2020年高考数学复习题：圆的方程

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

解密18 圆与方程考点1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研1 一个圆经过以下三个点12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为A ．22211344x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2251344x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设圆心坐标为()0,b ，半径为r ，则圆的方程为()222x y b r +-=，将12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -三点代入，得()222222110292b rb r b r ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得54b =，216916r =． ∴圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研2 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上， 又圆心()1,1-到直线40x y --==设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=． 故选C ．调研3 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x −2y −1=0上的圆的标准方程为________________． 【答案】(x −5)2+(y −2)2=17【解析】根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB 的垂直平分线上， 又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB 的垂直平分线方程为2x +2y −14=0， 则有{x −2y −1=02x +2y −14=0 ，解得{x =5y =2，即圆心为(5，2)，圆的半径r 2=(5−1)2+(2−3)2=17， 故圆的方程为(x −5)2+(y −2)2=17．☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2=r 2．（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．考点2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关的对称问题调研1 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称，所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上，所以2260a b -++=，即3a b -=，，当点(a,b )与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a,b )≥4.故答案为4.☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研2 圆C 1:x 2+(y −1)2=1与圆C 2：(x +4)2+(y −1)2=4的公切线的条数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【解析】∵|C 1C 2|=√(0+4)2+(1−1)2=4，r 1=1，r 2=2，r 1+r 2=1+2=3，∴|C 1C 2|＞r 1+r 2， 所以圆C 1与圆C 2相离，有4条公切线． 故选A ．调研3 直线y =x +3被圆(x +1)2+y 2=4所截的弦长为 A ．1 B ．2 C ．√2D ．2√2【解析】直线方程可化为x −y +3=0，圆心到直线的距离为d =√12+12=√2，由垂径定理可得半弦长为√22−(√2)2=√2， 所以截直线所得弦长为2√2， 故选D ．调研4 两圆x 2+y 2+4x −4y =0和x 2+y 2+2x −8=0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为 A ．4 B ．35√5 C ．125√5D ．65√5【答案】C【解析】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y =0 ①，x 2+y 2+2x ﹣8=0 ②，①﹣②可得x ﹣2y +4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y =0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2√2， ∴圆心到公共弦的距离为d =√12+22=25√5， ∴公共弦长=2√(2√2)2−(25√5)2=125√5．故选C ．调研5 已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则⋅u u u r u u u rCP CQ ＝_______． 【答案】0【解析】根据题意，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ==，则|PQ |＝2=PCQ ＝90°，故CP CQ ⋅=u u u r u u u r 0.故答案为0.调研6 若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33) D ．[－33，33]【解析】解法1：如图，BC =1，AC =2，∴∠BAC =30°，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法2：设直线l 的方程为y =k (x －4)，则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法3：过A (4，0)的直线l 可设为x =my ＋4，代入(x －2)2＋y 2=1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3=0， 由Δ=16m 2－12(m 2＋1)=4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥3．∴l 的斜率k =1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k =0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]．故选D ． 调研7 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u r u u u r＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y =kx +1，即：kx -y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标为（2，3），半径R =1．1=，解得：12k k==故当4433k <<时，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点． （2）设M ()11,x y ，N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++，∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k =1， 故直线l 的方程为 y =x +1，即 x -y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 的长即为圆的直径，所以|MN |=2.☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．题组三 与圆有关的综合问题调研8 已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A或 BCD【答案】B【解析】∵直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，O ∴到直线AB 的距离为11,a =∴=故选B ．调研9 若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】因为圆的方程为22(3)9x y -+=2=，可设一条渐近线方程为0bx ay -=322c b a e =⇒=⇒=⇒== 故选C ．调研10 已知点M 是抛物线y 2=2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为 A ．10 B ．4√3 C ．8 D ．2√15【答案】D【解析】设圆心M (a 22， a)，而r 2=(a 22)2+(82)2，∴圆M 的方程为(x −a 22)2+(y −a )2=a 44+16，当y =0时，得x 2−a 2x +a 2−16=0，x 1+x 2=a 2，x 1x 2=a 2−16，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 4−4a 2+64=√(a 2−2)2+60≥√60=2√15． 故选D ．调研11 已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则a =________________． 【答案】−2【解析】因为点P 在圆()2215x y -+=上，所以过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切的切线为()()21125,260x y x y --+=+-=，又该切线方程与直线10x ay -+=平行，得2, 2.a a -==-调研12 已知点()()2,0,0,2,A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为________________． 【答案】2【解析】将圆22220x y x y +-+=化简成标准方程，得()()22112x y -++=，其圆心坐标为()1,1-，半径为r =()()2,0,0,2A B -，所以AB =，要求ABM △的面积最小，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线距离为，所以min d ==，故ABM S △的最小值22⨯=． 调研13 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为圆M:x 2+y 2−4x =0的圆心，直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P ，Q ，且P ，Q 的纵坐标分别为3t −1t ，2t(t ∈R ，t ≠0)． （1）求抛物线C 的方程； （2）求证：直线l 恒与圆M 相切．【解析】（1）圆心为(2，0)，半径为2，设抛物线C 的方程为y 2=2px(p ＞0)，因为焦点为圆M ：x 2+y 2−4x =0的圆心，所以p =4，因此抛物线C 的方程为y 2=8x ． （2）由题意可知，P (−2，3t −1t )，Q(0，2t)， 则直线PQ 方程为y −2t =2t−(3t−1t)2x ，即(t 2−1)x +2ty −4t 2=0，圆心M(2，0)到直线PQ 的距离2(2)22=2， 因此直线l 恒与圆M 相切．调研14 已知以点C （t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证：OAB △的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析；（2）()()22215x y -+-=．【解析】（1 设圆C 令0x =，得10y =，2y =；令0y =，得10x =，22x t =， ，即OAB △的面积为定值4． （2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ． 因为2MN k =-，所以12OC k =，所以212t t =，解得2t =或2t =-．当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1，OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<，圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--， OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>，圆C 与直线24y x =-+不相交， 所以2t =-不符合题意，舍去．综上，可得所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．调研15 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=， 所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--u u u u r u u u r，由题意知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3N为半径的圆. 由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥， 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-， 所以l 的方程为1833y x =-+.又OM OP ==O 到lPM =， 所以POM △的面积为165.1．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）直线3y kx =+被圆()22-+x ()234-=y截得的弦长为AB．C．3D．3±【答案】D【解析】因为直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为()2,3到直线的距离1d ==1==，解得3k =±，故选D ．2．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．3．（河南省郑州市2019-2020学年高三上学期第一次质量预测数学）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m = A ．-5或15 B ．5或-15 C ．-21或1D ．-1或21【答案】A【解析】由圆22410x y x y +-++=，即22(1)(2)4x y -++=, 得圆心为(1,2)-，半径为2.直线340x y m ++=与圆22410x y x y +-++=相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2d ==，解得：15m =或5-. 故选A.4．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =ABC ．3D．【答案】D【解析】根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2， 又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==. 故选D ．5．（河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高三上学期第二次质检数学）已知圆22:2+-=M x y ay()00>a截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=-<<12r r +⇒两圆相交. 故选B.6．（重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，∵圆C 与直线3440x y ++=2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．7．（四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考）已知两点A(a ，0)，B(−a ，0)(a >0)，若曲线x 2+y 2−2√3x −2y +3=0上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为 A ．(0，3] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[1，3]【答案】D【解析】因为∠APB =90°，所以点P 在圆x 2+y 2=a 2上，又点P 还在圆(x −√3)2+(y −1)2=1上，故|a −1|≤2≤a +1，解不等式可得1≤a ≤3， 故正实数a 的取值范围为[1，3]， 故选D ．8．（安徽首合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．【答案】B【解析】设圆心坐标为P （a ,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a =1， 所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长为，∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长的最小值为 故选B ．9．（安徽省黄山市2019届高三第一次质检）直线2x −y −√3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x +1)2+y 2=36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】令x =0代入2x −y −√3=0可得P(0，−√3)，圆心坐标为(−1，0)，则P 与圆心的距离为√1+3=2，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2．故选A ．10．（河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期第三次联考）已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上， 该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点，又两圆的圆心距5d ==，∴151r r -≤≤+，解得46r ≤≤.故选D.11．（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检）若直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为 A ．(−1，1]∪{−√2} B ．{−√2，√2} C ．[−1，1)∪{√2} D ．(1，√2]【答案】C【解析】y =√1−x 2表示半圆，如图所示，∵直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点， ①d =√12()2=1，解得m =√2，m =−√2（舍去）；②代入（-1，0）可得0=−1+m ，m =1，代入（1，0）可得0=1+m ，m =−1． 综上，结合图象可得−1≤m <1或m =√2，故选C ．12．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学）若直线x ﹣my +m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D【解析】将圆与直线联立()22110x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120m y m m y m m +-+++=，Q 图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，即>0∆，由()()()22224142180=+-++=->mm m m m m ∆，得0m <.Q 圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，∴交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限，2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D.13．（四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 【答案】22(2)10x y -+=.【解析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上，结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)=22(2)10x y -+=.14．（山东省济南市2019届高三上学期期末考试）过圆C:x 2+y 2−2x −3=0内一点P(2，1)作直线l ，则直线l 被圆C 所截得的最短弦长为________________． 【答案】2√2【解析】圆方程可化为（x ﹣1）2+y 2＝4，∴圆心C （1，0），半径r ＝2，|CP |=√1+1=√2，当截得的弦长最短时，CP ⊥l ，即P 为弦的中点，∴最短弦长为2√4−2=2√2．15．（甘肃省白银市会宁县第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则nm=______________． 【答案】8 【解析】21111,,0(11),4,8.2-=∴=++=∴=∴=QQ nm n n m m16．（广东省茂名市2019届高三第一次综合测试）已知O(0，0)，A(−2，2)，点M 是圆(x −3)2+(y −1)2=2上的动点，则ΔOAM 面积的最大值为________________． 【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心C(3，1)，半径r =√2，OA =√22+22=2√2，直线OA 的方程为x +y =0，则ΔOAM 边OA 上的高ℎ就是点M 到直线OA 的距离，圆心C(3，1)到直线OA 的距离为d =√2=2√2，可得圆(x −3)2+(y −1)2=2上的点M 到直线OA 的距离的最大值为ℎmax =d +r =3√2，故ΔOAM 面积的最大值S =12OA ⋅ℎmax =12×2√2×3√2=6．17．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________________． 【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222△==⨯=BMF S S ， 故答案为12．18．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点()1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 【解析】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意. ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径22=，解得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离d =又∵△CPQ的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2.∴d =，∴ k ＝1 或k ＝7.故所求直线l 1的方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .19．（江西省临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年高三上学期第三次月考数学）已知椭圆22:+x E a21221(0),、=>>y a b F F b为其左、右焦点，12B B 、为其上、下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O . （1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”，此时a =故长轴12A A的最小值为此时椭圆E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒22220x y x ++-=，两式作差得公共弦的方程为：()00110x x y y ++-=， 所以弦心距====d，则弦长2MN ==， 所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2.20．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r求实数t 的取值范围.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<， 于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，所以……①，因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②， 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.21．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 为△ABC 的内切圆，其中(,),(2,1),(1,3)A m n B C --. （1）求圆O 的方程及A 点坐标；（2）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q 使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数 )？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(2,1),(1,3)B C --知直线BC 的方程为4350x y +-=， 由于圆O 与线段BC 相切，所以半径|5|15r -==，即圆O 的方程为221x y +=. 由题意221x y +=与线段AC 相切，所以线段AC 的方程为1x =-，即1m =-. 又221x y +=与线段AB 也相切，所以线段AB 的方程为1y =-，即1n =-. 故(1,1)A --.（2）设()00,,(,)Q x y P x y，则||PA =||PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数)，=，对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y x x y y λλ+++=-+-， 整理得：()()()()()2222222200001222220xy x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =， 由于P 在圆O 上，所以221x y +=.故()22220022()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A重合，舍去. 当λ=11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭， 综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，此时λ= 22．（河南省郑州市2019届高三第一次质量预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点．（1）若AR//FN ，求|MR||MN|的值；（2）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系． 【解析】（1）F(1，0)，设直线l 方程为x =my +1，由{y 2=4x ，x =my +1， 得y 2−4my −4=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1，2=4m±√16m 2+162=2m ±2√m 2+1，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4．由题知M(−1，y 1)，N(−1，y 2)，设R(−1，y R )，把各个点坐标代入方程，分别求出以下点坐标：A(2m 2+1−2m√m 2+1，2m −2√m 2+1)，F(1，0)，N(−1，2m +2√m 2+1)， 利用平行关系，可得AR =λFN ，代入点坐标，可得|MR||MN|=12． （2）若R 是MN 的中点，则R(−1，2m)，RA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅RB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+1，y 1−2m)⋅(x 2+1，y 2−2m) =(my 1+2，y 1−2m)⋅(my 2+2，y 2−2m) =(my 1+2)⋅(my 2+2)+(y 1−2m )⋅(y 2−2m )=(m 2+1)y 1y 2+4m 2+4=0．因此，R 在以AB 为直径的圆上．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =．Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△．故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可．2．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A ．5．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，则()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．6．（2016新课标全国Ⅲ理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ，,AB DE 交x 轴于,M F 点，则||AM =，即A点纵坐标为A 点横坐标为4p，即4||OM p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||AM OM AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．7．（2016新课标全国Ⅲ理科）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得1d ==，解得43a =-，故选A ．【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d =r ，则直线与圆相切；若d <r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ=0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交． 提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．8．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________________．【答案】3【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =．在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===． 9．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =||CD =________________． 【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为r =，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=的距3=，3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去）或1k =， 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=；或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=． 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+． 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-． 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-， 所以OA OB ⊥，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+．故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．12．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.。

专题54：圆与方程精讲温故知新1、圆的方程（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

例1：1．（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭； 解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭； 2．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________． 【答案】22(1)(1)5x y -++=解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ， 222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++= 举一反三1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y ++-= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22211x y -++= D ．()()22214x y -++=【答案】B【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.2．（2022·全国·模拟预测）已知圆O 的方程为：224x y +=，定点()0A 1，，若B ，C 为圆O 上的两个动点，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为______；若弦BC 经过点A ，则BC 中点Q 的轨迹方程为______．【答案】 22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【详解】设()00,B x y ，(),P x y ，因为P 为线段AB 的中点，所以021x x =+，02y y =，又因为B 为圆O 上一点，所以22004x y +=，即()()222124x y -+=，所以P 点的轨迹方程为22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．因为BC 的中点为Q ，所以OQ BC ⊥，又因为BC 经过点A ， 所以OQ AQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以线段OA 为直径的圆，其轨迹方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故答案为：22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.2、直线与圆的位置关系(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l的距离d =①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆>②直线与圆相切，则d r =或方程组的0∆= ③直线与圆相离，则d r >或方程组的0∆<（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l，满足：l =（3）直线与圆相切时， ①切线的求法：（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。

直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

专题30圆的方程一、 考纲要求：1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、 概念掌握和解题上注意点 ： 1.求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 2待定系数法：① 若已知条件与圆心 a , b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 于a , b , r 的方程组，从而求出 a , b , r 的值.② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E , F 的方程组，进而求出 D, E , F 的值.2. 与圆有关的最值问题的三种几何转化法v — b1形如口=形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题x — a2形如t = ax + by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题3形如 m= x — a 2+ y — b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题.3. 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 1) 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解 2) 定义法：根据圆的定义列方程求解.3) 几何法：利用圆的几何性质得出方程求解 .4) 代入法 相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.三、 高考考题题例分析与该圆相交于A , B 两点，则△ ABC 的面积为【答案】例1. (2020天津卷) 已知圆x 2+y 2 - 2x=0的圆心为 C ,直线,(t 为参数)【解析】；圆梓诺-2E 化为标准方程是(x-1):坪也 圆心为C <1, 0)」半径Ej化为普通方®S K +Y-2=0,t1 A-2X 2-\AABC 的面积为 S=l.|AB|.d=i2故答叫•例2. (2020江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线I : y=2x 上在第一象限内的点，B(5, 0)，以AB 为直径的圆C 与直线I 交于另一点D.若1=0,则点A 的横坐标为 ________________ . 【答案】3【解析】：设A ( a , 2a ), a >0, ••• B (5, 0), ••• C ( ' , a ),2则圆 C 的方程为(x - 5) (x - a ) +y (y - 2a ) =0.、Cx-5) (x-a)+y (y-2a)=C联立，解得D (1, 2).屁厉二(5-& -2a>〔音L 2-Q 茲辿乜宀削2_ 2= .解得：a=3或a= - 1. 又 a > 0, • a=3. 即A 的横坐标为3. 故答案为：3.例3.(2020高考山东卷)一条光线从点 2, 3射出，经y 轴反射后与圆直线y= L则圆心f 到该宜线的距离为d Jl±0z2j_j/l ?■二 2裁Lx 逅X 唾丄・2 2 2V2(jc+3 T + (v —21 =】■相切，则反射光线所在直线的斜率为( )(A) 5或3(B) 3或2(C) 5或4(D) 43 5 2 345 3或34【答案】D【解析】由光的反射原理知， 反射光线的反向延长线必过点 2, 3 ,设反射光线所在直线整理：•…■「一-，解得：k 4，或k 3 ,故选D.346.直线x — 3y + 3 = 0与圆(x — 1)2+ (y — 3)2= 10相交所得弦长为(A.30C. 4 '2 【答案】A|1 — 3X 3+ 3|【解析】圆心(1,3)到直线的距离为件32=2 ，从而得所求弦长为将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为2y + 1 = 0,即y =—；&在平面直角坐标系中，直线 y = ；'2x 与圆O x 2 + y 2= 1交于A, B 两点，a ,卩的始边 是x 轴的非负半轴，终边分别在射线 OA 和OBh,则tan( a +卩)的值为( )A. — 2 ..'2 C. 0 【答案】A为(A.；3B. 1 y = —4y = —2 C.3D.1y =__—2y = —4【答案】B【解析】圆 2 2 (x — 1) + y = 1 的圆心为(1,0) ，半径 :为1,7.过点(1 , — 2)作圆(x — 1)2 + y 2= 1的两条切线，切点分别为 以 1— 1 2+ — 2 — 0 2= 2为直径的圆的方程为 (x — 1)2+ (y + 1)2= 1,的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为:kx — V — 2 Ac — 3= 0 ，即：又因为光线与圆相切,(x+3)a +(y-2)：=l所以,A, B,则AB 所在直线的方程B. — .2 D. 2 '2【解析】由题可知 tan a = tan 卩=p 2，那么tan( a +卩)=门+上暮_牛=—2冷迈,故选A. 9.已知圆C ： 2 2x + y + 2x — 4y + 1 = 0的圆心在直线 ax — by + 1= 0上，贝U ab 的取值范围是 A. ——OO1B — OO — B , 8 C. 1 D. 0, 8【答案】【解析】把圆的津稈优抹标徨浄程为U-F 1);+紗一2)：=4? 二圆心的坐样为(一 1卫)，半径尸=乙 "；0(?的圖心在直鳗口一勿+1=0上.…一口一即 0=1 —% 则血=凤1—羽=_防+&注*血椒丸也欣大氓B.=4上的动点,则ab 的取值葩国灵J — 8,2 10.设 P 是圆(x — 3) + (y + 1) Q 是直线x =— 3上的动点，贝U | PQ 的最小值A. 6B. 4C. 3 J =-3 丫 iQ 1 ~nVD. 2【答案】B【解析】如图所示，圆心 M 3 , —1)与直线x =— 3的最短距离为| MQ = 3— ( — 3) = 6, 又圆 的半径为2,故所求最短距离为6 — 2 =4.则(x — 5)2+ (y + 4)2的最大值为 (A. 6B. 25C. 26D. 36【答案】D【解析】(X — 5)2 + (y + 4)2表示点P (x , y )到点(5 , - 4)的距离的平方.点(5 , - 4)到圆心(2,0)的距离 d =5-2+ - 4= 5.则点P (x , y )到点(5 , - 4)的距离最大值为6，从而(X -5)2+ (y + 4)2的最大值为36.. . 2 212. 过动点M 作圆：(X - 2) + (y -2) = 1的切线MN 其中N 为切点，若| MN = I MO O 为坐 标原点)，则| MN 的最小值是A.C ：'2 【答案】B［解析】设圜心0(2,因为|掘¥= 所锻L 的=悶即一1 = Wp.设 姻旳 心 碍伏一2尸十0'—即一1=处+产 此简得-4^+4}—7=0,帥为点丄T 的轨迹方稈，fl'l .VA -的彘小值为检最心值,即点O 到直錢张+和一了=0曲趾臥 所以証畑=~^二-=斐,故选V16416 s二、填空题13. __________ 已知点 M 1,0)是圆C ： X 2+ y 2-4x -2y = 0内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的 方程是 ____ .【答案】x + y - 1 = 0【解析】圆C ： x 2+ y 2-4x - 2y = 0的圆心为C (2,1),•••过点M 的最短弦与CM 垂直，•••最短弦所在直线的方程为 y — 0 = — 1X( x - 1)，即x + y - 1 =0.14 .在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx- y - 2m- 1 = 0( m€ R)相切的 所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _____________ . 【答案】(x — 1)2 + y 2 = 2【解析】因为直线 mx- y — 2m- 1 = 0恒过定点(2 , — 1)，所以圆心(1,0)到直线 mx-y - 2m —1 = 0的最大距离为d =2— 1 2+ — 1 — 0 2=丈2，所以半径最大时的半径r = 2,所以半径最大的圆的标准方程为(x — 1)2+ y 2= 2.15 .若圆x 2+ y 2= 4与圆x 2 + y 2 + 2ay — 6= 0(a >0)的公共弦长为 2羽，贝U a = __________ .B.D.D 2+E 2— 4F.在圆的方程中，令 x = 0，得y 2 + Ey + F = 0.【答案】1【解析】两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为 y =£如图，由已知得|AQ =J 3,I OA = 2,1••丨 OC = a = 1，…a = "I.16. —个圆与y 轴相切，圆心在直线x — 3y = 0上，且在直线y = x 上截得的弦长为2 ：7,则 该圆的方程为 ______________ .2 2 2 2【答案】x + y — 6x — 2y + 1 = 0 或 x + y + 6x + 2y + 1 = 0【解析】 法一；T 所求圆的圆心在直线.L 4=0上" 「•设所求圆的圆心为（3皿a ）f 孔斯狀圆与丁韜相切■二半径T=5戈所求圆在直銭丁=工上栽得的弦也弐珂％阖心0也的距篱・击+（岳=心即・'山=±1.故所求_圆的方程处（x —3尸+0-—1，=9或［工+3严+°+1严=9.法二：设所求圆的方程为（x — a ）2+ （y — b ）2=r 2,则圆心（a, b ）到直线 I a — b |y = x 的距离为丄才,2 a — b22• r = ---- 2 + 7,即卩 2r = (a — b ) +14.①由于所求圆与y 轴相切，•••『= a 2,②又•••所求圆的圆心在直线 x — 3y = 0 上, • a — 3b = 0,③a = 3,联立①②③，解得 b = 1,r 2= 9a = 一 3,或 b =— 1.r 2= 9.故所求圆的方程为（x + 3） 2 2 2(y + 1) = 9 或(x — 3) + (y — 1) = 9.法三：设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,则圆心坐标为D,- f ，半径 r =-1由于所求圓药y軸拥切,AJ=O f则圧=4F①异,一字到直践r=r的距离为d=—,2厂^ 讥由巴知得出+(曲尸=曲ap(n-£y+ 5c=2(i>+^-47).②又圆心(-聲F一导茯瓦践.;一打=0上，二。

第40讲圆的方程1.[2018·北京西城区期末]方程x=√1-y2表示的图形是()A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆2.[2018·三明模拟]已知圆x2+y2+ax+6y=0的圆心在直线x-y-1=0上,则a的值为()A.4B.5C.7D.83.[2018·青岛二模]已知圆的方程为x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为()A.3B.√5C.5D.44.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为.5.若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2√2,则圆C的标准方程为.6.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=167.圆x2+y2-2x-2y-2=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.2+√2B.2D.2+2√2C.2+√228.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b对称,则a-b的取值范围是()A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)9.已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是()A.5-√5B.4-√5C.√5-1D.5√510.圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是()A.(x+7)2+(y+1)2=1B.(x+7)2+(y+2)2=1C.(x+6)2+(y+2)2=1D.(x+6)2+(y-2)2=111.[2018·山东枣庄二模]已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,且圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.12.若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为√2的点,则实数a的取值范围是.13.[2018·张家界模拟]已知圆C:x2+y2+2x-7=0内一点P(-1,2),直线l过点P且与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的圆心坐标和面积;(2)若直线l的斜率为√3,求弦AB的长;(3)若圆上恰有三点到直线l的距离为√2,求直线l的方程.14.已知圆C:x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l:mx+y+1=0对称.(1)求实数m的值;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-3(O为坐标原点),求圆C的方程.15.[2017·全国卷Ⅲ]已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.。

解析几何02 圆的方程一、具体目标：（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. （3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. （4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、知识概述：1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.①以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=02. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是. 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程 ①与轴相切的圆方程C 0),(=y x f ),(y x M 0),(=y x f ),(y x 0),(=y x f 0),(=y x f ),(b a C r 222)()(r b y a x =-+-r 222r y x =+x 222)()(b b y a x =±+-)],(),(,[b a b a b r -=或圆心y 222)()(a b y a x =-+±)],(),(,[b a b a a r -=或圆心【考点讲解】①与轴轴都相切的圆方程3. 圆的一般方程： .当2240D E F +->时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点当2240D E F +-<时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且2240D E F +->.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）. 4. 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5. 点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内()()22200x a y b r ⇔-+-<②在圆上 ③在圆外()()22200x a y b r ⇔-+->6. 直线和圆的位置关系： 设圆：()()()22200=0x a y b r r -+->； 直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切； ②d r <时，与相交；x y 222)()(a a y a x =±+±)],(,[a a a r ±±=圆心022=++++F Ey Dx y x ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C 2422FE D r -+=0422=-+F E D ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 0=B 0≠=C A 0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A ),(00y x M 222)()(:r b y a x C =-+-M C M C 22020)()r b y a x =-+-⇔（M C C l )0(022≠+=++B A C By Ax ),(b a C l 22BA CBb Aa d +++=r d =l C l C③d r >时，与相离.由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；0l ∆>⇔与相交；0l ∆<⇔与相离.7. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：. ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a )(x 0 – a )+(y – b )(y 0 – b )=R 2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a ,b )则，联立求出切线方程. 8. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD 为圆为方程为…②…③，所以BC 的方程即①代①，①①相切即为所求.l C ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x x y ∆l ⇔=∆0C C C 222r y x =+k r k kx y 21+±=022=++++F Ey Dx y x ),(00y x P 0220000=++++++F y y E x x Dy y x x 222r y x =+),(00y x P 200r y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ⇒k O Θ022=++++F Ey Dx y x 2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--4)()(222b y a x R A A -+-=BC)1.【2019优选题】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 【答案】A2.【2018优选题】圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 【解析】由圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，2a ，a >0. 又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. 【答案】A3.【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【解析】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d==特殊三角形，可知AB ==【答案】4.【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），【真题分析】则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【答案】2220x y x +-=5.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为________． 【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a = 【答案】36.【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-u u u r u u u r，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，解得m =C 与y轴得正半轴相切，则m =，所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．【答案】22(1)(1x y ++=7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【解析】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO 由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .8.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【解析】本题考查的是圆锥曲线中的定点问题和求圆的方程的问题，按题的指示有顺序的完成题的要求.（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．1.圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x【解析】将01222=--+x y x 整理成标准式可得：()2212x y -+=，可得圆的圆心坐标为（1，0）半径为2，关于直线对称的圆的圆心坐标为（-3，2），所以所求圆的方程为2)2()3(22=-++y x .【答案】C2.若△P AB 是圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的内接三角形，且P A ＝PB ，∠A PB ＝120°，则线段AB 的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋(y －2)2＝3D ．x 2＋y 2＝1【解析】设线段AB 的中点为D ，则由题意，P A ＝PB ，∠APB ＝120°，所以∠ACB ＝120°，因为CB ＝2，所以CD ＝1，所以线段AB 的中点的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，所以线段AB 的中点的轨迹方程是：(x －2)2＋(y －2)2＝1. 【答案】A3.已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________. 【解析】设(,)P x y ，PAk PB =，则2222(2)(4)x y k x y++=-+，整理得(2,0),(4,0)A B -,16)()4(:22=+++b y x C P C PA PBb =【模拟考场】222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，整理可得：22222248416011k k x y x k k +-+++=--，又P是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22488,1k k+=-可得2416=0k -，所以2224161k b k-=-，可得0b =. 【答案】04．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为______________． 【解析】将圆的方程配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，∵r 2＝1－34k 2≤1，∴r max ＝1，此时k ＝0.故圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 【答案】x 2＋(y ＋1)2＝15．过点(1,1),(1,1)A B --且圆心在直线20x y +-=上的圆方程是 .【解析】设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得：()()()()222222111120a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+-=⎨⎪+-=⎪⎩，解方程组可得112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=.【答案】22(1)(1)4x y -+-=6.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆C 截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 【解析】(1)易得直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r .由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，且圆心C 在该条直线上，所以b ＝a －1.①又因为y 轴被圆C 所截得的弦长为43，所以r 2＝(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意；当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0. 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13，可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，Δ＝－4(m 2－2m －25)，所以m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，解得m ＝4或m ＝－3，经验证均满足Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.7.设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程【解析】配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ .该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈⎪⎝⎭. ∴ 所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -.设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-.直线OM 的方程为11y y x x =.令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-.同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ， 21212(1)x xDA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++24(1)n =-++. 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.9.【2018年高考全国①卷】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.【2017年高考全国III 卷理数】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+.由22,2x my y x =+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-.又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-，所以OA OB ⊥.故坐标原点O 在圆M 上. （2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+. 故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=，由（1）可得12124,4y y x x =-=.所以2210m m --=，解得1m =或12m =-. 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=. 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=，或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。