第16章二次根式提高练习

一、选择题1．若1x 21=-，则2x 2x -=( ) A ．2 B ．1 C ．22+ D ．21- 2．下列计算正确的是（ ） A ．532-=B ．25177+=C ．422=D ．1422233x x x += 3．二次根式32a ，12，35，44a +，22x y +中，是最简二次根式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知，在ABC 中，D 是BC 边上一点，30,45ABC ADC ∠=∠=．若D 是BC 边的中点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110° 5．设a b 0>>，2240a b ab +-=，则a b b a +-的值是（ ） A ．2 B ．-3 C ．2- D ．3-61x -x 的取值范围是（ ）A ．1≥xB ．1x >C ．1x ≤D ．1x = 7．下列计算中，正确的是（）A ．233255=B ．(37)10101010==C ．(323)(33)3+-=-D ．2)(2)2a b a b a b =+ 8．下列各式正确的是（ ）．A ．2-10=10B 3+7=10C ．25=10D ()22-10=10 9．已知y 443x x -+-，则x y的值为（ ）．A ．43B ．43-C ．34D ．34- 10．下列各式不是最简二次根式的是（ ）A B C D11．下列二次根式能与 ）A B C D 12．下列计算正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．1=C ．()325x x =D ．642b b b ÷=13．下列四个式子中，与(a -的值相等的是（ ） AB ．CD ．14．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 15．下列各式成立的是（ ）A ．23=B 2=-C 7=D x二、填空题16．化简题中，有四个同学的解法如下：======== 他们的解法，正确的是___________．(填序号)17．若A =A =_____________．18．如果最简二次根式ab =____________．19．数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________20．2=__________．21．，那么这个长方形的周长是_________．22． 1.844≈≈__________．23．若112a -=1114a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+的值为_________．24．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示521amn bn +=，则3a b +=_________．25．20052006=________．26．化简－15827102÷31225a＝___________． 当1＜x ＜4时，|x －＝____________．三、解答题27．化简（1）+（228．先化简，再求值：2232()111x x x x x x +÷---，其中1x =．29．先化简，再求值：211(1)a a a -++，其中1a =．30．已知1,1x y ==，求下列代数式的值：（1）22xy +； （2）y x x y +．。

第十六章 二次根式 达标测试卷姓名： 成绩： 一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式是二次根式的是( )A ．－7B ．mC ．a 2＋1D ．332．若式子x ＋1＋x －2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ＞－1B ．x ≥－1C ．x ≥－1且x ≠0D ．x ≤－13．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A ． 2B ．12C ．12 D ．94．若两个最简二次根式5b 与3＋2b 能够合并，则b 的值为( )A ．－1B ．13 C ．0 D ．15．下列计算正确的是( )A ．32＝6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝－85 C ．(－2a 2)2＝2a 4 D ．3＋23＝3 36．下列二次根式中与3是同类二次根式的是（ ）A ．12B ．32C ．23 D ．187．已知x ＜5，化简x 2－10x ＋25的结果是( )A ．x －5B ．x ＋5C ．－x －5D ．5－x8．已知一等腰三角形的周长为125，其中一边长为25，则这个等腰三角形的腰长为( )A ．2 5B ．5 5C ．25或5 5D ．无法确定9．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，则a 2b －ab 2的值为( )A ．1B ．17C ．4 2D ．－4 2 10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．6二、填空题(每题4分，共40分)11．比较大小：35________27(填“＞”“＜”或“＝”)．12．化简：12 = ．13．计算：24－323＝________．14．若y＝2x－3＋3－2x＋1，则x－y＝________．15．计算(5－2)2 024(5＋2)2 024的结果是__________.16．小明家新房装修,妈妈选中了一套北欧风格的装饰画,套画是由三块大小相同的长方形组成的,每块装饰画的长为20cm,宽为10cm,则每块装饰画的面积为cm2.17．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简2(5)a-＋|a－2|的结果为____________．18．若一个长方体的长为26，宽为3，高为2，则它的体积为_______．19．若75n是整数，则正整数n的最小值是．20．观察:①=1+-=1;②=1+-=1;③=1+-=1.根据上面三个等式提供的信息,请猜想的结果为.三、解答题(80分)21、（9分）化简：（1）45（27（3）4 1 522．（8分）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）x5-；（2）1 23x -23、（24分）计算：(1) (6＋8)×3 (2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1－12＋(1－2)0－|3－2|；（3） (1＋2) (1－2) (4) (22－1)2.24．（7分）已知x ，y 互为相反数，求x 和y 的值.25．（8分）已知1x x + x －x1 的值.26．（12分）拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是8 m，下底是32 m，高是 3 m.(1)求横断面的面积；(2)若用300 m3的土，可修多长的拦河坝？27．（12分）【阅读理解题】阅读材料：∵对于任意正实数a，b，(a－b)2≥0，∴a－2ab＋b≥0.∴a＋b≥2ab.∴当a＝b时，a＋b有最小值2ab.根据上述内容，回答下列问题若m＞0，只有当m＝________时，m＋1m有最小值________；若m＞0，只有当m＝______时，2m＋8m有最小值________；。

第16章《二次根式》单元测试（培优卷）一、选择题（每题3分，共30分）1．二次根式13)3(2++m m 的值是（ ）A ．23B ．32C ．22D ．0 2．若3，m ，5为三角形三边，化简22)8()2(---m m 得( )A. -10B. －2m +6C. -2m -6D. 2m -10 3．若a b +与b a -互为倒数，则( )A.a=b-1B. a=b+1C. a+b=1D. a +b =-1 4．下列计算正确的是( )A ．53－23＝2B ．22×32＝62C.3＋23＝3 D ．33÷3＝35．当3-=x 时，二次根式7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ）A ．2B ．22 C ．55 D ．56．下列各式中，一定能成立的是（ ）。

A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．122+-x x =x-1 D ．3392+⋅-=-x x x7．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -8．计算20192018)23()23(-+的结果是( ) A. 32+ B. 23- C. 32- D. 3 9．已知a2a＋2a2＋18a ＝10，则a 等于( ) A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±410．已知23+=+y x ，6=xy ，则22y x +的值为( )A ．5B ．3C ．2D ．1二、填空题（每题3分，共18分）11．当x 时，式子31-x 有意义.12．如果x ，y 为实数，且满足033=++-y x ，那么2019⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x 的值是________．13．若最简二次根式243a a b -+与b a -2可以合并，则=+b a 2__________． 14．当x =2+3时，式子x 2﹣4x +2017=________．15．若一个三角形的一边长为a ，这条边上的高为63，其面积与一个边长为32的正方形的面积相等，则a ＝________．16．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简=-+-2)2(1a a ________.三、解答题（本大题共72分）17．（12分）计算：;241221348)1(+⨯-÷ );13)(13(18627)2(-++⨯;3)1246)(3(x xx x ÷- .)2(34)32)(4(02----+18．（6分）解方程：)1(2)1(3+=-x x19.(8分)先化简，再求值：aa a a a a a 11211222-+++---，其中.31--=a20．（8分）已知长方形的长3221=a ，宽1831=b . (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．21.（10分）已知x ，y 是实数，且满足4122+-+-<x x y ，化简：.)22(4422+--+-x y y22．（8分）站在水平高度为h 米的地方可看见的水平距离为d 米，它们之间的近似关系为58h d =。

第16 章单元测试卷班级：姓名：得分：一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．2.下列等式正确的是（）A．（）2=3 B． =﹣3 C． =3 D．（﹣）2=﹣33．下列运算正确的是（）A．a2+a=2a3 B． =a C．（a+1）2=a2+1 D．（a3）2=a6 4. 下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2C． D．5.下列二次根式中能与2合并的是（）A．B．C． D．6．已知x＋y＝3＋22，x－y＝3－22，则x2－y2的值为( ) A．4 2 B．6 C．1 D．3－2 2 7．如果最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，那么使4a－2x有意义的x的取值范围是( )A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10 8．甲、乙两人计算a＋1－2a＋a2的值，当a＝5时得到不同的答案，甲的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（1－a）2＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（a－1）2＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是( )A．甲、乙都对 B．甲、乙都错C．甲对，乙错 D．甲错，乙对9．若a3＋3a2＝－a a＋3，则a的取值范围是( )A．－3≤a≤0 B．a≤0C．a＜0 D．a≥－310．已知一个等腰三角形的两条边长a，b满足|a－23|＋b－52＝0，则这个三角形的周长为( )A．43＋5 2 B．23＋5 2C．23＋10 2 D．43＋52或23＋10 2二．填空题（共3小题，每题5分，共20分）11．等式=成立的x的取值范围为12.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+= ．13．与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．14. 计算6﹣10的结果是三．解答题（共1小题）15．观察下列各式：=1+，=1+，=1+，……请利用你所发现的规律，计算+++…+16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，求△ABC的面积。

二次根式(第2课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共12分)1.下列各式中,正确的是( )A.=-3C.=±3D.=±3【解析】选 B.A项错误,正确结果为==3;B项正确;C项错误,正确结果为==3;D项错误,正确结果为=3.2.(2017·东光县模拟)在数轴上实数a,b的位置如图所示,化简+的结果是( )A.-2a-bB.-2a+bC.-2bD.-2a【解析】选D.由数轴可知a+b<0,a-b<0,所以原式=-(a+b)-(a-b)=-2a.3.(2017·某某模拟)已知2<a<4时,化简+的结果是( )【解析】选D.因为a>2,所以=a-2;因为a<4,所以==4-a.+=a-2+(4-a)=a-2+4-a=2.4.已知实数x,y满足|x-4|+=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )导学号42684191【解析】选B.根据非负数性质得x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.当4为等腰三角形的腰时,∵4+4=8,∴构不成三角形,当8为等腰三角形的腰时,等腰三角形的周长是8+8+4=20.二、填空题(每小题4分,共12分)5.计算:-|2-π|=________.【解析】―|2―π―π|―|2―π|=π――(π―2)=―1.14.答案:―【方法指导】与的关系:==.6.(2017·某某模拟)若m,n为实数,且|2m+n-1|+=0,则的值为________.导学号42684192 【解析】因为绝对值和二次根式都是非负数,所以解得所以m+n=-1,故=(-1)2018=1.答案:1【变式训练】已知+=0,则x+y=________.【解析】由+=0得到x-y+3=0且2-y=0,解得x=-1,y=2,所以x+y=1.答案:17.在数轴上表示实数a的点如图所示,化简+的结果为________.【解析】由图可知2<a<5,所以原式=-(a-5)+a-2=3.答案:3【变式训练】(2017·某某月考)若实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,试化简:-++|a-c|.【解析】根据题意得:a<b<0<c,且|c|<|b|<|a|,∴a+b<0,b+c<0,a-c<0,则原式=|a|-|a+b|+|b+c|+|a-c|=-a+a+b-b-c-a+c=-a.三、解答题(共26分)8.(8分)用代数式表示:(1)面积为a的正方形的边长x(用含a的代数式表示).(2)一个圆柱体的高为2,体积为V,求它的底面半径r(用含V的代数式表示),并求当V=2π时,底面半径r 的大小.【解析】(1)由正方形的面积公式得x2=a,所以x=.(2)因为圆柱体的体积公式为V=πr2h,所以V=2πr2,所以r=.当V=2π时,底面半径r===1.9.(8分)有一习题:先化简,后求值2a-,其中a=.小明的解法如下:2a-=2a-=2a-(a-2)=a+2=+2.小明的解法对吗?如果不对,请改正.导学号42684193 【解析】小明的解法不对.改正如下:由题意得,a=<2,∴=-(a-2)=-a+2.∴2a-=2a-=2a-(-a+2)=3a-2=3-2.【培优训练】10.(10分)(1)请计算:①==______;②==________;③==________;④==________.(2)观察(1)中的计算结果与被开方数的底数之间的关系:我们可以得出=________(a<0).(3)请直接填空:①=________.②=________.(4)=|a|=(5)化简:+-(2<x<3).【解析】(1)①4 2 ②③④2(2)-a (3)①4-π②3-(4)a≥0 a<0(5)因为2<x<3,所以x>0,x-2>0,x-3<0,原式=│x│+│x-2│-│x-3│=x+x-2-3+x=3x-5.。

一、选择题1．下列说法：①带根号的数是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a ＝2b ＝2a 、b 是互为倒数．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算中，正确的是( )A +=B =C ．2＝12D =3． ）A B C D 4．下列计算正确的是（ ）A 2=-B ．257a a a +=C ．()5210a a =D ．=5．2a =-，那么下列叙述正确的是( )A ．2aB ．2a <C ．2a >D ．2a6．下列二次根式的运算：==5=，2=-；其中运算正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．当2a < ）A ．B ．-C ．D ．-8．下列运算中错误的是（ ）A =B =C ．=D -=9．合并的是（ ）A B C D 10．下列各式计算正确的是（ ）A +=B ．26=（C 4=D = 11．下列计算正确的是（ ）A =B =C ．216=D 1= 12．下列命题是假命题的是（ ）A ．全等三角形的周长相等B ．C ．若实数a 0<，b 0<，则ab 0>D ．如果x y 0+=0= 13．下列计算正确的是（ ）A =B ．8-=C =D 4= 14．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 15．下列各式成立的是（ ）A ．23=B 2=-C 7=D x二、填空题16．对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：-2=※________．17．已知b>0=_____．18．4y =，则y x =________．19．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．20．计算2+________．21．若a 的倒数是的相反数是0，c 是－1的立方根，则c a b a b b c c a++---＝____________．22．已知1x =，求229x x ++=______．23．可以合并，则实数a 的值是 _________．24． 1.844≈≈__________．25．若112a -=1114a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+的值为_________．26．函数12y x =-自变量的取值范围是________；函数y =________．三、解答题27．011(3)()3π--+．28．|+．29．计算：（1）； （2）()()()2322x x x +-+-．30．()03.142π-。

第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．1【答案】D【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可．2021=0≥0，2021b+≥0，=0，2021b+=0，∴a=2020，b=-20211=，故选D．【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键．2．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8【答案】B【分析】先计算出x y+的值，再利用完全平方公式对222x xy y++进行分解，整体代入求值即可得出结论．【详解】解：∵x=，y=，∴x y+=．∴2222()22021x xy y x y=++==+．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式计算是解决问题的关键．3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错【答案】B¹¹，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；乙分子因式分解，再与分母约分，故乙的做法是正确的．故选B．¹.4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷【答案】B===，=18=，23=，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣12，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A BCD．2021【答案】A【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．【详解】解：∵一列实数：﹣12，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，∵2021÷3＝673…2，∴这一列数中的第2021A．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．6．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】根据运算规则以及无理数的定义即可求解．【详解】解：①当输出值y x =5或x =25或625等，故①说法错误；②输入值x 为648y =③对于任意的正无理数y ，都存在正整数x ，使得输入x 后能够输出y ，如输入π2，故③说法错误；④当x =1时，始终输不出y 值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①②③，共3个．故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义、算术平方根以及二次根式的性质与化简，注意：初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b （a ，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A 型BC 型D 【答案】B【分析】将代数式化简即可判断．【详解】2222=-62=-8=-B【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m ，正确的结果是（）AB．C．D【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：由题意可得：30m -³，∴0m £∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）=x 、y 、z 为有理数．则xyz ＝（ ）A ．34B ．56C ．712D ．1318【答案】A【分析】将已知式子两侧平方后，根据x 、y 、z 的对称性，列出对应等式，进而求出x 、y 、z 的值即可求解．=∴3x y z +=+++x+y+z=3==，,x+y+z=31=23yz=43xz=2xy ìïïïï\íïïïïî()29xyz ,0,0,016x y z \=³³³，∴xyz ＝34，故选择：A ．【点睛】本题考查二次根式的加减法，x 、y 、z 对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．10．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C 圆，正方形纸片的周长为C 正，则C 圆＜C 正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（ ）A ．①②B．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【分析】利用算术平方根的概念判断①，由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法，从而判断②，采用方程思想求出长方形的长与宽，从而判断③．【详解】解：∵正方形纸片的面积是1，则AB 2=1，∴正方形的长AB∵一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，∴圆的半径r =，∴圆的周长C 圆为，正方形的周长C 正为C C 圆正1，∴C 圆＜C 正，故②正确；设长方形长为3a ，宽为2a ，由题意可得：3a •2a =12，解得：a （负值已舍去），∴长方形的长为16，又∵＞4，∴若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向不可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的应用，实数的大小比较，掌握算术平方根的概念和二次根式的除法运算法=（a ≥0，b ＞0）是解题关键．二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x =，则代数式24x ++的值等于 ___．【答案】5【分析】根据完全平方公式把原式变形，吧ax 的值代入计算即可．【详解】解：24x ++=231x +++=(21x +当2x =时，原式=(221+=4+1=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______【答案】=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．2【分析】由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．【详解】解：201420152)2)，201420142)2)2)=+，20142)]2)=-，2014(1)2)=-，2=2-．【点睛】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．【答案】92a =，3b =，代入计算即可．=3=∴2a =，3b = ∴23=9a b =故答案为：9【点睛】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．【答案】1-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：2※=2--=2--2--=43--=1-故答案为：1-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．【答案】18【分析】由题意可求得正方形的边长，从而可求得原长方形的长和宽，故可求得原长方形的面积．【详解】∵正方形纸片的面积为2192cm=，∴原长方形的长为=（cm ），宽为=cm ），∴原长方形纸片的面积为18=（2cm ）．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的运算，关键是由正方形的面积求得正方形的边长．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．．【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy 的值．【详解】∵+，=0）=0，∵1＜x ＜y ＜100【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，22(+2(22+2´22+2222a b ab +³225(32=+=+2(=-22(+2(´22181230==++=2´==22+2´´2221+=212=∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)【答案】（1）1；（2）2-；（3）4（4）3．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，先算乘法，再化简二次根式，去绝对值，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（3）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（4）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，先算乘除，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：（13212=-312122=--+=1；（2）62-2=--=2 --；（3=4=4=；（41)+131=+-21231=+-+-3=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有1﹣1，22+2222a b ab+³次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：3的大小，并说明理由．2）2＋；（3，理由见解析【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可；（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较．【详解】（1（222＋；（3，，．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练利用有理化因式是解题关键．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．【答案】x＝7【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．m，与原方程相乘得：）×）＝m ，x ﹣3﹣（x ﹣6）＝m ，解之得m ＝3，＝3，与原方程相加得：）+）＝3＋1，4，解之得，x ＝7，经检验，x ＝7是原方程的根．22．（2021·江西）===2=．试求：（1（2n 为正整数）的值．（3）计算：)1L ．【答案】（1（2（3）2020【分析】（1）用平方差公式计算即可；（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式，最后利用平方差公式即可得出答案．【详解】解：解：（1==；（2===（3）原式)11=++L)11=-20211=-2020=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a +b2(1=a ，b ，m ，n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ，这样小明就找到一种把类似a +（1）若a +，当a ，b ，m ，n 均为整数时，用含m ，n 的式子分别表示a ，b，得：a ＝ ，b ＝ ．（2）若a，当a ，m ，n 均为正整数时，求a 的值．（3．【答案】（1）m 2+7n 2，2mn ；（2）a ＝28或12；（3【分析】（1）仿照例题计算即可得；（2）仿照例题计算即可得；（3）先计算＝7﹣＝， 再计算即可．【详解】解：（1）∵a +，∴a +＝m 2+2n 2（a，b ，m ，n 均为整数），∴a ＝m 2+7n 2，b ＝2mn ，故答案为：m 2+7n 2，2mn ；（2）∵a ，∴a m 2+2n 2（a ，b ，m ，n 均为整数），∴a ＝m 2+3n2，2mn ＝6，∴mn ＝3，①m ＝1，n ＝3，a ＝28，②m ＝3，n＝1，a ＝12，综上所述：a ＝28或12；（3）∵＝4﹣＝7﹣ ＝+3＝，2，∴．【点睛】此题考查二次根式的计算，完全平方公式的计算法则，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1．细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：222(22m m n =+=++2(m =+2(m =+2==2(222(m =+2(m =+2(222==)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．【答案】（1）含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA 10；（2）【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA 22、OA 32，OA 42及OA 2、OA 3、OA 4得到OA n 2及OA n 对应的S 值，再计算得到OA 10；（2）由（1）知S 1、S 2、S 3、、S 10，将结果代入代数式计算即可.【解析】（1）∵OA 1，OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，∴OA 22==1+1=2，∴OA 2，，∵OA 32=)2＋1＝3，∴， ∵OA 42==２＋1＝4，∴OA 4=2，，，∴，， ∴OA 102==10，∴OA 10，∴含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA 10；（2）由（1）知：，， ，，， ∴==.【点睛】此题考查图形类规律的探究，勾股定理计算线段长度，能依据图形得到线段的计算方法，并总结规律运用解题是关键.25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：222123210S S S S +++¼+21n +=554n S =L 22112OA A A +111211122S OA A A =××==22223OA A A +3OA =222311122S OA A A =××==22334OA A A +334311122OA A A S =××==L 2221121n n n n OA A A OA n --+===＋111122n n n n S OA A A +=××==21+21n +=n S =1S =2S =3S =L 10S =222123210S S S S +++¼+2222+++¼+554，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．【答案】（1）；（2）（5，4）；（3）（6，2）【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将30个数按题干方式排列后，依据题意表示即可：（1）（2）每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为5个数，找出规律，位置即可确定；（3）由于最大得有理数为，依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定．【详解】解：（1，故答案为：；（2）由题意得，每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为∴（4，1）位置上的数是，每行有5个数，∴5，4），故答案为：（5，4）；（3，它所在的位置记为第6行第2列，∴这组数中最大的有理数所在的位置应记为：（6，2），故答案为：（6，2）．【点睛】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定，理解题意，确定被开方数存在的规律是解题的关键．3,M(1,5)(2,3)(4,1)()2,5=9=()2,5()2,572324¸=9=。

一、选择题1．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．236x x x ⋅=B xC ．2211x x x x x ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭D ．2211234x x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭ D解析：D 【分析】依据同底数幂的乘法法则、二次根式的性质、完全平方公式以及分式的运算法则，即可得出结论． 【详解】解：A ．x 2•x 3=x 5，故本选项不合题意；x =，故本选项不合题意； C.2311x x x x ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，故本选项不合题意； D.2211234x x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则、二次根式的性质、完全平方公式以及分式的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则． 2．下列计算中，正确的是( )A +=B =C ．2＝12D = C解析：C 【分析】根据二次根式加法法则、乘法法则、除法法则依次计算得到结果，即可作出判断. 【详解】A 、原式不能合并，不符合题意；B 、原式==C 、原式12=，符合题意；D、原式.故选：C. 【点评】此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.3．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a +=B ．22(3)6a a -=C ．-=D ．()222x y x y -=- C解析：C 【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加减及完全平方公式逐个进行判断即可． 【详解】解：A ．2a+3a=5a ，因此选项A 不符合题意； B ．（-3a ）2=9a 2，因此选项B 不符合题意；C ．(3=-=C 符合题意；D ．（x-y ）2=x 2-2xy+y 2，因此选项D 不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加减及完全平方公式，依据法则或运算性质逐个进行计算才能得出正确答案． 4．下列计算正确的是（ ）A 2=B 1=C 2=D =解析：D 【分析】根据二次根式加法以及二次根式的性质逐项排查即可． 【详解】解：A A 选项错误；B =+B 选项错误；C 、2＝22＝1，故C 选项错误；D =D 选项正确． 故答案为D ． 【点睛】本题主要考查了二次根式加法以及二次根式的性质，掌握二次根式的加法运算法则是解答本题的关键．5．下列计算中正确的是（ ）．A =B 5=-C 4=D =解析：D 【分析】根据二次根式的性质，对各个选项逐一分析，即可得到答案． 【详解】不可直接相加运算，故选项A 错误；5=，故选项B 错误；2==，故选项C 错误；==D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式的整式；解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的性质，从而完成求解．6．下列运算正确的是 （ ）A BC ．1)2=3－1D B解析：B 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】A A 错误；B ，故选项B 正确；C 、21)313=-=-，故选项C 错误；D 53=≠+，故选项D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的法则．7．已知三个数2，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）．A ．B ．或2C ．D ．2或D解析：D 【分析】运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a ：b =c ：d 中的任何一项，进行计算即可，设添加的这个数是x当24:x =时，2x =x =当2:4x =时，2x =x =当2:4x =时，4x =2x =，当2:4x =8=， 解得x = 故选D ． 【点睛】本题考查比例的基本性质，注意写比例式的时候，一定要按照顺序写，顺序不同，结果不同.8．下列计算正确的是（ ）A 9=-B ．1=C ．-=-D ．=解析：C 【分析】分别根据二次根式的性质进行化简与计算即可得出答案 【详解】解：9=，故本选项不符合题意；B.=C.-=-D.2=--≠， ，故本选项不符合题意．故选C ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法、二次根式的性质等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．9．=x 可取的整数值有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x 的范围，得到答案． 【详解】解：由题意得，40x -≥，50x -≥， 解得，45x ≤≤，则x 可取的整数是4、5，共2个，【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．10．下列二次根式中，不能．．合并的是（）A B C D解析：B【分析】并的二次根式．【详解】解：AB被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项正确；C被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误；D故选B．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，同类二次根式的定义，关键在于熟练掌握同类二次根式的定义，正确的对每一选项中的二次根式进行化简．二、填空题11．化简题中，有四个同学的解法如下：========他们的解法，正确的是___________．(填序号)①②④【分析】对于分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断①对于把分子化为再分解因式约分后可判断②对于当时分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断③对于把分子化为再分解因式约分后可判断④解析：①②④-，计算约分后可判断①，对于，把分子化为22-，再分解因式，约分后可判断②，对于≠，计算约分后可判断③，把分子化为22-，再分解因式，约分后可判断④，从而可得答案．【详解】()()22333====-故①符合题意；22-===，故②符合题意；≠时，()a ba b-===-故③不符合题意；22-===故④符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是分母有理化，掌握平方差公式的应用，分母有理化的方法是解题的关键．12=______．【分析】根据二次根式的性质进行化简【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简解题的关键是掌握二次根式的性质和分母有理化【分析】根据二次根式的性质进行化简．=．．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是掌握二次根式的性质和分母有理化．13．________________．【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查二次根式的乘法熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】=【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键．14．与-a可以等于___________．（写出一个即可）3（答案不唯一）【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式∴可设则∴解得故答案为：3（答案不唯一）【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二解析：3（答案不唯一）【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．【详解】解：∵与-=∴=a+=，∴2612a=，解得3故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．15．【分析】首先把和化成与原根式相等的根指数相等的根式再进行比较即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了实数的大小比较和根式的性质的应用关键是把根式化成与原根式相等的根指数相等的根式解析：<【分析】【详解】63327==，==，6298166∴<，<故答案为：<．【点睛】本题考查了实数的大小比较和根式的性质的应用，关键是把根式化成与原根式相等的根指数相等的根式．16．＝_____【分析】先将化为再合并同类二次根式即可【详解】解：=故答案为【点睛】此题考查了二次根式的加减法把化为是解答此题的关键解析：【分析】化为【详解】==．故答案为【点睛】化为17=_______．【分析】先化简二次根式再进行计算即可【详解】解：=故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式加减法关键是灵活运用二次根式的性质时行化简解析：【分析】先化简二次根式，再进行计算即可． 【详解】2===故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次根式加减法，关键是灵活运用二次根式的性质时行化简．18．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示521amn bn +=，则3a b +=_________．4【分析】只需先对估算出大小从而求出其整数部分a 其小数部分用表示再分别代入进行计算；【详解】∵2＜＜3∴2＜＜3∴m=2n==把m=2n=代入∴化简得：∴且解得：∴故答案为：4【点睛】本题考查了无理解析：4 【分析】只需先对5-a ，其小数部分用5a -表示，再分别代入21amn bn +=进行计算； 【详解】∵2＜3，∴2＜5-3，∴ m=2，n=52=3，把m=2，n=3代入21amn bn += ∴ ((22331a b -+-=，化简得：())616261a b a b ++= ， ∴ 6161a b +=且260a b +=， 解得： 1.5a =，0.5b =- ∴331.50.54a b +=⨯-=， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键；19．===…（a、b 均为实数）则=a __________，=b __________．748【分析】利用已知条件找出规律写出结果即可【详解】解：∵⋯⋯∴⋯⋯∴故答案为：748【点睛】本题考查归纳推理考查对于所给的式子的理解主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系本题是一个解析：7， 48 【分析】利用已知条件，找出规律，写出结果即可． 【详解】解：∵=== ⋯⋯，∴====== ⋯⋯，==∴7a =，27148b =-=， 故答案为：7，48 【点睛】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．20．比较大小：“＞”、“＜”或“＝”）．＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内再比较大小即可【详解】∵==＜∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键解析：＜ 【分析】先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可．【详解】∵，∴故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．三、解答题21．解方程组和计算（1）计算：﹣﹣)0(1)2 （2）解方程组：①43522x y y x +=⎧⎨=-⎩； ②3414233x y x y -=⎧⎨-=⎩． 解析：（1）①-②2）①111015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；②3019x y =⎧⎨=⎩ 【分析】(1)①直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案；②直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的混合运算法则分别化简得出答案；(2)①直接利用代入消元法解方程得出答案；②直接利用加减消元法解方程得出答案．【详解】解：(1)①原式62=⨯==-，故答案为：-②原式(12+-=4+2-故答案为：；(2)解①方程组：435(1)22(2)+=⎧⎨=-⎩x y y x ， 把(2)代入(1)中得：4x ＋3(2x ﹣2)＝5，解得：x ＝1110， 把x ＝1110代入(2)得y ＝15，所以方程组的解为：111015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故答案为111015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解②方程组：3414(1)233(2)-=⎧⎨-=⎩x y x y ， (1)×2﹣(2)×3得:-8y ＋9y ＝28﹣9，解得y ＝19，把y ＝19代入(2)中得：2x ﹣57＝3，解得x ＝30，所以方程组的解为：3019x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：3019x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二次根式的四则运算及二元一次方程组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．22．计算：（1（2）2|1(2)+--解析：（1）13；（2）3 【分析】（1）直接利用算术平方根的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简在计算得出答案．（2）直接利用绝对值的性质、平方的的性质计算得出答案．【详解】解：（1=1-2+4=1-23+ 1=3（2）2|1(2)+--14+=3【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．先化简，再求值：2232()111x x x x x x +÷---，其中1x =．解析：21x x -+，1-【分析】 先将括号内的异分母分式通分，除法化为乘法，计算乘法后将x 的值代入计算即可．【详解】解： 2223232(1)12()111(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x -+--+÷=⨯=---+-+当1x =时，原式=211x x -==+． 【点睛】此题考查分式化简求值，正确掌握分式的混合运算及分母有理化运算是解题的关键．24．（1；（2）计算：解析：（1）6；（2【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）先化简二次根式，根据二次根式的减法法则计算．【详解】解：（1）原式23=⨯，236=⨯=；（2）原式==【点睛】此题考查二次根式的计算，掌握二次根式的乘法计算法则、减法计算法则是解题的关键．25．先化简，再求值：（1＋12x +）÷293x x --，其中x 2．解析：12x +，3【分析】 首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入x 的值可得答案．【详解】 解：原式＝（22x x ++＋12x +）•3(3)(3)x x x -+-， ＝32x x ++•3(3)(3)x x x -+-， ＝12x +，当x 2【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简． 26．先化简，再求值：（1）221241442a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，其中2a =-（2）225525x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，从不等式组23,212,x x --≤⎧⎨<⎩的解集中选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值． 解析：（1）()212a -，13；（2）x+5，当x=1时，原式=6 【分析】（1）先计算异分母分式减法，同时将除法化为乘法，再计算乘法，最后将a 的值代入计算即可；（2）先化简分式，再求出不等式组的解集，将适合的x 值代入计算．【详解】（1）原式=()2(1)(2)(2)42a a a a a a a a --+-⋅--=()2442a a a a a -⋅--=()212a -，当2a ==13； （2）原式=2(5)(5)52x x x x x +-⋅- =x+5，解不等式组23212x x --≤⎧⎨<⎩，得56x -≤<， ∵x ≠-5,5,0，∴当x=1时，原式=1+5=6【点睛】此题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解不等式组，分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算的顺序及法则是解题的关键．27．22【分析】先根据二次根式化简，绝对值意义，立方根定义，二次根式性质化简，再计算即可．【详解】2-＝222-2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的化简，实数的混合运算等知识，熟知相关知识是解题关键．28．计算题：（1）⨯；（2）)211-．解析：（1）6；（2）1．【分析】（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则求出答案．（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．【详解】（1）⨯=6=-6=．（2）21)-222212⎡⎤=---⎣⎦51(32)=---1=-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方运算，正确化简二次根式是解题的关键．。