ac)>0，即ac>a2+c2−b2，即ac>2accosB；即cosB<12；故∠B的范围是(π3,π)；故答案为：(π3,π)．先求导f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，从而化函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点为x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：根据题意，对任意x 都有f(2−x)+f(x)=0， 令x =25，则有f(85)=−f(25)， 又由f(25)=R(25)=15，故f(85)=−15 又由0<lg103=1−lg3<1，则有f(lg 103)=R(lg 103)=0，故f(lg 103)−f(85)=0−(−15)=15； 故答案为：15．根据题意，运用特殊值法可得f(85)=−f(25)，由函数的解析式求出f(25)和f(lg 103)的值，计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及对数的运算性质，是基础题．17.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2， 当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由函数的最小值为−1，A >0，得A =1，∵最小正周期为2π3， ∴ω=2π2π3=3，∴f(x)=cos(3x +φ)， 又函数的图象过点(0,12)， ∴cosφ=12，而0<φ<π2， ∴φ=π3，∴f(x)=cos(3x +π3)，(2)由x ∈[π6,m]，可知5π6≤3x +π3≤3m +π3， ∵f(π6)=cos5π6=−√32，且cosπ=−1，cos7π6=−√32， 由余弦定理的性质得：π≤3m +π3≤7π6，∴2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9,5π18].【解析】(1)依题意，易求A =1，ω=3，由函数的图象过点(0,12)，0<φ<π2，可求得φ=π3，从而可得函数f(x)的解析式． (2)x ∈[π6,m]⇒5π6≤3x +π3≤3m +π3，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m +π3≤7π6，从而可求m 的取值范围．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵M ，N 分别为VA ，VB 的中点， ∴MN//AB ，∵AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴AB//平面CMN ．(Ⅱ)证明：∵△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB =BC ，AC =CV =2，M ，N 分别为VA ，VB 的中点． ∴AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，∵平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC ∩平面ABC =AC ， ∴VC ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥VC ．(Ⅲ)解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，V(√2,0，2)，B(0,0，0)，C(√2,0，0)，N(√22,0，1)，A(0,√2,0)，M(√22,√22,1)， BV ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0，1)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y +z =0n ⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√2)， 设直线VB 与平面CMN 所成角为θ， 则直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为： sinθ=|BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2√6⋅√6=2√23．【解析】(Ⅰ)推导出MN//AB ，由此能证明AB//平面CMN ．(Ⅱ)推导出AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，从而VC ⊥平面ABC ，由此能证明AB ⊥VC ． (Ⅲ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意得 { a 2=b 2+c 254a 2+34b 2=1c a =2√55，解得a =√5，b =1，c =2， 所以椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x =52，AB 1与A 1B 的交点是(94,0)．②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线AB 为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2+5y 2=5⇒(1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0， 所以x 1+x 2=20k 21+5k 2，x 1x 2=20k 2−51+5k 2，A 1(52,y 1)，B 1(52,y 2)， 所以l AB 1：y =y 2−y 152−x 1(x −52)+y 2，l A 1B ：y =y 2−y 1x 2−52(x −52)+y 1，联立解得x =x 1x 2−254x 1+x 2−5=20k 2−51+5k 2−25420k21+5k 2−5=−45(1+k 2)−20(1+k 2)=94，代入上式可得 y =k(x 2−x 1)−10+4x 1+y 2=−9k(x 1+x 2)+4kx 1x 2+20k4x 1−10=−9k⋅20k 21+5k 2+4k⋅20k 2−51+5k 2+20k 4x 1−10=0，综上，直线AB 1与A 1B 过定点(94,0)．【解析】(1)由过点(√52,√32)，离心率为2√55，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线AB 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，写出直线AB 1的方程，直线A 1B 的方程，联立解得x ，y 即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) =34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅13⋅12=512．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，P(ξ=0)=C 30(712)3=3431728，P(ξ=1)=C 31(512)(712)2=7351728， P(ξ=2)=C 32(512)2(712)=5251728，P(ξ=3)=C 33(512)3=1251728，∴ξ的分布列为：∵ξ～B(3,512)，∴Eξ=3×512=54．【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)，由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)的导数f′(x)=−x2−(a−2)x+2ae x=−(x+a)(x−2)e x，当a =0时，f′(1)=1e ,f(1)=1e ，则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y −1e =1e (x −1)，即y =1e x ， (2)证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递减，无极值； ②当−a <2，即a >−2时，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(2)=a+4e 2>2e 2>0，③当−a >2，即a <−2时，=−ae a>0，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(−a)=−ae−a综上，当f(x)有极值时，函数f(x)的极大值必大于0．【解析】(1)利用导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程；(2)令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，分a=−2，a>−2，a>−2讨论即可．本题考查了导数的几何意义，即利用导数求函数极值，属于中档题．第21页，共21页。

2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈R|y=x+1}，B={y|y=x2+1,x∈R}，则A∩B=()A. {0,1}B. {(0,0)，(1,2)}C. ⌀D. [1,+∞)2.若m、n∈R且4+3i3−4i=m+ni(其中i为虚数单位)，则m−n=()A. −125B. −1C. 1D. 03.抛物线y=2x2的焦点坐标是()A. (12,0) B. (−12,0) C. (0,18) D. (0,−18)4.已知a，b都是实数，那么a>2”是“方程x2+y2−2x−a=0表示圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知α、β∈(0,π)，tanα与tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个根，则α+β=()A. π3B. 23π C. 43π D. π3或43π6.贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为()A. 8!B. 1680C. 140D. 707.设等比数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且2S2+S4=3S3，已知m，n∈N∗，若存在正整数i，j(1<i<j)，使得ma i，mn，na j成等差数列，则mn的最小值为()A. 16B. 12C. 8D. 68.设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1).若对任意的x∈[0,b+1]，均有f(x+b)≥f2(x)，则实数b的最大值是()A. −23B. −34C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.关于双曲线C：x24−y25=1，下列说法正确的是()A. 该双曲线与双曲线y 25−x 24=1有相同的渐近线B. 过点F(3,0)作直线l 与双曲线C 交于A 、B ，若|AB|=5，则满足条件的直线只有一条C. 若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l 的斜率k ∈(−√52,√52)D. 过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C 仅有一个交点10. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =4，AA 1=6，P 是AA 1中点，点M 在侧面AA 1B 1B(含边界)上运动，则( )A. 直线CP 与BB 1所成角余弦值为3√3434B. 存在点M(异于点P)，使得P 、M 、C 、D 1四点共面．C. 存在点M 使得MC ⊥BDD. 若点M 到平面ABCD 距离与到点A 1的距离相等，则点M 的轨迹是抛物线的一部分11. 对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是( )A. AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗C. 过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1λ+1μ=3 D. AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 共线 12. 当x ∈[0,5√22]时，函数y =sin(ωx +φ)与y =cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象恰有三个交点，且△PMN 是直角三角形，则( )A. △PMN 的面积S =1B. ω=√22π C. 两函数的图象必在x =134π−φω处有交点D. φ∈[−π4,π4]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在二项式(√x +3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A +B =72，则展开式中常数项的值为______．14.若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为2π，圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2(r1<r2)，则r22−r12=______ ．15.△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(6,0)，C(−5,−2)，则角A的平分线所在的直线方程为______ ．16.若∀x>0，不等式lnx+2+ax ≥b(a>0)恒成立，则ba的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=sin(π−x)cosx−cos2(x+π4)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若对∀x∈{A2+π4,B2+π4,C2+π4}，恒有f(x)+12>0成立，且_____，求△ABC面积的最大值.在下列四个条件中，任选2个补充到上面问题中，并完成求解.其中a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边．①△ABC的外接圆直径为4；②a是直线√2x+y+3=0截圆O：x2+y2=4所得的弦长；③asinA+bsinB=csinC；④√3sinA+cosA=√3．18.已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=2a n−n+1．(1)证明：数列{a n−n}为等比数列；(2)记b n=2n+1a n⋅a n+1，S n是数列{b n}前n项的和，求证：S n<13．AD，E是19.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，且AB=BC=12 AD的中点，将△ABE沿BE折起到△SBE的位置，使平面SBE⊥平面BCDE．(1)求二面角B−SC−D的正弦值；(2)在直线SB上是否存在点P，使PD⊥平面SBC？若存在，请求出点P所在的位置；若不存在，请说明理由．20.有治疗某种疾病的A、B两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查：A、B两种药物各有100位病人服用，他们服用药物后的康复时间(单位：天数)及人数记录如表：服用A药物：康复时间10111213141516人数9141615161812服用B药物：康复时间121314151617a人数11151416181610假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复．(1)若康复时间低于15天(不含15天)，记该种药物对某病人为“速效药物”.当a>17时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物A比服用药物B更速效？(2)分别从服用A、B药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用A药物的7人为Ⅰ组，服用B药物的7人为Ⅱ组.现从Ⅰ、Ⅱ两组中随机各选一人，分别记为甲、乙．①a为何值时，Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等(不用说明理由)；②在①成立且a>12的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+b)(a+c)(b+d)21.已知在平面直角坐标系中，圆A：x2+y2+2√7x−57=0的圆心为A，过点B(√7,0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E．(1)求动点E的轨迹方程；(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若k1+k2=6，证明：直线MN过定点．22.已知函数f(x)=3x−x3，若关于x的方程f(x)=a有两个正实数根x1，x2且x1<x2．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x2−x1<2−a．2答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={x ∈R|y =x +1}，B ={y|y =x 2+1,x ∈R}， ∴A ∩B ={(x,y)|{y =x +1y =x 2+1}={(0,0)，(1,2)}．故选：B ．利用交集定义直接求解．本题考查集合的表示和运算，考查交集定义、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：因为4+3i3−4i =m +ni ， 且4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)32−(4i)2=(12−12)+(16+9)i9+16=i ，所以m =0，n =1，m −n =−1． 故选：B ．根据题意化简4+3i3−4i ，利用复数相等求出m 、n 的值，再计算m −n 的值． 本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：抛物线y =2x 2，化为x 2=12y ， 它的焦点坐标为：(0,18). 故选：C ．直接利用抛物线的简单性质写出结果即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为x2+y2−2x−a=(x−1)2+y2=1+a>0，所以1+a>0即a>−1，由a>2能推出a>−1，反之不成立，故“a>2”是“方程x2+y2−2x−a=0表示圆”的充分不必要条件．故选：A．先将圆的方程化成标准形式，根据r>0，求出a的范围，然后根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件，即可得到结论．本题主要考查了圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力．5.【答案】C【解析】解：由根与系数的关系得：tanα+tanβ=−3√3，tanα⋅tanβ=4，∴tanα<0，tanβ<0，∵α、β∈(0,π)，∴α、β∈(π2,π)，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−3√31−4=√3．∴α+β=43π.故选：C．利用韦达定理，同角三角的基本关系，求得tan(α+β)的值，由特殊角的三角函数值作出判断．本题考查的知识点是两角和与差的正切公式，难度不大，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，原问题等价于在8个相同的位置中，选出4个位置用于挂左侧灯笼，剩下4个位置挂右侧灯笼，则有C84=70种不同的方法，故选：D．根据题意，原问题等价于在8个相同的位置中，选出4个位置用于挂左侧灯笼，剩下4个位置挂右侧灯笼，由组合数公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意原问题等价于组合问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，且首项a1=1，2S2+S4=3S3，则2⋅(1+q)+1−q 41−q =3⋅1−q31−q，化简得：q3=2q2，∵q≠0，∴q=2．则a n=2n−1．又∵ma i，mn，na j成等差数列，∴2mn=ma i+na j=m⋅2i−1+n⋅2j−1，上式两边同时除以mn2，得4=2in+2jm≥2⋅√2in⋅2jm，整理可得mn≥(2i+j4)min，又1<i<j，∴i=2，j=3满足条件，使得mn≥254=8．故选：C．由数列{a n}是等比数列，且首项a1=1，2S2+S4=3S3，结合等比数列的前n项和可得q=2.得到a n=2n−1.再由ma i，mn，na j成等差数列，得到2mn=ma i+na j=m⋅2i−1+n⋅2j−1，整理可得mn≥(2i+j4)min，再由1<i<j，得i=2，j=3满足条件，使得mn≥254=8，则答案可求．本题考查等比数列的前n项和与等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．8.【答案】B【解析】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)．∴f(x)=a|x|(a>1)，当x≥0时为增函数，f2(x)=(a|x|)2=a|2x|=f(2x)，则f(x+b)≥f2(x)，等价为f(x+b)≥f(2x)，即|x+b|≥|2x|，即3x2−2bx−b2≤0对任意的x∈[0,b+1]，恒成立，设g(x)=3x2−2bx−b2，则满足{g(0)≤0g(b +1)≤0，即3(b +1)2−2b(b +1)−b 2≤0，得3b 2+6b +3−2b 2−2b −b 2≤0， 得4b ≤−3，即b ≤−34， 又b +1≥0，即−1≤b ≤−34， 即b 的最大值为−34， 故选：B ．根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成立即可．本题主要考查不等式的求解，结合函数的奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化为不等式恒成立是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：选项A ，双曲线C ：x 24−y 25=1与双曲线y 25−x 24=1的渐近线均为y =±√52x ，即选项A 正确；选项B ，当直线l 与双曲线的右支交于A ，B 时，通径最短，为2b 2a=2×52=5；当直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 时，|AB|的最小值为2a =4，所以若|AB|=5， 则满足条件的直线有3条，即选项B 错误；选项C ，双曲线C 的渐近线为y =±√52x ，若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l 的斜率k ∈(−√52,√52)，即选项C 正确；选项D ，过点P(1,2)可作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有1个交点，故满足条件的直线有4条，即选项D 正确． 故选：ACD ．选项A ，两个双曲线的渐近线均为y =±√52x ；选项B ，分两类讨论：直线l 与双曲线的右支交于A ，B ，求通径长；直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B ，有|AB|≥2a ，再判断满足条件的直线条数；选项C ，结合双曲线C 的渐近线进行分析即可；选项D ，考虑过点P(1,2)作与渐近线平行的直线和双曲线的切线的条数．本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的交点个数问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB =3，AD =4，AA 1=6，P 是AA 1中点，点M 在侧面AA 1B 1B(含边界)上运动，则A(0,0，0)，B(3,0，0)，C(3,4，0)，D(0,4，0)，A 1(0,0，6)，P(0,0，3)，B 1(3,0，6)，D 1(0,4，6)， 对于选项A ，因为CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4,3),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,6)， 则|cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=18√9+16+9×6=3√3434， 所以直线CP 与BB 1所成角余弦值为3√3434，故选项A 正确；对于选项B ，取AB 的中点Q ，则Q(32,0,0)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,−3)， 又CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,6)，所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗=−12CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PQ//CD 1， 因此当点M 在线段PQ 上(除点P 外)，都能使得PQ//CD 1， 即P ，M ，C ，D 1四点共面，故选项B 正确；对于选项C ，由题意设M(x,0，z)(0≤x ≤3，0≤z ≤6)， 则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,4,−z)，又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4,0)， 若MC ⊥BD ，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−9+3x +16=0，解得x =−73不在0≤x ≤3范围内， 所以不存在点M 使得MC ⊥BD ，故选项C 错误；对于选项D ，同选项C ，设M(x,0，z)(0≤x ≤3，0≤z ≤6)，则点M 到平面ABCD 的距离为z ，点M 到点A 1的距离为|A 1M|=√x 2+(z −6)2， 因为点M 到平面ABCD 距离与到点A 1的距离相等，所以z =|A 1M|=√x 2+(z −6)2，整理可得x 2=12z −36，其中0≤x ≤3，0≤z ≤6， 所以点M 的轨迹方程为x 2=12z −36(0≤x ≤3,0≤z ≤6)，是抛物线的一部分，故选项D 正确． 故选：BD ．以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出直线CP 与BB 1的方向向量，利用异面直线所成角的计算公式求解即可判断选项A ，取AB 的中点Q ，用向量的方法证明PQ//CD 1，即可判断选项B ，设M(x,0，z)(0≤x ≤3，0≤z ≤6)，假设MC ⊥BD ，根据数量积为0列出方程求解，即可判断选项C ，利用点M 到平面ABCD 距离与到点A 1的距离相等，求出点M 的轨迹方程，即可判断选项D ．本题考查了命题真假的判断，主要考查了立体几何的综合应用，涉及了空间角的求解、空间中线线关系的判定、动点轨迹方程的求解，综合性强，考查的知识点多，对学生掌握知识的广度和深度都有一定的要求，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，主要考查了平面向量的综合应用，涉及了三角形外心、重心、垂心的应用，属于拔高题．根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量数量积的定义即可判断选项A ，利用向量数量积的运算法则将OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 变形，得到OA ⊥BC ，利用三角形的外心的定义即可判断选项B ，利用三角形中线的定义，线性运算以及平面向量基本定理的推论即可判断选项C ，利用向量数量积的运算和向量垂直的条件可判断AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，从而可判断选项D ． 【解答】解：如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，所以|AO|cos∠OAM =|AM|， 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |(|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ cos∠OAB|) =|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 故选项A 正确；因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直， 比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故选项B 错误； 设BC 的中点为D ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13(1λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +1μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13μAF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为E ，F ，G 三点共线， 所以13λ+13μ=1，则1λ+1μ=3，故选项C 正确； 因为(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−B)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =−|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosB+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直， 又因为AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosB +AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故选项D 正确． 故选：ACD ．【解析】解：因为图象恰有三个交点P ，M ，N ，且三角形PMN 为直角三角形， 则三角形PMN 的高为√2，且是等腰直角三角形，所以斜边长为2√2，即周期T =2√2，所以2πω=2√2，解得ω=√22π，故B 正确；三角形PMN 的面积为S =12×√2×2√2=2，故A 错误； 当x ∈[0,5√22]时，ωx +φ∈[φ,5π2+φ]，由正弦，余弦函数的图象可得：−3π4<φ≤π4且9π4≤5π2+φ<13π4，又|φ|<π2，所以φ∈[−π4,π4]，故D 正确；ωx +φ<13π4，故C 错误；故选：BD ．由已知推出三角形PMN 的高为√2的等腰直角三角形，进而求出函数的周期以及ω的值，也即可求出三角形PMN 的面积，再由已知x 的范围判断选项C ，D 是否正确即可． 本题考查了正弦，余弦函数的图象性质，考查了三角函数的周期性以及学生的运算转化能力，属于中档题．13.【答案】9【解析】解：由二项展开式的性质可得A =4n ，B =2n∴A +B =4n +2n =72 ∴n =3∵(√x +3x)3展开式的通项为T r+1=C 3r √x 3−r (3x )r=3r C 3rx3−3r2令3−3r 2=0可得r =1常数项为T 2=3×C 31=9故答案为：9由二项展开式的性质可得A =4n ，B =2n ，由A +B =4n +2n =72可得n =3，而(√x +3x)3展开式的通项为T r+1=C 3r√x 3−r (3x )r=3r C 3rx3−3r2，令3−3r 2=0可得r ，代入可求本题主要考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出A ，B 的值．【解析】解：因为扇环的面积为2π，则有12πr22−12πr12=2π，所以r22−r12=4．故答案为：4．利用扇环的面积等于大扇形面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式求解，即可得到答案．本题考查了圆台的侧面展开图，主要考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．15.【答案】7x−y−17=0【解析】解：由A(3,4)，B(6,0)，C(−5,−2)，所以|AB|=√(6−3)2+(0−4)2=5，|AC|=√(−5−3)2+(−2−4)2=10，设角A的平分线AT交BC于点T，则点T分BC所成的比为λ=|AB||AC|=12，由定比分点坐标公式，得x T=6+12×(−5)1+12=73，y T=0+12×(−2)1+12=−23；所以点T(73,−23)，所以AT所在的直线方程为y−4−2 3−4=x−373−3，即7x−y−17=0．求出|AB|、|AC|的长，利用定比分点坐标公式求出点T的坐标，即可写出AT所在的直线方程．本题考查了线段的定比分点和直线方程的应用问题，是中档题．16.【答案】e2【解析】解：设f(x)=lnx+2+ax ，则f′(x)=1x−ax2=x−ax2，∵a>0，∴函数f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上为增函数， 即当x =a 时，函数f(x)取得最小值f(a)=lna +3， 由3+lna ≥b 得ba ≤3+lna a，设g(a)=3+lna a， 则g′(a)=−2−lna a 2，由g′(a)>0，得0<a <1e 2.由g′(a)<0，得a >1e 2． 即当a =1e 2时，g(a)取得最大值，最大值为g(1e 2)=e 2， 故ba 的最大值为e 2， 故答案为：e 2．构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，判断函数的极值，利用导数进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)f(x)=sinxcosx −1+cos(2x+π2)2=12sin2x −12(1−sin2x)=sin2x −12， 由2kπ−π2≤2x ≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π4≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ， 故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π4,kπ+π4]，(k ∈Z)． (2)当x =A2+π4时，由f(x)+12>0得sin(A +π2)=cosA >0，又A ∈(0,π)，则A 为锐角．同理可得B ，C 均为锐角，即△ABC 为锐角三角形． 由③可得，a 2+b 2=c 2，此时△ABC 为直角三角形，不符号题意； 若选①②：由②可得圆O 的圆心到直线的距离为√1+2=√3=√3，故a =2√4−3=2， 又△ABC 的外接圆直径2R =asinA ，可得4=2 sinA ，得sinA =12，即A =π6． 由正弦定理得：b =4sinB ，c =4sinC ，∴△ABC 的面积S =12bcsinA =4sinBsinC =4sinBsin(5π6−B)=2sinBcosB +2√3sin 2B =sin2B −√3cos B +√3=2sin(2B −π3)+√3， 又△ABC 为锐角三角形，∴B ∈(π3,π2)，当2B−π3=π2，即B=5π12时，△ABC的面积S有最大值为2+√3；若选①④：由④可得2sin(A+π6)=√3，则sin(A+π6)=√32，又A为锐角，得A=π6，后面解法同上；若选②④：由②可得圆O的圆心到直线的距离为√1+2=√3=√3，故a=2√4−3=2，由④可得2sin(A+π6)=√3，则sin(A+π6)=√32，又A为锐角，得A=π6，由正弦定理得2R=asinA=2sinπ6=212=4，后面解法同上．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，集合三角函数的单调性进行求解即可．(2)根据正弦定理，分别选择两个条件进行转化求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式结合正弦定理进行转化是解决本题的关键，是中档题．考查学生的运算能力．18.【答案】证明：(1)依题意，由a n+1=2a n−n+1，两边同时减去n+1，可得a n+1−(n+1)=2a n−n+1−(n+1)=2(a n−n)，∵a1−1=3−1=2，∴数列{a n−n}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n−n=2⋅2n−1=2n，∴a n=2n+n，∴b n=2n+1a n⋅a n+1=2n+1(2n+n)(2n+1+n+1)=12n+n−12n+1+n+1，则S n=b1+b2+⋯+b n=121+1−122+2+122+2−123+3+⋯+12n+n−12n+1+n+1=121+1−12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13，∴不等式S n<13成立．【解析】(1)根据题意将递推公式进行转化，两边同时减去n +1，进一步计算即可证得数列{a n −n}为等比数列；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{a n −n}的通项公式，以及数列{a n }的通项公式，然后计算出数列{b n }的通项公式，再运用裂项相消法求前n 项和S n 的表达式，根据不等式的运算即可证明结论成立．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，整体思想，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(1)在图1中，设AB =BC =2，AD =4，∵AD//BC ，∠BAD =90°，E 是AD 的中点，则四边形AECB 为正方形， ∴BE ⊥AC ，在图2中，设BE 中点为O ，∵BE ⊥OS ，平面SBE ⊥平面BCDE ，∴SO ⊥平面BCDE ， 以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(√2,0，0)，S(0,0，√2)，E(−√2,0，0)，C(0,√2,0)，D(−2√2,√2,0)， 则有SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−√2)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,√2,−√2)， 设平面SBC 的法向量 n⃗⃗⃗ (x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0，取n⃗ =(1,1，1)， 设平面SCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SC⃗⃗⃗⃗⃗ =√2b −√2c =0m ⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2a +√2b −√2c =0，取m⃗⃗⃗ =(0,1，1)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3×√2=√63， 则二面角B −SC −D 的正弦值为√33．(2)假设在直线SB 上是存在点P ，使PD ⊥平面SBC ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBS⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√2,−√2,0)+λ(−√2,0，√2)=(3√2−√2λ，−√2，√2λ)， ∵平面SBC 的法向量n ⃗ =(1,1，1)，∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ // n ⃗⃗⃗ ，∴3√2−√2λ=−√2=√2λ，方程无解， ∴假设不成立，∴在直线SB 上不存在点P ，使PD ⊥平面SBC ．【解析】(1)设BE 中点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面SBC 的法向量和平面SCD 的法向量即可求得二面角B −SC −D 的正弦值．(2)假设在直线SB 上是存在点P ，使PD ⊥平面SBC ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用DP ⃗⃗⃗⃗⃗ // n ⃗⃗⃗ 是否成立，即可判断在直线SB 上是否存在点P ，使PD ⊥平面SBC ．本题考查了空间线面位置关系，考查二面角求解，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得：∴K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+b)(a+c)(b+d)=200×(70×60−30×40)2100×100×110×90=20011≈18.2>6.635．所以有99%的把握认为病人服用药物A 比服用药物B 更速效；(2)①方差反应的是数据的离散程度，要使I 、II 两组人康复时间的方差相等，对比两组数据，可知：a =11或18；②在①成立且a >12的条件下，所以a =18．用(t 甲,t 乙)表示所选取人的康复时间，由题意得基本事件总数为7×7=49个， 符合题意的基本事件有(13,12)，(14,12)，(14,13)，(15,12)，(15,13)，(15,14)，(16,12)，(16,13)，(16,14)，(16,15)， 共计10个，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率为1049．【解析】(1)分析题意完成2×2列联表，直接套公式求出K 2，对照参数表下结论；(2)根据方差的统计学意义直接写出a 的值；列举出基本事件，利用古典概型概率公式求概率．本题考查独立性检验的应用，考查方差的统计学意义，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)圆A ：x 2+y 2+2√7x −57=0 的圆心为A(−√7,0)，半径为8， 由B 在圆A 内，BE//AD ，可得∠CBE =∠CDA ， 又因为CDA =∠C ， 即∠CBE =∠C ，所以CE =BE ， 即BE +AE =AC =8>AB =2√7，即E 的轨迹为以A ，B 为焦点， 长轴长为8、焦距为2√7的椭圆， 其方程为x 216+y 29=1；(2)证明：P(0,3)， 可得MN 不垂直于y 轴， 设MN ：x =my +t ， M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{9x 2+16y 2=144x =my +t可得(9m 2+16)y 2+18mty +9t 2−144=0， y 1+y 2=−18mt9m 2+16，y 1y 2=9t 2−1449m 2+16，①所以k 1+k 2=y 1−3x 1+y 2−3x 2=y 1−3my 1+t +y 2−3my 2+t=2my 1y 2+(t−3m)(y 1+y 2)−6t m 2y 1y 2+mt(y 1+y 2)+t 2=6，代入①，化简可得3m +t =0或t −3m =−1， 即MN ：x =my −3m ，或x =my +3m −1， 由x =m(y −3)，可得MN 恒过(0,3)与P 重合，舍去；由x=m(y+3)−1，可得MN恒过定点(−1,−3)．【解析】(1)由平行线的性质和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；(2)由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合直线恒过定点求法可得定点．本题考查轨迹方程的求法，注意运用定义法，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=3x−x3，得f′(x)=3−3x2=3(1−x)(1+x)，令f′(x)=0，则x=1或x=−1，∴当x>1或x<−1时，f′(x)<0；当−1<x<1时，f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增，∵f(0)=0且f(x)=a有两个正根，∴f(0)<a<f(1)，∴0<a<2，∴a的取值范围为(0,2)．(2)∵关于x的方程f(x)=a有两个正实数根x1，x2且x1<x2．∴由(1)知0<x1<1<x2<√3，设F(x)=f(x)−f(2−x)(x∈(0,1))，则F′(x)=f′(x)−[f(2−x)]′=3−3x2+3−3(2−x)2=−6(x−1)2<0，∴F(x)在(0,1)上单调递减，∴F(x1)=f(x1)−f(2−x1)>F(1)=0，∴f(x2)=f(x1)>f(2−x1)，又f(x)在(1,+∞)上单调递减，∴x2<2−x1，∴x1+x2<2，∴要证x2−x1<2−a，2，即证(x1+x2)x2<4，只需证x2−x1<x1+x2−(x1+x2)x1x22∵x1+x2<2且x2<√3，∴x2−x1<2−a成立．2【解析】(1)先对f(x)求导，判断f(x)的单调性，然后根据f(0)=0且f(x)=a有两个正根，得到f(0)<a<f(1)，再求出a的取值范围；(2)由(1)知0<x1<1<x2<√3，设F(x)=f(x)−f(2−x)(x∈(0,1))，判断F(x)的成立．单调性，得到x1+x2<2，再利用分析法证明x2−x1<2−a2本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．第21页，共21页。

2023-2024学年湖北省宜城一中等六校高三（上）期中数学试卷一、选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤02．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝2i •（1+ai ）在复平面内对应的点为M ，则“a ＞1”是“点M 在第二象限”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要3．若f(x)=2tanx +2sin 2x2−1sin x 2cos x 2，则f(3π4)的值是（ ） A ．2 B ．0 C ．﹣2 D ．﹣14．为了得到函数y ＝sin2x 的图象，只需把y ＝cos2x 的图象（ ） A ．向左平移π4B ．向右平移π4C ．向左平移π2D ．向右平移π25．在等差数列{a n }中，前n 项和S n 有最小值，且a 11a 10＜−1，则使S n ＜0成立的最大的n 为（ ）A ．1B ．19C ．20D ．106．在△ABC 中，BD →=13BC →，E 是线段AD 上的动点（与端点不重合），设CE →=xCA →+yCB →，则2x+3y 3xy的最小值是（ ） A ．3B ．1C ．2D ．47．已知函数f(x)={xe x (x ≤0)lnx x (x ＞0)，若关于x 的方程f 2（x ）﹣（a +1）f （x ）+a ＝0有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞，−1e)B ．(−1e，0)C ．(0，1e)D ．(−1e ，1e)8．已知奇函数f （x ）满足：f （1﹣x ）＝f （1+x ），当﹣1≤x ≤0时，f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则下列大小关系正确的是（ ）A ．f(2024)＜f(ln 2e )＜f(e 0.5)B ．f(e 0.5)＜f(2024)＜f(ln 2e )C ．f(ln 2e)＜f(2024)＜f(e 0.5)D ．f(ln 2e)＜f(e 0.5)＜f(2024)二、选择题。

湖北省四校（曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中）2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=( )A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．下列有关命题的叙述，错误的个数为( )①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．4考点：特称命题；全称命题．专题：常规题型；计算题．分析：直接利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；特称命题的否定判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误．解答：解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．所以只有②③正确．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，充要条件关系的判断，命题的否定等知识，考查基本知识的应用．3．已知△ABC中， a=4，b=4，A=30°，则B等于( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．解答：解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．4．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是( )A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：常规题型；数形结合．分析：由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案解答：解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B点评：本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是( )A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数考查函数f（x）=x2+（a∈R）的单调性，可对A、B选项进行判断；考查函数f（x）=x2+（a∈R）的奇偶性，可对C、D选项的对错进行判断．解答：解析：∵f′（x）=2x﹣，故只有当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上才是增函数，因此A、B不对，当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此C对，D不对．答案：C点评：本题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础题．6．函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A．B．C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的表达式的形式结合图象，求出B，A，求出函数的周期，得到ω，函数经过（2，3）以及φ的范围求出φ的值，得到选项．解答：解：由题意可知A=2，B=1，T==6，ω==，因为函数经过（2，3）所以3=2sin（×2+φ）+1，|φ|＜，φ=﹣，所以函数的表达式为；故选A．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数图象的应用，注意周期的求法以及φ的求法是本题的关键，考查计算能力．7．如图中阴影部分的面积是( )A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．8．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为( )A．B．﹣C．D．﹣考点：三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．解答：解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（sinα﹣cosα），3（cos2α﹣sin2α）═（sinα﹣cosα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．点评：本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．9．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则•等于( )A．B．C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据向量数量积的几何意义•=||||，•=||2，即可得到答案．解答：解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，因此，•=||||=||2=2，同理可得•=||2=，∴•=•﹣•=﹣2=．故选B．点评：本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义，属于中档题．10．已知函数f（x）满足﹣f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=•f，b=（ln2）•f（ln2），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数；由x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增；再由∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．再由﹣=3＞20.1＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．解答：解：∵﹣f（x）=f（﹣x），∴f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数．设g（x）=xf（x），当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∵﹣=3＞20.1＞1＞ln2＞0，∴g（）＞g＞g（ln2），故选：C．点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知集合A={x|﹣1＜x≤5}，B={x|m﹣5＜x≤2m+3}，且A⊆B，则实数m的取值范围是．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据子集的概念即可得：，解不等式即得m的取值范围．解答：解：由已知条件得：，解得1≤m≤4；∴m的取值范围是．故答案为：．点评：考查子集的概念，本题也可通过数轴求解．12．函数f（x）=xcosx在点（π，﹣π）处的切线方程是y=﹣x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=π时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．解答：解：由f（x）=xcosx，得y′=cosx﹣xsinx，∴y′|x=π=﹣1．则函数f（x）=xcosx在点（π，﹣π）处的切线方程是y+π=﹣（x﹣π），即y=﹣x．故答案为：y=﹣x．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．13．已知是R上的减函数，则a的取值范围是．考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围解答：解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：点评：本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．14．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示=（f（x），0），=（cosx，0），那么不等式•＜0的解集是（0，1）∪（，3）．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：由已知得x∈（0，1）时f（x）＜0，cosx＞0；x∈时，cosx≥0，f（x）≥0；x∈（，3）时，f（x）＞0，cosx＜0．由此能求出=f（x）cosx＜0的解集．解答：解：∵（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示，=（f（x），0），=（cosx，0），∴x∈（0，1）时f（x）＜0，cosx＞0；x∈时，cosx≥0，f（x）≥0；x∈（，3）时，f（x）＞0，cosx＜0，∴=f（x）cosx＜0的解集是（0，1）∪（，3）．故答案为：（0，1）∪（，3）．点评：本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦函数性质的合理运用．15．已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：①0＜x0＜；②x0＞；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，可判断③④．解答：解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+2x，∴f′（）=＞0，∵x→0，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+2x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．设命题p：函数f（x）=x2﹣ax﹣1在区间上单调递减；命题q：函数y=ln（x2+ax+1）的定义域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合条件：命题p或q为真命题，p且q为假命题，得到两个命题中，必有一个为假命题，一个为真命题，最后，求解得到结论．解答：解：命题p：函数f（x）=x2﹣ax﹣1在区间上单调递减，∴，∴a≥2，命题q：函数y=ln（x2+ax+1）的定义域是R，∴x2+ax+1＞0，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2；∵命题p或q为真命题，p且q为假命题，∴两个命题中，必有一个为假命题，一个为真命题，当命题p为真，命题q为假时，有，解得：a≥2，即a∈17．已知向量，（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求在上的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2x ﹣sin2x即可（2）先表示出在=（sin2x+），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值．解答：解：（1）∵∥，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是2015届高考的热点问题．18．2014年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=x﹣ax2﹣ln，x∈（1，t]，当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；应用题；导数的综合应用．分析：（1）由题意可知×10﹣a×102﹣ln 1=9.2，从而求出a的值，代入确定f（x）=x﹣﹣ln （x∈（1，t]）；（2）求导，由导数确定函数的单调性，从而求最值．解答：解：（1）∵当x=10时，y=9.2，即×10﹣a×102﹣ln 1=9.2，解得a=．∴f（x）=x﹣﹣ln ．（x∈（1，t]）（2）对f（x）求导得．令f′（x）=0，解得x=50或x=1（舍去）．当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，50）上是增函数；当x∈（50，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（50，+∞）上是减函数．∴当t＞50时，当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，50）上是增函数；当x∈（50，t]时，f′（x）＜0，f（x）在（50，t]上是减函数．∴当x=50时，y取得最大值；当t≤50时，当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，t）上是增函数，∴当x=t时，y取得最大值．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．19．在ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B（1）求角C的大小；（2）若c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）原式可化简为a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理知cosC==，即可求得C=；（2）化简可得sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0或者cosA≠0讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．解答：解（1）已知等式sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B，利用正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，又0＜C＜π，∴C=；（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时b=，S△ABC==；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，代入b=2a，c=2整理可得，即有a=．此时S△ABC==．点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合应用，属于中档题．20．已知函数f（x）定义域是{x|x≠，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2﹣x）=0，f（x+1）=﹣，当＜x＜1时，f（x）=3x．（1）证明：f（x）为奇函数；（2）求f（x）在上的表达式；（3）是否存在正整数k，使得时，log3f（x）＞x2﹣kx﹣2k有解，若存在求出k的值，若不存在说明理由．考点：其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x+1）=﹣，可求得f（x）的周期为2，再由f（x）+f（2﹣x）=0可证f（x）+f（﹣x）=0，f（x）为奇函数；（2）﹣1＜x＜﹣时，＜﹣x＜1，利用f（﹣x）=3﹣x及f（x）=﹣f（﹣x），即可求得f（x）在上的表达式；（3）任取x∈（2k+，2k+1），则x﹣2k∈，利用，可得，从而可知不存在这样的k∈N+．解答：（1）证明：f（x+2）=f（x+1+1）=﹣=f（x），所以f（x）的周期为2…由f（x）+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（﹣x）=0，所以f（x）为奇函数．…（2）解：﹣1＜x＜﹣时，＜﹣x＜1，则f（﹣x）=3﹣x…因为f（x）=﹣f（﹣x），所以当时，f（x）=3﹣x…（3）解：任取x∈（2k+，2k+1），则x﹣2k∈，所以f（x）=f（x﹣2k）=3x﹣2k…，．∴，∴．所以不存在这样的k∈N+…点评：本题考查函数的周期性与奇偶性的判定，考查函数解析式的求法及解不等式的能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）．（Ⅰ）当x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数m的值；（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）在区间（a，b）内存在导数，则存在x0∈（a，b），使得f′（x0）=．试用这个结论证明：若函数g（x）=（x﹣x1）+f（x1），（其中x2＞x1＞﹣1），则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）已知正数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，求证：对任意的实数x1，x2，若x2＞x1＞﹣1时，都有f（λ1x1+λ2x2）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1）=0求出m值，再把m值代入原函数，验证原函数在x=1时取得极大值；（Ⅱ）构造辅助函数h（x）=f（x）﹣g（x），求导后得到．由已知函数f（x）在区间（x1，x2）上可导，则存在x0∈（x1，x2）使得．又，则=，然后由x在（x1，x0），（x0，x2）内h′（x）的符号判断其单调性，从而说明对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）根据已知条件利用作差法得到λ1x1+λ2x2∈（x1，x2），然后结合（Ⅱ）的结论得答案．解答：（Ⅰ）解：由题设，函数的定义域为（﹣1，+∞），且，∵当x=1时，函数f（x）取得极大值，∴f′（1）=0，得，此时，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．∴函数f（x）在x=1处取得极大值时，；（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣（x﹣x1）﹣f（x1），则．∵函数f（x）在区间（x1，x2）上可导，则根据结论可知：存在x0∈（x1，x2），使得．又，∴=，∴当x∈（x1，x0）时，h′（x）＞0，从而h（x）单调递增，h（x）＞h（x1）=0；当x∈（x0，x2）时，h′（x）＜0，从而h（x）单调递减，h（x）＞h（x2）=0；故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）证明：∵λ1+λ2=1，且λ1＞0，λ2＞0，x2＞x1＞﹣1，∴λ1x1+λ2x2﹣x1=x1（λ1﹣1）+λ2x2=λ2（x2﹣x1）＞0，∴λ1x1+λ2x2＞x1，同理λ1x1+λ2x2＜x2，∴λ1x1+λ2x2∈（x1，x2）．由（Ⅱ）知对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x），从而f（λ1x1+λ2x2）＞=λ1f（x1）+λ2f（x2）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了学生的推理论证能力和逻辑思维能力，构造函数并由函数的导函数的符号判断函数在不同区间上的单调性是解答该题的关键，是难度较大的题目．。

2020-2021学年湖北省襄阳市宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中五校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）。

1．（5分）已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，则实数a的取值为（）A．1B．﹣1或2C．2D．﹣1或12．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为i B．z为实数C．|z|＝D．z+＝2i3．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若a＜b＜0，则B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2C．若c＞a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则4．（5分）设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣5．（5分）在ΔABC中，已知A＝30°，a＝，则b＝（）A．+1B．+1或﹣1C．D．或6．（5分）已知，，则的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．（5分）已知函数﹣x（x＞0）的零点分别为a，b，c，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c8．（5分）已知关于x方程e x（2x﹣1）+m（x﹣1）＝0有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）。

9．（5分）若“∃x∈M，|x|≤﹣x”为假命题，“∀x∈M，则集合M可以是（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x≤3}D．{x|x＞0} 10．（5分）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数的图象B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）的单调递增区间为D．直线x＝﹣π是函数f（x）图象的一条对称轴11．（5分）已知函数﹣b的图象过原点，且无限接近直线y＝﹣2但又不与该直线相交，则（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）的单调递减区间是[0，+∞）C．函数f（x）的值域为（﹣∞，0]D．函数f（x）有唯一零点12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+2x2﹣x，若过点P（1，t）可作曲线y＝f（x），则t的取值可以是（）A．0B．C．D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。

2021年湖北省天门一中、宜城一中、南漳一中高考数学模拟演练试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−x2+2x>0}，B={x|x>1}，则A∩∁R B=()A. (0,1)B. (0,1]C. (−∞,0)D. (1,2)(a∈R)是纯虚数，则|√5−ai|=()2.已知i为虚数单位，复数z=a−2i1−iA. √5B. 4C. 3D. 23.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为()A. 6B. 12C. 24D. 364.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为π，则其圆心角用密位制表示为()2的扇形，它的面积为76A. 12−50B. 17−50C. 21−00D. 35−005.某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：则选取的学生中参加机器人社团的学生数为()A. 50B. 75C. 100D. 1256.射线测厚技术原理公式为I=I0e−ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1167. A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1上两个动点，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为线段AB 的中点，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 32B. 34C. 12D. 148. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x >0时，f′(x)⋅lnx +f(x)x>0，则不等式(x 2−1)f(x)<0的解集为( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知双曲线C ：x 2m−y 2m+7=1(m ∈R)的一条渐近线方程为4x −3y =0，则( )A. (√7,0)为C 的一个焦点B. 双曲线C 的离心率为53C. 过点(5,0)作直线与C 交于A ，B 两点，则满足|AB|=15的直线有且只有两条D. 设A ，B ，M 为C 上三点且A ，B 关于原点对称，则MA ，MB 斜率存在时其乘积为16910. 设函数f(x)=sin(2x −π3)的图象为曲线E ，则( )A. 将曲线y =sin2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B. 将曲线y =sin(x −π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C. (−π12,0)是曲线E 的一个对称中心D. 若x 1≠x 2，且f(x 1)=f(x 2)=0，则|x 1−x 2|的最小值为π211. 已知a >b >0，且ab =4，则( )A. 2a−b >1B. log 2a −log 2b >1C. 2a +2b >8D. log 2a ⋅log 2b <112. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有( )A. DB 1⊥CEB. 三棱锥D −CEF 的体积为83C. 若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面D. 平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某商场在舂节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满300元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件．若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是______．14. 已知等差数列{a n }的通项公式为a n =31−tn(t ∈Z)，当且仅当n =10时，数列{a n }的前n 项和S n 最大．则当S k =−10时，k =______．15. 现有一半径为R 的圆形纸片，从该圆形纸片上裁下一个以圆心为中心，以R 为半径的扇形纸片，并将扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的体积的最大值是______ ；此时，扇形的圆心角为______ ．16. 已知函数f(x)={x +4e,x ≤0e x x,x >0，若存在u ≤0，v >0，使得f(u)=f(v)，则uf(v)的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+2=3a n+1−2a n (n ∈N ∗)，(Ⅰ)证明：数列{a n+1−a n }是等比数列； (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式．18. 在①ANBN =√3，②S △AMN =4√3，③AC =AM 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，c =8，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，_____，求AM 的长和BC 外接半径．19. 如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，△PAC 中，PA =PC =AC =2，BC =4，E ，F 分别是PC ，PB 的中点． (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成的角的取值范围．20. 为了了解空气质量指数(AQI)与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间(60天)进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天AQI 值(从气象部门获取)构成60组成对数据(x i ,y i )(i =1,2，…，60)，其中x i 为当天参加户外健身运动的人数，y i 为当天的AQI 值，并制作了如图散点图．(1)环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为γ≈−0.58，试分析y与x的线性相关关系？(2)环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析.用直线x=100与y= 100将散点图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(如图)，统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与AQI值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于1%？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82821.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>0)的焦点在x轴上，且经过点E(1,32)，左顶点为D，右焦点为F．(Ⅰ)求椭圆C的离心率和△DEF的面积；(Ⅱ)已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点.过点B作直线y=t(t>√3)的垂线，垂足为G.判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=sinx−aln(x+1)，a∈R．(1)若a=3，求f(x)在x=0处的切线方程；,π]上单调递减，求a的取值范围；(2)若f(x)在[π4(3)求证：当0<a<1时，f(x)在区间(0,π)内有多少个零点，叙述并证明你的结论．2答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={x|0<x <2}，B ={x|x >1}， ∴∁R B ={x|x ≤1}，A ∩∁R B =(0,1]． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：z =a−2i 1−i=(a−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=(a+2)+(a−2)i2是纯虚数，则{a +2=0a −2≠0， 解得a =−2， 则|√5+2i|=3． 故选：C ．先对已知复数进行化简，然后结合纯虚数概念可求a ，再由复数的模长公式可求． 本题主要考查了复数的四则运算，复数的基本概念，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙、丙、丁4名同学分为3组，有C 42=6种分组方法， ②将甲所在的组分到A 班，剩下2组安排到B 、C 班，有A 22=2种情况， 则有6×2=12种分法， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙、丙、丁4名同学分为3组，②将甲所在的组分到A 班，剩下2组安排到B 、C 班，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．【解析】解：面积为76π，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为θ=2π⋅Sπr2=2π⋅7π6 4π=7π12，由题意可知，其密位大小为6000×7π122π=1750，所以用密位制表示为17−50．故选：B．先利用扇形的面积公式求出圆心角的弧度数，然后利用题中给出的密位制的定义求解即可．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，考查了转化化归能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由条形统计图得抽到50名同学演讲，由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，∴一共抽取的学生数为：n=5010%=500(人)，∴抽到的学生中合唱学生占：200500×100%=40%，∴选取的学生中参加机器人社团的学生数为：500(1−40%−10%−15%−20%)=75(人)．故选：B．由条形统计图得共抽到50名同学演讲，由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，从而求出一共抽取的学生数为500人，再求出抽到的学生中合唱学生占40%，由此能求出选取的学生中参加机器人社团的学生数．本题考查选取的学生中参加机器人社团的学生数的求法，考查条形统计图和扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】C【解析】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题． 由题意可得12=1×e −7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求． 【解答】解：由题意可得，12=1×e −7.6×0.8μ， ∴−ln2=−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114． ∴这种射线的吸收系数为0.114． 故选：C ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查向量的数量积的运算和圆的有关性质，关键是分析△OAB 的形状，属于中档题． 根据题意，分析可得△OAB 为等边三角形且∠AOB =60°，从而知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，由向量的加法的运算法则可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入化简可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【解答】解：根据题意，A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1上两个动点，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则△OAB 为等边三角形且∠AOB =60°，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos60°=12，M 为线段AB 的中点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12×(3−2+12)=34； 故选：B ．8.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)lnx，则g′(x)=f′(x)lnx+f(x)x>0，∴g(x)在(0,+∞)时单调递增，又g(1)=f(1)ln1=0，∴x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0，当x∈(0,1)时，lnx<0，g(x)<0，∴f(x)>0，x∈(1,+∞)时，lnx>0，g(x)>0，∴f(x)>0，∴f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，又f(x)是奇函数，f(0)=0，∴f(x)<0在(−∞,0)上恒成立，①当x>0时，f(x)>0，∴x2−1<0，即0<x<1，②当x<0时，f(x)<0，∴x2−1>0，即x<−1，由①②得不等式的解集是(−∞,−1)∪(0,1)，故选：B．令g(x)=f(x)lnx，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：双曲线C：x2m −y2m+7=1(m∈R)的一条渐近线方程为4x−3y=0，可得m+7m =169，解得m=9，则双曲线的方程为x29−y216=1，可得a=3，b=4，c=5，焦点为(±5,0)，故A错误；双曲线的离心率为e=ca =53，故B正确；过右焦点(5,0)作直线与C交于A，B两点，若A，B均在右支上，可得|AB|≥2b2a =323，而15>323，可得这样的直线有两条；若A，B分别在双曲线的左、右支上，可得|AB|≥2a=6，而15>6，可得这样的直线有两条，则满足|AB|=15的直线共有4条，故C错误；设A(m,n)，B(−m,−n)，M(s,t)，可得m29−n216=1，s29−t216=1，两式相减可得(m−s)(m+s)9=(n+t)(n−t)16，即有MA，MB斜率存在时其乘积为n−tm−s ⋅n+tm+s=169，故D正确．故选：BD．由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线E，故将曲线y=sin2x向右平移π3个单位长度，得到y=sin(2x−2π3)的图象，故A错误；将曲线y=sin(x−π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=sin(2x−π3)的图象，与曲线E重合，故B正确；令x=−π12，求得f(x)=−1，为最小值，故C错误；若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值半个周期，为12⋅2π2=π2，故D正确，故选：BD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，因为a>b>0，所以a−b>0，所以2a−b>20=1，故A正确；对于B，取a=2.5，b=1.6，则log2a−log2b=log22516<log23216=1，故B错误；对于C ，因为a >b >0，且ab =4，所以2a +2b >2√2a+b >2√22√ab =8，故C 正确； 对于D ，log 2a ⋅log 2b <(log 2a+log 2b 2)2=(log 2ab 2)2=1，故D 正确．故选：ACD ．由不等式的性质以及指数函数的性质即可判断选项A ；取特殊值即可判断选项B ；利用基本不等式即可判断选项C ，D ．本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于基础题．12.【答案】BCD【解析】解：对于A ，建立如图所示的空间直角坐标系， DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，因为DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−8=−4≠0，所以DB 1⊥CE 不成立，所以A 错；对于B ，V D−CEF =V F−CDE =13⋅S CDE ⋅D 1D =13×12×4×2×2=83，所以B 对； 对于C ，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)=2⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面，于是E 、C 、P 、F 四点共面，所以C 对；对于D ，由C 可知，FP ，PC ，CE 为截面的边，而截面又与平面ABB 1A 1以及平面ADD 1A 1相交，得两条截面的边，即共有五条边，即D 正确． 故选：BCD ．A 用向量数量积非零判断；B 用等体积法求三棱锥体积；C 用向量法判断；D 作出截面判断．本题以命题真假判断为载体，考查了棱柱的结构特征，考查了三棱锥体积计算问题，属于中档题．13.【答案】49【解析】解：四人领取3种礼品有34种领取法，有且仅有2人领取的礼品种类相同的方法C 42A 33，故所求概率为P =C 42A 3334=6×634=49．故答案为：49．根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：由题意可知，{a 10=31−10t >0a 11=31−11t <0，解得3111<t <3110，又t ∈Z ，则t =3， 所以a n =31−3n ，S n =(59−3n)n2．由S k =(59−3k)k2=−10，得3k 2−59k −20=0，解得k =20或k =−13(舍)，故k =20． 故答案为：20．利用等差数列前n 项和公式列出不等式组，求出t ，得到a n =31−3n ，S n =(59−3n)n2.由S k =(59−3k)k2=−10，得3k 2−59k −20=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】2√327π2R 3 2√63π【解析】解：设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，圆锥的底面半径为r ， 则l =Rθ=2πr ，可得r =Rθ2π，再设圆锥的高为h ， ∴ℎ=√R 2−r 2=√R 2−R 2θ24π2=R2π√4π2−θ2，圆锥的体积V =13πr 2ℎ=13πR 2θ24π2⋅R2π√4π2−θ2=R 324π2√4π2θ4−θ6．令f(θ)=4π2θ4−θ6，由f′(θ)=16π2θ3−6θ5=0，得θ=2√63π，∴当θ∈(0,2√63π)时，f′(θ)>0，当θ∈(2√63π,2π)时，f′(θ)<0，可得当θ=2√63π时，V max=R324π2⋅√25627π6=2√327π2R3．故答案为：2√327π2R3；2√63π．设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，弧长为l，圆锥的底面半径为r，由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式求得r，写出圆锥体积，再由导数求最值．本题考查圆锥体积最值的求法，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】[−4e2,0]【解析】解：∵f(u)=f(v)，∴u+4e=e vv ，得u=evv−4e，∵u≤0，∴e vv≤4e，当x>0时，f(x)=e xx ，f′(x)=xex−e xx2=e x(x−1)x2，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴f(x)在x=1处取得最小值e，∴e≤e vv≤4e，∴uf(v)=(e vv −4e)⋅e vv=(e vv)2−4e⋅e vv，令t=e vv，则e≤t≤4e，∴uf(v)=t2−4et=(t−2e)2−4e2，当t=2e时，uf(v)取得最小值−4e2，当t=，4e时，uf(v)取得最大值0，∴uf(v)的取值范围是[−4e2,0]．故答案为：[−4e2,0]．由f(u)=f(v)，得到u=e vv −4e，再研究函数f(x)的单调性，得到e≤e vv≤4e，将uf(v)表示为v的函数，然后利用换元法转化为二次函数求最值．本题考查分段函数的应用，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性与最值，是中档题．17.【答案】(Ⅰ)证明：∵a n+2=3a n+1−2a n，∴a n+2−a n+1=2(a n+1−a n)，∴a n+2−a n+1a n+1−a n=2(n ∈N ∗)，∵a 1=1，a 2=3，∴数列{a n+1−a n }是以a 2−a 1=2为首项，2为公比的等比数列； (Ⅱ)解：由(Ⅰ)得a n+1−a n =2n (n ∈N ∗)，∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a 2−a 1)+a 1 =2n−1+2n−2+⋯+2+1 =2n −1(n ∈N ∗).【解析】(Ⅰ)依题意，易得a n+2−a n+1a n+1−a n=2(n ∈N ∗)，利用等比数列的定义可知数列{a n+1−a n }是等比数列；(Ⅱ)由(Ⅰ)得a n+1−a n =2n ，利用迭代法a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a 2−a 1)+a 1可得数列{a n }的通项公式．本题考查数列的递推式的应用，考查等比关系的确定及等比数列前n 项和的应用，属于中档题．18.【答案】解：若选①AN BN =√3，则ANBM =2√3，设BM =t ，则AN =2√3t ， 又B =60°，c =8，△ABN 中，AN 2=AB 2+BN 2−2AB ⋅BNcosB ， 即(2√3t)2=82+4t 2−2×8×2tcos60°， 即t 2+2t −8=0， 解可得t =2或t =−4(舍)，△ABM 中，AC 2=AM 2=AB 2+BM 2−2AB ⋅BMcosB =64+4−2×8×6×12=52， ∴AC =2√13，由正弦定理可得，2R =bsinB =ACsin60∘=√13√32=4√393，∴R =2√393； 若选②∵M ，N 是BC 边上的三等分点，且S △AMN =4√3， ∴S ABC =12√3， ∵B =60°，∴S △ABC =12⊃AB ⋅BCsin60°=12×8×BC ×√32=12√3，∴BC=6，BM=2，△ABM中，AM2=AB2+BM2−2AB⋅BMcosB=64+4−2×8×6×12=52，∴AC=2√13，由正弦定理可得，2R=bsinB=ACsin60∘=2√13√32=4√393，∴R=2√393；若选③设BM=t，则BC=3t，△ABM中，AM2=AB2+BM2−2AB⋅BMcosB=64+t2−2×8t×12=64+t2−8t，同理△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB=64+9t2−24t，∵AC=AM，∴64+t2−8t=64+9t2−24t，解可得，t=2，△ABM中，AM2=AB2+BM2−2AB⋅BMcosB=64+4−2×8×6×12=52，∴AM=2√13，由正弦定理可得，2R=bsinB=ACsin60∘=2√13√32=4√393，∴R=2√393；【解析】若选①ANBN=√3由已知结合余弦定理及正弦定理进行推理可求；若选②结合正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式可求；若选③结合余弦定理及正弦定理进行推理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．19.【答案】解：(1)证明：∵BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，平面PAC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC；(2)由E，F分别是PC，PB的中点．可得BC//EF，又EF⊂平面EFA，BC⊄平面EFA，∴BC//平面EFA ．又BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFA =l ，∴BC//l ．以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(0,4，0)，P(1,0，√3)，E(12,0，√32)，F(12,2，√32)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0，√32)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， ∵BC//l ，∴可设Q(2,y ，0)，平面AEF 的一个法向量为 m ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{ m ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x2+√3z2=0m ⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，可得m ⃗⃗⃗ =(1,0,√3)，又PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,y ，−√3)，则cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√4+y2∈(0,12], 所以，直线PQ 与平面AEF 所成的角的取值范围为(0,π6].【解析】(1)利用面面垂直的性质证明；(2)以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．本题考查了空间线面位置关系，空间线面角的求解，属于中档题．20.【答案】解：(1)由y 与x 的相关系数为γ≈−0.58，所以y 与x 的线性相关关系是负相关，且|γ|<0.75，所以线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析， 得到的回归方程，拟合效果也会不理想，(相关指数R 2≈0.3364)； (2)建立2×2列联表如下：代入公式计算得K 2=60×(10×35−10×5)215×45×20×40=10，查表知6.635<10<10.828， 所以犯错误率在0.001与0.1之间， 即该初步认定的犯错率小于1%．【解析】(1)由相关系数γ≈−0.58知y 与x 的线性相关关系以及线性相关性强弱； (2)建立2×2列联表，计算K 2的值，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力和数据分析的核心素养，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)依题意，1a 2+34=1，解得a =2．因为c 2=a 2−b 2=4−3=1，即c =1， 所以D(−2,0)，F(1,0)， 所以离心率e =c a =12，所以△DEF 的面积S =12×3×32=94． (Ⅱ)由已知，直线DE 的方程为y =12x +1， 当A(−2,0)，B(1,32)，G(1,t)时，直线AG 的方程为y =t 3(x +2)，交y 轴于点(0,23t)， 当A(1,32)，B(−2,0)，G(−2,t)时， 直线AG 的方程为y −32=t−32−3(x −1)，交y 轴于点(0,t+33)，若直线AG 经过y 轴上定点，则23t =t+33，即t =3，直线AG 交y 轴于点(0,2)．下面证明存在实数t =3，使得直线AG 经过y 轴上定点(0,2)， 联立{y =kx +1 ,x 24+y 23=1消y 整理，得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8k 4k 2+3，x 1x 2=−84k 2+3，设点G(x 2,3)，所以直线AG 的方程：y −3=y 1−3x 1−x 2(x −x 2)，令x =0，得y =−x 2y 1+3x 2x 1−x 2+3=3x 1−x 2y 1x 1−x 2=3x 1−x 2(kx 1+1)x 1−x 2=3x 1−x 2−kx 1x 2x 1−x 2，因为kx 1x 2=x 1+x 2， 所以y =3x 1−x 2−(x 1+x 2)x 1−x 2=2x 1−2x 2x 1−x 2=2，所以直线AG 过定点(0,2)，综上，存在实数t =3，使得直线AG 经过y 轴上定点(0,2)．【解析】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． (Ⅰ)由椭圆C 经过点E(1,32)，得1a 2+34=1，解得a ，由c 2=a 2−b 2，解得c ，进而可得离心率e ，△DEF 的面积．(Ⅱ)根据题意直线DE 的方程为y =12x +1，分两种情况求出点G 的坐标分别为(1,t)和(−2,t)时，求出对应的直线AG 的方程，进而可得与y 轴交点，若直线AG 经过y 轴上定点，则23t =t+33，解得t =3，下面证明存在实数t =3，使得直线AG 经过y 轴上定点(0,2)，即可得出答案．22.【答案】解：(1)当a =3，f′(x)=cosx −3x+1，f′(0)=−2，又f(0)=0，所以f(x)在x =0处的切线方程为y =−2x ； (2)由题设：∀x ∈[π4,π],f′(x)=cosx −ax+1≤0， 所以∀x ∈[π4,π],a ≥(x +1)cosx ， 令g(x)=(x +1)cosx ，x ∈[π4,π]， 当x ∈[π2,π]时，g(x)≤0；当x ∈[π4,π2]时，g′(x)=cosx −(x +1)sinx ≤cosx −sinx ≤0， g(x)在[π4,π2]递减， 所以g(x)≤g(π4)=√2(4+π)8，故a 的取值范围是[√2(4+π)8,+∞)；(3)当0<a <12时，f(x)在区间(0,π)内有且只有一个零点，证明如下： 设ℎ(x)=sinx −12x(x ∈(0,π2))，则ℎ′(x)=cosx −12， ℎ′(x)>0⇔0<x <π3,ℎ′(x)<0⇔π3<x <π2．所以ℎ(x)在(0,π3)上增，在(π3,π2)减，又ℎ(0)=0,ℎ(π2)>0，故ℎ(x)>0． 即当x ∈(0,π2)时，sinx >12x ． 容易证明x ≥ln(x +1)，故当0<x<π2时，sinx>12x>12ln(x+1)>aln(x+1)即当0<x<π2时，f(x)>0，故f(x)在(0,π2)上没有零点．当π2≤x<π时，f′(x)=cosx−ax+1<0，f(x)在(π2,π)上单调递减，又f(π2)=1−aln(π2+1)>1−12ln(π2+1)>0,f(π)=−aln(π+1)<0故f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点，因此f(x)在(0,π)上有且只有一个零点．【解析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求切线方程；(2)条件等价于∀x∈[π4,π],f′(x)=cosx−ax+1≤0，利用参变量分类求a的取值范围；(3)分0<x<π2，π2≤x<π两个区间讨论f(x)的零点个数．本题考查导数的几何意义，不等式的恒成立问题，函数的零点问题，属于综合题．。

高三理科试题答案1-5CBDAC6-10ACDAD 11-12CD .[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-41143.163,2.1521.1459.13，17.(1)对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；(2)最大值为2,最小值为1-. 【解析】 【分析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域,进一步求出函数的最大和最小值. 【详解】(1)函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令262x k πππ-=+(k Z ∈),解得23k x ππ=+(k Z ∈),所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). (2)由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则：()12f x -≤≤故当0x =时,函数的最小值为1-.当3x π=时,函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质,属于基础题. 18.(1)4；(2)【解析】 【分析】(1)运用正弦定理,角化为边,即可得到所求值； (2)运用余弦定理求得b ,可得sin sin B C ==,再由面积公式即可得到所求值. 【详解】 (1)sin C A =,∴由正弦定理可得,4c ===；(2)222cos 2b a c C ab +-=代入4c =,a =解出4b c ==,∴sin sin B C ==11sin 422ABCSac B ==⨯=【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题. 19.(1)证明见解析；(2)1122n n-+. 【解析】 【分析】(1)根据递推公式,得到11211442n n n n a a a a ++==+,推出111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即可证明数列是等比数列； (2)先由(1)求出11122n n a =+,即1122n n b =+,再由分组求和的方法,即可求出数列的和.【详解】 (1)证明：142n n n a a a +=+,12111442n n n na a a a ++∴==+,111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭, 又11a =,111122a ∴-=, 所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项,以12为公比的等比数列；(2)由(1)知1111112222n nn a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭, 11122n n a =+,11122n n n b a ∴==+ 所以231111111122222222n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111112211222222212n n n n nn ⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-=-+ ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列,考查求数列的和,熟记等比数列的概念,等比数列的通项公式与求和公式,以及分组求和的方法即可,属于常考题型. 20.(1)[0,2]；(2){1}. 【解析】 【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集；(2)根据x ∈[1,2]得|2x －1|=2x －1,再去绝对值分离变量,最后根据函数最值得实数a 的取值范围. 【详解】(1)当a ＝1时,由f (x )≤3,可得|2x －1|＋|x －2|≤3,∴①或②或③解①得0≤x＜,解②得≤x＜2,解③得x＝2.综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为[0,2].(2)∵当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x,故2x－4≤2a－x≤4－2x,即3x－4≤2a≤4－x.再根据3x－4在x∈[1,2]上的最大值为6－4＝2,4－x的最小值为4－2＝2, ∴2a＝2,∴a＝1,即a的取值范围为{1}.21.(1)答案见解析；(2)分布列答案见解析,期望为：1 5 .【解析】【分析】(1)根据题目所给数据画出100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图.(2)先求得ηξ-的所有可能取值,然后计算出分布列和数学期望.【详解】(1)频率分布直方图如图；(2)设M ηξ=-,由题M 可能的值有2-,1-,0,1,2,()2302100292330C P M C =-==；()11303021002111C C P M C =-==； ()211304030221001001090330C C C P M C C ==+=；()11403021008133C C P M C ===； ()2402100262165C P M C ===.所以分布列为：()M ηξ-2- 1-0 1 2P29330 211109330 833 26165所以()()()()29210982612101233011330331655E E M ηξ-==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图,考查离散型随机变量分布列和数学期望. 22.(I )见解析(II )13k ≥(III )见解析 【解析】 【分析】(I )求导后,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,可知()f x 单调递增；当0a >时,求出()0f x '=的解,从而可判断出()f x '的符号,从而得到()f x 的单调区间；(II )当0x =时,可知k ∈R ；当0x >时,()g x k x ≥,利用导数求解出()0,x π∈使,()g x x的最大值,从而()max 13g x k x ⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦；当[),x π∈+∞时,()()sin 1112cos 3g x x x x x x π=≤≤<+,可得13k ≥,综合上述结果,可求得13k ≥；(III )由(II )可知只需证得1x e x ->在[)0,+∞上恒成立即可；构造函数()1xF x e x =--,利用导数可证得结果,从而原不等式成立. 【详解】(I )由题意知：()xf x e a '=-(1)当0a ≤时,()0f x '≥恒成立 ()f x ∴在定义域R 上单调递增 (2)当0a >时,令()0f x '=,解得：ln x a = 则x ,()f x ',()f x 变化情况如下表：()f x ∴的单调减区间为：(),ln a -∞,单调增区间为：()ln ,a +∞(II )(1)当0x =时,原不等式化为：00≤恒成立,可知k ∈R(2)当0x >时,则()g x k x≥,令()()()sin 2cos g x x h x x x x ==+ 则()()()()()()2222cos 2cos sin 2cos sin 2cos 2sin sin cos 2cos 2cos x x x x x x x x x x x x xh x x x x x ⋅+-++---+'==++令()2cos 2sin sin cos x x x x x x x ϕ=--+,则()()'2sin sin x x x x ϕ=- 当()0,x π∈时,0sin x x <<,则()0x ϕ'<()x ϕ∴在()0,π上单调递减 ()()00x ϕϕ∴<=即()0h x '< ()h x ∴在()0,π上单调递减()()00sin cos 1lim limlim 2cos 2cos sin 3x x x x x h x x x x x x →→→===++-()13h x ∴≤ 13k ∴≥当[),x π∈+∞时,()()()sin 1112cos 3g x x h x x x x x π==≤≤<+ 13k ∴≥ 综上所述：13k ≥(III )(1)当1a =时,()xf x e x =-,则由(II )可得0x ≥时,sin 12cos 3x x x ≤+ 3sin 2cos xx x∴≤+则只需证明：()1xf x e x '=->成立 令()1xF x e x =--当0x >时,()10xF x e '=->()F x ∴在[)0,+∞上单调递增 ()()00F x F ∴≥=1x e x ∴-≥ 3sin 12cos x xx e x∴≤≤-+()()2cos 3sin x f x x '∴+≥【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题.解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式,通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.证明不等式时,通常将所证不等式进行转化,通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题.题.。